himpunan dan relasi

HIMPUNAN DAN OPERASI BINERDisusun oleh : D. L. Crispina Pardede

Sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki sifat

yang sama. Anggota himpunan disebut elemen. Contoh 1 :

D himpunan nama hari dalam satu minggu.

M himpunan mahasiswa jurusan teknik informatika di Universitas Gunadarma.

N himpunan bilangan asli.

Sebuah himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk daftar anggota (bentuk pendaftaran) atau dengan menyebutkan sifat yang dimiliki oleh semua

anggota (bentuk pencirian). Contoh 2 :

D = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }= { x x nama hari dalam satu minggu }

Mahasiswa tingkat dua dari jurusan teknik informatika di Universitas Gunadarma merupakan anggota dari himpunan M di atas. Jika P merupakan himpunan

mahasiswa tingkat dua tersebut, maka P merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan M dan ditulis sebagai P M. Dapat pula ditulis sebagai

M P dan dibaca M superset dari P atau P terdapat di dalam M .

Himpunan Saling LepasDua himpunan dikatakan saling lepas (disjoin) jika mereka tidak memiliki anggota bersama. Contoh 3 :

Himpunan mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan himpunan dosen S1 Universitas Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas.

Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinyatakan sebagai { } atau .Contoh 4 :

A = { x x bilangan asli dan x < 1 } =

Himpunan SemestaDalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta. Himpunan-himpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai himpunan S atau U .

Contoh 5 :

Himpunan & Operasi Biner 1D.L.C.P. Juni 2003

Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan

asli N dan himpunan bilangan bulat Z .

Kesamaan HimpunanDua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang benar-benar sama.Contoh 6 :

{ x x + 2 = 4 } = { y 3 y = 6 }

Diagram VennDiagram Venn biasa digunakan untuk menggambarkan himpunan dan hubungan antar himpunan. Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam sebuah bentuk tertutup, biasanya lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus mengandung semua himpunan lain dan biasa digambarkan dengan sebuah segi empat.Contoh 7 :

S = himpunan bilangan riil.Z = himpunan bilangan bulat.N = himpunan bilangan asli.

OPERASI PADA HIMPUNAN

Komplemen Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A S , komplemen dari A

, ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan

anggota A .

A’ = { x x A }

GabunganGabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A B,

adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota

B atau anggota keduanya.

A B = { x x A atau x B }

IrisanIrisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.

A B = { x x A dan x B }

Contoh 8 :Diketahui S = { k k Z , 1 k 12 }


SZ

N

A = { x x Z , 1 < x < 10 }.B = { y y Z , y kelipatan 3 dan 3 y 12 }.Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan tersebut dan hitung banyaknya anggota A B, A B, A’, B’, A’ B’ .Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...

Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa keadaan yang mungkin terjadi.Kondisi

OperasiA B A B = B A

A Bdaerah

berbayangn(A B) =n(A) + n(B) – n(A B) n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) = n(A)

A Bdaerah

berbayang n(A B) =n(A) + n(B) – n(A B)

n(A B) = 0 n(A B) = n(B)

Selain ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih dan operasi selisih simetri.

Selisih Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,

adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.

A - B = { x x A dan x B }.Jelas bahwa

B - A = { x x B dan x A }.

Selisih SimetriSelisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B,

ditulis sebagai A B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan

anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan

himpunan A dan B.

A B = ( A B ) – ( A B )atau

A B = ( A – B ) ( B - A ).PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN

Banyaknya anggota himpunan D (kardinalitas D ) dinyatakan sebagai n(D )

atau D .Contoh 9 :

Dari contoh sebelumnya,


n(D ) = 7,

n(N ) tak hingga.

Contoh 10 :Sebuah survei dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut : B himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki anjing. n(B)=23 , n(D)=10, n(B D) = 6.Tentukan :a). banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing.b). banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing.c). banyaknya anak yang memiliki salah satu sepeda atau anjing, tapi tidak

keduanya.Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...

OPERASI BINER

Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua elemen. Beberapa operasi biner yang dikenal dalam matematika adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Operasi gabungan, irisan, selisih dan selisih simetri merupakan beberapa operasi biner pada himpunan.

Sifat AsosiatifSebuah operasi biner pada himpunan A dikatakan asosiatif jika dan hanya

jika untuk setiap a, b, c A berlaku :( a b ) c = a ( b c )

Sifat KomutatifSebuah operasi biner pada himpunan A dikatakan komutatif jika dan hanya

jika untuk setiap a, b A berlaku :( a b ) = ( b a )

Sifat DistributifSebuah operasi biner dikatakan distributif operasi biner jika dan hanya

jika untuk setiap a, b, c A berlaku : a ( b c ) = (a b) ( a c ).

Elemen IdentitasSebuah elemen e disebut elemen identitas bagi operasi biner , jika dan

hanya jika untuk setiap a A berlaku : a e = e a = a.

Elemen InversMisalkan a, a’ A, dimana elemen identitas dari operasi biner adalah e dan

a a’ = a’ a = e, maka a’ disebut sebagai elemen invers dari a untuk operasi biner .Himpunan & Operasi Biner 4D.L.C.P. Juni 2003

Hukum yang Berlaku pada Operasi Himpunan

Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan.

Hukum Asosiatif ( A B ) C = A ( B C )

( A B ) C = A ( B C )

Hukum Komutatif

A B = B A A B = B A

Hukum Distributif

A ( B C ) = ( A B ) (A C )

A ( B C ) = ( A B ) (A C )

Hukum Involusi (A’)’ = A

Hukum Idempoten

A A = A A A = A

Hukum Identitas A = A A S = A

Hukum Komplemen

A A’ = S A A’ =

Hukum de Morgan

( A B ) ‘ = A’ B’ ( A B )’ = A’ B’

Contoh 9 :Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa ( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’ . Jawab :( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( (P’ )’ R’ ) hukum de Morgan

= ( P Q ) ( P R’ ) hukum involusi= P ( Q R’ ) hukum distribusi= P ( Q’ R )’ hukum de Morgan

Contoh 10 :Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa P’ (Q R)’ (P’ Q’ ) = P’ Q’Jawab : ...diserahkan kepada pembaca....


himpunan dan relasi

Documents