ilmu kom puter fak mipa ugm

ILMUKOM

PUTER

FAKMIPAUGM

GP DALIYOGP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

Logika Proposisional[Manipulasi Formula Proposisional]

Bentuk daripada suatu formula proposisional perlu di manipulasi sehingga bentuk menjadi lebih sederhana, tetapi mempunyai tabel kebenaran yang tetap sama, sehingga tetap ekuivalen dengan formula aslinya. Bentuk sederhana dimaksud adalah bentuk jumlahan hasilkali minimal, yaitu bentuk jumlahan hasilkali dan tak ada bentuk yang lebih sederhana daripada ia.

Sederhana artinya cacah literalnya serta cacah yang dijumlahkan paling sedikit. (lihat buku “Essential Computer Mathematics”, Schaum’s out line Series, Seymour Lipschutz, Ph.D. hal 194)

GP DALIYO


Andaikan p, q, r suatu proposisi, maka konsekuen si-konsekuensi dan ekuivalensi-ekuivalensi di bawah ini benar :

1. Hukum Tetapan :

pT p , pF F , pT T, pF p ,

2. Hukum excluded middle :

p ¬p T3. Hukum Kontradiksi : p ¬p F

T T T T

T

T

Identitas Baku (Standard Identities)

GP DALIYO


4. Hukum negasi ganda : ¬¬ p p5. Hukum Idempotensi : p p p , p p p

6. Hukum Komutatif :

pq qp , pq qp7. Hukum Asosiatif :

p(qr) (pq)r , p(qr) (pq)r

T T

T

T T

T T

Identitas Baku(Standard Identrities

GP DALIYO


8. Hukum Distributif : p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr)

9. Hukum De Morgan : ¬(pq) (¬p¬q) ¬(pq) (¬p¬q)

10. Hukum Implikasi p→q ¬pq

T

T

T

T

T

Identitas Baku (Standard Identities

GP DALIYO


Identitas Baku (Standard Identities)

GP DALIYO

11. Hukum De Morgan : ¬(pq) (¬p¬q) ¬(pq) (¬p¬q)12.Hukum Implikasi p→q ¬pq 13. Hukum Kontraposisi/Kontrapositif : p→q ¬q→¬p14. Hukum Bikondisional : p↔q (p→q)(q→p)

T

T

T

T

T

GP DALIYO


GP DALIYO

Contoh

Contoh Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa : p ((r s) (r s)) (p q) =T p q r Jawab : p ((r s) (r s)) (p q) =T ((r s) (r s)) p (p q) Aturan 6 =T (r (s s)) p (p q) Aturan 8 =T (r T) p (p q) Aturan 13 =T r p (p q) Aturan 12 =T r ((p p) (p q)) Aturan 8 =T r (F (p q) Aturan 14 =T r (p q) Aturan 11 =T p q r Aturan 6

GP DALIYO


GP DALIYO

Contoh

Contoh Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukan bahwa : p (p q) =T p Jawab : p (p q) =T (p F) (p q) Aturan 11 =T p (F q) Aturan 7 =T p F Aturan 10 =T p Aturan 11

GP DALIYO


GP DALIYO

Kerjakan tanpa menggunakan tabel kebenaran 1. p (p (p q)) q =T p q 2. (p q) (p q) =T (p q) (p q) 3. p q =T (p q) (p q) 4. (p q) =T p q 5. (p q) r =T (p r) q

Soal

GP DALIYO


Himpunan pengandeng lengkap

GP DALIYO

GP DALIYO

GP DALIYO

Himpunan lengkap daripada penggandeng Definisi (a). Jika suatu himpunan daripada operator-operator da pat digunakan untuk mendefinisikan semua fungsi ke benaran (formula proposisional) yang mungkin, maka ia dikatakan Himpunan Operator lengkap (pada bebera pa buku dikatakan cukup/adequate) (b). Metasimbol =df , dibaca “didefinisikan sebagai” misal nya P =df Q berarti bahwa pernyataan P didefinisikan sebagai pernyataan Q. Perhatikan perbedaannya dng =T . Untuk P =T Q berarti dua formula proposisional P dan Q mempunyai tabel kebenaran yang sama/identik.


Himpunan penggandeng dan yaitu { , } dapat di gunakan untuk mendefinisikan semua operator diadika seperti dilihat dibawah ini :

1) pq pq; 2) pq (pq); 3) pq (pq); 4) p/q pp; (Buku Arindama Singh menggunakan ) 5) pq (pq); 6) pq (pq)(pq) ((p q)) ((pq)) 7) pq (pq) [(p q) (p q)]

Perhatikan di ruas kiri semua operator diadika sedang diruas kanan hanya muncul operator dan

GP DALIYO

=df

=df

=df

=df

=df

=df

=df

=df =df

GP DALIYO


Teorema : Himpunan { , } adalah suatau Himpunan Leng- kap dp Penggandeng Logis ( Himpunan Operator Lengkap (HOL) )

Bukti : Berdasarkan teorema diatas ( yaitu sebarang fung si kebenaran f(p1 ,p2 , . . pn) daripada n variabel pro posisional p1 ,p2 , . . pn dapat diekspresikandalam fungsi kebenaran monadika dan diadika ) dan dari pembicaraan diatas maka teorema terbukti.

GP DALIYO

GP DALIYO


Himpunan Operator Lengkap lainnya :

1) { , }2) { , }3) { , }4) { , Disjungsi terkondisi} ; Disjungsi terkon disi yaitu : If … Then … Else … yaitu [p,q,r]

Kebenarannya dapat ditunjukan ????

GP DALIYO


Fungsi Sheffer

Perhatikan simbol / atau ↑ yang merupakan simbol Incompatibilitas atau NAND serta simbol ↓ yang me rupakan simbol Joint Denial atau NOR.

Dengan menggunakan inkompatibilitas maka da pat didefinisikan sebagai berikut :

p =df p↑pJuga p p =df (p)↑(p) p p =df (p↑p)↑(p↑p)


Fungsi Sheffer

Dari : p =df p↑p dan p p =df (p)↑(p) p p =df (p↑p)↑(p↑p)

karena kita dapat didefinisikan dan dalam sim bol ↑ maka didapat bahwa simbol ↑ adalah komplit sendirian. Hal tersebut disebut fungsi Sheffer.


Fungsi Sheffer-Pseudo

Bentuk lain adalah :

Jika dibenarkan menggunakan tetapan logis T dan F maka kita dapat mendifinisikan :

p =df T → P dan p q =df (p q)

ini berarti bahwa → merupakan fungsi Sheffer-Pse udo Yang lain adalah Disjungsi terkondisi : p =df [F,p,T] dan p q =df [T,p,q]


GP DALIYO

Bentuk Normal

Agar dapat membandingkan formula, maka sangat diper lukan adanya bentuk baku dimana formula-formula dapat diekspresikan .

Bentuk Normal Disjungtif (BND) dan Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP)

Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1 ,p2 , . . pn yg bukan absorditi ( yaitu bahwa ia mempu nyai suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuiva len logis daripada bentuk : U W V . . . . (suatu disjung si daripada sejumlah suku) dimana disjungan U, V, W, . . . masing-masing mempunyai bentuk : P1 P2 . . . Pn (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)


Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP).

Perhatikan bahwa formula : U V W . . . Tidak di tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula : P1 P2 . . . Pn , banyaknya suku tepat n buah ; Formula berbentuk tsb disebut dengan :

Bentuk Normal Disjungtif Penuh (BNDP).

Jika ada yang kurang dari n suku ataupun lebih maka dinamakan :

Bentuk Normal Disjungtif (BND).

P1 P2 . . . Pn


Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BDNP,ambil setiap entri T dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri tsb sbg suatu konjungsi dp semua variabel-2 (T) atau nega si mereka (F) , dan kemudian disjoinkan mereka Contoh : ((p q) ((p) (r)))

p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

p q r p q r p q r p q rp q rp q rp q rp q r


p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

p q r p q r p q r p q rp q rp q rp q rp q r

BNDP – nya adalah : ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r)

Perhatikan bhw cacah disjungan dlm suatu BNDP adl smdng cacah T pada entri di tabel kebenaran


BNDP : ( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r)

Perhatikan bahwa cacah disjungan dalam suatu BNDP adl smdng cacah T pada entri di tabel kebenaran. Setiap konju ngsi daripada variabel-2 atau negasi mereka mempunyai ni lai kebenaran T hanya pada satu satu titik pada tabel kebe naran, sehingga ekpresi p q r ,sebagai contoh memp unyai nilai T hanya pada baris dimana p, q, dan r masing-2 bernilai T, F, dan F. Bilamana kita kombinasikan beberapa daripada mereka dengan didisjungsikan maka formula yang diperoleh akan T disetiap titik-2 seperti dimaksud diatas dalam tabel kebena ran , tetapi akan tetap F diluar titik-2 tersebut


p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

p q r p q rp q rp q rp q rp q r

Ambil p q r , maka untuk p=T, q=T, r=F (brs 2) nilai ke benaran F ; untuk brs/titik ke 3, nilai kebenarannya F; dst, tetapi untuk baris 1 nilainya T, jadi p q r bernilai T hanya di satu titik/baris yaitu brs ke 1 saja. Contoh lainnya adalah ambil p q r , maka untuk p=T, q=T, dan r=T , nilainya F dan lainnya kecuali di baris ke 6 (tunjukan!!).


BNDP – nya adalah : (p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) =(p q r) ( p q r) ((p q) r) ((p q) r) ((p q) r) ((p q) r) =(p q r) ( p q r) ((p q) (r r) ((p q) (r r) =(p q r) ( p q r) ((p q) T) ((p q) T) =(p q r) ( p q r) (p q) (p q) =(p q r) ( p q r) (p q) (p q) =(p q r) ( p q r) (p ( q q)) =(p q r) ( p q r) (p T) =(p q r) ( p q r) p


BNDP : (p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r)

disederhanakan menjadi BND :

(p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) = (p q r) ( p q r) p

perhatikan bahwa suku terakir hanya memuat 1 (satu) literal yaitu p sedang yang pertama dan keduanya memuat 3 (tiga) literal. Sehingga disebut sebagai bentuk normal disjungsi (tidak penuh/full)


Bentuk normal yang lain adalah :

Bentuk Normal Kunjungtif (BNK) dan Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP)

Dengan konsep yang similar dengan BND/BNDP maka di dapat konsep sebagai berikut : Untuk sebarang formula dalam n variabel proposisional p1 ,p2 , . . pn yg bukan tautologi ( yaitu setiap interpretasi nya merupakan suatu model) terdapatlah suatu formula yang ekuivalen logis daripada bentuk : U W V . . . . (suatu disjungsi dp sejumlah suku) dimana disjungan U, V, W, . . Yg masing-masing mempunyai bentuk : P1 P2 . . . Pn , (suatu konjungsi daripada tepat n suku) dimana Pi adalah salah satu pi atau pi (negasi dp variabel ke i)

BNK/BNKP


Bentuk Normal Kusjungtif Penuh (BNKP).

Perhatikan bahwa formula : U V W . . . tidak di tentukan berapa banyak suku, tetapi dalam formula : P1 P2 . . . Pn , banyaknya suku tepat n buah ; Formula berbentuk tsb disebut dengan :

Bentuk Normal Kunjungtif Penuh (BNKP).

Jika ada yang kurang dari n suku ataupun lebih maka dinamakan :

Bentuk Normal Kusjungtif (BNK).

P1 P2 . . . Pn


Untuk menuliskan suatu formula dalam bentuk BKNP,ambil setiap entri F dalam tabel kebenarannya, ekspresikan entri tsb sbg suatu disjungsi dp semua variabel-2 (jika F) atau negasi mereka (jika T) , dn kemudian konjungsikan mereka Contoh : ((p q) ((p) (r)))

p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r


BNKP – nya adalah : (p q r) (p q r)

Perhatikan bahwa cacah konjungan dalam suatu BNKP adl samadengan cacah F pada entri di tabel kebenaran

p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r


p

TTTTFFFF

q

TTFFTTFF

r

TFTFTFT F

((p q) ((p) (r)))

T F F T T T T T

Konjungan

- p q r p q r - - - - -

Perhatikan bahwa satu suku untuk setiap entri F pada tabel kebenaran dan masing-2 disajikan dengan disjungsi daripada negasi daripada ni lai variabel (kalau nilainya T maka dinegasikan jika F tidak dinegasikan) untuk entri tersebut. Setiap suku seperti mis. p q r sekarang bernilai T disemua baris kecuali disatu baris tertentu yaitu baris dimana p = T, q = T, dan r = F , (cek : p = T, q = T, r = T (brs ke 1) maka ia bernilai T, yang lainnya silahkan dicoba!!!)

ilmu kom puter fak mipa ugm

Documents