keseimbangan benda terapung - · pdf filebenda yang terpotong permukaan zat cair v = volume...

salmani, ST, MS, MT 1

KESEI MBANGAN BENDATERAPUNG

Mempelajari masalah :Mempelajari masalah :• Prinsip hukum Archimedes• Prinsip keseimbangan dan kestabilan• Menghitung besar gaya apung dan letak

pusat apung• Mengevaluasi kestabilan benda terendam

atau terapung

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

http://www.verypdf.com/


KesimpulanKesimpulan•• Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat

sendiri benda sendiri benda (FG)(FG) yang bekerja vertikal ke bawah dan yang bekerja vertikal ke bawah dan gaya apung gaya apung (FB)(FB) yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda (G)(G) ; ; dan gaya apung bekerja pada pusat apung dan gaya apung bekerja pada pusat apung (B)(B) , yang sama , yang sama dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda.dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda.–– FG FG > FB > FB ⇒⇒ Benda tenggelamBenda tenggelam–– FG = FB FG = FB ⇒⇒ Benda melayang (terendam)Benda melayang (terendam)–– FG < FB FG < FB ⇒⇒ Benda mengapungBenda mengapung

•• Benda terendam akan stabil jika pusat berat Benda terendam akan stabil jika pusat berat GG berada di berada di bawah pusat apung bawah pusat apung BB..

•• Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat beratnya beratnya GG berada di bawah pusat apung berada di bawah pusat apung (B)(B) ..

•• Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui berdasarkan tinggi metasentrum.berdasarkan tinggi metasentrum.

Menghitung tinggi metasentrumMenghitung tinggi metasentrumBGBMGM −=

VIBM 0=

OBOGBG −=

Dimana dengan :GM = tinggi metasentrumI o = momen inersia tampang benda yang terpotong permukaan zat cairV = volume zat cair yang dipindahkan bendaBG = jarak antara pusat berat dan pusat apungOG = jarak antara pusat berat dan dasarOB = jarak antara pusat apung dan dasar

Apabila :

StabilTidakBendaMNetralBendaM

StabilBendaM

−−⇒⟨−⇒=

−⇒⟩

00

0

Soal :Stabilitas Benda TerapungSoal :Stabilitas Benda Terapung

1.1. Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat relatif relatif batu itubatu itu..

2.2. Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas permukaan air adalah 10 cm, permukaan air adalah 10 cm, hitunghitung berat balok.berat balok.

3.3. Kubus kayu dengan panajang sisiKubus kayu dengan panajang sisi--sisinya 0,5 m sisinya 0,5 m mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. Hitung Hitung bagian kubus yang terendam dalam air.bagian kubus yang terendam dalam air.

4.4. Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S= 0,7. dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S= 0,7. HitungHitung volume air yang dipindahkan dan letak pusat volume air yang dipindahkan dan letak pusat apung.apung.

5.5. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air. BerapaBerapakah berat beban yang harus diletakan di atas balok kah berat beban yang harus diletakan di atas balok supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu S= 0,7.S= 0,7.

TUGAS 3TUGAS 3




7.7. Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9 Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9 mengapung di air dengan salah satu sisinya mengapung di air dengan salah satu sisinya sejajar muka air. sejajar muka air. BerapakahBerapakah beban harus beban harus diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut tenggelam di dalam air.tenggelam di dalam air.

6.6. Suatu balok ponton dengan lebar Suatu balok ponton dengan lebar B= 6,0 m, panjang L= 12 m dan sarat B= 6,0 m, panjang L= 12 m dan sarat d= 1,5 m mengapung di air tawar (d= 1,5 m mengapung di air tawar (ρρ = = 1000 kg/ m3) . 1000 kg/ m3) . Hitung:Hitung:

a.a. Berat balok pontonBerat balok pontonb.b. Sarat apabila berada di Sarat apabila berada di

air laut (air laut (ρρ22 = 1025 = 1025 kg/ mkg/ m33))

c.c. Beban yang dapat Beban yang dapat didukung oleh ponton di didukung oleh ponton di air tawar apabila sarat air tawar apabila sarat maksimum yang maksimum yang diij inkan adalah 2,0 m.diij inkan adalah 2,0 m.

8.8. Balok kayu mengapung di air tawar dengan bagian yang berada di aBalok kayu mengapung di air tawar dengan bagian yang berada di atas tas permukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan dipermukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan di dalam dalam minyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di ataminyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di atas s permukaan minyak adalah 7,5 cm. permukaan minyak adalah 7,5 cm. berapakahberapakah rapat reatif balok. rapat reatif balok.

9. Tangki berbentuk kotak dengan panjang 1 m dan lebar 0,5 m diisi air tawar dan air raksa sampai ¾ kali tingginya. Berat tangki adalah 175 N. volume air adalah 49 kali volume air raksa. Tangki tersebut diletakan di air laut sehingga mengapung dengan bagian yang berada di atas air adalah setinggi 0,2 m. Apabila rapat relatif air raksa adalah 13,6 tentukan tinggi maksimum tangki. Rapat massa air laut dan air tawar adalah 1020 kg/ m3 dan 1000 kg/ m3.

10.Pelampung silinder dengan diameter 3 m dan tinggi 3 m mengapung dengan sumbunya vertikal. Berat pelampung adalah 3 ton. Selidiki stabilitas pelampung.

11.Silinder berdiameter 3 meter dan tingginya 3 meter terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. Benda tersebut mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal. Hitunglah tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

12.Balok berpenampang bujur sangkar dengan panjang sisinya 0,5 m dan tinggi H mengapung di dalam air. Rapat relatif balok 0,8. Berapakah tinggi H supaya balok dapat terapung stabil dengan sisi tingginya vertikal.

13.Balok terbuat dari bahan dengan rapat relatif 0,8. mempunyai panjang L= 1,0 m dan tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 0,8 m diapungkan di dalam air dengan sumbu panjangnya vertikal. Hitung tinggi metasentrum dan selidiki stabilitas benda.

14.Silinder berdiameter 45 cm dan rapat relatif 0,9. Apabila silinder mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal, tentukan panjangmaksimum silinder.




15.Silinder dengan diameter 0,5 m dan panjang 1 m mengapung secara vertikal di laut. Rapat massa air laut adalah 1020 kg/ m3. Tentukan rapat massa bahan silinder apabila benda dalam kondisi tidak stabil.

16.Silinder kayu dengan rapat relatif 0,7 mengapung di air tawar dengan sisi panjangnya vertikal. Apabila panjang dan diameter silinder adalah L dan D, berapakahperbandingan antara D dan L sedemikian sehingga silinder dapat mengapung stabil.

17.17.Balok dengan panjang L= 1,0 m, lebar B= 0,8 m dan tinggi Balok dengan panjang L= 1,0 m, lebar B= 0,8 m dan tinggi H= 0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya H= 0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif balok adalah S= 0,8. Selidiki stabilitas vertikal. Rapat relatif balok adalah S= 0,8. Selidiki stabilitas benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan tebalnya T= 0,01 m, tebalnya T= 0,01 m, selidiki stabilitas benda gabunganselidiki stabilitas benda gabungan. Rapat . Rapat relatif besi S= 7,85.relatif besi S= 7,85.

18.Ponton segiempat dengan panjang 13 m, lebar 10 m dan tinggi 3 m mempunyai berat 1000 kN. Di bagian atas ponton diletakan silinder dengan diameter 7 m dan berat 600 kN. Pusat berat silinder dan ponton dianggap terletak pada garis vertikal yang sama dan melalui pusat berat ponton. Hitung tinggi metasentrum. Rapat relatif air laut 1,02.

19.Suatu balok dengan panjang 1 m mempunyai tampang lintang bujur sangkar dengan sisi 20 cm mempunyai rapat relatif 0,5. Bagian bawah balok tersebut setebal 2,5 cm mempunyai rapat relatif 8. Balok diapungkan dengan posisi berdiri ( lihat gambar) .• Selidiki stabilitas benda• Apabila benda tidak stabil, berapakah

panjang bagian balok yang mempunyai rapat relatif 0,5 supaya benda bisa mengapung stabil.

20.Silinder terbuat dari dua bahan berdiameter 0,25 m mengapung di dalam air. Bagian atas sepanjang 1,0 m terbuat dari kayu dengan rapat relatif 0,8; sedangkan bagian bawah mempunyai rapat relatif 5. Hitung panjangbagian bawah agar silinder dapat mengapung dengan sisi panjang vertikal.

21.Silinder dengan panjang L, diameter D dan rapat relatif S mengapung

dalam zat cair dengan rapat relatif 2S. Tunjukan bahwa silinder akan mengapung stabil dgn,Sumbunya vertikal apabila L < D/ √2Sumbunya horisontal apabila L > D




22.Ponton dibuat dengan menghubungkan dua buah balok sepanjang

10 m, lebar 0,3 m dan tinggi 0,25 m yang mengapung di dalam air tawar. Rapat relatif balok kayu S= 0,6. Selidiki stabilitas balok tunggal dan Selidiki stabilitas ponton.

Apabila di atas ponton terdapat beban seberat 750 kg dengan pusat berat pada jarak 0,5 m dari sisi atas balok. Beban tersebut berada pada tengah-tengah ponton.

23.Pelampung silinder berdiameter 3 m dan

panjang 4 m mempunyai berat 40 kN diapungkan diair laut (S= 1,02) dengan sumbu memanjangnya vertikal.

• Selidiki stabilitas benda. • Apabila pelampung tidak stabil,

berapakah gaya tarik yang harus diberikan pada rantai yang dipasang pada pusat dasar silinder supaya silinder dalam kondisi stabil (mengapung stabil) .

24.Kerucut padat mengapung di dalam air dengan sumbunya vertikal sedemikian sehingga puncaknya berada di bawah. Apabila sudut puncak kerucut adalah 40o, tentukanrapat relatif benda sedemikian sehingga benda dalam kesetimbangan stabil.

25.Kerucut terbuat dari bahan dengan rapat relatif S1= 0,7 mengapung di atas zat cair dengan rapat relatif S2= 0,90. Hitung sudut puncak kerucut minimum sedemikian sehingga kerucut dapat mengapung dengan puncaknya dibawah.

26.Pelampung silinder berdiameter D= 1,0 m dan tinggi H= 0,75 m mempunyai berat 3500 N mengapung di air laut (S= 1,025) dengan sumbu vertical. Di pusat sisi atas silinder diberi beban. Letak pusat berat beban adalah 0,5 m dari sisi atas silinder. Berapakah berat beban maksimum supaya pelampung tetap dalam kondisi stabil.

27.Kapal dengan panjang 60 m lebar 8,4 m dan berat 15 MN. Muatan diatas kapal seberat 150 kN bergerak pada arah lebar sejauh 4 m sehingga menyebabkan kapal miring 3o. Momen I nersia tampang kapal pada elevasi muka air adalah 72% dari momen inersia segi empat yang mengelilinginya. Pusat apung terletak pada 1,5 m di bawah muka air. Tentukan tinggi metasentrum dan posisi pusat berat kapal. Rapat massa air laut ρ= 1025 kg/ m3.

28.Ponton bujur sangkar dengan sisi 6 m dan tinggi 1,2 m mengapung di atas air. Apabila diatas ponton diberi beban seberat 4 ton, bagian dari ponton yang terendam air adalah 0,6 m. Beban berada pada tengah-tengah ponton. Pusat berat ponton adalah 0,6 m diatas dasar dan pusat berat beban 1,2 m diatas sisi ponton. Selidiki stabilitas ponton. Berapa beban maksimum sehingga ponton tidak stabil.




Jawaban Tugas No 3.01Jawaban Tugas No 3.01

N200300500 =−=diairdiudaraB WWF −=

VxVxVgVFB 981081,91000... ==== ργ

Gaya apung (FB) adalah sama dengan perbedaan antara berat batu di udara dan di dalam air: Menurut hukum Archimedes, gaya apung (FB) adalah sama dengan berat air yang dipindahkan batu. Berat air yang dipindahkan batu (FB) adalah sama dengan perkalian antara volume air yang dipindahkan (V) danberat jenis air.

Dari kedua nilai FB di atas, 30204,0.9810200 mVV =⇒=Volume air adalah sama dengan volume batu, sehingga volume batu adalah V= 0,0204m3. Berat batu di udara adalah sama dengan berat jenis batu dikalikan volume batu,

5,210002500/2500

0204,081,9500...

3 ===⇒=

===

air

diudara

Smkg

xxVgVW

ρρ

ρ

ρργ

Pusat apung(B) adalah titik pd mana gaya apung bekerja. Pusat apung ini merupakan pusat berat dari volume zat cair yang dipindahkan


315,075,05,04,0 mxxV ==

mcmd 4,0401050 ==−=

kgfxVair 15015,01000. ===γ

Tinggi balok yang terendam di dalam air:

Berat balok = berat zat cair yang dipindahkan

Volume bagian balok yang terendam di air:


NxVW benda 0,755,0600. 3 ===γ

30,60010006,0. mkgfxSS airbenda

air

benda ===⇒= γγγγ

Misal W : berat kubus, FB : gaya apungd : kedalaman bagian kubus yang terendam airRapat relatif :

Berat benda :

Gaya apung :

mddFW B 3,00,2500,75 =⇒=⇒=Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

dxdxxVF ndipindahkaygairairB

0,250)5,05,0(1000

. __

==

= γ

Jadi kedalaman kubus yang terendam air= 0,3 m.


NxxxW 04,82412,081,910007,0 ==

mxA

VairmukapdbaloktampangndipindahkaygairVolumed

21,04,00,1

084,0____

___

==⇒ =

=

VSVgW airBalok .... ρρ ==Volume balok : V= 1.0x0,4x0,3= 0,12 m3

Berat Balok :

Volume air yang dipindahkan :

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

mdOB 105,0221,0

2===

Letak pusat apung :

Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.

3084,081,91000

04,824__

_ mxairjenisberat

balokBeratV =⇒=




Jawaban Tugas No 3.05#1Jawaban Tugas No 3.05#1

kgfxxW 5,87125,010007,01 ==

mxA

Vd 35,05,05,0

0875,0===

VSVW airBalok ...1 γγ ==Volume balok : V1= 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 m3

Berat Balok :


Kedalaman bagian balok yg terendam air :

311 0875,0

10005,87 mWV

airA ===

γ


221 5,87 WWWWtotal +=+=

kgfxVF AairB 0,125125,01000. 2 === γ

Jika diatas Balok diberi beban dengan berat W2,maka berat total balok+ beban adalah:

Apabila balok terendam seluruhnya, berarti kedalaman balok yg terendam air adalah d2= 0,5m. Volume air yang dipindahkan benda :

Gaya apung :

kgfWWFW Btotal 5,370,1255,87 22 =⇒=+⇒=Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Jadi berat beban di atas balok adalah WJadi berat beban di atas balok adalah W22= 37,5 kgf= 37,5 kgf

322 125,05,05,05,0. mxxdAVA ===


3/1025 mkg=ρ

kNNxxxx

dLBgFF BG

48,059.1480.059.15,10,120,681,91000

....1

===

== ρa. Dalam keadaam terapung, berat benda adalah sama dengan berat air yang dipindahkan benda (FB) :

Jadi berat benda adalah (FG):1059,48 kNb. Mencari sarat (draft) di air laut :

Rapat massa air laut :

NxxxxdLBgFBmak 14126400,20,120,681,91000.... max === ρ

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

Pada kondisi mengapung, berat benda adalah sama dengan gaya apung:

Jadi beban yg dpt didukung adalah:1.412,64-1.059,48= 353,16kN

mxxxLBg

Fd

dLBgFF

G

BG

463,10,120,681,91025

480.059.1...

....

2

2

===

==

ρ

ρ

c. Mencari sarat maksimum (draft max) dmaks = 2,0 m, gaya apung total


gBgVF bbG .... 3 ρρ ==

gdBgB ab ..... 23 ρρ =

3/90010009,0 mkgxb ==⇒ ρSisi kubus : B= 25 cmRapat relatif : S= 0,9

Misalkan tinggi kubus yang terendam air adalah d Gaya apung :

Dalam Keadaan mengapung :FG= FBDalam Keadaan mengapung :FG= FB

gdBgdAF aaB ...... 2 ρρ ==

Berat benda :

mxSBBda

b 225,025,09,0 ====⇒ρρ





223

221

953,13781,990025,0 WWxxWFWWW Gtotal

+=+=

+=+=

NxxgVF airB 281,15381,9100025,0.. 3 === ρ

Jika diatas kubus diberi beban dengan berat W2,maka berat total kubus dan beban adalah:

Apabila kubus terendam seluruhnya, berarti kedalaman kubus yang terendam air adalah d= 0,25m. Gaya apung pada keadaan tersebut :

NWWFW Btotal

328,15281,153953,137

2

2

=⇒=+⇒=

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :


gHAF airB .)1,0(1 ρ−=gHAF mnyakB .)075,0(2 ρ−=

Misal h adalah tinggi balok yang berada di atas permukaan zat cair.

Di dalam air tawar Sa= 1 ⇒ h = 10 cm

Berat balok :

Gaya apung di minyak:

gHAgHAFFFdanFFF

ab

BGBGBG

.)1,0(...121

ρρ −=⇒=⇒==Pada kondisi mengapung,

berat benda adalah sama dengan gaya apung:

Di dalam minyak : Sm = 0,8 ⇒ h = 7,5 cm

Misalkan tinggi balok H dan luas dasar balok A cm2.

Gaya apung di air tawar:

gHAgVF bbG ..... ρρ ==

60800075,0)075,0(

10010001,0.

2

−=−=−=⇒=−=−=

HHHgHAgAHFF

HHH

mmb

mbBG

aab

ρρρρρ

ρρρ

Dengan menyamakan persamaan di atas:

mHHH 20,0608001001000 =⇒−=−Substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan awal :

3/50010020,01000.20,0 mkgx bb =−= ρρ a

5,0/1000

/5003

3

===mkg

mkgSair

balokBalok ρ

ρ


321 _375,075,05,0 mHHxVV ==+

Luas tampang tangki : A= L x B = 1 x 0,5 = 0,5 m2

Atau :

Selain itu, V1= 49V2 sehingga 49V2+ V2= 0,375H

NHHxxxHxx

WWWW t

_795,46051750075,081,910006,133675,081,91000175

21

+=+

+=++=

Berat tangki, air dan air raksa adalah :

Misalkan tinggi tangki adalah H, sedang V1 dan V2 adalah volume air dan air raksa.

Volume air dan air raksa :

312 _3675,00075,0490075,0

50375,0 mHHxVHHV ==⇒==




1,5003795,46051751,50034605175 HddH +

=⇒=+

Bagian tangki yang berada di atas permukaan air adalah 0,2m, berarti bagian yang terendam adalah: mHd 20,0−=

Dengan menyamakan kedua bentuk nilai d di atas didapat :

mHdidapatHH

HH

959,2:795,460517562,10001,5003

1,5003795,46051752,0

=+=−

+=−

a

Gaya apung : FB= A.dair laut.g= 0,5dx1020x9,81= 5003,1d NDalam keadaan mengapung W= FB, sehingga: Jawaban Tugas No 3.10Jawaban Tugas No 3.10

mdOB 2122,02==

ddFdDF BairB 58,70681000..34

..4

22 ==⇒=π

γπ

Berat pelampung : FG = 3 ton

Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder :

mOBOGBG 2878,12122,05,1 =−=−=Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Misalkan bagian dari pelampung yang terendam air adalah d. Gaya apung:

Dalam keadaan mengapung : FG = FB⇒ 3000= 7068,58 d, maka d= 0,4244 m

mOG 5,120,3==

4440 9708,33

6464mxxDI ===

ππ

Volume air yang dipindahkan:

322 0,34244,0344

mxxdDV ===ππ

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

mVIBM 3254,1

0,397608,30 ===

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

Tinggi metasentrum: mBGBMGM 0376,02878,13254,1 =−=−=

Karena GM > 0, berarti pelampung dalam kondisi stabil


BendaG HDF γπ ..4

2=

mOB 2,124,2==

3/80010008,08,0 mkgfxS bendaair

Benda ==⇒== γγγ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar silinder :

Jarak pusat apung terhadap dasar silinder :


Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

mxxHddDHDAir

BendaAirBenda 4,238,0..

4..

422 ====

γγ

γπ

γπ

a

mOG 5,120,3==




4440 9708,33

6464mxxDI ===

ππ

Volume air yang dipindahkan:322 9649,164,23

44mxxdDV ===

ππ


mVIBM 234,0

9646,199761,30 ===


Tinggi metasentrum: mBGBMGM 066,03,0234,0 −=−=−=

Karena GM Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil< 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


gHF BendaG ,..5,0 2 ρ=

HdOB 4,02==


Benda ==⇒== ρρρ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar :

Jarak pusat apung terhadap dasar :

HOBOGBG 1,0=−=Jarak antara pusat berat dan pusat apung:


HHSxHdgdgHAir

BendaAirBenda 8,0....5,0...5,0 22 ====

ρρ

ρρ a

HHOG 5,02

==

Gaya Apung :Gaya Apung : gdF airB ...5,0 2 ρ=

43430 102083,55,0

121..

121 mxxBBI −===


HHxdBV 2,08,05,0 22 ===Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

HHx

VIBM 0260415,0

2,0102083,5 3

0 ===−


Benda akan stabil jika BM > BG :Benda akan stabil jika BM > BG : mHHH

51,01,00260415,0<⇒>

Jadi benda akan stabil apabila tinggi balok maksimum 1,02m


kgfxxLAF BendaG 5128000,164,0.. === γ

mdOB 4,028,0

2===



Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok :

mOBOGBG 1,04,05,0 =−=−=Jadi Jarak antara pusat berat dan pusat apung:


mdd 8,0.640512 == a

mLOG 5,020,1

2===

Luas Tampang lintang balok:264,08,08,0. mxHBA ===

Berat air yang dipindahkan: kgfdxdxdAF AirB _64064,01000.. ===γ




4330 03413,08,08,0

121..

121 mxxHBI ===

Volume air yang dipindahkan:3512,08,064,0. mxdAV ===


mVIBM 06667,0

512,003413,00 ===

Moment inersia tampang bujursangkar yang terpotong muka air:

Tinggi metasentrum: mBGBMGM 03333,01,006667,0 −=−=−=

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil


kgfHxHx

HDF BendaG

_1388,14390045,04

..4

2

2

==

=

π

γπ

HdOB 45,029,0

2===

3/90010009,09,0 mkgxS bendaair


Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar :

Jarak pusat apung terhadap dasar :

HHHOBOGBG 05,045,05,0 =−=−=Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Dalam keadaan mengapung : HddHFF BG 9,00431,1591388,143 === aa

HOG 5,020,1==

Gaya Apung :

kgfdxdxx

dDF AirB

_0431,159100045,04

..4

2

2

==

=

π

γπ

43440 1001289,2)45,0(

6464mxxxDI −===

ππ

Volume air yang dipindahkan:322 _143139,09,0)45,0(

44mHHxxdDV ===

ππ

HHx

VIBM 0140625,0

143139,01001289,2 3

0 ===−


Tinggi metasentrum:

mHHH

53,005,00140625,0⟨⇒⟩

Jadi tinggi silinder maksimum adalah 0,53 m.

Benda akan stabil apabila BM> BG


gghDgVgW .25,0114

..4

.... 22

22

22 πρπ

ρπ

ρρ ====

1

2222 25,01020.

4.

4 ρπρρππ

=== xDdDV

204010202222 ρρ

===x

dOB

Misal W adalah berat benda dan ρ1dan ρ2 adalah rapat massa air laut dan bahan silinder.


Gaya apung :

Pada kondisi mengapung, berat benda (W) adalah sama dengan gaya apung (FB) , sehingga:

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

gdDF B ...4 1

2 ρπ

=

10201

1020....

4.25,0 22

2

11

22

ρρρρ

ρπ

πρ ===⇒= dxhdgdDg a

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder mxhOG 5,0121

21

===

20405,0 2ρ−=−= OBOGBG




4440 64

)1(6464

mxxDI πππ===

22

0 75,63

102025,064

ρπρ

π

===VIBM

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

2050.103014)1020(1020

0050.1301020

13005010202040

75,635,02040

5,075,63

2

2

222

222

2

2

2

2

xxab

−±=

=+−

+=+=⇒

−⟩

ρ

ρρ

ρρρ

ρρ

ρ

Silinder dalam kondisi stabil apabila tinggi metasentrum BM> BG

Didapat:3

23

2 /375,149/624,870 mkgmkg ba =⇔= ρρ

Apabila kedua hasil tersebut disubstitusikan kedalam persamaan1020

2ρ=d

Didapat:

32 /624,8708536,0 mkguntukmd a =⇔= ρ

dan

32 /375,1491464,0 mkguntukmd b =⇔= ρ

Jawaban Tugas No 3.16Jawaban Tugas No 3.16airb

air

balok ρρρρ 7,07,0 =⇒=

LSdOB b5,02==

Rapat relatif silinder kayu : Sb = 0,7.

Gaya apung :

Pada kondisi mengapung, berat benda (FG) adalah sama dengan gayaapung (FB) , sehingga:

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

gdDF aB ...4

2 ρπ

=

LSLdgdDgLD ba

bab ==⇒= ....

4.

422

ρρ

ρπ

ρπ

Jarak pusat apung benda dari dasar silinder

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder LLOG 5,02==

()ΤϕΕΤΘθ362.04 83.3556 4.08 13.44 ρεΩ νΒΤ/Φ3 13.8359 Τφ0.8938 0 0 1 362.04 86.3556 Τµ 13.8359 ΤΛ()bb SLLSLOBOGBG −=−=−= 15,05,05,0

Berat benda : gLDF bG ...4

2 ρπ

=

40 64

xDI π=

LSD

LSD

D

VIBM

bb

164

642

2

4

0 ===π

π

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

()Τϕ/Φ3 11.3906 Τφ1.037 0 0 1 602.28 140.1156 Τµ ()()Τϕ/Φ3 11.3906 Τφ1.037 0 0 1 690.1199 140.1156 Τµ ()

()Τϕ/Φ3 11.3906 Τφ1.037 0 0 1 597.96 113.7156 Τµ ()()Τϕ/Φ3 11.3906 Τφ1.037 0 0 1 680.7599 113.7156 Τµ ()

296,1

7,017,0818

1815,016

2

2

2

2

2

22

⟩

−⟩−⟩

−⟩⇒−⟩

LD

xxSSLD

SSLDSL

SD

bb

bbbb

Silinder akan stabil apabila BM> BG


xLxSDdDV b22

4.

4ππ

==





kNNxxxxHBLggVF BendaBendaG

76704,304,767.38000,16,08,081,9.....

===== ρρ

mdOB 24,0248,0

2===

3/80010008,08,0 mkgxS bendaair

Benda ==⇒== γρρ

Berat benda :

Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :



Dalam keadaan mengapung :

mdd 48,0848,776704,3 == a

mHOG 3,026,0

2===

Berat air yang dipindahkan:

kNdxdxxxdBLgF AirB _848,78,00,181,91000.... === ρ

RAPAT MASSA AIR: ρaRAPAT MASSA BENDA : ρb

RAPAT MASSA AIR: ρaRAPAT MASSA BENDA : ρb

433 042667,08,00,1121..

121 mxxBLI x ===

Volume air yang dipindahkan:3384,048,08,00,1.. mxxdBLV ===


mVIBM 1111,0

384,0042667,00 ===

Moment inersia tampang segi empat :

Tinggi metasentrum: mBGBMGM 0511,006,01111,0 =−=−=Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

433 06667,00,18,0121..

121 mxxLBI y ===

Dari kedua hasil nilai tersebut ambil yang terkecil, yaitu Ix= 0,042667m4

Apabila diatas balok ditempatkan plat setebal T= 0,01 mApabila diatas balok ditempatkan plat setebal T= 0,01 m

Berat plat :

kNNxxxxx

gTBLF PlatGt

616068,0068,61601,08,00,181,9100085,7

....

===

= ρ

Berat total benda :

kNFFW GtG 3831,4616068,076704,3 =+=+=Berat air yang dipindahkan:

kNdxdxxxdBLgF AirB _848,78,00,181,91000.... === ρDalam keadaan mengapung : mddFW B 5585,0848,73831,4 =⇒=⇒=


mdOB 27925,02

5585,02

===

Jarak pusat berat gabungan terhadap dasar Balok dihitung berdasarkan momen statis terhadap dasar balok:

()ΤϕΕΤΘθ258.72 107.1156 3.36 9.96 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 10.5078 Τφ0.9565 0 0 1 258.72 109.3956 Τµ 10.5078 ΤΛ()()Τϕ/Φ3 10.5078 Τφ0.9565 0 0 1 353.88 97.1556 Τµ ()

mOGxxxxxOG

THxFHxFWxOG GtG

34287,001,05,06,0616068,06,05,076704,33831,4

5,05,0

=++=

++=

mOBOGBG 06362,027925,034287,0 =−=−=Volume air yang dipindahkan: 34468,05585,08,00,1.. mxxdBLV ===

mVIBM 0955,0

4468,0042667,00 ===

Tinggi metasentrum:

mBGBMGM 0319,006362,00955,0 =−=−=

Karena tinggi metasentrum bertanda positif, berarti benda dalam kondisi stabil





kNWWW 16006000100021 =+=+=

mdOB 615,0223,1

2===

Berat total kedua benda :

Jarak pusat berat gabungan dan dasar ponton dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

Jarak antara pusat apung dan dasar ponton :

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :mdd 23,18,13001600 == a

()ΤϕΕΤΘθ323.52 333.4356 3.36 9.84 ρεΩ ν0 ΓΒΤ/Φ3 10.5156 Τφ0.9563 0 0 1 323.52 335.7156 Τµ 10.5156 ΤΛ()mxxWW

xOGWxOGWOG 375,31600

5,336005,11000

21

2211 =++

=++

=

Gaya apung: NddNxxxdxxFB _8,1300130080681,910201013 ===

Berat Ponton: W1= 1000 kNBerat Silinder : W2= 600 kN

Dalam gambar, G1 dan G2 adalah pusat berat ponton dan silinder, sedang G adalah pusat berat benda gabungan

4330 3333,10831013

121..

121 mxxBLI ===

Volume air yang dipindahkan:39,15923,11013 mxxV ==

mVIBM 775,6

9,1593333,10830 ===

Moment inersia tampang ponton muka air :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

mOBOGBG 76,2615,0375,3 =−=−=

Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

mBGBMGM 015,476,2775,6 =−=−=Tinggi metasentrum:



mdd 6875,04,392775,269 == a

NWWW 775,26948,78295,19121 =+=+=

mOB 34375,02

6872,0==

Berat total kedua benda :

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :Gaya apung: dxxdxgdAF airB 4,39281,9100004,0... === ρ

S1= 0,5S2= 8,0

a. Stabilitas Benda Terapung3

1 /50010005,0 mkgx ==⇒ ρ3

2 /800010000,8 mkgx ==⇒ ρPanjang benda dg ρ1: L1= 100-2,5= 97,5 cm Panjang benda dg ρ2: L2= 2,5 cm

Luas tampang lintang benda dg A = 0,2x0,2= 0,04 m2

Berat benda 1 NxxxLAgW 295,191975,004,081,9500... 111 === ρ

NxxxLAgW 48,78025,004,081,98000... 222 === ρBerat benda 2

mxx

WWxOGWxOGWOG

36705,048,78295,191

2025,048,78

2975,0025,0295,191

21

2211

=+

+

+

=

++

=

Jarak pusat berat ke dasar O :


mOBOGBG 0233,034375,036705,0 =−=−=Moment inersia tampang lintang benda :

4330 00013333,02,02,0

121.

121 mxxbhI ===

Volume air yang dipindahkan: 30275,06875,004,0. mxdAV ===




mVIBM 00484848,00 ==

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil

mBGBMGM 01845,00233,000484848,0 −=−=−=Tinggi metasentrum:


b. Panjang L1 supaya Benda Terapung stabil

Misalkan L1 Panjang benda dg ρ1 akan dihitung jarak antara pusat berat benda gabungan G dan dasar O.Berat benda 1 NLxLxxLAgW _11111 2,19604,081,9500... === ρBerat benda 2 NxxxLAgW 48,78025,004,081,98000... 222 === ρ

Berat total kedua benda : 48,782,196 121 +=+= LWWW

8,0201,005,0

48,782,196

0125,048,782

025,02,196

1

121

1

11

21

2211

+++

=

+

+

+

=++

=

LLL

L

xLxL

WWxOGWxOGWOG

1,05,04,392

48,782,1964,39248,782,196

11

1

+=+

=

=+

LLd

dL

a

()Τϕ/Φ3 14.4141 Τφ0.7461 0 0 1 703.92 404.3556 Τµ ()1,025,08,02

01,005,01

1

121 +−

+++

=−= LL

LLOBOGBG

()ΤϕΕΤΘθ664.92 438.5556 3.36 12.96 ρεΩ νΒΤ/Φ3 13.3125 Τφ0.7502 0 0 1 664.92 441.4356 Τµ 13.3125 ΤΛ()()ΤϕΕΤΘθ726.84 438.5556 3.36 12.96 ρεΩ νΒΤ/Φ3 13.3125 Τφ0.7502 0 0 1 726.84 441.4356 Τµ 13.3125 ΤΛ()1,025,02,05,05,0 11 +=+= LLxOBJarak pusat apung dari dasar :

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :Gaya apung: dFB 4,392=



()Τϕ/Φ3 16.7773 Τφ0.7462 0 0 1 608.8799 344.8356 Τµ ()()Τϕ/Φ3 16.7773 Τφ0.7462 0 0 1 706.3199 344.8356 Τµ ()2,05,000333333,0

04,02,05,000013333,0

11

0

+=

+==

LLVIBM

()Τϕ/Φ3 11.4063 Τφ1.0356 0 0 1 179.52 230.8356 Τµ ()()Τϕ/Φ3 11.4063 Τφ1.0356 0 0 1 363.96 237.6756 Τµ ()

()Τϕ/Φ3 11.4063 Τφ1.0356 0 0 1 330.84 211.2756 Τµ ()1,025,08,02

01,005,001333,0

1,025,08,012

01,005,004,02,05,0

00333333,0

11

121

11

21

1

+−⟩+

−−−

+−+

++⟩

+

LL

LL

LL

LLL

Benda akan stabil apabila BM> BG

Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi

mLLL

8877,0016666,07,0

1

121

==−−

Benda akan terapung stabil apabila panjang benda dengan rapat massa ρ1 lebih kecil atau sama dengan 0,8877 m


1 /80010008,08,0 mkgxS bendaair


kgfxxFG 27,398000,125,04

21 ==

πBerat benda 1:Misalkan h adalah panjang benda bagian bawah :

Benda bagian atas

32 /000.510000,50,5 mkgxS benda

air


Benda bagian bawah

kgfhxhxFG _437,245500025,04

22 ==

πBerat benda 2:

hFFF GGG 43,24527,3921 +=+=Berat benda total:Berat benda total:




Pusat berat benda gabungan terhadap dasar dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok :

()Τϕ/Φ3 14.4141 Τφ0.9253 0 0 1 227.16 421.8756 Τµ ()

27,39437,245635,1927,39719,122

437,24527,395,0437,2455,027,39

2

2211

2211

+++

=

+++

=

+=

+=

hhhO

hhhxhxO

FxOFxOFO

xOFxOFxOF

G

G

G

GGGGG

GGGGGG

Gaya apung :

kgfdxdxxFB _087,49100025,04

2 ==π

Dalam keadaan mengapung FG= FB sehingga:

8,05087,49

27,39437,245087,49437,24527,39

+=+

=⇒

=+

hhd

dh


4,025,02

+== hdOBJarak antara pusat apung dan pusat berat :

()Τϕ/Φ3 8.6563 Τφ0.9244 0 0 1 706.92 408.4356 Τµ ()

()Τϕ/Φ3 10.5 Τφ0.7621 0 0 1 616.4399 392.9556 Τµ ()()Τϕ/Φ3 8.6563 Τφ0.9244 0 0 1 659.4 392.9556 Τµ ()()Τϕ/Φ3 8.6563 Τφ0.9244 0 0 1 720.3599 392.9556 Τµ ()

8,00,508,02,310

27,39437,245927,308,1578735,490

27,39437,245708,1535,1965926,613635,1927,39719,122

27,39437,24527,39437,2454,05,2635,1927,39719,122

4,05,227,39437,245

635,1927,39719,122

2

2

22

2

2

++−−

=

++−−

=

+−−−++

=

+++−++

=

+−+

++=−=

hhh

hhh

hhhhh

hhhhh

hh

hhOBOGBG

40 ..

641 DI π=

Volume air yang dipindahkan: dDV .4

4π=


8,051090625,3

1090625,325,025,0

3

3

264

464

264

4640

+=

====

−

−

hx

dx

ddDD

VIBM

π

π

π

π

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong air : Benda akan stabil bila BM > GM :

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan: h= 0,02223m= 2,22cm.Jadi supaya benda stabil maka panjang benda bagian bawah minimum adalah 2,22 cm.

007609375,02,31001090625,308,02,310

8,00,508,02,310

8,051090625,3

2

32

23

=+−−

=−+−−

++−−

⟩+

−

−

hhxhh

hhh

hx





LLS

SdSdxDSLxD 5,02

20004

10004

22 ==⇒=ππ

LdOB 25,02==

3/_1000 mkgfSb =⇒ γ


Dalam keadaan mengapung FG= FB, sehingga :

Sb= SSa= 2S

a. Silinder mengapung dengan sumbunya vertikal

3/_2000 mkgfSa =⇒ γ

Berat benda FG SLxDFG 10004

2π= Gaya Apung FB SdxDFB 2000

42π

=

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar : LLOG 5,02==

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

425,025,05,0 LLLLOBOGBG ==−=−=

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :4

0 64DI π

=


dDV .4

2π=

LD

dD

dDD

VIBM

816

22

264

4640 ====π

π

terbuktiDLDLLL

D⇒⟨→⟨→⟩

2248

22

2

Benda akan stabil apabila: BM> BG, sehingga:


b. Silinder ,mengapung dengan sumbunya horisontal

Karena berat jenis silinder (S) adalah setengah berat jenis zat cair (2S), berarti silinder terendam setengah bagiannya (muka air melalui pusat lingkaran).

Dd 5,0=Pusat apung adalah sama dengan pusat berat setengah lingkaran

ππ 32

34 DrPB ==

Jarak Pusat apung dari dasar: π3

22

DDOB −=

Jarak Pusat Berat dari dasar:2DOG =

DL

LDDL

VIBM

2

28

3121

0

32ππ

===

ππ 32

32

22DDDDOBOGBG =

−−=−=



Moment inersia tampang silinder yang terpotong air : 30 12

1 DLI =


LDLDxV .8

.42

1 22 ππ==

Benda akan stabil apabila : BM> BG

DLDLDDL

⟩⇒⟩⇒⟩ 222

32

32

ππ





mHOG 125,02==

mdOB 075,02==

kgfdxdxxLBdF aB _300010003,010. === γ


Bagian balok yang terendam air adalah d.

γp= berat jenis pontonγa= berat jenis air

3/60010006,06,0 mkgfxS pa

p ==⇒== γγγ

Berat benda FG kgfxxxLBHF pG 0,45060025,03,010. === γ

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :


mOBOGBG 05,0075,0125,0 =−=−=

a. Balok tunggal:

Berat air yang dipindahkan :Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat kedalaman: md 15,0

3000450

==

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :

4330 0225,03,010

121

121 mxxLBI ===

Jadi benda dalam keseimbangan netral (akan mengguling)

mxxV

IBM 05,015,03,010

0225,00 ===

005,005,0 =−=−= BGBMGM

Tinggi metasentrum :


b. PONTON

Berat papan di atas balok diabaikan. Momen inersia total terhadap sumbu ponton,

()ΤϕΕΤΘθ178.2 234.3156 3.24 15.24 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 15.9141 Τφ0.6137 0 0 1 178.2 237.7956 Τµ 15.9141 ΤΛ()()ΤϕΕΤΘθ302.28 234.7956 3.24 14.76 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 13.1172 Τφ0.7445 0 0 1 302.28 237.7956 Τµ 13.1172 ΤΛ()[ ]()Τϕ/Φ3 13.1172 Τφ0.7445 0 0 1 217.32 220.7556 Τµ ()[ ] 42

22

26,145,03,0100225,02

3,05,06,05,022

mx

xxLxBxIAXII t

=+=

++=+=

Bagian balok ponton yang terendam air adalah d= 0,15 m, (karena berat papan diabaikan) .Volume air yang dipindahkan: 39,015,03,0102..2 mxxxdAV ===

mVIBM t 40,1

9,026,1

===Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :Jarak pusat apung ponton dan pusat berat ponton terhadap dasar balok ponton adalah sama dengan kondisi a, sehingga:

mOBOGBG 05,0075,0125,0 =−=−=

stabilmBGBMGM →=−=−= 35,105,040,1Tinggi metasentrum :

c. Apabila di atas PONTON terdapat beban seberat Wb= 750 kgf.

Berat ponton :Wp= 2FG= 900 kgf

Berat ponton :dan beban :Wpb= 900 + 750= 1.650 kgf

Setelah ada beban, bagian balokponton yang terendam airAdalah d1.

()Τϕ/Φ3 13.4688 Τφ0.7443 0 0 1 648.6 85.8756 Τµ ()mOGxxxOGxOGWxOGWxOGW bppb

4091,05,025,075025,05,0900650,121

=⇔++=

+=

mdOB 1375,02275,0

2===

kgfdxxdxxFB _600010003,0102 11 ==


Jarak antara pusat Berat dihitung dengan momen statis terhadap titik 0 :

Berat air yang dipindahkan :Kedalaman balok ponton yang terendam air : md 275,0

60001650

1 ==




Jarak pusat apung dan pusat berat :

mOBOGBG 2716,01375,04091,0 =−=−=

mVIBM 7732,0

6296,126,10 ===


Karena balok ponton tidak tenggelam maka momen inersia sebelum dan sesudah ada beban adalah sama:

Volume air yang dipindahkan: 36296,12716,03,0102..2 mxxxdAV ===

Tinggi metasentrum:mBGBMGM 5016,02716,07732,0 =−=−=

426,1 mI t =

PONTON TETAP STABI L


mLOG 0,22==

mdOB 2828,02

5655,02

===Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Gaya apung :

Berat Silinder : kNFG 40=

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :


mOBOGBG 7172,12828,00,2 =−=−=

a. Menyelidiki stabilitas benda :a. Menyelidiki stabilitas benda :

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat kedalaman: mddFBFG 5655,073,7040 =⇒=⇒=

()Τϕ/Φ3 12.2539 Τφ0.7458 0 0 1 649.3199 455.1156 Τµ ()

kNddN

xxdx

gdDFB

_730,70730.70

81,9020,134

42

2

==

=

=

π

ρπ

Moment inersia tampang lintang benda yang terpotong air :

()Τϕ/Φ3 14.6563 Τφ0.8015 0 0 1 268.2 234.3156 Τµ ()4440 97608,33

6464mxDI ===

ππ

Tinggi metasentrum adalah negatif, jadi benda dalam kondisi tidak stabil. Berarti benda tidak bisa mengapung dengan sumbu panjangnya vertikal.

mVIBM 9947,0

9973,397608,30 ===

mBGBMGM 7225,07172,19947,0 −=−=−=Tinggi metasentrum :



()Τϕ/Φ3 14.5352 Τφ0.7434 0 0 1 244.56 201.3156 Τµ ()32 9973,35655,034

. mxxdAV ===π

()Τϕ/Φ3 11.2891 Τφ0.7465 0 0 1 593.7599 164.5956 Τµ ()()ΤϕΕΤΘθ699.48 167.3556 2.7599 10.68 ρεΩ νΒΤ/Φ3 11.2891 Τφ0.7465 0 0 1 699.48 169.8756 Τµ 11.2891 ΤΛ()730.70

000.40730.70000.40 PddP +=⇒=+

()ΤϕΕΤΘθ687.6 146.9556 2.88 10.8 ρεΩ ν0 ΓΒΤ/Φ3 11.5273 Τφ0.7461 0 0 1 687.6 149.4756 Τµ 11.5273 ΤΛ()mPdOB460.141

000.402

+==Jarak antara pusat apung dari

dasar :

Gaya apung :

Misalkan P adalah gaya tarik yang bekerja pada rantai di pusat dasar pelampung. Berat benda dan gaya tarik P adalah:

()ΤϕΕΤΘθ563.4 229.9956 3.48 13.56 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 13.9414 Τφ0.747 0 0 1 563.4 232.9956 Τµ 13.9414 ΤΛ()NPPFG +=+ 000.40

b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik:b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik:

Dalam keadaan mengapung, maka FB= FG+ P :

()Τϕ/Φ3 12.2383 Τφ0.7463 0 0 1 605.16 215.4756 Τµ ()

kNddN

xxdxgdDFB

_730,70730.70

81,9020,1344

22

==

==π

ρπ

Dalam keadaan gaya tarik di 0, letak pusat berat berubah. Letak pusat Berat dihitung berdasarkan momen terhadap titik 0.

()ΤϕΕΤΘθ512.52 105.1956 3.72 10.56 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 10.8359 Τφ1.0492 0 0 1 512.52 107.5956 Τµ 10.8359 ΤΛ()

()Τϕ/Φ3 10.8359 Τφ1.0492 0 0 1 528.48 89.9556 Τµ ()P

OGxxOGP

PxFGxOGxOGPF G

+=⇒+=+

+=+

4000080000024000040000

01




Jarak pusat berat benda dan gaya tarik P terhadap dasar adalah:

()ΤϕΕΤΘθ330.48 481.6356 4.08 15.12 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 16.2539 Τφ0.7465 0 0 1 330.48 485.1156 Τµ 16.2539 ΤΛ()141460

4000040000

80000 PP

OBOGBG +−

+=−=


()Τϕ/Φ3 14.5352 Τφ0.7432 0 0 1 354.6 439.9956 Τµ ()PxPxdAV +=+

== − 40000109938,970730

4000034

. 52π

()Τϕ/Φ3 15.2695 Τφ0.8016 0 0 1 286.8 381.4356 Τµ ()PPxVIBM

+=

+== − 40000

47,785.3940000109938,9

97608,35

0

Moment inersia tampang lintang benda setelah adanya gaya tarik P adalah sama dengan sebelum adanya gaya tarik, yaitu = 3,97608m4

Benda akan stabil apabila BM> BGBenda akan stabil apabila BM> BG

460.14140000

40000000.80

4000047,785.39 P

PP+

−+

⟩+

Jadi gaya tarik minimum yang harus diberikan adalah P = 35,4238 kN

kNNPP 4238,358,423.358,423.7540000 =⟩⇒⟩+

()ΤϕΕΤΘθ533.52 444.0756 4.08 14.28 ρεΩ νΒΤ/Φ3 15.2695 Τφ0.8021 0 0 1 533.52 447.4356 Τµ 15.2695 ΤΛ()P

P+

⟩+

4000053,214.40

460.14140000

()ΤϕΕΤΘθ534.72 412.1556 4.08 16.8 ρεΩ νΒΤ/Φ3 15.2109 Τφ0.8052 0 0 1 534.72 415.5156 Τµ 15.2109 ΤΛ()53,214.40460.14140000 2 xP ⟩+


αα htgDh

Dh

Dtg 22

2/ ***

=⇒==

αα htgDh

Dh

Dtg 22

2/=⇒==

ghxxDFG 12

31

4ρ

π=

h : tinggi kerucutD: diameter dasar kerucutα: setengah sudut puncak kerucutd: bagian kerucut yang terendam airρ1: rapat massa kerucutρ2: rapat massa air

Misalkan:

Berat Kerucut :

()Τϕ/Φ3 13.9219 Τφ0.7436 0 0 1 238.32 93.7956 Τµ ()gxtghgxhxxtgh 123

12

31

31.2

4ραπρα

π==

gtgdFB 223 ..

31

ραπ

=

Berat air uyang dipindahkan dihitung dengan cara yang sama seperti di atasUntuk kedalaman air yang dipindahkan benda sebesar d.

Supaya benda mengapung FB= FG:

gtghgtgd 123

223 ..

31..

31

ραπραπ

=

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⇒=

2

13

2

13 31

.ρρ

ρρ denganSShdhd

31

43

43 hSdOB ==Jarak pusat apung dari puncak kerucut O :

Jarak pusat berat dari puncak kerucut:Jarak pusat berat dari puncak kerucut: hOG43

=

()ΤϕΕΤΘθ729.3599 106.0356 3.36 20.28 ρεΩ ν0 ΓΒΤ/Φ3 19.6484 Τφ0.5081 0 0 1 729.3599 110.3556 Τµ 19.6484 ΤΛ()31

143 ShOBOGBG −=−=Jarak antara pusat berat dan pusat apung:Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Diameter lingkaran pada permukaan air : D’= 2d.tg.α




Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

()ΤϕΕΤΘθ210.96 472.2756 3.96 21.48 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 17.7813 Τφ0.6608 0 0 1 210.96 476.2356 Τµ 17.7813 ΤΛ()()Τϕ/Φ3 14.6563 Τφ0.8016 0 0 1 289.56 476.2356 Τµ ()απ

αππ 4444*

0 .4

.26464

tgdtgdxDI ===

ααα

π

π2

233

4440

43 dtg

tgdtgd

VIBM ===

Oleh karena tgα= D/2h dan d= h.S1/3, maka

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :


αππ

ρ23

2 3tgd

gFV B ==

hSD

hDShBM

163

4.

43 3

1

31

2

2

2

==

Untuk kesetimbangan stabil, BM =BG :

()ΤϕΕΤΘθ584.4 476.4756 4.32 28.56 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 23.8594 Τφ0.545 0 0 1 584.4 481.6356 Τµ 23.8594 ΤΛ()()Τϕ/Φ3 23.8594 Τφ0.545 0 0 1 675.6 470.2356 Τµ ()31

31

313

1

1411

43

163 2

22

SSDhSh

hSD

−≤⇒−≥

2

2

41 3

131

hDSS ≤−

()ΤϕΕΤΘθ654.72 414.0756 4.32 19.68 ρεΩ ν0 ΓΒΤ/Φ3 19.7188 Τφ0.6592 0 0 1 654.72 418.3956 Τµ 19.7188 ΤΛ()αα 22 111 31

31

31

tgStgSS +≤→≤−

()Τϕ/Φ3 14.2578 Τφ0.8018 0 0 1 665.7599 382.8756 Τµ ()8830,0

36397,011

2011

11

202231

=+

=+

=+

≥tgtg

Sα

6885,0≥SJadi supaya kerucut stabil maka rapat relatif kerucut adalah S=0,6885


αα htgDh

Dh

Dtg 22

2/=⇒==

h : tinggi kerucutD: diameter dasar kerucutD’: diameter tampang kerucutd: kedalaman kerucut yang terendam air2α: sudut puncak kerucut

Misalkan:

322

22

311

11

/90010009,0

9,0

/70010007,0

mkgxxS

S

mkgxxS

S

air

air

air

air

===

==

==

=

=

ρρ

ρρ

ρρρρ

Berat Kerucut :

()Τϕ/Φ3 12.8633 Τφ0.7449 0 0 1 611.7599 236.3556 Τµ ()gtgxhghhtggxhxDW ..31..

312

41..

31

4 123

12

12 ραραπρ

π

===

gtgxdFB ..31

223 ρα

=

Berat zat cair yang dipindahkan :

Oleh karena benda mengapung, maka FB= FG, sehingga:

13

23

123

223 ..

31..

31

ρρραπραπ hdgtghgtgd =⇒

=

31

2

1

=

ρρhd




31

2

1

43

43

==

ρρhdOBJarak pusat apung dari puncak kerucut O :

Jarak pusat berat dari puncak kerucut: hOG43

=

−=

−=−=

31

31

2

1

2

1 143

43

43

ρρ

ρρ hhhOBOGBG

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

()ΤϕΕΤΘθ210.96 373.3956 3.96 21.48 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 17.7813 Τφ0.6608 0 0 1 210.96 377.3556 Τµ 17.7813 ΤΛ()()Τϕ/Φ3 14.6563 Τφ0.8016 0 0 1 289.56 377.3556 Τµ ()απ

αππ 4444*

0 .4

.26464

tgdtgdxDI ===


αππ

ρ

ραππ

ρ23

2

223

2 33 tgd

g

gtgd

gFV B =

==

ααα

π

π2

233

4440 .

43 tgd

tgdtgd

VIBM ===


Agar benda dalam kesetimbangan stabil, titik metasentrum M harus di atas atau berimpit dengan G : BM=BG .

−≥

31

2

12 143.

43

ρρ

α htgd

−≥

31

31

2

12

2

1 143

43

ρρ

αρρ htgh

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2Jadi sudut puncak kerucut adalah 2αα= 32,94= 32,9400= 32 = 32 00 5656’’

31

31

31

31

2

1

2

1

2

2

12

2

1

1

1

−

≥⇒

−≥

ρρ

ρρ

αρρ

αρρ tgtg

02 47,1608738,0

900700

9007001

31

31

=⇒≥

−

≥ ααtg


mWdOB75,15794

35002

+==Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Gaya apung :

Berat Pelampung :

NFG 3500=

Pada kondisi mengapung, maka FB= FG+ W, sehingga:

375,789735003500375,7897 +

=⇒+=WdWd

()Τϕ/Φ3 12.2695 Τφ0.7447 0 0 1 650.4 200.5956 Τµ ()

d

xxxdx

gdAFB

375,7897

81,91000025,114

...2

=

=

=π

ρ

Berat Beban = W.Berat Pelampung dan Beban = (W+ 3500) .




Jarak antara pusat Berat dan beban terhadap dasar dihitung berdasarkan momen statis terhadap titik 0,:

()ΤϕΕΤΘθ155.52 475.6356 3.72 14.28 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 14.7813 Τφ0.7467 0 0 1 155.52 478.8756 Τµ 14.7813 ΤΛ()()ΤϕΕΤΘθ289.68 475.6356 3.72 14.28 ρεΩ ν0 γ0 ΓΒΤ/Φ3 14.7813 Τφ0.7467 0 0 1 289.68 478.8756 Τµ 14.7813 ΤΛ()()Τϕ/Φ3 14.7813 Τφ0.7467 0 0 1 161.88 461.9556 Τµ ()()Τϕ/Φ3 14.7813 Τφ0.7467 0 0 1 331.08 461.9556 Τµ ()

75,794.153500

350025,15,1312

350025,15,1312

5,075,075,05,0350035005,02

+−

++

=−=

++

=

++=+++=+

WW

WOBOGBG

WWOG

WxxxOGWHWFGxOGxOGFGW

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong muka air :

()Τϕ/Φ3 19.5 Τφ0.8009 0 0 1 244.8 353.8356 Τµ ()4440 0490874,01

6464mxDI ===

ππ

35005861,493

25,055.103500

049087,00

+=

+==

WWVIBM



()Τϕ/Φ3 14.5195 Τφ0.7439 0 0 1 596.04 479.3556 Τµ ()25,055.10

3500375,7897

350014

. 2 +=

+==

WWxxdAV π

Benda akan stabil apabila BM> BGBenda akan stabil apabila BM> BG

75,794.153500

350025,15,1312

35005861,493 +

−++

⟩+

WW

WW

75,794.153500

350025,1914,818 +

⟩+

−− WW

W

09,541.6844,743.122 =−− WW

()ΤϕΕΤΘθ314.64 249.3156 4.08 16.8 ρεΩ νΒΤ/Φ3 15.3086 Τφ0.7992 0 0 1 314.64 252.6756 Τµ 15.3086 ΤΛ()235004,743.199,541.934.12 +⟨+ WW

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :

NW 796.121 =

NW 5,532 −=

Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga benda dalam kondisi stabil adalah benda dalam kondisi stabil adalah W = 12.796 NW = 12.796 N

Jawaban Tugas No 3.27Jawaban Tugas No 3.27Berat muatan : Wm= 150kN= 150x103 N

Berat Kapal : W = 15 MN = 15 x 106 N

Lebar Kapal : B = 8,4 m.

Panjang Kapal : L= 60 m

Jarak bergesernya muatan : l = 4 m

Kemiringan sudut : α = 300

kNmxM 60041500 ==Momen yang menyebabkan goyangan:




Momen tersebut menyebabkan bergesernya titik tangkap W dan G ke G’. Karena berat muatan jauh lebih kecil dari berat kapal maka berat tersebut diabaikan terhadap kapal.

7643,03sin1015

6003sin1015600

3sin1015sin

03

0310

031

==

=⇒=

−==

xGMxGM

xGMxMMmkNxGMxWxGMM α

Bergesernya titik tangkap menyebabkan Moment :

300 12

172,0%72 LBxsegiempatxII ==

Jadi tinggi Jadi tinggi metasentrum metasentrum adalah 0,7643 madalah 0,7643 m

Karena tinggi metasentrum GM positif berarti kapal dalam kondisiKarena tinggi metasentrum GM positif berarti kapal dalam kondisi stabilstabil

Untuk mencari posisi pusat berat dihitung jarak BM:VIBM 0=

Mencari momen inersia tampang kapal pada muka air:

430 73,21334,860

12172,0 mxxI ==

mBM 4303,176,149173,2133

==



36

76,149181,91025

1015.

mx

xg

WV ===ρ

Oleh karena pusat apung terletak pada 1,5 m (BP) di bawah muka aOleh karena pusat apung terletak pada 1,5 m (BP) di bawah muka air ir maka titik metasentrum:maka titik metasentrum:

mBMBPPM 07,043,15,1 =−=−=Jadi titik metasentrum M berada pada 0,07 m di bawah muka air :Jadi titik metasentrum M berada pada 0,07 m di bawah muka air :

mGMPMPG 8343,07643,007,0 =+=+=Jadi Pusat berat berada pada 0,8343 m di bawah muka air :Jadi Pusat berat berada pada 0,8343 m di bawah muka air :


tonFGFG

6,1746,216,214

1

1

=−==+

Gaya apung :

Berat Ponton : FG1

41 += GB FF

a. MENYELI DI KI STABI LI TAS BENDA :a. MENYELI DI KI STABI LI TAS BENDA :

Dalam keadaan mengapung, maka FB= FG, sehingga :

tonkgfxxxFB

6,21600.2110006,066==

=

Berat beban : 4 tonBerat Total :

Jarak pusat apung dari dasar :

mxOB 3,06,05,0 ==Pusat berat benda dan beban terhadap dasar dihitung dengan momenstatis terhadap dasar :

()Τϕ/Φ3 13.1094 Τφ0.7463 0 0 1 237.12 103.2756 Τµ ()mxxO

FxOFxOFOxOFxOFxOF

G

G

GGGGGGGGGGG

9333,06,21

2,12,10,46,06,17

22112211

=++

=

+=⇔+=


mOBOGBG 6333,03,09333,0 =−=−=Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air :

()Τϕ/Φ3 14.6563 Τφ0.8008 0 0 1 644.28 214.7556 Τµ ()4430 1086

121

121 mxBBI ===

mVIBM 0,5

6,211080 ===

mBGBMGM 3667,463333,00,5 =−=−=Tinggi metasentrum :


Volume air yang dipindahkan: 36,216,066 mxxV ==

Karena GM Karena GM > 0 berarti benda dalam kondisi stabil> 0 berarti benda dalam kondisi stabil




726,17

22 +==

WdOBJarak antara pusat apung dari dasar :

Gaya apung :

Beban maksimum adalah:W2 Berat Beban + ponton : FG= 17,6 + W2

b. MENGHI TUNG BEBAN MAKSI MUM:b. MENGHI TUNG BEBAN MAKSI MUM:

tondkgfdxdxxFB _36_000.3610000,60,6 ===

366,176,1736 2

2+

=⇒+=⇒=WdWdFBFG

Jarak pusat berat dari dasar : 6,17

56,104,26,17

4,26,06,17

2

2

2

2

++

=++

=WW

WxWxOG


726,17

6,1756,104,2 2

2

2 +−

++

=−=W

WWOBOGBG

Moment inersia tampang balok yang terpotong muka air : 40 108mI =


6,1736

6,173636 22 +=+

== WWxxdV

6,17108

2

0

+==

WVIBM


Benda akan stabil apabila Benda akan stabil apabila BM> BGBM> BG

726,17

6,1756,104,2

6,17108 2

2

2

2

+−

++

⟩+

WWW

W

Dari persamaan tersebut tidak memberikan nilai WDari persamaan tersebut tidak memberikan nilai W2 2 yang berarti tidakyang berarti tidakAda beban maksimum yang memenuhi persamaan tersebut.Ada beban maksimum yang memenuhi persamaan tersebut.Beban maksimum lebih ditentukan oleh tenggelamnya ponton daripadBeban maksimum lebih ditentukan oleh tenggelamnya ponton daripadaaTergulingnya. Beban maksimum yang dapat didukung adalah bebanTergulingnya. Beban maksimum yang dapat didukung adalah bebanYang menyebabkan ponton tenggelam, yang besarnya adalah :Yang menyebabkan ponton tenggelam, yang besarnya adalah :

726,17

6,1756,104,2108 2

2

2 +−⟩

+−− W

WW

()ΤϕΕΤΘθ701.4 382.1556 4.08 16.8 ρεΩ νΒΤ/Φ3 18.5781 Τφ0.6589 0 0 1 701.4 386.3556 Τµ 18.5781 ΤΛ()76,3092,358,17268,7015 22

22 ++−⟩− WWW044,73256,137 2

22 =+− WW

tonWxxxW _6,2510002,1666,17 22 =⇔=+Untuk mengetahui kebenaran dari pernyataan tersebut, maka beban Untuk mengetahui kebenaran dari pernyataan tersebut, maka beban WW22 = 25,6 ton digunakan untuk menghitung kondisi stabilitas ponton= 25,6 ton digunakan untuk menghitung kondisi stabilitas ponton..Dengan beban tersebut kondisi ponton adalah sebagai berikut ini.Dengan beban tersebut kondisi ponton adalah sebagai berikut ini.

mWOB 6,072

6,176,2572

6,172 =+

=+

=Jarak antara pusat apung dari dasar :Jarak antara pusat apung dari dasar :

Jarak pusat berat dari dasar :

mxWOG 667,16,176,25

56,104,26,25 2 =+

+=


mOBOGBG 067,16,0667,1 =−=−=

mWV

IBM 5,26,17

108

2

0 =+

==


mBGBMGM 433,1067,15,2 =−=−=Tinggi metasentrum :

Jadi pontonJadi ponton dalam kondisi stabil, tetapi hampir dalam kondisi stabil, tetapi hampir tenggelam.tenggelam.



keseimbangan benda terapung - · pdf filebenda yang terpotong permukaan zat cair v = volume...

Documents