KERJA DAN ENERGIGaris melengkung pada gambar melukiskan jejak

partikel bermassa m yg bergerak dlm bidang xy dan disebabkan oleh gaya resultan F yang besar dan arahnya dpt berubah-ubah dari titik ke titik diatas lintasan itu. Gaya diuraikan menjadi komponen Fs disepanjang lintasan itu dan komponen FN normal terhadap lintasan

dsV

Fs

F

FN

0

x

y

s

Komponen FN tegak lurus terhadap kecepatan V, merupakan gaya sentripetal dan efeknya hanya mengubah arah kecepatan. Efek komponen Fs mengubah besar kecepatan. Andaikan s ialah jarak yg diukur dari titik tertentu 0 disepanjang lintasan. Besar Fs adalah fungsi dari s. Berdasarkan hukum Newton kedua:

Gunakan dalil rantai:

maka diperoleh:

dtdVmFs

dsdVV

dtds

dsdV

dtdV

mVdVdsFdsdVmVF

s

s

Kalau V1 merupakan kecepatan bila s = s1 dan V2 bila s = s2, maka:

Integral pada ruas kiri disebut usaha W yg dilakukan oleh gaya F antara titik s1 dan s2 :

Integral pada ruas kanan pers.(4.1)dapat dihitung:

Setengah hasil kali massa partikel dengan kuadrat besar kecepatan disebut Energi kinetik Partikel (Ek):

)1.4(2

1

2

1

V

V

s

ss mVdVdsF

dsFWs

ss .

2

1

212

1222

12

1

. mVmVdVmVV

V

221 mVEk

KerjaUsaha telah dilakukan,kalau ada gaya yang dikerjakan terhadap sebuah benda sedangkan pada waktu yg sama benda itu bergerak sedemikian rupa sehingga gaya tsb mempunyai komponen disepanjang garis gerak titik tangkapnya. Apabila komponen gaya sama arahnya dengan arah perpindahan usaha disebut Positif, kalau berlawanan usaha dikatakan Negatif.Rumus usaha suatu gaya:

)3.4(cos.2

1

2

1

s

s

s

s

dsFdsFW

θF

F cos θ

y

x

s

Dlm sistem MKS satuan usaha (kerja) adalah Newton meter yang disebut Joule.Dlm sistem inggris satuan usaha adalah foot pound (ft.lb)

Contoh :Seorang anak menarik balok berat 10 lb sejarak 30 ft sepanjang permukaan horisontal dengan kelajuan konstan. Berapa kerja (usaha) yang dilakukan terhadap balok bila koefisien gesek kinetis 0,2 dan ia menarik balok dengan sudut 45o terhadap bidang horisontal ?

θ

s

θ

NPP

w

kf x

Solusi:Dari Hukum Newton II :

Dari kedua persamaan diatas terdapat 2 besaran yang tidak diketahui. Untuk mencari P kita eliminasi fk dan N dari 3 persamaan diatas dan diperoleh:

Kerja yg dilakukan oleh anak tersebut:W = P. s cosθ = 2,36.30.0,707 = 50,1 ft.lb

)3(.)2(0sin

)1(0cos

0

NfwNP

danfP

F

kk

k

lbwPk

k 36,2)707,0.2,0707,0(

10.2,0)sin(cos

.

Kerja yang dilakukan oleh gaya yang berubah

Kerja yang dilakukan oleh gaya tidak konstan, gaya yang berubah hanya besarnya saja. Andaikan Gaya berubah terhadap posisi F(x) dan arah gaya searah dengan arah gerak x.

F(x)

xΔxx1 x20

Pergeseran x dibagi menjadi sejumlah interval kecil yang sama Δx. Pikirkan pergeseran yg kecil Δx dari x1 sampai dengan x1 + Δx.

Selama pergeseran yg kecil ini gaya F hampir mempunyai harga yg konstan dan kerja yg dilakukan W :

W= F.ΔxF adalah besar gaya pada x1. Begitu pula pergeseran kecil dari x1 + Δx hingga x1 + 2Δx, gaya F hampir konstan dan kerja yang dilakukan:

W = F.ΔxF adalah gaya pada x1 + Δx.

Kerja total yang dilakukan F selama pergeseran x1 hingga x2, W12 adalah jumlah dari masing-masing kerja dalam interval Δx, dengan F mempunyai harga yg berbeda dalam interval Δx.

Untuk membuat pendekatan yg lebih baik, kita dapat membagi pergeseran dari x1 hingga x2 menjadi interval yg lebih halus lagi, sehingga gaya F pd permulaan interval adalah harga yg sungguh-sungguh mewakili interval tsb. Pendekatan ini akan lebih baik bila interval Δx mendekati nol dan jumlah interval banyaknya tak terhingga atau:

2

1

.12

x

x

xFW

)4.4(..lim2

1

2

1012

x

x

x

xxdxFxFitW

Energi KinetikEnergi kinetik partikel adalah setengah perkalian antara massa dan kelajuan kuadrat, maka:

Andaikan resultan gaya yg bekerja harga berubah besarnya saja dan arahnya ke sumbu x. Kerja yg dilakukan resultan gaya untuk menggerakkan partikel dari xo hingga x adalah:

Dari Hukum Newton II, F = m.a, dan percepatan a :

sehingga:

)5.4(221 mVEk

x

x

dxFsdFW0

..

dxdVVV

dxdV

dtdx

dxdV

dtdVa ..

202

1221

000

. mVmVmVdVdxdxdVmVdxFW

V

V

x

x

x

x

Gaya Konservatifcontohnya pada sebuah bola yg dilempar vertikal keatas , dimana kemampuan bola selama gerakan pergi pulang untuk melakukan kerja sama.

Bila gaya adalah konservatif : kerja yg dilakukan pada lintasan tertutup = 0, sehingga:WAB,1 + WBA,2 = 0 atau WAB,1 = - WBA,2

A

B

A

B1

21

2

Berarti kerja dari A ke B sepanjang lintasan 1 adalah negatif kerja dari B ke A sepanjang lintasan 2. Bila kita bergerak dari A ke B sepanjang lintasan 2 akan diperoleh: WAB,2 = -WBA,2 sehingga WAB,1 = WAB,2

atau kerja yg dilakukan pada partikel oleh gaya konservatif tidak tergantung lintasan.

Gaya Konservatif: bila kerja yg dilakukan selama gerakan dari 2 titik yang tetap tidak tergantung lintasan, hanya tergantung pada keadaan awal dan akhir dari dua titik.

Energi Potensial GravitasiSebuah benda bermassa m dan beratnya w = m.g bergerak vertikal (spt gambar a)

y

y2

y1

w

P

y2

y1

P

w w

dyds

θφ

(a) (b) (c)

P adalah resultan semua gaya yg bekerja terhadap benda itu. W’ adalah usaha semua gaya-gaya ini. Arah gravitasi w berlawanan dengan perpindahan ke atas, dan usaha gaya ini:

Misalkan benda itu mulai bergerak dari ketinggian yg sama y1 tetapi menuju y2 menuruti suatu lintasan (gambar (b)), gambar (c) merupakan gambar pembesaran dari bagian kecil lintasan. Usaha gaya gravitasi adalah:

Andaikan φ merupakan sudut antara ds dan komponen vertikalnya dy. Maka dy = ds cos φ, karena φ= 180o-θ,maka: cos φ=-cos θ dan cos θ ds = -dy, maka:

)6.4()()( 1212 mgymgyyywWgrav

2

1

coss

sgrav dswW

)7.4()()( 1212

2

1

mgymgyyywwdyWy

ygrav

Karena usaha total sama dengan perubahan energi kinetik, maka:

ruas kiri hanya mengandung gaya P. suku-suku dlm ruas kanan hanya bergantung pd keadaan akhir dan permulaan gerak benda itu dan tidak tergantung pd lintasannya . Besaran mgy disebut Energi potensial gravitasi.

Persamaan (4.8) dpt juga ditulis:

)8.4()()('

)()('

'

12212

1222

1

212

1222

112

12

mgymgymVmVW

mVmVmgymgyW

EEWW kkgrav

)9.4()()(' 1212

12

222

1 mgymVmgymVW

Jumlah energi kinetik dan potensial benda itu disebut Energi Mekanik. Jadi usaha semua gaya yg bekerja pada benda, kecuali gaya gravitasi sama dengan perubahan jumlah energi mekanik benda itu. Kalau W’ positif energi mekaniknya bertambah, kalau W’ negatif energi mekaniknya berkurang.

Dlm hal khusus, dimana pada benda hanya ada gaya gravitasi, usaha W’ adalah nol. Maka pers. (4.9) dpt ditulis:

maka dalam kondisi ini, jumlah energi mekanik tetap konstan atau kekal. Ini merupakan kejadian khusus asas kekekalan energi mekanik.

1212

12

222

1 mgymVmgymV

Contoh: sebuah benda menuruni sebuah jalur lengkung yg merupakan salah satu kuadran sebuah lingkaran berjari-jari R. Jika benda itu mulai bergerak dari keadaan diam dan tidak ada gesekan, tentukanlah kecepatannya pada dasar jalur itu.

1R N

w

2

0

Ketinggian patokan

Solusi:Jika tidak ada gesekan, satu-satunya gaya disamping gaya berat itu hanyalah gaya normal N saja, yg dilakukan oleh jalur terhadap benda. Usaha gaya ini adalah nol. Sehingga W’ = 0, dan energi mekaniknya kekal.

Bila sebuah benda bermassa 0,5 kg meluncur menuruni sebuah jalur berjari-jari R = 1 m(spt gambar diatas), sedangkan kecepatan di dasar jalur 3 m/s. Berapa usaha gaya gesekan dilakukan terhadap benda.

gRV

mgRmV

EEEE pkpk

2

00

2

222

1

1122

Solusi:dalam hal ini, W’ = Wf , dan :

Jadi usaha gaya gesekan adalah – 2,65 J dan energi mekanik total berkurang sebesar 2,65 J. Energi mekanik benda tidak kekal bila ada gaya gesekan yg bekerja pada benda itu.

JW

mgymgymVmVW

f

f

65,29,425,2)1.8,9.5,00()03.5,0.(

)()(2

21

12212

1222

1

Energi Potensial ElastikSebuah benda bermassa m dilekatkan pegas diatas permukaan bidang datar.

m

m

x

PF(F=kx)

(a)

(b)

Bila pegas mulai memanjang , suatu gaya F di dalam pegas itu yang berlawanan arahnya dengan arah pertambahan panjang x , oleh karena itu berlawanan dengan arah P.Gaya F dinamakan gaya Elastik. Menurut hukum Hooke:

F = k x (4.10)dimana: k = konstanta gaya atau koefisien kekakuan.

Usaha gaya elastik Wel, dlm tiap proses dimana pegas diregangkan dari x1 ke x2 :

2

1

cos.x

xel dxFdsFW

Karena arah F berlawanan dengan arah dx, cos θ = -1, maka:

Andaikan W’ adalah usaha gaya P yg dikerjakan. Maka dengan membuat usaha total sama dengan energi kinetik benda, diperoleh:

Dimana :Ep(elestik) = ½ kx2

)( 212

1222

1

2

1

kxkxW

dxxkW

el

x

xel

)11.4()()('

)()('

'

212

1222

1212

1222

1

212

1222

1212

1222

1

kxkxmVmVW

mVmVkxkxW

EWW kel

Persamaan (4.12) dapat juga ditulis:

Jumlah energi kinetik dan potensial benda sama dengan energi mekanik totalnya dan usaha semua gaya-gaya yg bekerja pada benda itu, dengan pengecualian gaya elastik, sama dengan perubahan energi mekanik total benda.Jika usaha W’ positif, energi mekanik bertambah. Jika W’ negatif ia berkurang. Dalam kejadian khusus dimana W’=0, energi mekanik tetap konstan atau kekal.

)()(' 212

1212

1222

1222

1 kxmVkxmVW

Contoh :suatu pegas mempunyai konstanta gaya k 24 N/m, massa benda 4 kg. Benda mula-mula diam dan pegas mula-mula tidak regang. Suatu gaya P sebesar 10 N dilakukan kepada benda itu dan tidak ada gesekan. Berapa kecepatan benda apabila bergerak 0,5 m?solusi:

smVxxVxx

kxkxmVmVW

EEW pk

/1)05,024()04(5,010

)()('

'

2

2212

221

212

1222

1212

1222

1

Dayaadalah usaha yg dilakukan persatuan waktu.Bila usaha sejumlah ΔW dilakukan dalam selang waktu Δt, daya rata-rata P didefinisikan :

Daya sesaat P :

tWP

dtdW

tWP

t

0lim

Sebuah balok yg beratnya 16 lb didorong sejauh 20 ft diatas sebuah permukaan horisontal tanpa gesekan oleh gaya horisontal 8 lb. balok itu bergerak dari keadaan diam.Hitung:

1. Usaha yg dilakukan2. Percepatan balok3. Kecepatan akhirnya4. Kenaikan energi kinetik Sebuah balok yg beratnya 16 lb diangkat vertikal

dengan kecepatan konstan 10 ft/s setinggi 20 ft.Hitung: 1. Gaya yang diperlukan2. Usaha yg dilakukan

Sebuah balok yg massanya 7 kg di dorong sejauh 6 m diatas sebuah permukaan horisontal tanpa gesekan oleh gaya horisontal 36 N. balok bergerak dari keadaan diam.

Hitung:a. Usaha yg dilakukan b. Percepatan balokc. Kecepatan akhird. Kenaikan energi kinetik