Download - Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n
-
i
IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS
UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA
GENERASI Ke-n
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan
dalam memperoleh gelar Strata Satu
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh :
DEDI HARIYANTO
NIM 105.532
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
JOMBANG
2014
-
ii
SKRIPSI
IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS
UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA
GENERASI Ke-n
Oleh :
DEDI HARIYANTO
NIM 105.532
telah disetujui pada tanggal 05 Maret 2014
Pembimbing
Rohmatul Umami, S.Si, M.Si.
-
iii
SKRIPSI
IMPLEMENTASI DIAGONALISASI MATRIKS
UNTUK MENYELIDIKI PEWARISAN GENOTIP PADA
GENERASI Ke-n
yang telah dipersiapkan dan disusun oleh
DEDI HARIYANTO
Nim 105.532
Dewan Penguji
Ketua Penguji
Nama
: Edy Setyo Utomo, M. Pd.
Tanda Tangan
............................................
Penguji I
: Rohmatul Umami, S. Si, M.Si.
............................................
Penguji II
: Esty Saraswati. N. H, S.Pd, M.Pd
.....................................
Mengesahkan,
Ketua Program Studi
Pendidikan Matematika,
Dr. Wiwin Sri Hidayati, M. Pd
NIP. 19730502 200501 2 001
-
iv
PERSEMBAHAN
Kuingat Engkau di saat malam kian pekat,
Tak ada hasrat untuk lelap dan nyenyak,
Pikiran dan hati hanya tertuju padaMu,
Kaulah yang paling mengerti dan setia mendampingiku,
Kusadari diri ini tak luput dari salah kepadaMu,
Terlalu mudahnya ku tergoda akan indahnya dunia,
Lelah diri mengejar ambisi,
Lemah lunglai saatnya menghampiri jiwa,
Berkali-kali aku terjatuh dan terlelah,
Hingga hampir hilang arah, menyerah dan mengaku kalah,
Aku tak lebih dari jiwa tanpa nyawa,
Ketika ku kembali pada diriMu,
Kuserahkan nasibku yang telah tergores luka,
Kau beri aku kekuatan untuk bangkit dan bersemangat,
Ragu di awal,
Tapi semangat dan nikmat yang berlimpah yang akhirnya Kau berikan,
Kasih sayangMu masih terekam jelas dalam memoriku,
Tiada hari tanpa syukurku padaMu,
Karena Engkau adalah sandaran hatiku,
Hidup matiku kuserahkan padaMu,
-
v
Dengan cintaMu dan karena kasih sayangMu
Kupersembahkan secuil karya ini
Buat orang-orang tercinta dan tersayang.
Untuk ibuku Minati yang tercinta, yang tidak pernah lelah mendoakanku dari
hari ke hari, hingga air matamu terjatuh mengiringi perjalananku.
Untuk Bapakku Prihastono, yang tak pernah lelah mencari nafkah untuk
memenuhi kebutuhan hidupku dari kecil hingga sekarang, dan selalu memberikan
semangat ketikaku rapuh.
Untuk ketiga adikku Dani Aditya Prasetyanto, Septi Ayu Ramadhani dan
Dzakiyya Talita Sakhi, yang selalu mewarnai hari-hariku.
Untuk semua keluargaku yang selalu memotivasi aku.
Untuk ibu Rohmatul Umami, S.Si., M.Si, yang senantiasa membimbingku dalam
pembuatan skripsi.
Untuk semua dosen STKIP PGRI Jombang yang telah mencurahkan ilmunya
kepadaku.
Untuk sahabat-sahabatku Nur Ainni Islamiah, Amy, Muhammad Yusron Ali
yang setia mendampingi dan memberikan pengetahuan serta pengalaman kalian
kepadaku.
Untuk sahabat-sahabat SMAku Da_Fecia, Mbak Qiqi, Mbak Sartika dan Rudi
makasih atas bantuannya
Untuk teman-temanku Evi Novitasari, Icha Wulandari, Sri Fatmawati, Lilin
Ratnasari, M. Abu Amar yang selalu memberi kemudahan aku ketika ku kuliah.
Untuk teman-teman PPL MAN Jombang dan teman-teman KKN SMKN 1
Jombang, terima kasih atas kerjasamanya.
Dan semua yang tak bisa ku sebutkan satu persatu yang selalu memberi suport buat
aku...... Thanks All......
-
vi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobbil alamin, segala puji syukur peneliti panjatkan
kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, taufik dan hidayah-Nya peneliti dapat
menyelesaikan skripsi dengan judul Implementasi Diaogonalisasi Matriks
untuk Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.
Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita
nabi besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat-Nya yang telah
mengantarkan kita kepada jalan yang benar.
Suatu kebanggaan bagi peneliti karena dapat menyelesaikan penelitian
skripsi ini yang tentunya tidak lepas dari dukungan semangat dan segenap bantuan
dari beberapa pihak, karenanya dalam kesempatan ini peneliti menyampaikan
banyak terima kasih yang sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya
kepada :
1. Dr. H. Winardi , S.H, M.Hum , selaku ketua STKIP PGRI Jombang.
2. Dr. Heni Sulistyowati, M. Hum selaku Kepala Pusat Penelitian.
3. Dr. Wiwin Sri Hidayati, S.Pd, M.Pd, selaku ketua Program Pendidikan
Matematika.
4. Rohmatul Umami, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang telah
meluangkan waktunya untuk untuk membimbing dan mengarahkan peneliti
demi kebaikan isi skripsi.
5. Seluruh pihak yang tidak dapat peneliti sebutkan satu persatu.
-
vii
Semoga dengan segenap bantuan yang diberikan kepada peneliti menjadi
amal sholeh dan semoga Allah memberikan balasan yang sepantasnya. Peneliti
menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini jauh dari kata sempurna dan masih banyak
kekurangan, seperti pepatah tak ada gading yang tak retak. Oleh karena itu,
kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penelitian
selanjutnya.
Akhirnya, semoga skripsi ini bermanfaat dan dapat menambah wawasan
keilmuan bagi semua para pembaca. Amiin.
Jombang, 05 Maret 2014
Peneliti
-
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL
HALAMAN PERSETUJUAN ................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. iv
KATA PENGANTAR ................................................................................ vi
DAFTAR ISI .............................................................................................. viii
DAFTAR TABEL ....................................................................................... x
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................ xi
ABSTRAK ................................................................................................. xii
ABSTRACT ............................................................................................... xiii
BAB I : PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah .................................................................. 1
B. Batasan Masalah Penelitian .............................................................. 3
C. Perumusan Masalah Penelitian ........................................................ 3
D. Tujuan Penelitian ............................................................................. 3
E. Manfaat Penelitian .......................................................................... 4
F. Definisi Operasional ........................................................................ 4
BAB II : KAJIAN PUSTAKA
A. Kajian Tentang Matriks ................................................................... 6
1. Pengertian Matriks ...................................................................... 6
2. Jenis-Jenis Matriks ..................................................................... 8
3. Perkalian Matriks ........................................................................ 12
4. Perpangkatan Matriks dan Polinomial dalam Matriks ................. 13
5. Determinan dan Invers Matriks ................................................... 14
6. Nilai eigen dan Vektor Eigen ...................................................... 17
7. Diagonalisasi Matriks ................................................................. 19
B. Genetika ........................................................................................... 25
1. Jenis-jenis Pewarisan .................................................................. 26
-
ix
a. Penurunan Autosomal (autosomal inheritance) ........................ 26
b.Penurunan Gonosom ................................................................ 27
2. Kromosom ................................................................................... 29
3. Genetika Mendel ........................................................................ 30
4. Peristiwa Keacakan ..................................................................... 30
a. Perkawinan Satu Sifat Beda (Monohibrid) ............................. 30 30
b. Perkawinan Dua Sifat Beda (Dihibrid) ................................... 32
BAB III : METODE PENULISAN
A. Rancangan Penulisan ........................................................................ 34
B. Objek Penulisan ............................................................................... 34
C. Instrument Penulisan ........................................................................ 35
D. Metode Pengumpulan Data ............................................................... 35
E. Analisis Data .................................................................................... 35
F. Prosedur Penelitian ........................................................................... 36
BAB IV: PEMBAHASAN MASALAH
A. Penentuan Distribusi Genotip dari Pewarisan Autosomal ................. 38
B. Implementasi Diagonalisasi Matriks pada Pewarisan Genotip .......... 42
a. Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance) ............................. 43
b. Penyakit-penyakit Resesif Autosomal .......................................... 80
BAB IV: PENUTUP
A. Simpulan ......................................................................................... 92
B. Saran ............................................................................................... 93
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 94
LAMPIRAN ................................................................................................ 95
-
x
DAFTAR TABEL
Tabel Judul Halaman
2.1 Perkawinan Marmut Putih dan Albino
(Monohibrid)
32
2.2 Persilangan Dihibrid 33
4.1 Persilangan Dua Sifat Beda antara Laki-
Laki dan Perempuan Pembawa Penyakit
bagi Warisan Autosomal
39
4.2 Peluang dari Persilangan Dua Individu
Pewarisan Autosomal
40
4.3 Peluang Genotip Persilangan Individu
Normal Heterozigot dengan Individu
carier
43
4.4 Peluang Genotip Persilangan Dihibrid
antara Laki-Laki Penderita dan
Perempuan Normal
81
-
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Keterangan Halaman
Lampiran 1 Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor
Eigen dan Invers Matriks Baru yang
Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan
Individu Normal Heterozigot dan Carier
dengan Softwere Maple.
95
Lampiran 2 Perhitungan Polinomial, Nilai Eigen, Vektor
Eigen dan Invers Matriks Baru yang
Dibentuk oleh Tabel Peluang Persilangan
Dua Sifat Beda antara Laki-Laki Normal
dan Perempuan Carier dengan Softwere
Maple.
96
-
xii
ABSTRAK
Hariyanto, Dedi. 2014. Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk Menyelidiki
Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n. Dosen pembimbing : Rohmatul
Umami, S.Si, M.Si.
Kata Kunci : matriks, nilai eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, genotip.
Ilmu matematika dan biologi merupakan ilmu yang selalu berkembang
sejalan perkembangan zaman dan teknologi yang ada. Keduanya saling berkaitan,
salah satu contoh penerapannya adalah diagonalisasi matriks dalam menyelidiki
pewarisan genotip pada generasi ke-n. Adapun rumus yang digunakan adalah
dimana D merupakan matriks diagonal, A merupakan matriks yang diperoleh dari tabel peluang persilangan genotip, P merupakan matriks yang
tersusun dari vektor eigen yang sesuai dengan nilai-nilai eigen matriks A, dan adalah matriks invers dari P. Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui
implementasi diagonalisasi matriks pada pewarisan autosomal dan bentuk
persamaan eksplisit dalam fraksi-fraksi dari AABB, AABb, Aabb, AaBB, AaBb,
Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb pada suatu generasi ke-n.
Metode yang digunakan penulis adalah kajian literatur atau metode
penelitian kepustakaan yaitu sebagian besar tugas penulis adalah berada di
perpustakaan untuk mengumpulkan data dari berbagai macam sumber literatur
yakni buku-buku dan jurnal. Selanjutnya penulis melakukan pencarian distribusi
peluang persilangan pewarisan genotip melalui tabel persilangan. Dari tabel
tersebut penulis membentuk matriks A dan kemudian mencari nilai eigen dan
vektor eigen. Hasil dari pencarian vektor eigen maka penulis membentuk matrik
baru yakni matriks P yang kemudian kita cari inversnya. Dengan menggunakan
rumus diagonalisasi maka akan terbentuk persamaan eksplisit yang kemudian dicari
nilainya melalui limit n tak hingga.
Dari hasil perhitungan didapat bahwa pada generasi ke-n, dimana limit n
mendekati tak hingga diperoleh bahwa warisan autosomal dan pewarisan penyakit
terpendam semua turunannya akan normal atau bergenotip AABB, yakni tidak ada
lagi generasi yang menderita atau membawa penyakit.
-
xiii
ABSTRACT
Hariyanto, Dedi. 2014. Implementation of Matrix Diagonalyzation to Investigate
Genotype Inheritance at n generation. Advisor : Rohmatul Umami, S.Si,
M.Si.
Key Words : matrix, eigen values, eigen vector, matrix diagonalyzation, genotype
Math and biology are developed knowledge that always followed the
development of era and technology. Both ot thein are related each other, such as in
assembling of matrix diagonalization to observ human genotype for generation to-
n. The formula used is , where D is a diagonal matrix, A is a matrix derived from crosses genotype odds table, P is a matrix composed of the
eigenvectors corresponding to the eigenvalues of the matrix A, and is the inverse matrix of P. The purpose of this study is to investigate the implementation
of the matrix diagonalization autosomal inheritance and explicit form of the
equations in fractions of AABB, AABB, AABB, AABB, AABB, AABB, AABB,
AABB, and AABB at an n-th generation.
The method used is a literature review or research methods literature that
the bulk of writers are in the library is to collect data from various literature sources
namely books and journals. Furthermore, the authors conduct a cross inheritance
genotype distribution opportunities through cross table. From the table, the authors
form a matrix A and then finding eigenvalues and eigenvectors. The results of the
search, the authors eigenvectors forming a new matrix that is the matrix P which we
then find its inverse. By using the diagonalization formula it will form an explicit
equation is then searched its value through an infinite n limit.
From the calculation results obtained that generation to-n, where the limit
n approaches infinity is obtained that autosomal inheritance and latent disease in
autosomal inheritance of all derivatives will be normal or genotype AABB, ie no
more generations suffer or carry disease.
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ilmu matematika dan biologi merupakan ilmu yang selalu berkembang
sejalan dengan perkembangan zaman dan teknologi yang ada. Dimana
berbagai konsep ilmu matematika menjadi alat analisis yang penting di
dalamnya. Salah satunya adalah bahasa matematika yang dapat diterapkan
dalam ilmu biologi yakni genetika.
Genetika (ilmu keturunan) tergolong dalam Ilmu Hayat yang
mempelajari turun temurunnya sifat-sifat induk atau orang tua kepada
keturunannya (Suryo, 2012). Oleh karena itu manusia ingin mengetahui segala
ihwal mengenai keturunan, manusia juga ingin mengetahui pula rahasia dirinya
sendiri. Penyelidikan pewarisan genotip merupakan aplikasi genotip, dimana
manusia selalu memiliki suatu susunan gen yakni gen dominan dan gen resesif
(sifat yang tidak muncul pada keturunan).
Dalam pewarisan genetika terdapat istilah pewarisan sifat autosomal.
Yakni sifat keturunan yang ditentukan oleh gen pada autosom (kromosom di
luar kromosom seks). Dalam warisan autosomal (autosomal inheritance),
setiap individu dalam populasi yang terdiri dari kedua jenis kelamin akan
memiliki kedua jenis gen ini, dengan kemungkinan pasangan gen dinyatakan
dengan AABB, AABb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb. Pasangan-
pasangan kromosom ini dinamakan dengan genotip individu yang dapat
1
-
2
menentukan bagaimana sifat yang dikendalikan oleh kromosom-kromosom itu
yang dimanifestasikan dalam individu.
Salah satu contoh pewarisan autosom dalam kehidupan sehari-hari yaitu
penyakit keturunan/bawaan. Albino merupakan suatu kelainan yang terjadi
pada warna kulit dan organ tubuh lainnya. Orang albino tidak memiliki pigmen
melanin sehingga rambut dan badannya bewarna putih. Gen albino dikendalikan
oleh gen resesif a. jika orang normal memiliki genotip Aa atau AA, sedangkan
orang albino bergenotip aa (Karmana, 2008:129).
Untuk menyelidiki pewarisan genotip dapat diselesaikan dengan
menggunakan konsep matematika subbab aljabar matrik, yaitu diagonalisasi
matriks. Diagonalisasi matriks merupakan alat bantu yang akan mempermudah
manusia dalam mengetahui pewarisan genotip pada keturunan yang tak hingga
dibanding dengan menyilangkan satu persatu induk untuk mendapatkan
keturunan terbaik atau bahkan sama dengan induk sebelumnya.
Adapun rumus yang digunakan dalam penyelidikan pewarisan genotip ini
adalah . Dimana D adalah diagonalisasi matriks, A adalah
matriks yang diperoleh dari tabel peluang persilangan dihibrid, P
merupakan matriks yang terbentuk dari vektor eigen matriks A, dan
adalah matriks invers/balikan dari matriks P.
Dari uraian yang telah dijabarkan di atas, peneliti bermaksud untuk
melakukan penelitian tentang, Implementasi Diagonalisasi Matriks untuk
Menyelidiki Pewarisan Genotip pada Generasi ke-n.
-
3
B. Batasan Masalah
Agar pembahasan penelitian ini tidak meluas, maka peneliti perlu
memberikan batasan-batasan sebagai berikut:
1. Pewarisan genotipnya yang dibahas hanya pada pewarisan autosomal
2. Menggunakan perkawinan silang dengan dua sifat beda (dihibrid) dengan
perkawinan yang terkontrol (perkawinan yang memperhatikan genotip/
perkawinan yang sudah diatur atau tak bebas).
3. Bentuk persamaan eksplisit terjadi pada fraksi-fraksi AABB, AABb, Aabb,
AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, aaBb, dan aabb genotip pada sebuah populasi
generasi ke-n dari fraksi-fraksi genotip awal.
C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dapat dirumuskan permasalahan sebagai
berikut :
1. Bagaimana implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki
pewarisan genotip pada generasi ke-n?
2. Bagaimana penyelesaian persamaan eksplisit (persamaan yang dihasilkan
dari tabel persilangan dihibrid) dalam fraksi-fraksi (bagian kecil dari suatu
populasi) dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb
genotip pada sebuah populasi generasi ke-n?
D. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Untuk mengetahui implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki
pewarisan genotip pada generasi ke-n.
-
4
2. Untuk mengetahui penyelesaian persamaan eksplisit (persamaan yang
dihasilkan dari tabel persilangan dihibrid) dalam fraksi-fraksi (bagian kecil
dari suatu populasi) dari AABB, AABb, AAbb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB,
dan aabb genotip pada sebuah populasi generasi ke-n
E. Manfaat Penelitian
Dalam penelitian ini ada beberapa manfaat yang ingin dicapai oleh
peneliti, yaitu:
1. Manfaat Teoristis
Peneliti berharap hasil penelitian ini dapat memberikan informasi tentang
implementasi matematika terutama pada subbab diagonalisasi matriks.
2. Manfaat Praktis
a. Manfaat bagi peneliti
Dapat menambah wawasan peneliti untuk mengetahui tentang
implementasi diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan
genotip pada generasi ke-n.
b. Manfaat bagi pembaca atau peneliti lain.
Penelitian ini diharapkan dapat berguna sebagai pedoman bagi
penelitian selanjutnya.
F. Definisi Operasional
Agar tidak terjadi perbedaan penafsiran tentang maksud dan arti
keseluruhan dari judul penelitian, peneliti akan mengemukakan arti dari
beberapa istilah yang ada pada judul penelitian, antara lain:
1. Implementasi adalah pelaksanaan, alat yang dipergunakan untuk
melaksanakan atau menyelesaikan pekerjaan tertentu (Yasin & Sunarto,
-
5
1990:110). Jadi implementasi adalah penerapan ilmu matematika terhadap
ilmu biologi untuk menyelesaikan masalah penyelidikan pewarisan genotip.
2. Diagonalisasi matriks adalah suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat
didiagonalisasi (diagonazable) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat
dibalik sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks
diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi (diagonalize) A (Anton,
2004:395). Jadi diagonalisasi matrik merupakan pendiagonalisasian matriks
A (matriks yang dihasilkan oleh tabel peluang persilangan dihibrid) oleh
matriks P (matriks yang dihasilkan oleh vektor eigen matriks A) dan
merupakan balikan dari matriks P.
3. Pewarisan merupakan transmisi informasi genetika dari leluhur atau tertua
kepada keturunanya (Rifai, 2004:371). Sehingga kata lain pewarisan
merupakan penurunan sifat genotip dari individu kepada keturunan.
4. Genotip merupakan konstitusi genetika suatu makhluk hidup, untuk
membedakannya dari penampilan fisiknya (fenotipe) (Rifai, 2004:144). Jadi
genotip merupakan susunan gen yang menentukan sifat-sifat suatu individu.
Jadi yang dimaksud dengan implementasi diagonalisasi matriks untuk
menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n merupakan penerapan salah
satu cabang ilmu matematika terhadap ilmu biologi untuk menyelesaikan
permasalahan penyelidikan suatu persilangan genotip dimana peluang
persilangan tersebut diubah dalam bentuk matriks dan dicari diagonalisasinya
agar kita mengetahui pewarisan genotip yang terjadi pada generasi setelah
leluhur/induk.
-
6
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Aljabar Matriks
Aljabar matriks dikembangkan oleh matematika Inggris yaitu Arthur
Cayley pada tahun 1857. Cayley merupakan orang yang pertama kali
mengkaitkan matriks dengan transformasi linier. Matriks berkembang karena
peranannya dalam cabang-cabang matematika lainnya, bidang ekonomi,
industri dan transportasi. Dengan menggunakan matriks, penyelesaian sistem
persamaan linier akan lebih mudah (Subagio, 1986: 1).
1. Definisi Matriks
Definisi 2.1:
Matriks adalah susunan bilangan atau simbol yang diatur menurut baris-
baris dan kolom-kolom yang berbentuk persegi panjang dan disajikan
dalam tanda kurung atau kurung siku (Subagio, 1986: 2).
Definisi 2.2:
Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. (Anton,
2004: 51).
Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks.
Secara umum elemen matriks dinyatakan dengan huruf kecil dan huruf
kapital untuk melambangkan matriks.
Ukuran matriks dapat diberikan oleh jumlah baris (garis
horizontal/mendatar/i) dan kolom (garis vertikal/menurun/j). Matriks tidak
mempunyai nilai, tetapi mempunyai ukuran yang disebut ordo suatu
6
-
7
matriks. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya
kolom matriks tersebut. Suatu matriks yang mempunyai m baris dan n
kolom dinyatakan dengan:
[
]
Elemen-elemen baris ke 1 adalah:
Elemen-elemen kolom ke 1 adalah:
Dengan demikian matriks A dapat dinyatakan dengan ( ) ,
dengan menunjukkan baris dan
menunjukkan kolom. Dua buah matriks dikatakan sama bila ordonya sama
dan mempunyai unsur yang sama di dalam setiap posisinya.
Contoh 1:
Jika [
] maka:
a) A mempunyai ...... baris dan ...... kolom
b) Elemen baris ke 3 adalah ......
c) Elemen kolom ke 2 adalah .....
d) Element baris ke 2 kolom ke 4 adalah ......
e) 6 adalah elemen baris ke ...... kolom ke ......
Penyelesaian 1:
a A mempunyai 3 baris dan 4 kolom
-
8
b Elemen baris ke 3 adalah
c Elemen kolom ke 2 adalah
d Elemen baris ke 2 kolom ke 4 adalah
e 6 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 3
2. Jenis-Jenis Matriks.
Dengan memperhatikan banyaknya baris, banyaknya kolom serta
elemen-elemen dalam suatu matriks kita akan mengetahui jenis-jenis
matriks, antara lain:
1) Matriks Baris.
Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks
baris. Matriks baris disebut juga Vektor baris.
Contoh 2:
[ ] , [ ]
2) Matriks Kolom.
Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks
kolom, yang disebut juga Vektor kolom
Contoh 3:
[ ] , *
+
3) Matriks Bujur sangkar.
Suatu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya
kolom disebut matriks bujur sangkar, yang dinyatakan dengan .
Matriks disebut matriks bujur sangkar ordo
-
9
Contoh 4:
Matrriks bujur sangkar ordo 2
*
+ ,
Matriks bujur sangkar ordo 3
[
]
Matriks bujur sangkar ordo n
[ ]
Elemen-elemen matriks bujur sangkar:
disebut elemen diagonal utama dan
disebut elemen diagonal kedua.
Hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal utama
dan elemen diagonal kedua.
4) Matriks Diagonal.
Matriks bujur sangkar dengan semua elemen-elemen yang bukan
elemen diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal. Dengan
kata lain matriks [ ] disebut matriks diagonal, jika untuk
Contoh 5:
*
+ , [
]
-
10
5) Matriks Skalar.
Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal
utama semua sama dengan dan
Contoh 6:
*
+ , [
]
6) Matriks Identitas.
Matriks identitas adalah matriks skalar dengan elemen-elemen
diagonal utama semua 1.
Contoh 7:
*
+ , [
]
7) Matriks Segitiga.
Ada dua macam matriks segitiga, yaitu matriks segitiga atas dan
matriks segitiga bawah.
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen yang terletak di bawah elemen diagonal utama semua
nol. Dengan kata lain [ ] disebut matriks segitiga atas jika
untuk .
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen yang terletak di atas elemen diagonal utama semua nol.
Dengan kata lain [ ] disebut matriks segitiga bawah jika
untuk .
-
11
Contoh 8:
Matriks segitiga atas
[
] , [
]
Matriks segitiga bawah.
[
] , [
]
8) Matriks Nol.
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya adalah
nol.
Contoh 9:
*
+ , [
]
9) Matriks Simetris.
Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-
elemen baris ke kolom ke , sama dengan elemen-elemen baris ke
kolom ke . Dengan demikian elemen-elemen matriks simetris
memenuhi untuk setiap dan
Contoh 10:
*
+ , [
]
-
12
10) Matriks Antisimetris.
Matriks antisimetris adalah matriks bujur sangkar dengan elemen
untuk semua dan Dengan demikian semua elemen
diagonal utama pada matriks antisimetris adalah nol.
Contoh 11:
*
+ , [
]
3. Perkalian Matriks.
Definisi 2.3
Jika A adalah sebuah matriks dan B adalah sebuah matriks
maka hasil kali AB adalah matriks yang entri-entrinya
didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris dan
kolom dari AB, pilih baris dari matriks A dan kolom dari matriks B.
Kalikan entri-entri yang berpadanan dari baris dan kolom secara
bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya (Anton, 2011: 56).
Jadi
Jika [ ], [ ] dan
[ ]
[ ]
Maka dengan [ ] dan
-
13
Dimana dan
Contoh 12:
Tentukan jika *
+ dan * +
Penyelesaian 12:
*
+* + *
+ * +
4. Perpangkatan Matriks dan Polinomial dalam Matriks.
Perpangkatan pada matriks merupakan perkalian berulang. Sehubung
dengan persyaratan perkalian matriks maka perpangkatan hanya dapat
dikerjakan pada matriks bujursangkar. Pangkat dari didefinisikan sebagai
berikut:
Sehingga dengan buah matriks sama dengan
dengan dan
Jika adalah suatu matriks bujur sangkar, katakanlah , dan jika
.................................. (I)
Adalah sembarang polinomial, maka kita definisikan
Dengan adalah matriks identitas . Dengan kata-kata adalah
matriks yang dihasilkan ketika disubtitusikan untuk dalam (I) dan
digantikan oleh .
-
14
Contoh 13:
Jika dan *
+
Maka:
*
+
*
+ *
+
*
+ *
+ *
+ *
+
5. Determinan dan Invers Matriks.
1. Determinan
Determinan dari suatu matriks adalah jumlah dari semua bentuk
perkalian secara diagonal dari elemen-elemen matriks dengan
mangambil satu elemen dari baris atau kolom dengan memperhatikan
urutan. Dalam penulisan determinan elemen-elemen matriks bujur
sangkar ditulis diantara dua garis tegak ||, misalnya matriks A
dinotasikan dengan | |.
Jika A adalah matriks berordo 2 x 2 yakni |
|, maka
untuk mencari determinannya dengan mengurangkan diagonal kedua
dari diagonal utama matriks tersebut yaitu .
Jika A adalah matriks berordo 3 x 3 yakni |
|,
maka untuk mencari determinannya dengan Aturan Sarus yakni:
.
-
15
2. Invers Matriks
Matrik bujur sangkar, A=[aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ...,
n, disebut mempunyai invers jika terdapat matrik , sehingga
, dimana I matrik identitas.
Jika A mempunyai invers, maka A disebut matrik non singular
dan jika tidak mempunyai invers disebut matrik singular. Jika A
mempunyai invers, maka inversnya tunggal (unik). Untuk
menunjukkan hal ini, perhatikan penjelasan di bawah ini:
Andaikan B dan C invers dari A, maka dipenuhi hubungan
dan , sehingga .
Jadi , atau kedua invers matrik tersebut tunggal.
Teorema 2.1:
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka:
Bukti 2.1:
Jika A non singular, maka det A adalah skalar tak nol sehingga
invers sebuah matriks dapat dinyatakan dengan:
(
)
( )
Mula-mula akan dibuktikan bahwa ( )
Perkalian dari ( ) adalah:
-
16
[
][
]
secara umum entri pada matrik di atas dapat ditulis, sebagai
berikut:
Jika maka seperti hasil di atas didapat .
Jika , maka ekspresi di atas .
Sehingga :
( ) [
]
Sehingga: ( )
Jika , maka didapat:
( )
( )
Contoh 14.
Carilah invers dari matriks [
]
Penyelesaian 14.
Mula-mula hitung dan
-
17
[
|
| |
| |
|
|
| |
| |
|
|
| |
| |
|]
[
]
[
]
Jadi
[
] [
]
6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen.
Kata vektor eigen berasal dari ramuan bahasa Jerman dan Inggris.
Dalam bahasa Jerman eigen diartikan sebagai sebenarnya atau
karakteristik. Oleh karena itu nilai eigen dapat juga dinamakan nilai
sebenarnya atau nilai karakteristik. Sedangkan vektor adalah bentuk
matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Jadi
vektor eigen dapat diartikan sebagai vektor sebenarnya.
Definisi 2.3.
Misalkan A adalah matriks , maka vektor yang tidak nol di Rn
disebut vektor eigen (eigen vector) dari A, jika adalah kelipatan
skalar dari , yaitu untuk suatu skalar . Skalar dinamakan
nilai eigen (eigen value) dari A.
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran maka
dapat ditulis kembali sebagai
-
18
......................................................................................... (2)
Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari
persamaan (2). Suatu persamaan akan mempunyai pemecahan tak nol jika
dan hanya jika:
................................................................................... (3)
Persamaan (3) dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang
memenuhi persamaan tersebut merupakan nilai eigen dari A. bila diperluas
maka persamaan karakteristik tersebut adalah polinom karakteristik dari A
mempunyai derajat n dan koefisien dari adalah I. Jadi polinom
karakteristik dari matriks mempunyai bentuk:
Dengan merupakan persamaan karakteristik yang
mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda, sehingga suatu
matriks mempunyai paling banyak n nilai eigen yang berbeda.
Contoh 15.
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks *
+
Penyelesaian 15.
Polinom karakteristik dari matriks Q adalah:
, *
+ *
+-
Dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah
Penyelesaian dari persamaan ini adalah
Jadi nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2
-
19
7. Diagonalisasi Matriks.
Definisi 2.4
Suatu matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalisasikan
(diagonazable), jika terdapat suatu matriks P yang dapat dibalik
sedemikian rupa sehingga adalah sebuah matriks diagonal,
matriks P dikatakan mendiagonalisasikan A (Anton & Rorres, 2011:
395).
Teorema 2.2.
Jika A adalah suatu matriks , maka kedua pernyataan berikut ini
adalah ekuivalen.
a. A dapat didiagonalisasikan.
b. A memiliki nilai vektor eigen yang bebas linier (Anton & Rorres,
2011: 395).
Bukti
oleh karena A dapat didiagonalisasikan, maka terdapat matriks
yang dapat dibalik:
[ ], P merupakan vektor-vektor kolom yang bebas
linier.
[
] sehingga diagonal
Katakan , dimana [
] maka
-
20
Yakni [
][
]
[
] (4)
Jika sekarang dimisalkan menyatakan vektor-vektor
kolom P maka bentuk persamaan (4) kolom-kolom AP yang berurutan
adalah , akan tetapi kolom-kolom dari AP yang
berurutan adalah:
.. (5)
Oleh karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya semuanya tak
nol. Jadi menurut persamaan (5) adalah nilai-nilai eigen A,
dan adalah vektor-vektor yang bersesuaian. Karena P dapat
dibalik, maka diperoleh bebas linier. Jadi A mempunyai n
vektor eigen bebas linier.
dimisalkan bahwa A mempunyai vektor eigen bebas linier
maka dengan nilai eigen yang bersesuaian dan
misalkan:
[
]
-
21
Adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya kolom-kolom
dari hasil kali AP adalah , tetapi
Sehingga [
]
[
][
]
............................................................................... (6)
Dimana D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen
pada diagonal utama. Oleh karena itu vektor-vektor kolom
dari P bebas linier, maka P dapat dibalik. Jadi persamaan (6) dapat ditulis
kembali sebagai , A terdiagonalisasi
Dari bukti ini didapat prosedur untuk mendiagonalisasikan matriks A
yang berukuran (Anton & Rorres, 2011: 397) sehingga langkah-
langkah yang harus dilakukan adalah:
Langkah 1 : Tentukan vektor eigen dari yang bebas linier,
misalkan
Langkah 2 : bentuklah sebuah matriks dengan sebagai
vektor-vektor kolomnya
Langkah 3 : matriks kemudian akan menjadi diagonal dengan
sebagai entri-entri diagonalnya secara beru-
rutan, di mana adalah nilai eigen yang terkait dengan
-
22
untuk
Contoh 16:
Diketahui matriks M =
500
032
023
Carilah:
a. matriks P yang mendiagonalisasi M.
b. matriks diagonal D = P-1MP.
Penyelesaian 16:
Persamaan karakteristik matriks M adalah:
( [
] [
])
([
])
( 1)( 5)2 = 0
= 1; = 5
Jadi nilai eigen adalah 1 dan 5.
Penentuan vektor eigen sebagai berikut.
( [
] [
]). /
-
23
([
]). /
Untuk = 1 ([
]). / .
Matriks yang bersesuaian:
0
0
0
400
022
022
0
0
0
100
000
011
Diperoleh: a = b; dan c = 0.
Jika b = t, maka a = t dan c = 0.
Vektor eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah t
0
1
1
.
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 1 adalah
0
1
1
.
Untuk = 5 0
000
022
022
c
b
a
.
Matriks yang bersesuaian:
0
0
0
000
022
022
0
0
0
000
000
011
Diperoleh:
Andai , maka , dan
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah s
0
1
1
+ t
1
0
0
.
-
24
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan = 5 adalah
0
1
1
dan
1
0
0
.
a) Dengan demikian matriks P yang mendiagonalisasi M adalah
100
011
011
.
b) Matriks diagonal yang terbentuk adalah: .
Untuk menentukan D, kita harus menentukan dahulu . Melalui
perhitungan dalam menentukan invers suatu matriks diperoleh
= [
].
Dengan demikian D = P-1
MP
D =
100
02
1
2
1
02
1
2
1
500
032
023
100
011
011
=
100
02
1
2
1
02
1
2
1
500
051
051
=
500
050
001
dari hasil perhitungan dapat dilihat bahwa elemen-elemen dari matriks D
sama dengan nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga dalam pembahasan
selanjutnya nilai matriks D dapat diperoleh langsung dari nilai-nilai eigen
suatu matriks.
-
25
Untuk mendapatkan pernyataan eksplisit untuk , maka
pertamanya mendiagonalkan A, yakni dicari matriks P yang dapat dibalik
dan matriks diagonal D sedemikian rupa sehingga
Pangkat suatu matriks bujursangkar dapat dinyatakan sebagai:
sampai suku ke n. pangkat 2 dari matriks atau
, dimana matiks A muncul sebanyak n kali dalam perkalian di ruas
kanan. Pangkat bilangan positif dari suatu bujursangkar juga dapat dihitung
langsung dengan menggunakan matriks P dan matriks D. jika persamaan
Dipangkatkan dua, maka akan diperoleh:
Proses tersebut dapat diulang untuk pangkat bilangan bulat yang lebih
tinggi, sehingga hasil umumnya adalah: , dimana A adalah
matriks bujur sangkar ordo n yang mempunyai n buah vektor yang bebas
linier, P adalah matrik yang bersesuaian dengan vektor-vektor eigen dan
matriks D adalah matriks diagonal yang entri-entrinya bersesuaian dengan
nilai-nilai eigen matriks A.
B. Genetika
Genetika (ilmu keturunan) tergolong dalam ilmu hayat yang
mempelajari turun-temurunnya sifat-sifat induk atau orang tua kepada
keturunannya. Genetika mempunyai lingkup yang sangat luas, antara lain:
membahas tentang peranan kromosom, pewarisan sifat-sifat genetik, terjadinya
-
26
cacat badan dan mental yang disebabkan oleh kelainan kromosom, timbulnya
penyakit karena kesalahan metabolisme bawaan dan lain-lain.
1. Jenis-Jenis Pewarisan Genetika
a. Pewarisan Autosomal (autosomal inheritance).
Pewarisan autosomal adalah pewarisan yang tidak terpaut oleh
kromosom seks. Pada pewarisan autosomal suatu individu mewarisi satu
gen tiap pasangan gen induknya untuk membentuk pasangan gennya
sendiri. Sehingga, jika salah satu induk memiliki genotip AaBb, maka
kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi gen AB, Ab, aB
atau gen ab dari induk tersebut adalah sama besarnya. Jika salah satu
induk mempunyai genotip aabb dan yang lain memiliki genotip AaBb
maka keturunan akan selalu menerima gen ab dari induk aabb dan akan
menerima gen AB, Ab, aB atau gen ab dengan kemungkinan yang sama.
Sebagai konsekuensinya, tiap keturunan mempunyai kemungkinan yang
sama untuk memiliki genotip aaBb, aabb, AABb, AaBb.
Ciri dominan yang menunjukkan pewarisan autosomal adalah
manifestasi dalam keadaan heterozigot, artinya seorang dengan kelainan
dimana kromosom tubuh mengandung satu gen abnormal yang akan
menyebabkan penyakit. Biasanya setiap penderita mempunyai salah satu
orang tua yang sakit. Tetapi kadang-kadang kelainan dapat muncul pada
satu generasi tanpa adanya satu keluarga pada generasi sebelumnya yang
terkena penyakit tersebut. Hal ini mungkin terjadi karena kedua atau
salah satu orang tua adalah pembawa (carier).
-
27
Penyakit yang terpendam dalam autosomal terjadi kelainan pada
individu yang homozigot untuk gen yang mengalami kelainan. Jika
perempuan yang menderita menikah dengan laki-laki normal, maka
anaknya perempuan normal karena individu yang heterozigot benar-
benar sehat dan semua anak laki-laki penderita. Jika suatu sifat resesif
adalah sangat jarang seperti kebanyakan kondisi abnormal, maka
peluang dua individu yang heterozigot bagi sifat ini adalah lebih besar
jika mereka memiliki hubungan keluarga daripada jika mereka tidak
memiliki hubungan keluarga. Mengingat bahwa orang tua yang
mempunyai keluarga bisa mewarisi gen yang sama dari nenek
moyangnya.
b. Pewarisan Gonosomal (gonosomal inheritance).
Pewarisan gonosomal adalah pewarisan yang dipengaruhi oleh
kromosom seks.
1. Pewarisan Gen Resesif Terpaut Kromosom X
Saat perkawin, ibu menyumbangkan satu kromosom X untuk
anaknya, sementara ayah menyumbangkan satu kromosom X untuk
anak perempuannya dan satu kromosom Y untuk anak laki-lakinya.
Misalkan kromosom X abnormal dapat dinyatakan dengan dan
kromosom X normal dengan X. Terdapat 3 kondisi pada wanita yang
dapat dinyatakan dengan kondisi kromosomnya, yaitu
a) Wanita normal, kromosom
b) Wanita karier, kromosom
c) Wanita penderita, kromosom ,
-
28
dan 2 kondisi pada pria, yaitu:
a) Pria normal, kromosom
b) Pria penderita, kromosom
Berdasarkan jumlah kondisi pada wanita dan pria, banyaknya
jenis perkawinan yang mungkin adalah 2x3 = 6 kondisi. Perkawinan
wanita normal dengan pria normal akan melahirkan anak yang tidak
memiliki peluang untuk terinfeksi. Sementara perkawinan antara
wanita penderita dengan pria penderita akan melahirkan anak dengan
peluang 100% untuk terinfeksi.
2. Pewarisan Gen Dominan Terpaut Kromosom X
Kromosom abnormal dapat dinyatakan dengan dan
kromosom normal dengan . Karena gen bersifat dominan, tidak
terdapat karier. Terdapat 3 kondisi pada wanita yang dapat
dinyatakan dengan kondisi kromosomya, yaitu:
a) Wanita normal, kromosom
b) Wanita penderita heterozigot, kromosom
c) Wanita penderita homozigot, kromosom
dan 2 kondisi pada pria, yaitu:
a) Pria normal, kromosom
b) Pria penderita, kromosom
Berdasarkan jumlah kondisi pada wanita dan pria, banyaknya
jenis perkawinan yang mungkin adalah 2x3 = 6 kondisi. Perkawinan
wanita normal dengan pria normal akan melahirkan anak yang tidak
-
29
memiliki peluang untuk terinfeksi. Sementara perkawinan antara
wanita penderita homozigot dengan pria penderita akan melahirkan
anak dengan peluang 100% untuk terinfeksi.
2. Kromosom
Bagian terkecil dari tubuh makhluk hidup dinamakan sel. Pada
suatu jenis makhluk hidup sel-sel itu tidak selalu sama bentuknya, misalnya
sel otot berbeda dengan sel syaraf maupun sel darah. Di dalam sel dari
kebanyakan makhluk terdapat kromosom. Kromosom merupakan benda-
benda halus berbentuk batang panjang/pendek dan lurus/bengkok yang
berguna membawa bahan keturunan.
Salah satu bagian kromosom adalah sentromer, yaitu bagian yang
membagi kromosom menjadi dua lengan. Pada makhluk tingkat tinggi, sel
somatis (sel tubuh kecuali sel kelamin) mengandung satu stel kromosom
yang diterima dari kedua induk/orang tua. Kromosom-kromosom yang
berasal dari induk betina berbentuk serupa dengan yang berasal dari induk
jantan. Maka sepasang kromosom itu disebut kromosom homolog. Oleh
karena itu jumlah kromosom dalam sel tubuh dinamakan diploid (2n). sel
kelamin (gamet) hanya mengandung separuh dari jumlah kromosom yang
terdapat di dalam sel somatis, karena itu jumlah kromosom dalam gamet
dinamakan haploid (n). satu stel kromosom haploid dari suatu spesies
dinamakan genom. Jumlah kromosom yang dimiliki berbagai macam
makhluk hidup tidak sama, tetapi jumlah kromosom yang dimiliki tiap
makhluk hidup pada umumnya tidak berubah selama hidupnya. Kromosom
-
30
dibedakan atas autosom (kromosom tubuh) dan kromosom kelamin
(kromosom seks) (Suryo, 2012: 41-42).
3. Genetika Mendel
Teori mengenai sifat turun temurun pertama kali dikerjakan oleh rahib
Austria yang bernama Gregor Mendel. Dalam salah satu percobaannya,
Mendel menggunakan biji ercis (Pisum sativum). Mendel menggunakan biji
ercis karena tanaman ini hidupnya tidak lama, memiliki bunga sempurna
dan tanaman ini memiliki tujuh sifat dengan perbedaan yang mencolok
(Suryo, 2012: 7). Mendel menyilangkan varietas biji ercis berbatang tinggi
dengan varietas biji ercis berbatang kerdil, maka semua keturunan pertama
seragam berbatang tinggi. Suatu tanda bahwa sifat tinggi mengalahkan sifat
kerdil. Sifat demikian disebut sifat dominan. Sifat yang dikalahkan disebut
sifat resesif.
4. Peristiwa Keacakan
a. Perkawinan Satu Sifat Beda (Monohibrid)
Monohibrid adalah perkawinan antara dua individu yang
mempunyai satu sifat beda (Aa). Beberapa kesimpulan penting yang
dapat diambil dari perkawinan dua individu dengan satu sifat beda antara
lain:
a) Semua individu F1 adalah seragam
b) Jika dominasi nampak sepenuhnya, maka individu F1 memiliki
fenotip seperti induknya yang dominan.
-
31
c) Pada waktu individu F1 yang heterozigotik itu membentuk gamet-
gamet terjadilah pemisahan alel, sehingga gamet hanya memiliki
salah satu alel saja.
d) Jika dominasi tampak sepenuhnya, maka perkawinan monohibrid (Tt
x Tt) menghasilkan keturunan yang memperlihatkan perbandingan
fenotip 3:1 (yaitu , tetapi memperlihatkan
perbandingan genotip 1:2:1 (yaitu
(Suryo,
2012: 10).
Pada marmot, rambut marmot (seperti juga pada manusia, tikus,
dll) ada yang hitam dan ada yang putih (albino). Marmot yang normal
adalah yang berambut hitam, disebabkan ia memiliki gen dominan A
yang menentukan pembentukan pigmen melanin. Alelnya a dalam
keadaan homozigotik menyebabkan melanin tidak terbentuk, sehingga
marmot berambut putih. Perkawinan antara marmot jantan hitam dengan
marmot betina albino menghasilkan keturunan F1 yang semuanya hitam.
Jika anak-anaknya dikawinkan sesamanya didapatkan keturunan F2 yang
memperlihatkan perbandingan fenotip 3 hitam : 1 putih. Perbandingan
genotipnya adalah 1 AA: 2 Aa : 1 aa (Suryo, 2012: 10)
P : (albino) (hitam)
F1 : (hitam)
-
32
F2
Tabel 2.1.
Perkawinan antara marmut hitam dan albino
Genotip
(hitam) (hitam)
(hitam) (albino)
b. Perkawinan Dua Sifat Beda (Dihibrid)
Dihibrid adalah perkawinan dua individu yang memiliki dua sifat
beda (AaBb). Pada hasil percobaan Mendel dengan tanaman ercis. Pada
bijinya terdapat 2 sifat beda, yaitu soal bentuk biji dan warna biji. Kedua
sifat beda ini ditentukan oleh gen-gen yang berbeda yaitu sebagai
berikut:
B = gen untuk biji bulat
b = gen untuk biji keriput
K = gen untuk biji kuning
k = gen untuk biji hijau (Suryo, 2012: 26)
Jadi bentuk bulat dan warna kuning adalah dominan. Jika tanaman
ercis berbiji bulat-kuning homozigotik (BBKK) disilangkan dengan
tanaman ercis berbiji keriput-hijau (bbkk), maka semua tanaman F1 berbiji
bulat-kuning. Apabila tanaman-tanaman F1 ini dibiarkan menyerbuk sendiri,
maka tanaman ini akan membentuk 4 macam gamet baik jantan maupun
betina masing-masing dengan kombinasi BK, Bk, bK dan bk. Akibatnya
dalam F2 diharapkan akan didapat kombinasi, yang terdiri atas 4
-
33
macam fenotip, yaitu tanaman berbiji bulat-kuning
bagian), berbiji
bulat-hijau
bagian), berbiji keriput-kuning
bagian), dan berbiji
keriput-hijau
bagian). Dua di antara keempat fenotip itu serupa dengan
induknya semula, yaitu yang berbiji bulat-kuning dan yang berbiji keriput-
hijau. Sedangkan dua fenotip lainnya merupakan hasil baru, yaitu yang
berbiji bulat-hijau dan yang berbiji keriput-kuning.
P :
F1 :
Macam gamet yang dibentuk
F2
Tabel 2.2.
Persilangan antara dua tanaman ercis dengan dua sifat beda.
Genotip
-
34
BAB III
METODE PENULISAN
Metode penulisan adalah cara yang dipakai dalam mengumpulkan data.
Tahapan penulisan meliputi: rancangan penulisan, objek penulisan, metode
pengumpulan data, analisis data dan prosedur penulisan.
A. Rancangan Penulisan
Rancangan penulisan pada dasarnya adalah rencana yang disusun
menurut tahapan tertentu untuk mencapai tujuan yang ditetapkan dalam
pelaksanaan penulisan.
Kajian literatur atau metode penelitian kepustakaan (library reseach)
yaitu sebagian besar tugas peneliti adalah berada di perpustakaan untuk mencari
dan mengutip dari berbagai macam sumber literatur berkaitan dengan
permasalahan yang hendak diteliti. Macam-macam sumber literatur antara lain:
(a) buku yang relevan; (b) jurnal ilmiah; (c) majalah ilmiah; (d) laporan hasil
penelitian; (e) surat kabar; dan sebagainya (Arifin, 2010: 39).
Rancangan dalam penulisan ini adalah studi kepustakaan yaitu
rancangan penulisan untuk menemukan penyelesaian permasalahan dalam
menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n. Penulisan ini diawali dengan
telaah pustaka terhadap aljabar matriks, yaitu peluang persilangan, matriks, nilai
eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, dan limit.
B. Objek Penulisan
Objek penulisan adalah sesuatu yang menjadi titik perhatian suatu
penulisan. Penulis menentukan objek penulisan yaitu pewarisan genotip pada
34
-
35
generasi ke-n. Penyelesaian pewarisan genotip generasi ke-n ini menggunakan
distribusi peluang persilangan, diagonalisasi matriks dan limit.
C. Instrumen Penulisan
Instrumen penulisan adalah semua alat yang digunakan untuk
mengumpulkan, memeriksa, menyelidiki suatu masalah, atau mengumpulkan,
mengolah, menganalisis dan menyajikan data-data secara sistematis serta
objektif dengan tujuan memecahkan suatu persoalan atau menguji hipotesis
(Agus, 2012).
Jenis instrumen yang yang digunakan dalam penulisan ini adalah
dokumentasi. Dokumentasi berasal dari kata dokumen, yang artinya barang-
barang tertulis. Jadi, penulis menggunakan instrumen dokumentasi dengan cara
menyelidiki benda-benda tertulis seperti buku-buku, jurnal-jurnal ilmiah dan
referensi lainnya.
D. Metode Pengumpulan Data
Metode pengumpulan data merupakan teknik atau cara yang dilakukan
untuk mengumpulkan data (Rini, 2012). Metode pengumpulan data yang
dilakukan adalah studi kepustakaan terhadap buku-buku, jurnal-jurnal, dan
sumber-sumber kepustakaan lainnnya baik melalui media cetak maupun media
elektronik yang menunjang dan mendukung mengenai materi-materi yang
berkaitan dengan aljabar matriks, distribusi peluang, diagonalisasi matriks, limit
serta genetika.
E. Analisis Data
Analisis data adalah proses untuk mencari dan menyusun secara
sistematis data yang diperoleh dari hasil pengumpulan data (buku-buku yang
-
36
relevan dan jurnal) dengan cara mengorganisir data ke dalam kategori,
menjabarkan ke dalam unit-unit, melakukan sintesa, menyusun ke dalam pola,
memilih mana yang penting dan yang akan di pelajari, dan membuat simpulan
sehingga mudah dipahami oleh diri sendiri dan orang lain (Sidik, 2013).
Cara yang digunakan penulis dalam menganalisis data yaitu:
1. Menyeleksi data-data yang berhubungan dengan aljabar matriks dan
genetika.
2. Menyusun data-data yang sesuai dengan penulisan ini secara sistematis.
3. Mengkaji kembali data-data yang telah disusun dengan tujuan agar
mendapatkan gambaran yang lebih luas, mendalam dan terperinci tentang
pengimplementasian diagonalisasi matriks pada penyelidikan pewarisan
genotip pada generasi ke-n .
4. Mengimplementasikan diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan
genotip pada generasi ke-n.
5. Menarik simpulan mengenai penyelesaian dari pewarisan genotip tersebut.
F. Prosedur Penulisan
Prosedur penulisan merupakan langkah-langkah yang dilakukan penulis
dalam melakukan penulisan. Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan
dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang
berhubungan dengan topik yang diteliti.
2. Memberikan deskripsi dan pembahasan lebih lanjut tentang matriks
pada pewarisan autosomal dengan genotip pada sebuah populasi generasi
ke-n.
-
37
3. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut kemudian
matriksnya didiagonalisasikan.
4. Mencari bentuk persamaan eksplisit.
5. Mencari nilai limit dari hasil perhitungan tersebut.
6. Memberikan kesimpulan akhir dari hasil pembahasan.
-
38
BAB IV
PEMBAHASAN
Setelah bab pendahuluan, maka penulis akan membahas tentang implementasi
diagonalisasi matriks untuk menyelidiki pewarisan genotip pada generasi ke-n.
Pada pembahasan ini akan dijabarkan bagaimana cara menentukan kromosom dari
orang tua yang akan diteruskan kepada generasi berikutnya (keturunan). Yaitu
perkawinan silang dua induk yang memiliki dua sifat beda (dihibrid) yang akan
dikawinkan secara terkontrol.
A. Penentuan Distribusi Genotip dari Pewarisan.
Sifat yang diturunkan dalam hal ini diasumsikan diatur oleh dua
kromosom (pembawa sifat) yang dilambangkan dengan huruf AABB dan aabb.
Berdasarkan penurunan autosomal (autosomal inheritance), setiap individu
dalam populasi masing-masing kelamin akan memiliki dua di antara kromosom-
kromosom berikut, yakni pasangan-pasangan yang dinyatakan dengan AABB,
AABb, Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb. Pasangan kromosom-
kromosom ini disebut genotip (genotype) individu, dan genotip ini akan
menentukan bagaimana suatu sifat yang dikendalikan oleh kromosom-
kromosom tersebut dimanifestasikan pada suatu individu.
Misalnya dalam pewarisan autosomal, suami istri masing-masing normal
tetapi keduanya pembawa gen untuk albino. Maka pewarisan suami istri itu
dapat digambarkan sebagai berikut:
38
-
39
Tabel 4.1
Persilangan dua sifat beda antara laki-laki dan perempuan pembawa
penyakit bagi warisan autosomal
Genotip
Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa
dari persilangan dihibrid
bergenotip AABB,
dari persilangan dihibrid bergenotip AABb,
dari
persilangan dihibrid bergenotip AAbb,
dari persilangan dihibrid bergenotip
AaBB,
dari persilangan dihibrid bergenotip AaBb,
dari persilangan dihibrid
bergenotip Aabb,
dari persilangan dihibrid bergenotip aaBB,
dari aaBb dan
dari persilangan dihibrid bergenotip aabb. Maka dapat dinyatakan bahwa
dari anak mereka adalah normal (AABB) dan
lagi carier atau penderita
penyakit (aabb). Hasil dari persilangan karakter F1 kemudian akan
menghasilkan F2 dengan pola distribusi .
Dengan memperhatikan tabel di atas tentang persilangan dan
kemungkinan-kemungkinan keturunan yang dihasilkan, maka selanjutnya akan
dipaparkan secara langsung dari probabilitas dari genotip yang mungkin pada
keturunan untuk seluruh kombinasi yang mungkin dari genotip induknya
-
40
Tabel 4.2
Peluang dari Persilangan Dua Individu untuk Pewarisan Autosomal
Genotip
keturunan
Genotip dari kedua orang tua
A
A
B
B
-
A
A
B
B
A
A
B
B
-
A
A
B
b
A
A
B
B
-
A
A
b
b
A
A
B
B
-
A
a
B
B
A
A
B
B
-
A
a
B
b
A
A
B
B
-
A
a
b
b
A
A
B
B
-
a
a
B
B
A
A
B
B
-
a
a
B
b
A
A
B
B
-
a
a
b
b
A
A
B
b
-
A
A
B
b
A
A
B
b
-
A
A
b
b
A
A
B
b
-
A
a
B
B
A
A
B
b
-
A
a
B
b
A
A
B
b
-
A
a
b
b
A
A
B
b
-
a
a
B
B
A
A
B
b
-
a
a
B
b
A
A
B
b
-
a
a
b
b
A
A
b
b
-
A
A
b
b
A
A
b
b
-
A
a
B
B
A
A
b
b
-
A
a
B
b
A
A
b
b
-
A
a
b
b
A
A
b
b
-
a
a
B
B
A
A
b
b
-
a
a
B
b
A
A
b
b
-
a
a
b
b
A
a
B
B
-
A
a
B
B
A
a
B
B
-
A
a
B
b
A
a
B
B
-
A
a
b
b
A
a
B
B
-
a
a
B
B
A
a
B
B
-
a
a
B
b
A
a
B
B
-
a
a
b
b
A
a
B
b
-
A
a
B
b
A
a
B
b
-
A
a
b
b
A
a
B
b
-
a
a
B
B
A
a
B
b
-
a
a
B
b
A
a
B
b
-
a
a
b
b
A
a
b
b
-
A
a
b
b
A
a
b
b
-
A
a
B
B
A
a
b
b
-
a
a
B
b
A
a
b
b
-
a
a
b
b
a
a
B
B
-
a
a
B
B
a
a
B
B
-
a
a
B
b
a
a
B
B
-
a
a
b
b
a
a
B
b
-
a
a
B
b
a
a
B
b
-
a
a
b
b
a
a
b
b
-
a
a
b
b
AABB 1
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AABb 0
1 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Aabb 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
AaBB 0 0 0
0 1
0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
AaBb 0 0 0 0
0
1 0 0
0
0 1
0 0
0
0
0 0 0 0 0 0 0
-
41
Aabb 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0
0
1 0 0 0 0 0 0
0
0
0 0 0 0 0 0
aaBB 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0 0 0 0 0 1
0
0 0
aaBb 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 0
1
0
aabb 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 0 0
1
-
42
B. Implementasi Diagonalisasi Matriks pada Pewarisan Genotip
Dalam pembahasan ini akan dibahas tentang bagaimana cara kromosom
dari orang tua yang diteruskan pada keturunannya. Matriks yang akan dibentuk
menunjukkan genotip yang mungkin pada keturunan dengan mengacu pada
genotip induknya, sehingga akan diperoleh distribusi genotip dari satu populasi
sampai generasi-generasi selanjutnya.
Untuk lebih memperjelas implementasi diagonalisasi matriks untuk
menyelidiki keturunan sampai generasi ke-n, maka digunakan langkah-langkah
penyelesaian berdasarkan teori Howard Anton sebagai berikut:
1. Bentuklah persamaan linier dari tabel yang menjelaskan tentang peluang
dari masing-masing genotip, sehingga didapat persamaan dalam notasi
matriks dan bentuklah matriks A.
2. Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A. Sehingga diperoleh pula vektor-
vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen tersebut.
3. Bentuklah matriks P dari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan
nilai eigen tersebut.
4. Subtitusikan matriks A dengan matriks D yang sudah terlebih dahulu
didiagonalisasikan oleh matriks P kemudian bentuklah sebuah persamaan
eksplisit.
5. Carilah limit dari masing-masing persamaan untuk n menuju tak hingga.
Berdasarkan langkah-langkah di atas maka pewarisan autosomal dan
penyakit yang terpendam dapat ditampilkan sebagai berikut:
-
43
1. Pewarisan Autosomal
Kemungkinan-kemungkinan dari genotip yang memiliki individu dari hasil
persilangan adalah sebagai berikut:
Tabel 4.3
Peluang Genotip Persilangan Individu Normal Heterozigot
dengan Individu Carier
Genotip
dari
keturunan
Genotip dari kedua orang tua
AABB-
AABB
AABB-
AABb
AABB-
AAbb
AABB-
AaBB
AABB-
AaBb
AABB-
Aabb
AABB-
aaBB
AABB-
aaBb
AABB-
aabb
1
0
0 0 0 0
0
1 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 1
0
0 0 0 0
0
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
-
44
Langkah 1: Bentuklah persamaan linier dari tabel peluang masing-masing
genotip sehingga diperoleh persamaan dalam bentuk matriks dan
buatlah matriks A.
Untuk menghitung probabilitas gen yang dimiliki satu individu maka dapat
dibuat:
untuk
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABB pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AABb pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AAbb pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBB pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip AaBb pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip Aabb pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aaBB pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aaBb pada generasi ke-n
fraksi dari probabilitas individu dengan genotip aabb pada generasi ke-n
Sehingga serta menyatakan distribusi
permulaan dari genotip-genotip itu. Selain itu juga terdapat:
untuk
Dari tabel tersebut dapat ditentukan distribusi genotip setiap generasi dari
distribusi genotip generasi terdahulu dengan menggunakan persamaan. Dimana
persamaan itu menyatakan bahwa semua turunan yang dihasilkan yakni
dari individu yang bergenotip AABB, AABb,
Aabb, AaBB, AaBb, Aabb, aaBB, dan aabb yang dinyatakan dalam
-
45
. Sedangkan koefisien-
koefisien dari ketiga persamaan itu berasal dari probabilitas genotip yang
mungkin dimiliki oleh individu tersebut dari hasil perkawinan, persamaan itu
adalah:
(3.1)
Pada persamaan (3.1) dari kesembilan persamaan di atas menunjukkan bahwa
seluruh keturunan pada genotip AABB akan mempunyai genotip AABB dalam
program pengembangbiakan ini, setengah dari keturunan dengan genotip AABb,
AaBB dan AaBb akan mempunyai genotip AABB dalam program
pengembangbiakan ini, dan nol dari turunan dengan genotip Aabb, Aabb, aabb,
aaBB dan aaBb akan mempunyai genotip AABB.
Kemudian dapat ditulis persamaannya dalam notasi matriks berikut:
(3.2)
Dimana
-
46
[ ]
,
[ ]
dan
[
]
Langkah 2: Carilah nilai eigen dari matriks A dan mencari vektor eigen dari
masing-masing nilai eigen.
Dengan menggunakan matriks A di atas, maka dapat dicari nilai eigen dan
vektor eigen yaitu:
[ ]
[
]
| |
-
47
[
]
(
) (
)(
)
Atau dengan menggunakan software maple (terlampir halaman 93) maka
didapat nilai eigen sebagai berikut:
,
, ,
,
,
Selanjutnya mencari vektor eigen dari masing-masing nilai eigen.
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut
-
48
[
]
[
]
[
]
[
]
-
49
[
]
[
]
[
]
Sehingga persamaan yang bersesuaian adalah:
, ,
,
,
.
Maka dan
-
50
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah:
[ ]
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut
-
51
[
]
[
]
[
]
[ ]
-
52
[ ]
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
, ,
, ,
, ,
, .
Ambil , misalkan
Maka , , , dan
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah
[ ]
Untuk
-
53
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:
[
]
[
]
-
54
[
]
[
]
[
]
Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
Ambil ,
maka
-
55
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah
[ ]
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut
[
]
-
56
[
]
[
]
[ ]
[ ]
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
, ,
, ,
-
57
, ,
, ,
Ambil , misalkan
Maka , , , dan
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah
[ ]
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
-
58
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan:
[
]
[
]
[
]
Maka sistem persamaan yang sesuai adalah:
, ,
, ,
, ,
-
59
,
Ambil dimana
Maka
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah:
[ ]
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:
[
]
-
60
[
]
[
]
[
]
Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
Ambil ,
-
61
maka
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah
[ ]
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:
[
]
-
62
[
]
[
]
[
]
[
]
-
63
Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
Ambil dengan
maka
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah
[ ]
Untuk
[
]
[ ]
[ ]
-
64
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:
[
]
[
]
[
]
[
]
-
65
[
]
Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
Ambil dengan
maka
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah
[ ]
Untuk
-
66
[
]
[ ]
[ ]
Dengan menggunakan metode OBE dapat dinyatakan sebagai berikut:
[
]
[
]
-
67
[
]
[
]
[
]
Maka sistem persamaan yang bersesuaian adalah:
Ambil , dengan
maka
-
68
Sehingga vektor eigen yang bersesuaian adalah
[ ]
Langkah 3: membentuk matriks P dari vektor-vektor eigen yang sesuai
dengan nilai-nilai eigen
Akhirnya diperoleh:
[ ]
[
]
Dan
[ ]
[ ]
Langkah selanjutnya adalah mencari invers dari matriks P dengan cara
mereduksi matriks P menjadi matriks identitas.
-
69
[
]
[
]
[
]
[
]
-
70
[
]
[
]
[
]
[
]
-
71
[
]
[
]
[
]
[
]
-
72
[
]
[
]
[
]
[
]
-
73
[
]
[
]
[
]
[
]
-
74
[
]
Dalam perhitungan manual didapatkan invers matriks P adalah
[ ]
Perhitungan invers manual ini diperkuat dengan perhitungan menggunakan
maple (terlampir halaman 94) yakni:
[ ]
Langkah 4: mensubtitusikan matriks A dengan matriks D yang terlebih
dahulu didiagonalisasikan oleh matriks P dan kemudian
bentuklah sebuah persamaan eksplisitnya.
Pada persamaan (3.2) jika A dipangkatkan 2, maka persamaan tersebut menjadi:
-
75
Proses tersebut dapat diulang untuk pangkat bilangan bulat yang lebih tinggi,
sehingga hasil umumnya adalah:
(3.3)
Sebagai konsekuensinya, jika kita dapat mencari sebuah pernyataan eksplisit
untuk , maka dapat digunakan persamaan (3.3) untuk mendapatkan
pernyataan eksplisit . Untuk mendapatkan pernyataan eksplisit untuk ,
maka mula-mula dengan cara mendiagonalisasikan matriks A. Yakni, kita cari
matriks P yang dapat dibalikkan dan matriks diagonal D sedemikian rupa
sehingga:
Dengan diagonalisasi seperti itu, maka diperoleh:
untuk (3.4)
Dimana
[
]
[
]
Berdasarkan persamaan , sehingga diperoleh:
-
76
[ ]
[ ]
[
(
)
(
)
(
)
]
[ ]
[ ]
[ ]
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
[ ]
[ ]
-
77
[ ]
(
(
) (
) (
) (
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
) ( ) (
) (
) ( ) ( ) (
) ( ) (
)
( )
( )
( )
( )
)
[ ]
[ ( (
)
) ( (
)
) ( (
)
) ( (
)
) ( (
)
) ( (
)