i

IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS

UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA

GENERASI Ke-n

SKRIPSI

Untuk memenuhi sebagian persyaratan

dalam memperoleh gelar Strata Satu

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

DEDI HARIYANTO

NIM 105.532

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

JOMBANG

2014

ii

SKRIPSI

IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS

UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA

GENERASI Ke-n

Oleh :

DEDI HARIYANTO

NIM 105.532

telah disetujui pada tanggal 05 Maret 2014

Pembimbing

Rohmatul Umami, S.Si, M.Si.

iii

SKRIPSI

IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS

UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA

GENERASI Ke-n

yang telah dipersiapkan dan disusun oleh

DEDI HARIYANTO

Nim 105.532

Dewan Penguji

Ketua Penguji

Nama

: Edy Setyo Utomo, M. Pd.

Tanda Tangan

............................................

Penguji I

: Rohmatul Umami, S. Si, M.Si.

............................................

Penguji II

: Esty Saraswati. N. H, S.Pd, M.Pd

.....................................

Mengesahkan,

Ketua Program Studi

Pendidikan Matematika,

Dr. Wiwin Sri Hidayati, M. Pd

NIP. 19730502 200501 2 001

iv

PERSEMBAHAN

Kuingat Engkau di saat malam kian pekat,

Tak ada hasrat untuk lelap dan nyenyak,

Pikiran dan hati hanya tertuju padaMu,

Kaulah yang paling mengerti dan setia mendampingiku,

Kusadari diri ini tak luput dari salah kepadaMu,

Terlalu mudahnya ku tergoda akan indahnya dunia,

Lelah diri mengejar ambisi,

Lemah lunglai saatnya menghampiri jiwa,

Berkali-kali aku terjatuh dan terlelah,

Hingga hampir hilang arah, menyerah dan mengaku kalah,

Aku tak lebih dari jiwa tanpa nyawa,

Ketika ku kembali pada diriMu,

Kuserahkan nasibku yang telah tergores luka,

Kau beri aku kekuatan untuk bangkit dan bersemangat,

Ragu di awal,

Tapi semangat dan nikmat yang berlimpah yang akhirnya Kau berikan,

Kasih sayangMu masih terekam jelas dalam memoriku,

Tiada hari tanpa syukurku padaMu,

Karena Engkau adalah sandaran hatiku,

Hidup matiku kuserahkan padaMu,

v

Dengan cintaMu dan karena kasih sayangMu

Kupersembahkan secuil karya ini

Buat orang-orang tercinta dan tersayang.

Untuk ibuku Minati yang tercinta, yang tidak pernah lelah mendoakanku dari

hari ke hari, hingga air matamu terjatuh mengiringi perjalananku.

Untuk Bapakku Prihastono, yang tak pernah lelah mencari nafkah untuk

memenuhi kebutuhan hidupku dari kecil hingga sekarang, dan selalu memberikan

semangat ketikaku rapuh.

Untuk ketiga adikku Dani Aditya Prasetyanto, Septi Ayu Ramadhani dan

Dzakiyya Talita Sakhi, yang selalu mewarnai hari-hariku.

Untuk semua keluargaku yang selalu memotivasi aku.

Untuk ibu Rohmatul Umami, S.Si., M.Si, yang senantiasa membimbingku dalam

pembuatan skripsi.

Untuk semua dosen STKIP PGRI Jombang yang telah mencurahkan ilmunya

kepadaku.

Untuk sahabat-sahabatku Nur Ainni Islamiah, Amy, Muhammad Yusron Ali

yang setia mendampingi dan memberikan pengetahuan serta pengalaman kalian

kepadaku.

Untuk sahabat-sahabat SMAku Da_Fecia, Mbak Qiqi, Mbak Sartika dan Rudi

makasih atas bantuannya

Untuk teman-temanku Evi Novitasari, Icha Wulandari, Sri Fatmawati, Lilin

Ratnasari, M. Abu Amar yang selalu memberi kemudahan aku ketika ku kuliah.

Untuk teman-teman PPL MAN Jombang dan teman-teman KKN SMKN 1

Jombang, terima kasih atas kerjasamanya.

Dan semua yang tak bisa ku sebutkan satu persatu yang selalu memberi suport buat

aku...... Thanks All......

vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil alamin, segala puji syukur peneliti panjatkan

kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, taufik dan hidayah-Nya peneliti dapat

menyelesaikan skripsi dengan judul Implementasi Diaogonalisasi Matriks

untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.

Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita

nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat-Nya yang telah

mengantarkan kita kepada jalan yang benar.

Suatu kebanggaan bagi peneliti karena dapat menyelesaikan penelitian

skripsi ini yang tentunya tidak lepas dari dukungan semangat dan segenap bantuan

dari beberapa pihak, karenanya dalam kesempatan ini peneliti menyampaikan

banyak terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya

kepada :

1. Dr. H. Winardi , S.H, M.Hum , selaku ketua STKIP PGRI Jombang.

2. Dr. Heni Sulistyowati, M. Hum selaku Kepala Pusat Penelitian.

3. Dr. Wiwin Sri Hidayati, S.Pd, M.Pd, selaku ketua Program Pendidikan

Matematika.

4. Rohmatul Umami, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah

meluangkan waktunya untuk untuk membimbing dan mengarahkan peneliti

demi kebaikan isi skripsi.

5. Seluruh pihak yang tidak dapat peneliti sebutkan satu persatu.

vii

Semoga dengan segenap bantuan yang diberikan kepada peneliti menjadi

amal sholeh dan semoga Allah memberikan balasan yang sepantasnya. Peneliti

menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini jauh dari kata sempurna dan masih banyak

kekurangan, seperti pepatah tak ada gading yang tak retak. Oleh karena itu,

kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penelitian

selanjutnya.

Akhirnya, semoga skripsi ini bermanfaat dan dapat menambah wawasan

keilmuan bagi semua para pembaca. Amiin.

Jombang, 05 Maret 2014

Peneliti

viii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. iv

KATA PENGANTAR ................................................................................ vi

DAFTAR ISI .............................................................................................. viii

DAFTAR TABEL ....................................................................................... x

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................ xi

ABSTRAK ................................................................................................. xii

ABSTRACT ............................................................................................... xiii

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah .................................................................. 1

B. Batasan Masalah Penelitian .............................................................. 3

C. Perumusan Masalah Penelitian ........................................................ 3

D. Tujuan Penelitian ............................................................................. 3

E. Manfaat Penelitian .......................................................................... 4

F. Definisi Operasional ........................................................................ 4

BAB II : KAJIAN PUSTAKA

A. Kajian Tentang Matriks ................................................................... 6

1. Pengertian Matriks ...................................................................... 6

2. Jenis-Jenis Matriks ..................................................................... 8

3. Perkalian Matriks ........................................................................ 12

4. Perpangkatan Matriks dan Polinomial dalam Matriks ................. 13

5. Determinan dan Invers Matriks ................................................... 14

6. Nilai eigen dan Vektor Eigen ...................................................... 17

7. Diagonalisasi Matriks ................................................................. 19

B. Genetika ........................................................................................... 25

1. Jenis-jenis Pewarisan .................................................................. 26

ix

a. Penurunan Autosomal (autosomal inheritance) ........................ 26

b.Penurunan Gonosom ................................................................ 27

2. Kromosom ................................................................................... 29

3. Genetika Mendel ........................................................................ 30

4. Peristiwa Keacakan ..................................................................... 30

a. Perkawinan Satu Sifat Beda (Monohibrid) ............................. 30 30

b. Perkawinan Dua Sifat Beda (Dihibrid) ................................... 32

BAB III : METODE PENULISAN

A. Rancangan Penulisan ........................................................................ 34

B. Objek Penulisan ............................................................................... 34

C. Instrument Penulisan ........................................................................ 35

D. Metode Pengumpulan Data ............................................................... 35

E. Analisis Data .................................................................................... 35

F. Prosedur Penelitian ........................................................................... 36

BAB IV: PEMBAHASAN MASALAH

A. Penentuan Distribusi Genotip dari Pewarisan Autosomal ................. 38

B. Implementasi Diagonalisasi Matriks pada Pewarisan Genotip .......... 42

a. Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance) ............................. 43

b. Penyakit-penyakit Resesif Autosomal .......................................... 80

BAB IV: PENUTUP

A. Simpulan ......................................................................................... 92

B. Saran ............................................................................................... 93

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 94

LAMPIRAN ................................................................................................ 95

x

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Halaman

2.1 Perkawinan Marmut Putih dan Albino

(Monohibrid)

32

2.2 Persilangan Dihibrid 33

4.1 Persilangan Dua Sifat Beda antara Laki-

Laki dan Perempuan Pembawa Penyakit

bagi Warisan Autosomal

39

4.2 Peluang dari Persilangan Dua Individu

Pewarisan Autosomal

40

4.3 Peluang Genotip Persilangan Individu

Normal Heterozigot dengan Individu

carier

43

4.4 Peluang Genotip Persilangan Dihibrid

antara Laki-Laki Penderita dan

Perempuan Normal

81

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Keterangan Halaman

Lampiran 1 Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor

Eigen dan Invers Matriks Baru yang

Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan

Individu Normal Heterozigot dan Carier

dengan Softwere Maple.

95

Lampiran 2 Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor

Eigen dan Invers Matriks Baru yang

Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan

Dua Sifat Beda antara Laki-Laki Normal

dan Perempuan Carier dengan Softwere

Maple.

96

xii

ABSTRAK

Hariyanto, Dedi. 2014. Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki

Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n. Dosen pembimbing : Rohmatul

Umami, S.Si, M.Si.

Kata Kunci : matriks, nilai eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, genotip.

Ilmu matematika dan biologi merupakan ilmu yang selalu berkembang

sejalan perkembangan zaman dan teknologi yang ada. Keduanya saling berkaitan,

salah satu contoh penerapannya adalah diagonalisasi matriks dalam menyelidiki

pewarisan genotip pada generasi ke-n. Adapun rumus yang digunakan adalah

dimana D merupakan matriks diagonal, A merupakan matriks yang diperoleh dari tabel peluang persilangan genotip, P merupakan matriks yang

tersusun dari vektor eigen yang sesuai dengan nilai-nilai eigen matriks A, dan adalah matriks invers dari P. Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui

implementasi diagonalisasi matriks pada pewarisan autosomal dan bentuk

persamaan eksplisit dalam fraksi-fraksi dari AABB, AABb, Aabb, AaBB, AaBb,

Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb pada suatu generasi ke-n.

Metode yang digunakan penulis adalah kajian literatur atau metode

penelitian kepustakaan yaitu sebagian besar tugas penulis adalah berada di

perpustakaan untuk mengumpulkan data dari berbagai macam sumber literatur

yakni buku-buku dan jurnal. Selanjutnya penulis melakukan pencarian distribusi

peluang persilangan pewarisan genotip melalui tabel persilangan. Dari tabel

tersebut penulis membentuk matriks A dan kemudian mencari nilai eigen dan

vektor eigen. Hasil dari pencarian vektor eigen maka penulis membentuk matrik

baru yakni matriks P yang kemudian kita cari inversnya. Dengan menggunakan

rumus diagonalisasi maka akan terbentuk persamaan eksplisit yang kemudian dicari

nilainya melalui limit n tak hingga.

Dari hasil perhitungan didapat bahwa pada generasi ke-n, dimana limit n

mendekati tak hingga diperoleh bahwa warisan autosomal dan pewarisan penyakit

terpendam semua turunannya akan normal atau bergenotip AABB, yakni tidak ada

lagi generasi yang menderita atau membawa penyakit.

xiii

ABSTRACT

Hariyanto, Dedi. 2014. Implementation of Matrix Diagonalyzation to Investigate

Genotype Inheritance at n generation. Advisor : Rohmatul Umami, S.Si,

M.Si.

Key Words : matrix, eigen values, eigen vector, matrix diagonalyzation, genotype

Math and biology are developed knowledge that always followed the

development of era and technology. Both ot thein are related each other, such as in

assembling of matrix diagonalization to observ human genotype for generation to-

n. The formula used is , where D is a diagonal matrix, A is a matrix derived from crosses genotype odds table, P is a matrix composed of the

eigenvectors corresponding to the eigenvalues of the matrix A, and is the inverse matrix of P. The purpose of this study is to investigate the implementation

of the matrix diagonalization autosomal inheritance and explicit form of the

equations in fractions of AABB, AABB, AABB, AABB, AABB, AABB, AABB,

AABB, and AABB at an n-th generation.

The method used is a literature review or research methods literature that

the bulk of writers are in the library is to collect data from various literature sources

namely books and journals. Furthermore, the authors conduct a cross inheritance

genotype distribution opportunities through cross table. From the table, the authors

form a matrix A and then finding eigenvalues and eigenvectors. The results of the

search, the authors eigenvectors forming a new matrix that is the matrix P which we

then find its inverse. By using the diagonalization formula it will form an explicit

equation is then searched its value through an infinite n limit.

From the calculation results obtained that generation to-n, where the limit

n approaches infinity is obtained that autosomal inheritance and latent disease in

autosomal inheritance of all derivatives will be normal or genotype AABB, ie no

more generations suffer or carry disease.

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Ilmu matematika dan biologi merupakan ilmu yang selalu berkembang

sejalan dengan perkembangan zaman dan teknologi yang ada. Dimana

berbagai konsep ilmu matematika menjadi alat analisis yang penting di

dalamnya. Salah satunya adalah bahasa matematika yang dapat diterapkan

dalam ilmu biologi yakni genetika.

Genetika (ilmu keturunan) tergolong dalam Ilmu Hayat yang

mempelajari turun temurunnya sifat-sifat induk atau orang tua kepada

keturunannya (Suryo, 2012). Oleh karena itu manusia ingin mengetahui segala

ihwal mengenai keturunan, manusia juga ingin mengetahui pula rahasia dirinya

sendiri. Penyelidikan pewarisan genotip merupakan aplikasi genotip, dimana

manusia selalu memiliki suatu susunan gen yakni gen dominan dan gen resesif

(sifat yang tidak muncul pada keturunan).

Dalam pewarisan genetika terdapat istilah pewarisan sifat autosomal.

Yakni sifat keturunan yang ditentukan oleh gen pada autosom (kromosom di

luar kromosom seks). Dalam warisan autosomal (autosomal inheritance),

setiap individu dalam populasi yang terdiri dari kedua jenis kelamin akan

memiliki kedua jenis gen ini, dengan kemungkinan pasangan gen dinyatakan

dengan AABB, AABb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb. Pasangan-

pasangan kromosom ini dinamakan dengan genotip individu yang dapat

1

2

menentukan bagaimana sifat yang dikendalikan oleh kromosom-kromosom itu

yang dimanifestasikan dalam individu.

Salah satu contoh pewarisan autosom dalam kehidupan sehari-hari yaitu

penyakit keturunan/bawaan. Albino merupakan suatu kelainan yang terjadi

pada warna kulit dan organ tubuh lainnya. Orang albino tidak memiliki pigmen

melanin sehingga rambut dan badannya bewarna putih. Gen albino dikendalikan

oleh gen resesif a. jika orang normal memiliki genotip Aa atau AA, sedangkan

orang albino bergenotip aa (Karmana, 2008:129).

Untuk menyelidiki pewarisan genotip dapat diselesaikan dengan

menggunakan konsep matematika subbab aljabar matrik, yaitu diagonalisasi

matriks. Diagonalisasi matriks merupakan alat bantu yang akan mempermudah

manusia dalam mengetahui pewarisan genotip pada keturunan yang tak hingga

dibanding dengan menyilangkan satu persatu induk untuk mendapatkan

keturunan terbaik atau bahkan sama dengan induk sebelumnya.

Adapun rumus yang digunakan dalam penyelidikan pewarisan genotip ini

adalah . Dimana D adalah diagonalisasi matriks, A adalah

matriks yang diperoleh dari tabel peluang persilangan dihibrid, P

merupakan matriks yang terbentuk dari vektor eigen matriks A, dan

adalah matriks invers/balikan dari matriks P.

Dari uraian yang telah dijabarkan di atas, peneliti bermaksud untuk

melakukan penelitian tentang, Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk

Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.

3

B. Batasan Masalah

Agar pembahasan penelitian ini tidak meluas, maka peneliti perlu

memberikan batasan-batasan sebagai berikut:

1. Pewarisan genotipnya yang dibahas hanya pada pewarisan autosomal

2. Menggunakan perkawinan silang dengan dua sifat beda (dihibrid) dengan

perkawinan yang terkontrol (perkawinan yang memperhatikan genotip/

perkawinan yang sudah diatur atau tak bebas).

3. Bentuk persamaan eksplisit terjadi pada fraksi-fraksi AABB, AABb, Aabb,

AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb genotip pada sebuah populasi

generasi ke-n dari fraksi-fraksi genotip awal.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dapat dirumuskan permasalahan sebagai

berikut :

1. Bagaimana implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki

pewarisan genotip pada generasi ke-n?

2. Bagaimana penyelesaian persamaan eksplisit (persamaan yang dihasilkan

dari tabel persilangan dihibrid) dalam fraksi-fraksi (bagian kecil dari suatu

populasi) dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb

genotip pada sebuah populasi generasi ke-n?

D. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Untuk mengetahui implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki

pewarisan genotip pada generasi ke-n.

4

2. Untuk mengetahui penyelesaian persamaan eksplisit (persamaan yang

dihasilkan dari tabel persilangan dihibrid) dalam fraksi-fraksi (bagian kecil

dari suatu populasi) dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB,

dan aabb genotip pada sebuah populasi generasi ke-n

E. Manfaat Penelitian

Dalam penelitian ini ada beberapa manfaat yang ingin dicapai oleh

peneliti, yaitu:

1. Manfaat Teoristis

Peneliti berharap hasil penelitian ini dapat memberikan informasi tentang

implementasi matematika terutama pada subbab diagonalisasi matriks.

2. Manfaat Praktis

a. Manfaat bagi peneliti

Dapat menambah wawasan peneliti untuk mengetahui tentang

implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan

genotip pada generasi ke-n.

b. Manfaat bagi pembaca atau peneliti lain.

Penelitian ini diharapkan dapat berguna sebagai pedoman bagi

penelitian selanjutnya.

F. Definisi Operasional

Agar tidak terjadi perbedaan penafsiran tentang maksud dan arti

keseluruhan dari judul penelitian, peneliti akan mengemukakan arti dari

beberapa istilah yang ada pada judul penelitian, antara lain:

1. Implementasi adalah pelaksanaan, alat yang dipergunakan untuk

melaksanakan atau menyelesaikan pekerjaan tertentu (Yasin & Sunarto,

5

1990:110). Jadi implementasi adalah penerapan ilmu matematika terhadap

ilmu biologi untuk menyelesaikan masalah penyelidikan pewarisan genotip.

2. Diagonalisasi matriks adalah suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat

didiagonalisasi (diagonazable) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat

dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks

diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi (diagonalize) A (Anton,

2004:395). Jadi diagonalisasi matrik merupakan pendiagonalisasian matriks

A (matriks yang dihasilkan oleh tabel peluang persilangan dihibrid) oleh

matriks P (matriks yang dihasilkan oleh vektor eigen matriks A) dan

merupakan balikan dari matriks P.

3. Pewarisan merupakan transmisi informasi genetika dari leluhur atau tertua

kepada keturunanya (Rifai, 2004:371). Sehingga kata lain pewarisan

merupakan penurunan sifat genotip dari individu kepada keturunan.

4. Genotip merupakan konstitusi genetika suatu makhluk hidup, untuk

membedakannya dari penampilan fisiknya (fenotipe) (Rifai, 2004:144). Jadi

genotip merupakan susunan gen yang menentukan sifat-sifat suatu individu.

Jadi yang dimaksud dengan implementasi diagonalisasi matriks untuk

menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n merupakan penerapan salah

satu cabang ilmu matematika terhadap ilmu biologi untuk menyelesaikan

permasalahan penyelidikan suatu persilangan genotip dimana peluang

persilangan tersebut diubah dalam bentuk matriks dan dicari diagonalisasinya

agar kita mengetahui pewarisan genotip yang terjadi pada generasi setelah

leluhur/induk.

6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Aljabar Matriks

Aljabar matriks dikembangkan oleh matematika Inggris yaitu Arthur

Cayley pada tahun 1857. Cayley merupakan orang yang pertama kali

mengkaitkan matriks dengan transformasi linier. Matriks berkembang karena

peranannya dalam cabang-cabang matematika lainnya, bidang ekonomi,

industri dan transportasi. Dengan menggunakan matriks, penyelesaian sistem

persamaan linier akan lebih mudah (Subagio, 1986: 1).

1. Definisi Matriks

Definisi 2.1:

Matriks adalah susunan bilangan atau simbol yang diatur menurut baris-

baris dan kolom-kolom yang berbentuk persegi panjang dan disajikan

dalam tanda kurung atau kurung siku (Subagio, 1986: 2).

Definisi 2.2:

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. (Anton,

2004: 51).

Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks.

Secara umum elemen matriks dinyatakan dengan huruf kecil dan huruf

kapital untuk melambangkan matriks.

Ukuran matriks dapat diberikan oleh jumlah baris (garis

horizontal/mendatar/i) dan kolom (garis vertikal/menurun/j). Matriks tidak

mempunyai nilai, tetapi mempunyai ukuran yang disebut ordo suatu

6

7

matriks. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya

kolom matriks tersebut. Suatu matriks yang mempunyai m baris dan n

kolom dinyatakan dengan:

[

]

Elemen-elemen baris ke 1 adalah:

Elemen-elemen kolom ke 1 adalah:

Dengan demikian matriks A dapat dinyatakan dengan ( ) ,

dengan menunjukkan baris dan

menunjukkan kolom. Dua buah matriks dikatakan sama bila ordonya sama

dan mempunyai unsur yang sama di dalam setiap posisinya.

Contoh 1:

Jika [

] maka:

a) A mempunyai ...... baris dan ...... kolom

b) Elemen baris ke 3 adalah ......

c) Elemen kolom ke 2 adalah .....

d) Element baris ke 2 kolom ke 4 adalah ......

e) 6 adalah elemen baris ke ...... kolom ke ......

Penyelesaian 1:

a A mempunyai 3 baris dan 4 kolom

8

b Elemen baris ke 3 adalah

c Elemen kolom ke 2 adalah

d Elemen baris ke 2 kolom ke 4 adalah

e 6 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 3

2. Jenis-Jenis Matriks.

Dengan memperhatikan banyaknya baris, banyaknya kolom serta

elemen-elemen dalam suatu matriks kita akan mengetahui jenis-jenis

matriks, antara lain:

1) Matriks Baris.

Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks

baris. Matriks baris disebut juga Vektor baris.

Contoh 2:

[ ] , [ ]

2) Matriks Kolom.

Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks

kolom, yang disebut juga Vektor kolom

Contoh 3:

[ ] , *

+

3) Matriks Bujur sangkar.

Suatu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya

kolom disebut matriks bujur sangkar, yang dinyatakan dengan .

Matriks disebut matriks bujur sangkar ordo

9

Contoh 4:

Matrriks bujur sangkar ordo 2

*

+ ,

Matriks bujur sangkar ordo 3

[

]

Matriks bujur sangkar ordo n

[ ]

Elemen-elemen matriks bujur sangkar:

disebut elemen diagonal utama dan

disebut elemen diagonal kedua.

Hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal utama

dan elemen diagonal kedua.

4) Matriks Diagonal.

Matriks bujur sangkar dengan semua elemen-elemen yang bukan

elemen diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal. Dengan

kata lain matriks [ ] disebut matriks diagonal, jika untuk

Contoh 5:

*

+ , [

]

10

5) Matriks Skalar.

Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal

utama semua sama dengan dan

Contoh 6:

*

+ , [

]

6) Matriks Identitas.

Matriks identitas adalah matriks skalar dengan elemen-elemen

diagonal utama semua 1.

Contoh 7:

*

+ , [

]

7) Matriks Segitiga.

Ada dua macam matriks segitiga, yaitu matriks segitiga atas dan

matriks segitiga bawah.

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan

elemen-elemen yang terletak di bawah elemen diagonal utama semua

nol. Dengan kata lain [ ] disebut matriks segitiga atas jika

untuk .

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar dengan

elemen-elemen yang terletak di atas elemen diagonal utama semua nol.

Dengan kata lain [ ] disebut matriks segitiga bawah jika

untuk .

11

Contoh 8:

Matriks segitiga atas

[

] , [

]

Matriks segitiga bawah.

[

] , [

]

8) Matriks Nol.

Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah

nol.

Contoh 9:

*

+ , [

]

9) Matriks Simetris.

Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-

elemen baris ke kolom ke , sama dengan elemen-elemen baris ke

kolom ke . Dengan demikian elemen-elemen matriks simetris

memenuhi untuk setiap dan

Contoh 10:

*

+ , [

]

12

10) Matriks Antisimetris.

Matriks antisimetris adalah matriks bujur sangkar dengan elemen

untuk semua dan Dengan demikian semua elemen

diagonal utama pada matriks antisimetris adalah nol.

Contoh 11:

*

+ , [

]

3. Perkalian Matriks.

Definisi 2.3

Jika A adalah sebuah matriks dan B adalah sebuah matriks

maka hasil kali AB adalah matriks yang entri-entrinya

didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris dan

kolom dari AB, pilih baris dari matriks A dan kolom dari matriks B.

Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara

bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya (Anton, 2011: 56).

Jadi

Jika [ ], [ ] dan

[ ]

[ ]

Maka dengan [ ] dan

13

Dimana dan

Contoh 12:

Tentukan jika *

+ dan * +

Penyelesaian 12:

*

+* + *

+ * +

4. Perpangkatan Matriks dan Polinomial dalam Matriks.

Perpangkatan pada matriks merupakan perkalian berulang. Sehubung

dengan persyaratan perkalian matriks maka perpangkatan hanya dapat

dikerjakan pada matriks bujursangkar. Pangkat dari didefinisikan sebagai

berikut:

Sehingga dengan buah matriks sama dengan

dengan dan

Jika adalah suatu matriks bujur sangkar, katakanlah , dan jika

.................................. (I)

Adalah sembarang polinomial, maka kita definisikan

Dengan adalah matriks identitas . Dengan kata-kata adalah

matriks yang dihasilkan ketika disubtitusikan untuk dalam (I) dan

digantikan oleh .

14

Contoh 13:

Jika dan *

+

Maka:

*

+

*

+ *

+

*

+ *

+ *

+ *

+

5. Determinan dan Invers Matriks.

1. Determinan

Determinan dari suatu matriks adalah jumlah dari semua bentuk

perkalian secara diagonal dari elemen-elemen matriks dengan

mangambil satu elemen dari baris atau kolom dengan memperhatikan

urutan. Dalam penulisan determinan elemen-elemen matriks bujur

sangkar ditulis diantara dua garis tegak ||, misalnya matriks A

dinotasikan dengan | |.

Jika A adalah matriks berordo 2 x 2 yakni |

|, maka

untuk mencari determinannya dengan mengurangkan diagonal kedua

dari diagonal utama matriks tersebut yaitu .

Jika A adalah matriks berordo 3 x 3 yakni |

|,

maka untuk mencari determinannya dengan Aturan Sarus yakni:

.

15

2. Invers Matriks

Matrik bujur sangkar, A=[aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ...,

n, disebut mempunyai invers jika terdapat matrik , sehingga

, dimana I matrik identitas.

Jika A mempunyai invers, maka A disebut matrik non singular

dan jika tidak mempunyai invers disebut matrik singular. Jika A

mempunyai invers, maka inversnya tunggal (unik). Untuk

menunjukkan hal ini, perhatikan penjelasan di bawah ini:

Andaikan B dan C invers dari A, maka dipenuhi hubungan

dan , sehingga .

Jadi , atau kedua invers matrik tersebut tunggal.

Teorema 2.1:

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka:

Bukti 2.1:

Jika A non singular, maka det A adalah skalar tak nol sehingga

invers sebuah matriks dapat dinyatakan dengan:

(

)

( )

Mula-mula akan dibuktikan bahwa ( )

Perkalian dari ( ) adalah:

16

[

][

]

secara umum entri pada matrik di atas dapat ditulis, sebagai

berikut:

Jika maka seperti hasil di atas didapat .

Jika , maka ekspresi di atas .

Sehingga :

( ) [

]

Sehingga: ( )

Jika , maka didapat:

( )

( )

Contoh 14.

Carilah invers dari matriks [

]

Penyelesaian 14.

Mula-mula hitung dan

17

[

|

| |

| |

|

|

| |

| |

|

|

| |

| |

|]

[

]

[

]

Jadi

[

] [

]

6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Kata vektor eigen berasal dari ramuan bahasa Jerman dan Inggris.

Dalam bahasa Jerman eigen diartikan sebagai sebenarnya atau

karakteristik. Oleh karena itu nilai eigen dapat juga dinamakan nilai

sebenarnya atau nilai karakteristik. Sedangkan vektor adalah bentuk

matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Jadi

vektor eigen dapat diartikan sebagai vektor sebenarnya.

Definisi 2.3.

Misalkan A adalah matriks , maka vektor yang tidak nol di Rn

disebut vektor eigen (eigen vector) dari A, jika adalah kelipatan

skalar dari , yaitu untuk suatu skalar . Skalar dinamakan

nilai eigen (eigen value) dari A.

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran maka

dapat ditulis kembali sebagai

18

......................................................................................... (2)

Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari

persamaan (2). Suatu persamaan akan mempunyai pemecahan tak nol jika

dan hanya jika:

................................................................................... (3)

Persamaan (3) dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang

memenuhi persamaan tersebut merupakan nilai eigen dari A. bila diperluas

maka persamaan karakteristik tersebut adalah polinom karakteristik dari A

mempunyai derajat n dan koefisien dari adalah I. Jadi polinom

karakteristik dari matriks mempunyai bentuk:

Dengan merupakan persamaan karakteristik yang

mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda, sehingga suatu

matriks mempunyai paling banyak n nilai eigen yang berbeda.

Contoh 15.

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks *

+

Penyelesaian 15.

Polinom karakteristik dari matriks Q adalah:

, *

+ *

+-

Dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah

Penyelesaian dari persamaan ini adalah

Jadi nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2

19

7. Diagonalisasi Matriks.

Definisi 2.4

Suatu matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasikan

(diagonazable), jika terdapat suatu matriks P yang dapat dibalik

sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal,

matriks P dikatakan mendiagonalisasikan A (Anton & Rorres, 2011:

395).

Teorema 2.2.

Jika A adalah suatu matriks , maka kedua pernyataan berikut ini

adalah ekuivalen.

a. A dapat didiagonalisasikan.

b. A memiliki nilai vektor eigen yang bebas linier (Anton & Rorres,

2011: 395).

Bukti

oleh karena A dapat didiagonalisasikan, maka terdapat matriks

yang dapat dibalik:

[ ], P merupakan vektor-vektor kolom yang bebas

linier.

[

] sehingga diagonal

Katakan , dimana [

] maka

20

Yakni [

][

]

[

] (4)

Jika sekarang dimisalkan menyatakan vektor-vektor

kolom P maka bentuk persamaan (4) kolom-kolom AP yang berurutan

adalah , akan tetapi kolom-kolom dari AP yang

berurutan adalah:

.. (5)

Oleh karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya semuanya tak

nol. Jadi menurut persamaan (5) adalah nilai-nilai eigen A,

dan adalah vektor-vektor yang bersesuaian. Karena P dapat

dibalik, maka diperoleh bebas linier. Jadi A mempunyai n

vektor eigen bebas linier.

dimisalkan bahwa A mempunyai vektor eigen bebas linier

maka dengan nilai eigen yang bersesuaian dan

misalkan:

[

]

21

Adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya kolom-kolom

dari hasil kali AP adalah , tetapi

Sehingga [

]

[

][

]

............................................................................... (6)

Dimana D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen

pada diagonal utama. Oleh karena itu vektor-vektor kolom

dari P bebas linier, maka P dapat dibalik. Jadi persamaan (6) dapat ditulis

kembali sebagai , A terdiagonalisasi

Dari bukti ini didapat prosedur untuk mendiagonalisasikan matriks A

yang berukuran (Anton & Rorres, 2011: 397) sehingga langkah-

langkah yang harus dilakukan adalah:

Langkah 1 : Tentukan vektor eigen dari yang bebas linier,

misalkan

Langkah 2 : bentuklah sebuah matriks dengan sebagai

vektor-vektor kolomnya

Langkah 3 : matriks kemudian akan menjadi diagonal dengan

sebagai entri-entri diagonalnya secara beru-

rutan, di mana adalah nilai eigen yang terkait dengan

22

untuk

Contoh 16:

Diketahui matriks M =

500

032

023

Carilah:

a. matriks P yang mendiagonalisasi M.

b. matriks diagonal D = P-1MP.

Penyelesaian 16:

Persamaan karakteristik matriks M adalah:

( [

] [

])

([

])

( 1)( 5)2 = 0

= 1; = 5

Jadi nilai eigen adalah 1 dan 5.

Penentuan vektor eigen sebagai berikut.

( [

] [

]). /

23

([

]). /

Untuk = 1 ([

]). / .

Matriks yang bersesuaian:

0

0

0

400

022

022

0

0

0

100

000

011

Diperoleh: a = b; dan c = 0.

Jika b = t, maka a = t dan c = 0.

Vektor eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah t

0

1

1

.

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah

0

1

1

.

Untuk = 5 0

000

022

022

c

b

a

.

Matriks yang bersesuaian:

0

0

0

000

022

022

0

0

0

000

000

011

Diperoleh:

Andai , maka , dan

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah s

0

1

1

+ t

1

0

0

.

24

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah

0

1

1

dan

1

0

0

.

a) Dengan demikian matriks P yang mendiagonalisasi M adalah

100

011

011

.

b) Matriks diagonal yang terbentuk adalah: .

Untuk menentukan D, kita harus menentukan dahulu . Melalui

perhitungan dalam menentukan invers suatu matriks diperoleh

= [

].

Dengan demikian D = P-1

MP

D =

100

02

1

2

1

02

1

2

1

500

032

023

100

011

011

=

100

02

1

2

1

02

1

2

1

500

051

051

=

500

050

001

dari hasil perhitungan dapat dilihat bahwa elemen-elemen dari matriks D

sama dengan nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga dalam pembahasan

selanjutnya nilai matriks D dapat diperoleh langsung dari nilai-nilai eigen

suatu matriks.

25

Untuk mendapatkan pernyataan eksplisit untuk , maka

pertamanya mendiagonalkan A, yakni dicari matriks P yang dapat dibalik

dan matriks diagonal D sedemikian rupa sehingga

Pangkat suatu matriks bujursangkar dapat dinyatakan sebagai:

sampai suku ke n. pangkat 2 dari matriks atau

, dimana matiks A muncul sebanyak n kali dalam perkalian di ruas

kanan. Pangkat bilangan positif dari suatu bujursangkar juga dapat dihitung

langsung dengan menggunakan matriks P dan matriks D. jika persamaan

Dipangkatkan dua, maka akan diperoleh:

Proses tersebut dapat diulang untuk pangkat bilangan bulat yang lebih

tinggi, sehingga hasil umumnya adalah: , dimana A adalah

matriks bujur sangkar ordo n yang mempunyai n buah vektor yang bebas

linier, P adalah matrik yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen dan

matriks D adalah matriks diagonal yang entri-entrinya bersesuaian dengan

nilai-nilai eigen matriks A.

B. Genetika

Genetika (ilmu keturunan) tergolong dalam ilmu hayat yang

mempelajari turun-temurunnya sifat-sifat induk atau orang tua kepada

keturunannya. Genetika mempunyai lingkup yang sangat luas, antara lain:

membahas tentang peranan kromosom, pewarisan sifat-sifat genetik, terjadinya

26

cacat badan dan mental yang disebabkan oleh kelainan kromosom, timbulnya

penyakit karena kesalahan metabolisme bawaan dan lain-lain.

1. Jenis-Jenis Pewarisan Genetika

a. Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance).

Pewarisan autosomal adalah pewarisan yang tidak terpaut oleh

kromosom seks. Pada pewarisan autosomal suatu individu mewarisi satu

gen tiap pasangan gen induknya untuk membentuk pasangan gennya

sendiri. Sehingga, jika salah satu induk memiliki genotip AaBb, maka

kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi gen AB, Ab, aB

atau gen ab dari induk tersebut adalah sama besarnya. Jika salah satu

induk mempunyai genotip aabb dan yang lain memiliki genotip AaBb

maka keturunan akan selalu menerima gen ab dari induk aabb dan akan

menerima gen AB, Ab, aB atau gen ab dengan kemungkinan yang sama.

Sebagai konsekuensinya, tiap keturunan mempunyai kemungkinan yang

sama untuk memiliki genotip aaBb, aabb, AABb, AaBb.

Ciri dominan yang menunjukkan pewarisan autosomal adalah

manifestasi dalam keadaan heterozigot, artinya seorang dengan kelainan

dimana kromosom tubuh mengandung satu gen abnormal yang akan

menyebabkan penyakit. Biasanya setiap penderita mempunyai salah satu

orang tua yang sakit. Tetapi kadang-kadang kelainan dapat muncul pada

satu generasi tanpa adanya satu keluarga pada generasi sebelumnya yang

terkena penyakit tersebut. Hal ini mungkin terjadi karena kedua atau

salah satu orang tua adalah pembawa (carier).

27

Penyakit yang terpendam dalam autosomal terjadi kelainan pada

individu yang homozigot untuk gen yang mengalami kelainan. Jika

perempuan yang menderita menikah dengan laki-laki normal, maka

anaknya perempuan normal karena individu yang heterozigot benar-

benar sehat dan semua anak laki-laki penderita. Jika suatu sifat resesif

adalah sangat jarang seperti kebanyakan kondisi abnormal, maka

peluang dua individu yang heterozigot bagi sifat ini adalah lebih besar

jika mereka memiliki hubungan keluarga daripada jika mereka tidak

memiliki hubungan keluarga. Mengingat bahwa orang tua yang

mempunyai keluarga bisa mewarisi gen yang sama dari nenek

moyangnya.

b. Pewarisan Gonosomal (gonosomal inheritance).

Pewarisan gonosomal adalah pewarisan yang dipengaruhi oleh

kromosom seks.

1. Pewarisan Gen Resesif Terpaut Kromosom X

Saat perkawin, ibu menyumbangkan satu kromosom X untuk

anaknya, sementara ayah menyumbangkan satu kromosom X untuk

anak perempuannya dan satu kromosom Y untuk anak laki-lakinya.

Misalkan kromosom X abnormal dapat dinyatakan dengan dan

kromosom X normal dengan X. Terdapat 3 kondisi pada wanita yang

dapat dinyatakan dengan kondisi kromosomnya, yaitu

a) Wanita normal, kromosom

b) Wanita karier, kromosom

c) Wanita penderita, kromosom ,

28

dan 2 kondisi pada pria, yaitu:

a) Pria normal, kromosom

b) Pria penderita, kromosom

Berdasarkan jumlah kondisi pada wanita dan pria, banyaknya

jenis perkawinan yang mungkin adalah 2x3 = 6 kondisi. Perkawinan

wanita normal dengan pria normal akan melahirkan anak yang tidak

memiliki peluang untuk terinfeksi. Sementara perkawinan antara

wanita penderita dengan pria penderita akan melahirkan anak dengan

peluang 100% untuk terinfeksi.

2. Pewarisan Gen Dominan Terpaut Kromosom X

Kromosom abnormal dapat dinyatakan dengan dan

kromosom normal dengan . Karena gen bersifat dominan, tidak

terdapat karier. Terdapat 3 kondisi pada wanita yang dapat

dinyatakan dengan kondisi kromosomya, yaitu:

a) Wanita normal, kromosom

b) Wanita penderita heterozigot, kromosom

c) Wanita penderita homozigot, kromosom

dan 2 kondisi pada pria, yaitu:

a) Pria normal, kromosom

b) Pria penderita, kromosom

Berdasarkan jumlah kondisi pada wanita dan pria, banyaknya

jenis perkawinan yang mungkin adalah 2x3 = 6 kondisi. Perkawinan

wanita normal dengan pria normal akan melahirkan anak yang tidak

29

memiliki peluang untuk terinfeksi. Sementara perkawinan antara

wanita penderita homozigot dengan pria penderita akan melahirkan

anak dengan peluang 100% untuk terinfeksi.

2. Kromosom

Bagian terkecil dari tubuh makhluk hidup dinamakan sel. Pada

suatu jenis makhluk hidup sel-sel itu tidak selalu sama bentuknya, misalnya

sel otot berbeda dengan sel syaraf maupun sel darah. Di dalam sel dari

kebanyakan makhluk terdapat kromosom. Kromosom merupakan benda-

benda halus berbentuk batang panjang/pendek dan lurus/bengkok yang

berguna membawa bahan keturunan.

Salah satu bagian kromosom adalah sentromer, yaitu bagian yang

membagi kromosom menjadi dua lengan. Pada makhluk tingkat tinggi, sel

somatis (sel tubuh kecuali sel kelamin) mengandung satu stel kromosom

yang diterima dari kedua induk/orang tua. Kromosom-kromosom yang

berasal dari induk betina berbentuk serupa dengan yang berasal dari induk

jantan. Maka sepasang kromosom itu disebut kromosom homolog. Oleh

karena itu jumlah kromosom dalam sel tubuh dinamakan diploid (2n). sel

kelamin (gamet) hanya mengandung separuh dari jumlah kromosom yang

terdapat di dalam sel somatis, karena itu jumlah kromosom dalam gamet

dinamakan haploid (n). satu stel kromosom haploid dari suatu spesies

dinamakan genom. Jumlah kromosom yang dimiliki berbagai macam

makhluk hidup tidak sama, tetapi jumlah kromosom yang dimiliki tiap

makhluk hidup pada umumnya tidak berubah selama hidupnya. Kromosom

30

dibedakan atas autosom (kromosom tubuh) dan kromosom kelamin

(kromosom seks) (Suryo, 2012: 41-42).

3. Genetika Mendel

Teori mengenai sifat turun temurun pertama kali dikerjakan oleh rahib

Austria yang bernama Gregor Mendel. Dalam salah satu percobaannya,

Mendel menggunakan biji ercis (Pisum sativum). Mendel menggunakan biji

ercis karena tanaman ini hidupnya tidak lama, memiliki bunga sempurna

dan tanaman ini memiliki tujuh sifat dengan perbedaan yang mencolok

(Suryo, 2012: 7). Mendel menyilangkan varietas biji ercis berbatang tinggi

dengan varietas biji ercis berbatang kerdil, maka semua keturunan pertama

seragam berbatang tinggi. Suatu tanda bahwa sifat tinggi mengalahkan sifat

kerdil. Sifat demikian disebut sifat dominan. Sifat yang dikalahkan disebut

sifat resesif.

4. Peristiwa Keacakan

a. Perkawinan Satu Sifat Beda (Monohibrid)

Monohibrid adalah perkawinan antara dua individu yang

mempunyai satu sifat beda (Aa). Beberapa kesimpulan penting yang

dapat diambil dari perkawinan dua individu dengan satu sifat beda antara

lain:

a) Semua individu F1 adalah seragam

b) Jika dominasi nampak sepenuhnya, maka individu F1 memiliki

fenotip seperti induknya yang dominan.

31

c) Pada waktu individu F1 yang heterozigotik itu membentuk gamet-

gamet terjadilah pemisahan alel, sehingga gamet hanya memiliki

salah satu alel saja.

d) Jika dominasi tampak sepenuhnya, maka perkawinan monohibrid (Tt

x Tt) menghasilkan keturunan yang memperlihatkan perbandingan

fenotip 3:1 (yaitu , tetapi memperlihatkan

perbandingan genotip 1:2:1 (yaitu

(Suryo,

2012: 10).

Pada marmot, rambut marmot (seperti juga pada manusia, tikus,

dll) ada yang hitam dan ada yang putih (albino). Marmot yang normal

adalah yang berambut hitam, disebabkan ia memiliki gen dominan A

yang menentukan pembentukan pigmen melanin. Alelnya a dalam

keadaan homozigotik menyebabkan melanin tidak terbentuk, sehingga

marmot berambut putih. Perkawinan antara marmot jantan hitam dengan

marmot betina albino menghasilkan keturunan F1 yang semuanya hitam.

Jika anak-anaknya dikawinkan sesamanya didapatkan keturunan F2 yang

memperlihatkan perbandingan fenotip 3 hitam : 1 putih. Perbandingan

genotipnya adalah 1 AA: 2 Aa : 1 aa (Suryo, 2012: 10)

P : (albino) (hitam)

F1 : (hitam)

32

F2

Tabel 2.1.

Perkawinan antara marmut hitam dan albino

Genotip

(hitam) (hitam)

(hitam) (albino)

b. Perkawinan Dua Sifat Beda (Dihibrid)

Dihibrid adalah perkawinan dua individu yang memiliki dua sifat

beda (AaBb). Pada hasil percobaan Mendel dengan tanaman ercis. Pada

bijinya terdapat 2 sifat beda, yaitu soal bentuk biji dan warna biji. Kedua

sifat beda ini ditentukan oleh gen-gen yang berbeda yaitu sebagai

berikut:

B = gen untuk biji bulat

b = gen untuk biji keriput

K = gen untuk biji kuning

k = gen untuk biji hijau (Suryo, 2012: 26)

Jadi bentuk bulat dan warna kuning adalah dominan. Jika tanaman

ercis berbiji bulat-kuning homozigotik (BBKK) disilangkan dengan

tanaman ercis berbiji keriput-hijau (bbkk), maka semua tanaman F1 berbiji

bulat-kuning. Apabila tanaman-tanaman F1 ini dibiarkan menyerbuk sendiri,

maka tanaman ini akan membentuk 4 macam gamet baik jantan maupun

betina masing-masing dengan kombinasi BK, Bk, bK dan bk. Akibatnya

dalam F2 diharapkan akan didapat kombinasi, yang terdiri atas 4

33

macam fenotip, yaitu tanaman berbiji bulat-kuning

bagian), berbiji

bulat-hijau

bagian), berbiji keriput-kuning

bagian), dan berbiji

keriput-hijau

bagian). Dua di antara keempat fenotip itu serupa dengan

induknya semula, yaitu yang berbiji bulat-kuning dan yang berbiji keriput-

hijau. Sedangkan dua fenotip lainnya merupakan hasil baru, yaitu yang

berbiji bulat-hijau dan yang berbiji keriput-kuning.

P :

F1 :

Macam gamet yang dibentuk

F2

Tabel 2.2.

Persilangan antara dua tanaman ercis dengan dua sifat beda.

Genotip

34

BAB III

METODE PENULISAN

Metode penulisan adalah cara yang dipakai dalam mengumpulkan data.

Tahapan penulisan meliputi: rancangan penulisan, objek penulisan, metode

pengumpulan data, analisis data dan prosedur penulisan.

A. Rancangan Penulisan

Rancangan penulisan pada dasarnya adalah rencana yang disusun

menurut tahapan tertentu untuk mencapai tujuan yang ditetapkan dalam

pelaksanaan penulisan.

Kajian literatur atau metode penelitian kepustakaan (library reseach)

yaitu sebagian besar tugas peneliti adalah berada di perpustakaan untuk mencari

dan mengutip dari berbagai macam sumber literatur berkaitan dengan

permasalahan yang hendak diteliti. Macam-macam sumber literatur antara lain:

(a) buku yang relevan; (b) jurnal ilmiah; (c) majalah ilmiah; (d) laporan hasil

penelitian; (e) surat kabar; dan sebagainya (Arifin, 2010: 39).

Rancangan dalam penulisan ini adalah studi kepustakaan yaitu

rancangan penulisan untuk menemukan penyelesaian permasalahan dalam

menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n. Penulisan ini diawali dengan

telaah pustaka terhadap aljabar matriks, yaitu peluang persilangan, matriks, nilai

eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, dan limit.

B. Objek Penulisan

Objek penulisan adalah sesuatu yang menjadi titik perhatian suatu

penulisan. Penulis menentukan objek penulisan yaitu pewarisan genotip pada

34

35

generasi ke-n. Penyelesaian pewarisan genotip generasi ke-n ini menggunakan

distribusi peluang persilangan, diagonalisasi matriks dan limit.

C. Instrumen Penulisan

Instrumen penulisan adalah semua alat yang digunakan untuk

mengumpulkan, memeriksa, menyelidiki suatu masalah, atau mengumpulkan,

mengolah, menganalisis dan menyajikan data-data secara sistematis serta

objektif dengan tujuan memecahkan suatu persoalan atau menguji hipotesis

(Agus, 2012).

Jenis instrumen yang yang digunakan dalam penulisan ini adalah

dokumentasi. Dokumentasi berasal dari kata dokumen, yang artinya barang-

barang tertulis. Jadi, penulis menggunakan instrumen dokumentasi dengan cara

menyelidiki benda-benda tertulis seperti buku-buku, jurnal-jurnal ilmiah dan

referensi lainnya.

D. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data merupakan teknik atau cara yang dilakukan

untuk mengumpulkan data (Rini, 2012). Metode pengumpulan data yang

dilakukan adalah studi kepustakaan terhadap buku-buku, jurnal-jurnal, dan

sumber-sumber kepustakaan lainnnya baik melalui media cetak maupun media

elektronik yang menunjang dan mendukung mengenai materi-materi yang

berkaitan dengan aljabar matriks, distribusi peluang, diagonalisasi matriks, limit

serta genetika.

E. Analisis Data

Analisis data adalah proses untuk mencari dan menyusun secara

sistematis data yang diperoleh dari hasil pengumpulan data (buku-buku yang

36

relevan dan jurnal) dengan cara mengorganisir data ke dalam kategori,

menjabarkan ke dalam unit-unit, melakukan sintesa, menyusun ke dalam pola,

memilih mana yang penting dan yang akan di pelajari, dan membuat simpulan

sehingga mudah dipahami oleh diri sendiri dan orang lain (Sidik, 2013).

Cara yang digunakan penulis dalam menganalisis data yaitu:

1. Menyeleksi data-data yang berhubungan dengan aljabar matriks dan

genetika.

2. Menyusun data-data yang sesuai dengan penulisan ini secara sistematis.

3. Mengkaji kembali data-data yang telah disusun dengan tujuan agar

mendapatkan gambaran yang lebih luas, mendalam dan terperinci tentang

pengimplementasian diagonalisasi matriks pada penyelidikan pewarisan

genotip pada generasi ke-n .

4. Mengimplementasikan diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan

genotip pada generasi ke-n.

5. Menarik simpulan mengenai penyelesaian dari pewarisan genotip tersebut.

F. Prosedur Penulisan

Prosedur penulisan merupakan langkah-langkah yang dilakukan penulis

dalam melakukan penulisan. Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan

dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang

berhubungan dengan topik yang diteliti.

2. Memberikan deskripsi dan pembahasan lebih lanjut tentang matriks

pada pewarisan autosomal dengan genotip pada sebuah populasi generasi

ke-n.

37

3. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut kemudian

matriksnya didiagonalisasikan.

4. Mencari bentuk persamaan eksplisit.

5. Mencari nilai limit dari hasil perhitungan tersebut.

6. Memberikan kesimpulan akhir dari hasil pembahasan.

38

BAB IV

PEMBAHASAN

Setelah bab pendahuluan, maka penulis akan membahas tentang implementasi

diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n.

Pada pembahasan ini akan dijabarkan bagaimana cara menentukan kromosom dari

orang tua yang akan diteruskan kepada generasi berikutnya (keturunan). Yaitu

perkawinan silang dua induk yang memiliki dua sifat beda (dihibrid) yang akan

dikawinkan secara terkontrol.

A. Penentuan Distribusi Genotip dari Pewarisan.

Sifat yang diturunkan dalam hal ini diasumsikan diatur oleh dua

kromosom (pembawa sifat) yang dilambangkan dengan huruf AABB dan aabb.

Berdasarkan penurunan autosomal (autosomal inheritance), setiap individu

dalam populasi masing-masing kelamin akan memiliki dua di antara kromosom-

kromosom berikut, yakni pasangan-pasangan yang dinyatakan dengan AABB,

AABb, Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb. Pasangan kromosom-

kromosom ini disebut genotip (genotype) individu, dan genotip ini akan

menentukan bagaimana suatu sifat yang dikendalikan oleh kromosom-

kromosom tersebut dimanifestasikan pada suatu individu.

Misalnya dalam pewarisan autosomal, suami istri masing-masing normal

tetapi keduanya pembawa gen untuk albino. Maka pewarisan suami istri itu

dapat digambarkan sebagai berikut:

38

39

Tabel 4.1

Persilangan dua sifat beda antara laki-laki dan perempuan pembawa

penyakit bagi warisan autosomal

Genotip

Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa

dari persilangan dihibrid

bergenotip AABB,

dari persilangan dihibrid bergenotip AABb,

dari

persilangan dihibrid bergenotip AAbb,

dari persilangan dihibrid bergenotip

AaBB,

dari persilangan dihibrid bergenotip AaBb,

dari persilangan dihibrid

bergenotip Aabb,

dari persilangan dihibrid bergenotip aaBB,

dari aaBb dan

dari persilangan dihibrid bergenotip aabb. Maka dapat dinyatakan bahwa

dari anak mereka adalah normal (AABB) dan

lagi carier atau penderita

penyakit (aabb). Hasil dari persilangan karakter F1 kemudian akan

menghasilkan F2 dengan pola distribusi .

Dengan memperhatikan tabel di atas tentang persilangan dan

kemungkinan-kemungkinan keturunan yang dihasilkan, maka selanjutnya akan

dipaparkan secara langsung dari probabilitas dari genotip yang mungkin pada

keturunan untuk seluruh kombinasi yang mungkin dari genotip induknya

40

Tabel 4.2

Peluang dari Persilangan Dua Individu untuk Pewarisan Autosomal

Genotip

keturunan

Genotip dari kedua orang tua

A

A

B

B

-

A

A

B

B

A

A

B

B

-

A

A

B

b

A

A

B

B

-

A

A

b

b

A

A

B

B

-

A

a

B

B

A

A

B

B

-

A

a

B

b

A

A

B

B

-

A

a

b

b

A

A

B

B

-

a

a

B

B

A

A

B

B

-

a

a

B

b

A

A

B

B

-

a

a

b

b

A

A

B

b

-

A

A

B

b

A

A

B

b

-

A

A

b

b

A

A

B

b

-

A

a

B

B

A

A

B

b

-

A

a

B

b

A

A

B

b

-

A

a

b

b

A

A

B

b

-

a

a

B

B

A

A

B

b

-

a

a

B

b

A

A

B

b

-

a

a

b

b

A

A

b

b

-

A

A

b

b

A

A

b

b

-

A

a

B

B

A

A

b

b

-

A

a

B

b

A

A

b

b

-

A

a

b

b

A

A

b

b

-

a

a

B

B

A

A

b

b

-

a

a

B

b

A

A

b

b

-

a

a

b

b

A

a

B

B

-

A

a

B

B

A

a

B

B

-

A

a

B

b

A

a

B

B

-

A

a

b

b

A

a

B

B

-

a

a

B

B

A

a

B

B

-

a

a

B

b

A

a

B

B

-

a

a

b

b

A

a

B

b

-

A

a

B

b

A

a

B

b

-

A

a

b

b

A

a

B

b

-

a

a

B

B

A

a

B

b

-

a

a

B

b

A

a

B

b

-

a

a

b

b

A

a

b

b

-

A

a

b

b

A

a

b

b

-

A

a

B

B

A

a

b

b

-

a

a

B

b

A

a

b

b

-

a

a

b

b

a

a

B

B

-

a

a

B

B

a

a

B

B

-

a

a

B

b

a

a

B

B

-

a

a

b

b

a

a

B

b

-

a

a

B

b

a

a

B

b

-

a

a

b

b

a

a

b

b

-

a

a

b

b

AABB 1

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AABb 0

1 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Aabb 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

AaBB 0 0 0

0 1

0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AaBb 0 0 0 0

0

1 0 0

0

0 1

0 0

0

0

0 0 0 0 0 0 0

41

Aabb 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0 0

0

1 0 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0 0 0 0

aaBB 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0 0 0 0 0 1

0

0 0

aaBb 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0 0

1

0

aabb 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0 0 0

1

42

B. Implementasi Diagonalisasi Matriks pada Pewarisan Genotip

Dalam pembahasan ini akan dibahas tentang bagaimana cara kromosom

dari orang tua yang diteruskan pada keturunannya. Matriks yang akan dibentuk

menunjukkan genotip yang mungkin pada keturunan dengan mengacu pada

genotip induknya, sehingga akan diperoleh distribusi genotip dari satu populasi

sampai generasi-generasi selanjutnya.

Untuk lebih memperjelas implementasi diagonalisasi matriks untuk

menyelidiki keturunan sampai generasi ke-n, maka digunakan langkah-langkah

penyelesaian berdasarkan teori Howard Anton sebagai berikut:

1. Bentuklah persamaan linier dari tabel yang menjelaskan tentang peluang

dari masing-masing genotip, sehingga didapat persamaan dalam notasi

matriks dan bentuklah matriks A.

2. Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga diperoleh pula vektor-

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen tersebut.

3. Bentuklah matriks P dari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan

nilai eigen tersebut.

4. Subtitusikan matriks A dengan matriks D yang sudah terlebih dahulu

didiagonalisasikan oleh matriks P kemudian bentuklah sebuah persamaan

eksplisit.

5. Carilah limit dari masing-masing persamaan untuk n menuju tak hingga.

Berdasarkan langkah-langkah di atas maka pewarisan autosomal dan

penyakit yang terpendam dapat ditampilkan sebagai berikut:

43

1. Pewarisan Autosomal

Kemungkinan-kemungkinan dari genotip yang memiliki individu dari hasil

persilangan adalah sebagai berikut:

Tabel 4.3

Peluang Genotip Persilangan Individu Normal Heterozigot

dengan Individu Carier

Genotip

dari

keturunan

Genotip dari kedua orang tua

AABB-

AABB

AABB-

AABb

AABB-

AAbb

AABB-

AaBB

AABB-

AaBb

AABB-

Aabb

AABB-

aaBB

AABB-

aaBb

AABB-

aabb

1

0

0 0 0 0

0

1 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 1

0

0 0 0 0

0

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

44

Langkah 1: Bentuklah persamaan linier dari tabel peluang masing-masing

genotip sehingga diperoleh persamaan dalam bentuk matriks dan

buatlah matriks A.

Untuk menghitung probabilitas gen yang dimiliki satu individu maka dapat

dibuat:

untuk

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABB pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABb pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AAbb pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBB pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBb pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip Aabb pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aaBB pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aaBb pada generasi ke-n

fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aabb pada generasi ke-n

Sehingga serta menyatakan distribusi

permulaan dari genotip-genotip itu. Selain itu juga terdapat:

untuk

Dari tabel tersebut dapat ditentukan distribusi genotip setiap generasi dari

distribusi genotip generasi terdahulu dengan menggunakan persamaan. Dimana

persamaan itu menyatakan bahwa semua turunan yang dihasilkan yakni

dari individu yang bergenotip AABB, AABb,

Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb yang dinyatakan dalam

45

. Sedangkan koefisien-

koefisien dari ketiga persamaan itu berasal dari probabilitas genotip yang

mungkin dimiliki oleh individu tersebut dari hasil perkawinan, persamaan itu

adalah:

(3.1)

Pada persamaan (3.1) dari kesembilan persamaan di atas menunjukkan bahwa

seluruh keturunan pada genotip AABB akan mempunyai genotip AABB dalam

program pengembangbiakan ini, setengah dari keturunan dengan genotip AABb,

AaBB dan AaBb akan mempunyai genotip AABB dalam program

pengembangbiakan ini, dan nol dari turunan dengan genotip Aabb, Aabb, aabb,

aaBB dan aaBb akan mempunyai genotip AABB.

Kemudian dapat ditulis persamaannya dalam notasi matriks berikut:

(3.2)

Dimana

46

[ ]

,

[ ]

dan

[

]

Langkah 2: Carilah nilai eigen dari matriks A dan mencari vektor eigen dari

masing-masing nilai eigen.

Dengan menggunakan matriks A di atas, maka dapat dicari nilai eigen dan

vektor eigen yaitu:

[ ]

[

]

| |

47

[

]

(

) (

)(

)

Atau dengan menggunakan software maple (terlampir halaman 93) maka

didapat nilai eigen sebagai berikut:

,

, ,

,

,

Selanjutnya mencari vektor eigen dari masing-masing nilai eigen.

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut

48

[

]

[

]

[

]

[

]

49

[

]

[

]

[

]

Sehingga persamaan yang bersesuaian adalah:

, ,

,

,

.

Maka dan

50

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah:

[ ]

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut

51

[

]

[

]

[

]

[ ]

52

[ ]

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

, ,

, ,

, ,

, .

Ambil , misalkan

Maka , , , dan

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah

[ ]

Untuk

53

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:

[

]

[

]

54

[

]

[

]

[

]

Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

Ambil ,

maka

55

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah

[ ]

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut

[

]

56

[

]

[

]

[ ]

[ ]

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

, ,

, ,

57

, ,

, ,

Ambil , misalkan

Maka , , , dan

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah

[ ]

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

58

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan:

[

]

[

]

[

]

Maka sistem persamaan yang sesuai adalah:

, ,

, ,

, ,

59

,

Ambil dimana

Maka

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah:

[ ]

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:

[

]

60

[

]

[

]

[

]

Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

Ambil ,

61

maka

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah

[ ]

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:

[

]

62

[

]

[

]

[

]

[

]

63

Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

Ambil dengan

maka

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah

[ ]

Untuk

[

]

[ ]

[ ]

64

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:

[

]

[

]

[

]

[

]

65

[

]

Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

Ambil dengan

maka

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah

[ ]

Untuk

66

[

]

[ ]

[ ]

Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:

[

]

[

]

67

[

]

[

]

[

]

Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:

Ambil , dengan

maka

68

Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah

[ ]

Langkah 3: membentuk matriks P dari vektor-vektor eigen yang sesuai

dengan nilai-nilai eigen

Akhirnya diperoleh:

[ ]

[

]

Dan

[ ]

[ ]

Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari matriks P dengan cara

mereduksi matriks P menjadi matriks identitas.

69

[

]

[

]

[

]

[

]

70

[

]

[

]

[

]

[

]

71

[

]

[

]

[

]

[

]

72

[

]

[

]

[

]

[

]

73

[

]

[

]

[

]

[

]

74

[

]

Dalam perhitungan manual didapatkan invers matriks P adalah

[ ]

Perhitungan invers manual ini diperkuat dengan perhitungan menggunakan

maple (terlampir halaman 94) yakni:

[ ]

Langkah 4: mensubtitusikan matriks A dengan matriks D yang terlebih

dahulu didiagonalisasikan oleh matriks P dan kemudian

bentuklah sebuah persamaan eksplisitnya.

Pada persamaan (3.2) jika A dipangkatkan 2, maka persamaan tersebut menjadi:

75

Proses tersebut dapat diulang untuk pangkat bilangan bulat yang lebih tinggi,

sehingga hasil umumnya adalah:

(3.3)

Sebagai konsekuensinya, jika kita dapat mencari sebuah pernyataan eksplisit

untuk , maka dapat digunakan persamaan (3.3) untuk mendapatkan

pernyataan eksplisit . Untuk mendapatkan pernyataan eksplisit untuk ,

maka mula-mula dengan cara mendiagonalisasikan matriks A. Yakni, kita cari

matriks P yang dapat dibalikkan dan matriks diagonal D sedemikian rupa

sehingga:

Dengan diagonalisasi seperti itu, maka diperoleh:

untuk (3.4)

Dimana

[

]

[

]

Berdasarkan persamaan , sehingga diperoleh:

76

[ ]

[ ]

[

(

)

(

)

(

)

]

[ ]

[ ]

[ ]

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

[ ]

[ ]

77

[ ]

(

(

) (

) (

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

) ( ) (

) (

) ( ) ( ) (

) ( ) (

)

( )

( )

( )

( )

)

[ ]

[ ( (

)

) ( (

)

) ( (

)

) ( (

)

) ( (

)

) ( (

)