INTEGRASI DAN DIFERENSIASI NUMERIK

1. APROKSIMASI DERIVATIF2. APROKSIMASI INTEGRAL

STRATEGI APROKSIMASI

1. Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial interpolasi P.

2. Derivatif polinomial P diambil sbg aproksimasi derivatif fungsi f.

3. Integral polinomial P diambil sbg aproksimasi integral fungsi f.

BAGAIMANA KESALAHAN APROKSIMASINYA ?

Menentukan nilai aproksimasi lebih mudah daripada memperkirakan resikokesalahan yang mungkin terjadi akibat aproksimasi tersebut.

Kesalahan aproksimasi dengan interpolasi

aproksimasi

kesalahannya

CONTOH: Misalkan fungsi f(x) = ex diaproksimasi oleh polinomial interpolasididalam interval [0, 1]. Berikan estimasi kesalahan aproksimasinya.

PENYELESAIAN : Misalkan titik interpolasi dan asumsikanberjarak sama, yaitu h. Jadi xj+1- xj = h untuk setiap j.

0 1

x0 xj xj+1 xn

h

Misalkan titik-titik berlainan di dalam danJika P adalah polinomial interpolasi maka terdapat ξ(x) ∈ (a, b) sehinggaberlaku:

approksimasi

Ambil sebarang x didalam [0, 1], kita akan menyelidiki kesalahan mutlak| f(x) - P(x) |. Pastilah ada indeks j sehingga xj ≤ x ≤ xj+1. Berdasarkan teo-rema di atas, terdapatlah di dalam (0, 1) dan berlaku:

Karena dan maka diperoleh:

Diperhatikan fungsi mencapai ekstrim ditengah interval [xj, xj+1], yaitu di xm = (j+0.5)h. Jadi maksimumnya

ξ(x)

Akhirnya diperoleh:

Bila diinginkan kesalahan aproksimasi tidak melebihi 10-6 maka

haruslah yang mengharuskan .Karena banyaknya sub interval n = (1-0)/h harus bulat maka diambil h = 0.001.

APROKSIMASI DERIVATIF Derivatif f di titik x0 adalah:

y = f(x)

x0 x0+h

f(x0)

f(x0+h)f(x0+h) – f(x0)

h

Sederhananya, aproksimasi derivatif f’(x0) adalah

dengan mengambil h cukup kecil.

Untuk mengetahui kesalahan aproksimasinya, diperhatikan dua titik x0 dan x0+h,dibentuk polinomial interpolasi derajat satu yang melalui kedua titik ini, dipero-leh:

Rxxxxfxfxf )](,[][)( 0100

dimana R = . Selanjutnya, diambil derivatifnya dan didapat

Untuk x = x0 maka diperoleh: . Akhirnya,diambil:

)(2

)()()( 00 ξfh

hxfhxfxf

hxfhxfxf )()()( 0

0

dengan kesalahan (error): )(2

ξfhE

Untuk h>0, formula ini disebut aproksimasi selisih maju (forward-difference). Untukh<0, diperoleh aproksimasi selisih mundur (backward-difference).

hxfhxfxf )()()( 00

0

dengan kesalahan (error): )(2

ξfhE

CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x0=1.8. Gunakan formula selisih maju dengan h = 0.1, 0.01 dan 0.001 dan berikan analisis kesalahannya.

PENYELESAIAN : formula selisih maju diberikan oleh

dengan error dimana

Diperoleh tabel:

Bandingkan dengan error sesungguhnya dimana derivatif eksaknya f’(1.8) = 0.55555 . . .

FORMULA SELISIH TERPUSAT

dimana terletak diantara dan Jadi aproksimasinyaadalah

dengan error E =

•Diperhatikan jika h diperkecil, maka suku h2 lebih cepat menuju nol dari pada suku h. Error aproksimasi yang memuat suku hp disebut mempunyai order aproksimasi p, dan ditulis dengan O(hp).•Formula selisih terpusat ini disebut juga formula tiga titik, karena melibat kan tiga titik x0-h, x0 dan x0+h. Formula tiga titik lainnya melibatkan titik x0, x0+h, x0+2h, yaitu

dimana ξ0 diantara x0 dan x0+2h.

hhxfhxfxf

2)()()( 00

0

FORMULA LIMA TITIK

dimana ξ diantara x0-2h dan x0+2h.

1.

2.

dimana ξ diantara x0 dan x0+4h.

CONTOH : Beberapa nilai dari f(x) = x ex diberikan pada tabel berikut.

Karena f’(x) = (x+1)ex maka nilai eksak derivatif f di x=0.2adalah f’(2.0) = 22.167168.

Gunakan berbagai macam formula untuk menghitungaproksimasi derivatifnya. Banding errornya dan formulamana yang paling akurat.

PENYELESAIAN: Gunakan h = 0.1, terapkan dua formula 2 titik (selisih maju danselisih mundur), dua formula 3 titik dan dua formula 5 titik.

Order kesalahan aproksimasi :

1. Formula 2 titik (selisih maju, selisih mundur) mempunyai order 1.2. Formula 3 titik mempunyai order 2.3. Formula 5 titik mempunyai order 4.

Semakin tinggi order aproksimasi semakin akurat aproksimasi yang dihasilkan.

APROKSIMASI DERIVATIF KEDUA Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x0, kemudian

dievaluasidi titik x0+h dan x0-h diperoleh:

dan dimana Kedua bentuk ini dijumlahkan, diperoleh:

Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ0 dan ξ-1 sehingga

Aproksimasi derivatif kedua (Lanjutan) Diperoleh:

CONTOH: Kembali perhatikan fungsi f(x) = xex. Fungsi ini mempunyai derivatif kedua f’’(x) = (x+2)ex. Untuk x0=2.0 diperoleh derivatif eksak adalah f’’(2.0) = 29.556224. Hitunglah aproksimasi derivatif kedua dengan menggunakan h=0.1 dan h=0.2.

PENYELESIAN : h = 0.1

h = 0.2

Error masing-masing adalah .

≈ f’’(x0) Error

APROKSIMASI INTEGRAL

FORMULA QUADRATURE SEDERHANA METODA TITIK TENGAH METODA TRAPESIUM METODA SIMPSON

FORMULA QUADRATURE BERSUSUN INTEGRASI GAUSS.

FORMULA SEDERHANA Diperhatikan integral . Formula qudrature berbentuk

jumlahan digunakan sebagai aproksimasi untuk integral,yaitu ≈

xi disebut koordinat dan ai disebut bobot.

Seperti pada aproksimasi, fungsi f terlebih dahulu diaproksimasi oleh polinomial interpolasi, kemudian integral dari polinomial ini diambil sebagai aproksimasi integral fungsi f.

1. METODA TITIK TENGAH (MIDPOINT)

a b

f(a)f(b)

c = (a+b)/2

f(c)y = f(x) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial

derajat nol (fungsi konstan):

f(x) ≈ P(x) = c,

kemudian diintegralkan, diperoleh:

2)()( bafabdxxf

b

a

2. METODA TRAPESIUM

a b

y = f(x)

f(a)f(b)

Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial inter-polasi derajat satu pada titik x0:=a dan x1:= b,

)()()()()( axabafbfafxf

Diintegralkan, diperoleh :

)()(2

)( bfafabdxxfb

a

3. METODA SIMPSON

a b

y = f(x)

f(a)f(b)

c

y = P(x)

Fungsi f diaproksimasi oleh polinomialinterpolasi derajat dua di titik-titikx0= a, x1= c:= (a+b)/2 dan x3 = b, yaitu

))(](,,[)](,[)()( cxaxbcafaxcafafxf

2

0

)( dxxf

Diperoleh )()(4)(6

)( 2 bffafabdxxf bab

a

CONTOH : Terapakan metoda midpoint, trapesium dan Simpson untukmenghitung integral :

dimana f adalah beberapa fungsi dasarMetoda manakah yang paling akurat?

xexxx

xxxf ,sin,1,1

1,,)( 242

PENYELESAIAN:untuk f(x) = x2, eksaknya adalah = 2.667.

1. Midpoint M = (2-0)f(1) = 2.000,2. Trapesium T = (2-0)/2 [f(0)+f(2)] = 4.000,3. Simpson S = (1/3)[f(0) + 4 f(1) + f(2)] = 2.667.

2

0

33312 )02(dxx

Untuk SOAL lainnya diselesaikan sendiri !

ESTIMASI ERRORNYA ?