if184302 aljabar linier pertemuan ke-3 3 −11 9 − 17 2 −27 1 1 2 0 1 −7 2 0 0 −1 2 9 − 17...

IF184302 Aljabar LinierPertemuan ke-3

Misbakhul Munir IRFAN SUBAKTI司馬伊凡

Мисбакхул Мунир Ирфан Субакти

Persamaan Linier (PL) & Sistem PL (SPL)

• Linear equation = PL

• Dalam sistem 2D, sebuah garis dalam sistem koordinat XY dapat direpresentasikan dalam bentuk

ax + by = c (a, b ≠ 0)

• Dalam sistem 3D:

ax + by + cz = d (a, b, c ≠ 0)

• Persamaan Linier (PL, linear equation) dalam n variabel x1, x2, …, xn:

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

Dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta, dan semua a ≠ 0.

• Dalam kasus di mana n = 2 atau n = 3, variabel dituliskan tanpa subscript:

a1x + a2y = b (a1, a2 ≠ 0)

a1x + a2y + a3z = b (a1, a2, a3 ≠ 0)

• Pada kasus dimana b = 0, maka

a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0 → disebut dengan homogeneous linear equation dalam variabel x1, x2, …, xn

2018/2019(1) - IF184302 Aljabar Linier - MM Irfan Subakti 2

PL & SPL (lanjutan)

• PL:

x + 3y = 7 x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 0

1/2x – y + 3z = -1 x1 + x2 + … + xn = 1

• Bukan PL:

x + 3y2 = 4 x1 – 2x2 – xy = 5

sin x + y = 0 √x1 + 2x2 + x3 = 1

• Suatu set terbatas (finite set) dari PL disebut dengan system of linear equation (SPL) yang disingkat linear equation

• Variabel-variabel yang terlibat disebut dengan unknown (yang tidak diketahui). Pada contoh di bawah, sistem di sebelah kiri mempunyai unknown x dan y, dan di sebelahkanan mempunyai unknown x1, x2 dan x3.

5x + y = 3 4x1 – x2 + 3x3 = -1

2x - y = 4 3x1 + x2 + 9x3 = -4


PL & SPL (lanjutan)

• Sistem umum dari m persamaan dalam n unknown x1, x2, …, xn dapat dituliskan:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

• Solusi dari SPL dalam n unknown x1, x2, …, xn adalah sederetan n bilangan s1, s2, …, sn dimana substitusi:

x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn

membuat setiap persamaan menjadi pernyataan yang benar.

• Contoh, pada persamaan di bawah ini, keduanya mempunyai solusi, yaitu x = 1, y = -2 dan x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1.

5x + y = 3 4x1 – x2 + 3x3 = -1

2x - y = 4 3x1 + x2 + 9x3 = -4

• Solusi di atas dapat ditulis lebih jelas sebagai (1, -2) dan (1, 2, -1) untuk masing-masing persamaan, di mana namadari variabel dihilangkan. Notasi ini menginterpretasikan solusi secara geometrik sebagai titik-titik di ruang 2D dan 3D.


...

...

...

...

PL & SPL (lanjutan)

• Secara umum, suatu solusi

x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn

dari suatu SPL dalam n unknown dapat dituliskan sebagai

(s1, s2, …, sn)

yang disebut dengan ordered n-tupled.

• Jika n = 2 → ordered pair, n = 3 → ordered triple

• SPL dalam dua unknown → perpotongan garis

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

• SPL di atas mempunyai grafik persamaan berupa garis-garis dalam ruang xy

• Setiap solusi (x, y) dari SPL di atas berhubungan dengan suatu titik dari perpotongan garis, maka terdapat 3 kemungkinan hasil:

• Garis-garisnya pararel dan jelas→ tidak perpotongan → tidak ada solusi

• Garis-garisnya berpotongan pada satu titik→ hanya memiliki satu solusi

• Garis-garisnya bertemu satu sama lain → titik-titik perpotongannya tidak terbatas (titik-titik pada garis pertemuan) → solusinya tidak terbatas


PL & SPL (lanjutan)

• Secara umum, SPL adalah konsisten (consistent) → paling tidak mempunyai satu solusi, tidak konsisten (inconsistent) →tidak mempunyai solusi

• Maka SPL dari dua persamaan dalam dua unknown harus mempunyai satu atau tidak terbatas solusi→ disebut konsisten, tidak ada kemungkinan lainnya. Hal yang sama juga dapat dijumpai untuk SPL dari 3 persamaan dalam 3 unknown berikut:

a1x + b1y + c1z= d1

a2x + b2y + c2z= d2

a3x + b3y + c3z= d3


SPL dan Matriks

• Saat jumlah persamaan dan unknown dalam SPL bertambah→kompleksitas aljabar yang terlibat dalam menemukan solusi

• Komputasi yang diperlukan dapat dikerjakan lebih mudah→menyederhanakan notasi/istilah dan prosedur baku.

• Misal, dengan mengingat lokasi dari notasi +, x dan = pada SPL →menyingkat penulisan SPL dengan hanya menuliskan deretan bilanganberbentuk kotak

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 →

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

yang disebut dengan matriks augmented (augmented matrix)


...

...

...

...

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

⋯ 𝑎1𝑛 𝑏1⋯ 𝑎2𝑛 𝑏2

⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2

⋮ ⋮… 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚

SPL dan Matriks (lanjutan)

• Contoh SPL →matriks augmented

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 – 3x3 = 1 →

3x1 + 6x2 – 5x3 = 0


1 1 22 4 −33 6 −5

910

Operasi Baris Elementer (OBE)

• OBE = elementary row operation (ERO) pada matriks augmented:

1. Mengalikan sebuah konstanta bukan-nol (nonzero) pada suatu baris

2. Menukar (posisi) dua buah baris

3. Menambahkan hasil perkalian konstanta dengan suatu baris pada baris lainnya

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Menambahkan hasil perkalian -2 dengan Menambahkan hasil perkalian -2 dengan

persamaan pertama pada persamaan kedua baris pertama pada baris kedua

x + y + 2z = 9

2y – 7z = -17

3x + 6y – 5z = 0


1 1 22 4 −33 6 −5

910

1 1 20 2 −73 6 −5

9−170

OBE (lanjutan)


persamaan pertama pada persamaan ketiga baris pertama pada baris ketiga

x + y + 2z = 9

2y – 7z = -17

3y – 11z = -27

Mengalikan persamaan kedua dengan 1/2 Mengalikan baris kedua dengan 1/2

x + y + 2z = 9

y – 7

2z = − 17

2

3y – 11z = -27


persamaan kedua pada persamaan ketiga baris kedua pada baris ketiga

x + y + 2z = 9

y – 7

2z = − 17

2

−1

2z = − 3

2


1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27

1 1 20 1 −

72

0 3 −11

9−172

−27

1 1 20 1 −

72

0 0 −12

9−172

−32

OBE (lanjutan)

Mengalikan persamaan ketiga dengan -2 Mengalikan baris ketiga dengan -2

x + y + 2z = 9

y – 7

2z = − 17

2

z = 3


persamaan kedua pada persamaan pertama baris kedua pada baris pertama

x + 112

z = 352

y –7

2z = − 17

2

z = 3

Menambahkan hasil perkalian -11/2 dengan Menambahkan hasil perkalian -11/2 dengan

persamaan ketiga pada persamaan pertama, dan baris ketiga pada baris pertama, dan

menambahkan hasil perkalian 7/2 dengan menambahkan hasl perkalian 7/2 dengan

persamaan ketiga pada persamaan kedua baris ketiga pada baris kedua

x = 1

y = 2

z = 3

Solusi x = 1, y =2, z = 3 dapat terbukti sekarang.


1 1 20 1 −

72

0 0 1

9−172

3

1 0 112

0 1 −72

0 0 1

352

−172

3

1 0 00 1 00 0 1

123

SPL → Eliminasi Gauss & Gauss-Jordan

• Penyelesaian SPL• Sistem besar→ komputer→ ukuran memori, roundoff error, waktu solusi• Sistem kecil→ dengan tangan

• Banyak aplikasi→ SPL →melibatkan ribuan bahkan jutaaan unknown

• Sistem besar yang melibatkan teknik khusus dalam menangani ukuran masalah ukuranmemori, roundoff error, waktu solusi dan lain-lain → analisis numerik (numerical analysis)

• Dari contoh sebelumnya

dimana solusinya adalah x = 1, y = 2, z = 3.

• Matriks ini disebut dengan bentuk reduced row echelon (reduced row echelon form)


1 0 00 1 00 0 1

123

Reduced Row Echelon

1. Jika suatu baris tidak semuanya mengandung 0 → bilangan pertamabukan-nol (nonzero) pada baris adalah 1 → leading 1

2. Jika ada suatu baris yang semuanya bernilai 0 →mereka dikelompokkanbersama pada bagian bawah matriks

3. Pada sembarang baris yang berurutan yang tidak semuanya mengandung0 → leading 1 pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanandibandingkan dengan leading 1 pada baris yang lebih atas

4. Setiap kolom yang mengandung leading 1 akan bernilai 0 di semuatempat pada kolom tersebut

• Matriks yang memiliki kondisi 1-3 → row echelon

• Matriks yang memiliki kondisi 1-4 → reduced row echelon


Reduced Row Echelon (lanjutan)

• Matriks dalam bentuk reduced row echelon:

• Matriks dalam bentuk row echelon tapi bukan dalam bentuk reduced row echelon:


Reduced Row Echelon (lanjutan)

• Matriks dalam bentuk row echelon:

• Matriks dalam bentuk reduced row echelon:


Eliminasi Gauss: Diagram Alur

• Matriks augmented dalam bentuk row echelon

• Diagram alur Eliminasi Gauss:

→ → →

• Transformasi matriks:

→


OBE

SPLMatriks

Augmented

Substitusi

Balik

Eliminasi

Gauss

1 1 22 4 −33 6 −5

910

1 ∗ ∗0 1 ∗0 0 1

∗∗∗

Eliminasi Gauss: Diagram Alur (lanjutan)

• Setelah OBE kita mendapatkan matriks → tuliskan kembalidalam bentuk SPL. Kemudian lakukan Substitusi Balik.

• Substitusi Balik1. Selesaikan persamaan untuk variabel leading (leading variable)

2. Dimulai dari persamaan paling bawah dan kemudian berproses ke atas, secara berurutan substitusikan setiap persamaan sampai ke semuapersamaan

3. Beri sembarang nilai ke variabel bebas (free variable) bila perlu


1 ∗ ∗0 1 ∗0 0 1

∗∗∗

Eliminasi Gauss: Row Echelon


2. Jika ada suatu baris yang semuanya bernilai 0 →merekadikelompokkan bersama pada bagian bawah matriks

3. Pada sembarang baris yang berurutan yang tidak semuanyamengandung 0 → leading 1 pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan dibandingkan dengan leading 1 pada baris yang lebihatas


Eliminasi Gauss

• Soal

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 – 3x3 = 1

3x1 + 6x2 – 5x3 = 0

• Matriks augmented


1 1 22 4 −33 6 −5

910

Eliminasi Gauss (lanjutan)

• OBE

• Menambahkan hasil perkalian -2 dengan baris pertama pada baris kedua

• Menambahkan hasil perkalian -3 dengan baris pertama pada baris ketiga

• Mengalikan baris kedua dengan 1/2


1 1 22 4 −33 6 −5

910

1 1 20 2 −73 6 −5

9−170

1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27

1 1 20 1 −

72

0 3 −11

9−172

−27

Eliminasi Gauss (lanjutan)

• OBE

• Menambahkan hasil perkalian -3 dengan baris kedua pada baris ketiga

• Mengalikan baris ketiga dengan -2

• Substitusi balik• Ditulis kembali dalam bentuk SPL

x + y + 2z = 9 y -7

2. 3 = − 17

2x + y + 2z = 9

y – 7

2z = − 17

2y = − 17

2+ 21

2x + 2 + 2 . 3 = 9

z = 3 y = 4

2= 2 x = 9 – 8 = 1


1 1 20 1 −

72

0 3 −11

9−172

−27

1 1 20 1 −

72

0 0 −12

9−172

−32

1 1 20 1 −

72

0 0 1

9−172

3

Eliminasi Gauss-Jordan: Diagram Alur

• Matriks augmented dalam bentuk reduced row echelon

• Diagram alur Eliminasi Gauss-Jordan:

→ → →

• Transformasi matriks:

→


OBE

SPLMatriks

Augmented

Penyelesaian

Langsung

Eliminasi

Gauss-Jordan

1 1 22 4 −33 6 −5

910

1 0 00 1 00 0 1

∗∗∗

Eliminasi Gauss-Jordan: Reduced Row Echelon


2. Jika ada suatu baris yang semuanya bernilai 0 →merekadikelompokkan bersama pada bagian bawah matriks

3. Pada sembarang baris yang berurutan yang tidak semuanyamengandung 0 → leading 1 pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan dibandingkan dengan leading 1 pada baris yang lebihatas

4. Setiap kolom yang mengandung leading 1 akan bernilai 0 di semuatempat pada kolom tersebut


Eliminasi Gauss-Jordan

• Soal

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 – 3x3 = 1

3x1 + 6x2 – 5x3 = 0

• Matriks augmented


1 1 22 4 −33 6 −5

910

Eliminasi Gauss-Jordan (lanjutan)

• OBE

• Menambahkan hasil perkalian -2 dengan baris pertama pada baris kedua

• Menambahkan hasil perkalian -3 dengan baris pertama pada baris ketiga

• Mengalikan baris kedua dengan 1/2


1 1 22 4 −33 6 −5

910

1 1 20 2 −73 6 −5

9−170

1 1 20 2 −70 3 −11

9−17−27

1 1 20 1 −

72

0 3 −11

9−172

−27


• OBE

• Menambahkan hasil perkalian -3 dengan baris kedua pada baris ketiga

• Mengalikan baris ketiga dengan -2

• Menambahkan hasil perkalian -1 dengan baris kedua pada baris pertama

• Menambahkan hasil perkalian -11/2 dengan baris ketiga pada baris pertama, dan menambahkan haslperkalian 7/2 dengan baris ketiga pada baris kedua


1 1 20 1 −

72

0 3 −11

9−172

−27

1 1 20 1 −

72

0 0 −12

9−172

−32

1 1 20 1 −

72

0 0 1

9−172

3

1 0 112

0 1 −72

0 0 1

352

−172

3

1 0 00 1 00 0 1

123


• Pada langkah terakhir OBE, didapat:

• Tuliskan kembali dalam bentuk SPL

• Penyelesaian langsung didapat dari matriks terakhir

x = 1

y = 2

z = 3


1 0 00 1 00 0 1

123

Determinan & Aturan Cramer

• Determinan

• Invers

• Kofaktor

• Matriks bentuk khusus


if184302 aljabar linier pertemuan ke-3 3 −11 9 − 17 2 −27 1 1 2 0 1 −7 2 0 0 −1 2 9 − 17...

Documents