GEOMETRI ELLIPTIC

1. SEJARAH RIEMANN

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 September 1826 – 20 Juli 1866). Beliau ialah matematikawan Jerman yang membuat sumbangan penting pada analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan fungsi zeta

Riemann, integral Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dan lain-lain. Ia lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di Breselenz. Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara. Pada 1840 Bernhard pergi ke Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan mengunjungi Lyceum. Setelah kematian neneknya pada 1842 ia pindah ke Johanneum di Lüneburg. Pada 1846, pada usia 19, ia mulai belajar filologi dan teologi di Universitas Göttingen. Ia mengikuti ceramah Gauss. Pada 1847 ayahnya mengizinkannya berhenti belajar Teologi dan mulai belajar matematika.Pada 1847 ia pindah ke Berlin, di mana Jacobi, Dirichlet dan Steiner mengajar. Ia tinggal di Berlin selama 2 tahun dan kembali ke Göttingen pada 1849. Riemann menyelenggarakan ceramah pertamanya pada 1854, yang tak hanya menemukan bidang geometri Riemann namun menentukan tahapan untuk relativitas

umum Einstein. Ia dipromosikan sebagai guru besar istimewa di Universitas Göttingen pada 1857 dan menjadi guru besar luar biasa pada 1859 menyusul kematian Dirichlet. Pada 1862 ia menikahi Elise Koch. Ia meninggal akibat tuberkulosis pada perjalanan ketiganya ke Italia di Selasca. Sumbangsih Riemann dalam matematika berada di bidang geometri diferensial yang menyingkap cara-cara umum untuk membuat pengukuran dalam ruang dengan sembarang lengkungan dan jumlah dimensi. Sumbangsih Riemann dalam geometri adalah berupa teori tentang geometri yang berbeda dengan geometri euclid. Pada tahun 1954 Riemann membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat Gottingen. Ia memulai dengan asumsi : Garis-garis adalah tidak terbatas, tetapi panjangnya berhingga. Riemann tidak mengindahkan postulat kesejajaran dari geometri euckides maupun dari geometri hiperbolik. Postulat kesejajaran dari Riemann adalah: Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi menurutnya, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Untuk selanjutnya geometri elliptik dikenal sebagai Geometri Riemann.

2. TEORI GEOMETRI RIEMANNPostulat kesejajaran dari Riemann yang menyatakan bahwa

”Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain”. Jadi dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Untuk mencari letak perbedaan utama teori Riemann dengan teori euclides, maka kita ingatkan bahwa garis tidak berhingga biasanya dipakai untuk membuktikan adanya dua garis sejajar, yaitu suatu dalil dalam geometri euclides sebagai berikut:”Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar”.

Bukti:Misalkan kedua garis itu adalah l dan m yang tegak lurus pada n. Titik potong l dan m dengan n berturut-turut adalah A dan B. p

l m n A B

Andaikan l dan m tidak sejajar, maka garis-garis itu akan berpotongan di P.

Langkah Alasan1. PA diperpanjang dengan AP’ = PA 1. Suatu

segmen boleh diperpanjang

2. ditulis P’B 2. dua titik menentukan

satu garis3. Δ ABP ∞ Δ ABP' 3. S, Sd, S4. ∠ ABP = ∠ ABP ' 4. Unsur yang

berkorespondensi5. ∠ ABP ' = 90 ° = ∠ ABP 5. melalui satu titik

padaSdshg BP dan BP’ berimpit suatu garis hanya ada 1

garis yang tegak lurus

garis itu6. l dan m berimpit 6. dua titik

menentukan 1 garis.

Terdapat komtradiksi dengan yang diandaikan, yaitu bahwa l dan m berlainan. Jadi, pengandaian di atas salah, ini berarti l dan m sejajar.

Jika postulat Riemann harus berlaku, maka tentu ada yang salah dalam bukti di atas yang menyebabkan hasil yang

berbeda. Dan langkah ke- 6 yang perlu diperhatikan yang menyebabkan hasil yang berbeda itu.

Dalam bukti di atas Euclides secara diam-diam menggunakan prinsip pemisahan (separation principle), yaitu bahwa setiap garis membagi bidang dalam 2 setengah bidang (2 daerah), yang tidak mempunyai titik persekutuan. Jadi dalam langkah pertama telah dianggap bahwa P dan P’ berlainan.

Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka P dan P’ dapat berimpit dan bukti dalil di atas kurang benar. Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, P dan P’ harus berlainan. Kontradiksi langkah ke-6 dapat dihilangkan, jika kita meninggalkan prinsip, bahwa dua titik menentukan 1 garis dan memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik hal ini akan menghasilkan teori baru.

Teori baru yang merupakan hasil analisa Riemann adalah: Jika mengabaikan prinsip pemisahan (separation principle)

maka seharusnya setiap dua garis berpotongan pada satu titik dan tidak ada garis yang memisahkan suatu bidang;

Jika prinsip pemisahan digunakan maka seharusnya setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik dan setiap garis memisahkan bidang.

Dan Euclide telah menggunakan prinsip bahwa setiap 2 garis berpotongan pada 1 titik dan setiap baris memisahkan suatu bidang, dengan kata lain Euclide menggunakan prinsip pemisahan.

Berdasarkan hasil analisa Riemann maka disimpulkan terdapat dua teori geometris yang diasumsikan sebagai postulat kesejajaran Riemann, yaitu Geometri Elliptik tunggal (Single Elliptic) yang menyatakan dua garis

berpotongan pada tepat satu titik dan setiap garis memisahkan bidang menjadi dua setengah bidang. Geometri Elliptik Tunggal ini diilustrasikan dengan suatu setengah bola.

Model berupa setengah bola di atas dinamakan Geometri single eliptic. Ilustrasinya hanya ada pada setengah bola. Garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 bidang yang sama. Dua titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik, jadi titik P sama dengan P’.

Postulat kesejajaran Riemann yang kedua adalah Geometri Elliptik Ganda (Double Elliptic) yang menyatakan bahwa dua garis berpotongan pada 1 titik; garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang dan 2 titik yang diametraldianggap sebagai 1 titik. Geometri Elliptik Ganda ini diilustrasikan sebagai bola.

Model ini dinamakan Geometri double eliptic. Misalkan l garis pada bola dan titik A diluar garis itu. Jumlah besar sudut ABC lebih besar dari 1800. Pada geometri ini, titik adalah titik pada bola, garis adalah lingkaran besar bola, bidang adalah bola, segmen adalah busur dari suatu lingkaran besar. Jarak antara dua titik adalah panjang busur terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu, dan sudut antara dua garis adalah sudut bola antara 2 lingkaran besar. Dua garis berpotongan pada satu tiitk. Setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang. Dua titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik, jadi tiitk A sama dengan A’.

Kata Elliptik didasarkan atas klasifikasi Geometri Proyektif. Geometri Lobachevsky disebut geometri hiperbolik, mengingat bahwa melalui 1 tiitk diluar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis teresbut. Geometri Eulides disebut geometri parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar garis teresbut dan Geometri Riemann disebut geometri elliptik karena tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut.3. PENYAJIAN GEOMETRI “DOUBLE ELLIPTIC” PADA BOLA

EUCLIDES

Geometri Elliptik Ganda Representasi EulidesTitik Titik pada bolaGaris Lingkaran besar bolaBidang BolaSegmen Busur dari suatu lingkaran

besarJarak antara 2 tiitk Panjang busur terpendek

dari lingkaran besar yang

melalui kedua titik ituSudut antara 2 garis besar Sudut pada bola antara 2

lingkaranDapat disimpulkan bahwa urutan tidak berlaku pada

Geometri ”double elliptic”, artinya [ ABC] dapat sama dengan [ BCA ].

Dalam Geometri Elliptik tetap berlaku, bahwa melalui satu tiitk pada suatu garis hanya dapat dibuat 1 garis yang tegak lurus garis teresbut. Tetapi hal ini tidak berlaku, jika tiitknya diluar garis tersebut.

Untuk setiap garis l ada kutub K sedemikian sehingga semua garis melalui K tegak lurus pada l (gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegak lurus pada ekuator atau khatulistiwa).

SIFAT KUTUB

Misalkan l suatu garis, maka ada suatu titik K, yang disebut kutub dari l sedemikian sehingga: Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik

pada l tegak lurus pada l; K berjarak sama dari setiap titik pada l; Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak

polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan, demikian pula panjang suatu garis.

4. DALIL-DALIL DASAR YANG BERLAKU UNTUK GEOMETRI ELLIPTIC

Dalil 1Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik.

Dalil 2Semua garis tegak lurus pada suatu garis berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus pada garis itu.Dalil 3

Dalam sebarang segitiga ABC dengan ∠ C = 90 ° , sudut A kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari 90 ° , tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar q.Gambaran untuk dalil 3 adalah sebagai berikut:

Diketahui segitiga ABC dengan ∠ C = 90 ° , maka kemungkinan yang terjadi adalah:

1) Jika segmen BC < jarak polar q, maka ∠ A < 90 ° ; Lukisan gambarnya adalah:

2) Jika segmen BC = jarak polar q, maka ∠ A = 90 ° ; Lukisan gambarnya adalah:

3) Jika segmen BC > jarak polar q, maka ∠ A > 90 ° ; Lukisan gambarnya adalah:

Dalil 4Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180 ° .Gambaran untuk dalil 4 adalah sebagai berikut:Dengan menggunakan gambar-gambar pada dalil 3 diperoleh:

Pada butir 2) ∠ A = 90 ° ; ∠ C = 90° ; ∠ B positif, jadi ∠ A + ∠ B + ∠ C > 180 ° .

Pada butir 3) ∠ C = 90 ° ; ∠ A tumpul, jadi ∠ A + ∠ B + ∠ C > 180° .

Dari kedua pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180 ° .Perbandingannya dengan Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik: Dalam geometri euclides jumlah besar sudut-sudut dalam

suatu segitiga adalah 180 ° . Dalam geometri hiperbolik jumlah besar sudut-sudut dalam

suatu segitiga kurang dari 180 ° .

Dalil 5Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360 ° .

Dalil 6Sudut-sudut puncak dari segiempat Sachheri sama dan tumpul.Ditunjukkan oleh lukisan berikut:∠ A = ∠ B = 90°AD = BC∠ D= ∠ C > 90 ° .

Perbandingannya dengan Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik: Dalam geometri euclides sudut-sudut puncak sisiempat

Saccheri sama dan siku-siku. Dalam geometri hiperbolik sudut-sudut puncak sisiempat

Saccheri sama dan lancip.

Dalil 7

Dalam sisiempat Lambert ABCD dengan ∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 ° , maka sudut keempat D tumpul.Dalil 8Tidak ada bujursangkar dalam Geometri Elliptic.

Dalil 9Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen.Dalam geometri hiperbolik luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari defeknya, sedangkan dalam geometri elliptic luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari akses (”excess”) nya yaitu:L Δ = μ ( A + B + C − 180) atauL Δ = μ ( A + B + C − π ) tergantung dari satuan-satuan yang dipakai.

5. GARIS SEBAGAI BANGUN TERTUTUPPerhatikan gambar berikut:

L

Pertama, pertimbangkan geometri eliptik tunggal. Dengan menguji situasi yang ditunjukkan oleh gambar (b) dalam pembuktian teorema bahwa dua garis tegak lurus pada garis yang sama akan sejajar, terlihat bahwa jika teori geometri eliptik tunggal mungkin digunakan,

Titik c’ haruslah berimpit dengan titik C. Jadi, dalam perpanjangan CA hingga c’, artinya kembali ke

titik C lagi. Akibatnya, suatu garis disusun sebagai suatu bangun

tertutup. Jadi berlaku bahwa suatu titik tidak memisahkan suatu

garis menjadi dua bagian. Tetapi dua titik dari suatu garis akan memisahkan titik

tersebut menjadi 2 segmen, Sehingga penentuan pada garis tersebut tidak pada

segmen saja tetapi pada dua segmen yang merupakan titik-titik ujung yang sama.

Konsep garis ini, mungkin saja termotivasi dalam geometri eliptik ganda dengan cara berikut ini.

Misalkan L diketahui dan misalkan A merupakan titik dari L. Misalkan M tegak lurus L di A, maka L dan M akan bertemu

pada titik kedua B. A dan B sebagai titik ujung dari satu segmen, termuat

dalam L. misalkan segmen tersebut S.

M

A B

m

n

l

A

C’

B

(a) (b)

S L

A B M

Karena M memisahkan bidang tersebut dan M bertemu dengan L tepat pada dua titik maka S seluruhnya berada pada saru sisi M.

Selanjutnya akan dibuktikan setiap setiap titik dari L pada sisi M yang diketahui, berada pada S.

Konsep garis yang diperlukan sebagai syarat: Sebarabg titik dari L yang tidak pada segmen S haruslah

merupakn perluasan dari S di luar titik ujungnua A atau B. Tetapi dalam proses perluasan S di luar A atau B, garis L

melewati M, dan berhadapan dengan S. Jadi sebarang titik dari L pada sisi yang sama di M haruslah

pada S, dan disimpulkan bahwa S menyatakan bagian dari L pada sisi M yang diketahui.Akan diargumentasikan pernyataan bahwa ada segmen S’, yang termuat dalam garis L, yang menghubumgkan A dan B pada sisi lain dari M dan menyatakan bahwa bagian dari L pada sisi M tersebut.

Untuk tujuan ini, ingat kembali bahwa ide cardinal geometri bidang Euclid yang menyatakan bahwa sebarang bangun F dapat dicerminkan (secara tegak lurus) pada garis yang diketahui untuk menghasilkan bangun simetrik F’.

Teri simetrik ini diperlukan dalam geometri eliptik ganda.

Jadi, akan ada bangun S’ yang simetrik dengan segmen S yabg menghubungkan A dan B pada sisi lain dari M dan titik S.

Karena S merupakan segmen, S’ juga merupakan segmen. Karena S tegak lurus dengan M di A, maka segmen simetrik

S’ juga tegak lurus pada garis yang sama dan di titik yang sama.

Maka S dan S’ harus bertemu dalam satu garis, yakni S’ termuat dalam L.

Dengan menggunakan argument pada baris terakhir, sebarang titik dari L pada sisi yang sama dari M, haruslah pada S’, disimpulkan bahwa:

L dinyatakan oleh segmen S dan S’ Jadi, diyakinkan bahwa garis sebagai bangun tertutup,

seperti dalam geometri eliptik tunggal.

6. MODEL DALAM GEOMETRI ELIPTIKHyperspherical model

Model hyperspherical adalah penyamarataan model yang berbentuk bola dalam dimensi-dimensi yang lebih tinggi. Pokok ruang eliptik n dimensional adalah vektor satuan di Rn+1, yang ,rupanya pokok dari bola satuan di ruang n+1 dimensional. Bentuk di dalam model ini adalah jarak terpendek dari permukaan bumi, persimpangan-persimpangan bola dengan permukaan yang datar dimensi n melintas aslinya.

Projective model

Di dalam model yang bersifat proyeksi, pokok ruang projektif real n dimensional digunakan sebagai poin-poin dari model. Pokok ruang projektif n dimensional dapat dikaitkan dengan bentuk melalui asli di dalam (n+1)-dimensional ruang/spasi, dan

didapat secara tidak unik yang diwakili oleh vektor-vektor yang tidak nol di Rn+1, dengan pemahaman, itu u dan λu, untuk setiap skalar yang tidak nol λ,menunjukkan titik yang sama. Jarak dapat digambarkan dengan metrik

Ini adalah homogen pada setiap variabel, dengan d(λ u , μ v) = d(u, v) jika λ dan μ bersifat skalar-skalar tidak nol, dengan demikian itu menggambarkan suatu jarak di pokok dari ruang projektif

Suatu properti yang terkemuka dari model yang bersifat proyeksi adalah bahwa untuk dimensi-dimensi, seperti pesawat, ilmu ukur itu adalah bisa tidak dunia Timur, menghapus pembedaan antara arah jam dan berlawanan arah jarum jam perputaran dengan mengidentifikasi mereka

Stereographic model

Suatu perwakilan model ruang/spasi yang sama seperti model hyperspherical dapat diperoleh atas pertolongan projeksi stereografik. izinkan En menunjukkan Rn ∪ {∞},yang ,ruang(spasi n riil dimensional yang diperluas oleh suatu titik di takhingga. Kita boleh menggambarkan suatu yang metrik, chordal metrik, di En oleh

di mana u dan v adalah setiap dua vektor di Rn dan ||*||adalah Norma Euclides yang umum. Kita juga menggambarkan

Hasil suatu ruang metrik di En, yang menunjukkan jarak sepanjang suatu tali dari poin-poin yang sesuai di model hyperspherical, itu petakan secara bijektif kepada oleh projeksi stereografik. Untuk memperoleh suatu model dari geometri eliptik, kita menggambarkan yang lain metrik

Hasil itu adalah suatu model dari geometri eliptik. 7. PERBANDINGAN DENGAN GEOMETRI YANG LAIN

Euclid

Lobachevski

(hiperbolik)

Riemann (eliptik)

Dua garis yang berbeda saling berpotongan pada

Paling banyak satu

Paling banyak satu

Satu (eliptik tunggal)Dua (eliptik ganda)

Titik

titik

Garis L yang diketahui dan P tidal pada L,a akan ada

Satu dan hanya satu

Setidaknya dua

Tidak ada garis

Yang melali P yang sejajar dengan L

Suatu garis akan akan Tidak akan Terpisah menjadi dua oleh

suatu titik

Garis sejajar

Dimana-mana berjarak sama

Dimana-mana berjarak tidak sama

tidak

Jika suatu garis berpotongan dengan satu dari dua garis yang sejajar,maka garis tersebut

haruslah Kemungkinan atau tidak mungkin

- Akan memotong garis tersebut

Hipotesis Saccheri yang valid adalah

Hipotesis sudut siku-siku

Hipotesis sudut lancip

Hipotesis sudut tumpul

Dua garis yang berbeda akan tegak lurus dengan garis yang sama maka

Akan sejajar

Akan sejajar Akan berpotongan

Jumlah Akan Akan Akan lebih 1800

sudut suatu segitiga

sama dengan

kurang dari dari

Luas segitiga Akan bebas Sebanding dengan kekurangan

Sebanding dengan kelebihan

Jumlah sudutnya

Dua segitiga yang mempunya sudut sehadap sama besar akan

Sama besar kongruen kongruen

8. RANGKUMANGeometri Non- Euclides memuat Geometri Hiperbolik dan

Geometri Elliptic. Dengan digunakan atau tidak digunakannya “prinsip pemisahan” ( separation principle) maka dapat dibedakan antara Geometri “double elliptic” dan Geometri “single elliptic”. Jika disajikan dalam bagan maka akan diperoleh sebagai berikut:

G. Non - Euclides

G. Hiperbolik G. Elliptic

G. Double Elliptic G. Single Elliptic

Menurut klasifikasi Geometri Proyektif maka Geometri Euclides disebut Geometri Parabolik. Dalam Geometri Hiperbolik, Parabolik atau Elliptic berlaku, bahwa melalui satu titik di luar suatu garis dapat dibuat berturut-turut 2, 1 atau 0 (tidak ada) garis yang sejajar dengan garis tersebut.

۩ selesai ۩