BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG KAJIANTeori graf telah lahir pada tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berkisarkan tentang upaya pemecahan masalah jambatan Knigsberg yang sangat terkenal di Eropah. Bandar Konigsberg adalah terletak di sungai Pregel, Prussia. Sungai ini telah membahagikan Bandar ini menjadi empat daratan berasingan termasuklah Pulau Kneiphof. Keempat-empat kawasan ini dihubungkan oleh jambatan seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.1. Penduduk Bandar tertanya-tanya jika mereka boleh meninggalkan rumah dengan hanya menyeberangi setiap satu daripada tujuh jambatan dengan sekali lalu sahaja, dan pulang ke rumah semula. Lantaran itu, ahli matematik dari Switzerland Leonhard Euler (1707-1783) berfikir tentang masalah ini dan beliau menggunakan satu kaedah untuk menyelesaikan masalah ini. Kaedah yang digunakan itu dianggap sebagai kelahiran teori graf [8].

Rajah 1.1 Masalah Jambatan KnigsbergPada tahun 1736 Euler telah menyelesaikan masalah tujuh jambatan Knigsberg dengan menggunakan teori graf. Beliau telah mewakilkan satu pulau-pulau atau tebing-tebing sungai dengan titik yang disebut sebagai bucu, dan dua titik yang dihubungkan oleh garis-k yang disebut sebagai sisi dimana adalah jambatan. Situasi untuk masalah jambatan Knigsberg ini telah diwakili oleh gambar rajah seperti di bawah.

Rajah 1.2 Masalah jambatan Knigsberg secara grafik

Graf yang ditunjukkan di dalam rajah di atas turut dikenali sebagai graf-multi. Multi-graf adalah graf yang mengandungi titik dan garis dimana setiap garis akan menghubungkan sepasang titik [7]. Secara graf teorinya, setiap titik dikenali sebagai bucu manakala setiap garis dikenali sebagai sisi. Di dalam graf-multi di atas terdapat empat bucu dan tujuh sisi, dimana setiap sisi telah menghubungkan sepasang bucu; bucu A dan C tidak dihubungkan oleh mana-mana sisi , bucu A dan D dihubungkan oleh satu sisi, bucu B dan C dihubungkan oleh dua sisi, bucu B dan A juga dihubungkan oleh dua bucu, dan seterusnya bucu D dan C dihubungkan oleh satu bucu.

Seterusnya, Graf didefinisikan seperti berikut:Definisi 1.1 Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana:V (G) = set bucu (point atau node) = { v1 , v2 , ... , vn } E (G) = set sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang bucu ={e1 , e2 , ... , en } Jumlah bucu di dalam G ditanda dengan v(G) dimana ia turut dikenali sebagai peringkat bagi G [v(G) = | V(G) | ]. Manakala jumlah sisi di dalam G ditanda sebagai e(G) dimana ia turut dikenali sebagai saiz bagi G [e(G) = | E(G)|].

Definisi 1.2Graf-multi G mengandungi set bucu tidak terhingga tidak- kosong V(G) bersama dengan set sisi tidak terhingga E(G) (berkemungkinan kosong) dimana :(1) Setiap sisi akan menghubungkan dua bucu yang berbeza, V(G)(2) Sisi yang bernombor terhingga (termasuk kosong) akan menghubungkan mana-mana dua bucu yang berlainan, V(G) Jenis-jenis graf boleh dibahagikan kepada dua iaitu graf ringkas dan graf tidak ringkas. Graf ringkas adalah graf yang tidak mengandungi gelung, iaitu sisi yang menghubungkan bucu tersebut terhadap dirinya sendiri. Selain itu, graf jenis ini juga mestilah tidak mempunyai sisi berganda di mana dua sisi yang menghubungkan pasangan bucu yang sama. Manakala graf tak ringkas pula adalah graf yang mempunyai gelung dan mengandungi sisi berbilang [14]. Contoh graf ringkas dan graf tak ringkas adalah seperti di dalam rajah 1.3. Bagi graf G, darjah bucu didefinisikan sebagai bilangan sisi yang berhubung dengan bucu v dan diwakili sebagai d(v). Manakala darjah minimum bagi graf G diwakili sebagai (G), didefinisikan sebagai bilangan terendah dalam kalangan semua bucu dalam graf G. Darjah maksimum bagi graf G, diwakili oleh (G), didefinisikan sebagai bilangan paling tertinggi di kalangan semua bucu dalam G.

Rajah 1.3 Graf ringkas dan Graf tak ringkasSelain itu, di dalam Graf Petersan setiap bucu mempunyai sudut yang sama, dinamakan 3. Terdapat banyak graf di mana setiap bucu mempunyai sudut yang sama. Secara ringkasnya, graf dipanggil biasa jika bucu di dalam mempunyai sudut yang sama. Secara tepatnya lagi, dipanggil biasa- jika bagi setiap bucu dalam graf , dimana . Oleh yang demikian, graf adalah biasa- jika dan hanya jika . Graf biasa- adalah seperti berikut:

Rajah 1.4 Graf PetersanSeterusnya, terdapat tiga jenis keluarga graf ringkas.Graf tersebut adalah graf nol, graf lengkap dan graf kitar. Graf nol juga boleh disebut sebagai graf kosong, dimana graf tersebut adalah merupakan graf yang tidak mempunyai sisi Graf nol bagi tertib ditandakan dengan Secara jelasnya, setiap adalah graf biasa-0 dan . Contoh graf nol ditunjukkan di dalam rajah 1.5.

Rajah 1.5 Graf nolBagi graf lengkap pula boleh dedifinasikan apabila setiap bucu pada graf bersebelahan. Graf tersebut dipanggil graf lengkap jika setiap dua daripada bucu dihubungkan dengan garis atau bucu, diman bucu tersebut adalah merupakan jiran terhadap satu sama lain. Sebuah graf lengkap dengan tertib ditandakan dengan . Secara jelasnya, setiap adalah -biasa dan Lima graf lengkap terkecil ditunjukkan di dalam rajah 5.Rajah 1.6 Graf LengkapGraf yang terakhir adalah graf kitar. Graf kitar boleh didefinasikan sebagai subset bagi set sisi dalam yang membentuk sebuah laluan di mana nod pertama sepadan dengan nod yang terakhir. Graf dengan tertib dipanggil kitar jika bucu nya boleh dinamakan sebagai dimana adalah bersebelahan dengan , adalah bersebelahan dengan , adalah bersebelahan dengan , adalah bersebelahan dengan .

Graf kitar dengan tertib ditandakan dengan .dipanggil sebagai kitar, dan adalah segi tiga. Secara jelasnya, setiap kitar adalah biasa dan Tiga lagi contoh graf kitar adalah seperti di dalam rajah 1.7.

Rajah 1.7 Graf KitarDan akhir sekali, sebuah graf berkait rapat dengan bagi tertib , yang tidak mempunyai kitar dikenali sebagai pokok dengan notasi seperti Graf pokok boleh dilihat di bawah iaitu pada rajah 7

.

Rajah 7 Graf Pokok

Pada tahun 1975, Randi telah memperkenalkan molekul struktur-pemerihal dalam kajiannya tentang alkanes yang dipanggil sebagai indeks cawangan. Kini, indeks cawangan dikenali indeks Randi atau indeks keterkaitan [10]. Indeks keterkaitan adalah salah satu jenis indeks topologi dalam teori graf kimia [4]. Di dalam graf kimia, bucu bagi graf mewakili atom untuk molekul dan sisi pula mewakili ikatan kovalen kimia [1]. Jika G adalah graf, set bucu diwakili oleh V(G) dan set sisi diwakili oleh E(G). |V(G)| adalah jumlah bagi semua bucu manakala |E(G)| adalah jumlah semua sisi. Darjah bagi bucu v, adalah jumlah sisi yang berkait dengan v dan diwakili oleh deg(v) [13].

Darjah bercabang bagi setiap molekul telah diukur dengan menggunakan indeks cawangan yang kemudiannya dikenali sebagai darjah pertama indeks keterkaitan molekul, . Indeks keterkaitan molekul telah digunakan secara meluas bagi meramalkan ciri-ciri fizikal kimia seperti takat didih, kelarutan dan lain-lain [11]. Di dalam kajian ini, saya akan mengira indeks keterkaitan peringkat kedua bagi dendrimer nano-bintang dan . Dendrimer biasanya digambarkan sebagai makromolekul, yang mempunyai ciri-ciri struktur 3-dimensi sangat bercabang yang menyediakan darjah yang tinggi bagi fungsi permukaan dan serba boleh [15].Dendrimer dibina melalui satu proses sintesis kimia yang berulang. Dendrimer nano-bintang adalah molekul sintesis yang dibina daripada unit bercabang dimana ia dipanggil sebagai monomer [12]. Dengan kata lain, dendrimer juga merupakan molekul besar dan kompleks dimana sangat jelas struktur kimianya. Daripada sudut pandangan kimia, dendrimer adalah hampir sempurna monodisperse dimana saiz dan bentuknya yang konsisten. Manakala makromolekulnya berbentuk tiga dimensi yang bercabang. Dendrimer dihasilkan dalam langkah lelaran urutan tindak balas dimana dendrimer boleh dipertimbangkan sebagai graf berbentuk molekul. Di dalam graf kimia, setiap bucu mewakili atom molekul dan ikatan kovalen di antara atom yang diwakili oleh sisi antara sempadan bucu.

1.2 PERNYATAAN MASALAH

1. Indeks keterkaitan adalah indeks topologi di mana untuk mencari peringkat bagi setiap bucu. Di dalam kajian ini, saya akan memfokuskan indeks keterkaitan peringkat kedua bagi dendrimer nano-bintang dan .

2. Berdasarkan kajian lepas-lepas yang dibuat oleh para penyelidik matematik yang lain, mereka tidak menerangkan secara jelas bagaimana cara untuk mendapatkan indeks keterkaitan peringkat kedua dendrimer nano-bintang dan .

1.3 SKOP KAJIAN

Indeks keterkaitan peringkat pertama, kedua dan seterusnya telah banyak dikaji oleh para penyelidik untuk beberapa kelas molekul seperti dendrimer dan struktur- nano yang lain. Justeru itu, dalam kajian ini saya hanya akan memfokuskan 2 kelas dendrimer nano-bintang iaitu dan .

1.4 OBJEKTIF KAJIAN

1. Untuk menyiasat lebih jelas tentang sifat-sifat matematik (sifat keterkaitan) bagi struktur nano atau graf molekul iautu dendrimer nano-bintang dan .

2. Untuk mengira indeks keterkaitan peringkat kedua bagi dendrimer nano-bintang dan .

BAB 2

SOROTAN KAJIAN

2.1SOROTAN KAJIANSetakat ini telah ramai ahli matematik yang telah mengkaji tentang indeks keterkaitan berperingkat pertama, kedua dan seterusnya untuk beberapa kelas molekul seperti dendrimer dan struktur-nano.Araujo dan de la Pena dalam [7] telah menerangkan tentang indeks keterkaitan bagi graf ringkas. Jadikan sebagai graf dan pertimbangkan indeks keterkaitan-m sebagai

Secara jelasnya, melalui semua laluan (untuk 1 s < t m+1 ) bagi m di dalam G.Pada tahun 1975, Randi indeks telah memperkenalkan indeks keterkaitan-1 dan sekarang dikenali sebagai indeks Randi

Dimana i-j melalui semua sisi graf G. Indeks ini telah berjaya dikaitkan dengan sifat-sifat fizikal dan kimia bagi molekul organik. Seterusnya, Sadeghimer dan Ahmadi dalam [16] telah menerangkan indeks keterkaitan peringkat kedua bagi keluarga tak terhingga dendrimer nano-bintang. Indeks keterkaitan peringkat kedua adalah seperti berikut:

Di dalam kajian tersebut, mereka telah memfokuskan indeks keterkaitan-2 bagi keluarga tak terhingga dendrimer. Pertimbangkan graf molekul dendrimer , dimana n adalah langkah perkembangan untuk dendrimer. Graf yang mereka gunakan untuk mendapatkan indeks keterkaitan peringkat kedua adalah seperti berikut:

Rajah 2.1 Dendrimer nanostar , dan

Selain itu, Ashrafi dan Nikzad [3] telah mengkaji tentang indeks keterkaitan bagi keluarga dendrimer nano-bintang. Beliau telah mempertimbangkan graf dimana bucu adalah . Kemungkinan darjah bucu yang maksimum adalah . adalah jumlah sisi yang menghubungkan darjah dan . Secara jelasnya,. Seterusnya indeks keterkaitan-1 boleh ditulis sebagai

Jika graf mengandungi komponen , maka:

Tiga kelas tak terhingga dendrimer nano-bintang adalah seperti di dalam rajah di bawah:

Rajah 2.2 Graf molekular

Rajah 2.3 Graf molekular

Rajah 2.4 Graf molekular Ahmadi dan Sadeghimer [4] telah mengkaji tentang ikatan atom indeks keterkaitan bagi kelas tak terhingga dendrimer nano-bintang . Mereka telah mempertimbangkan graf molecular di mana adalah langkah perkembangan bagi dendrimer seperti rajah 2.5. boleh dibahagikan kepada tiga bahagian bagi dalam setiap langkah. akan menjadi jumlah sisi yang menghubungkan bucu bagi darjah dan bucu bagi darjah .

Rajah 2.5 Graf molekular

Seterusnya, Nabeel, Hasni dan Alikhani [11] telah mengkaji tentang indeks keterkaitan peringkat keempat bagi dendrimer polyphenylene. Indeks keterkaitan peringkat keempat adalah seperti berikut:

Mereka mempertimbangkan dendrimer polyphenylene dengan membuat pengubahsuaian terhadap generasi dendrimer yang berkembang sebagai peringkat . Mereka telah menamakan graf tersebut sebagai . Rajah 2.6 menunjukkan generasi yang berkembang sampai peringkat 2.

Rajah 2.5 Dendrimer polyphenylene

Kesimpulannya, indeks keterkaitan peringkat pertama, kedua, ketiga dan seterusnya telah banyak di kaji oleh para penyelidik untuk beberapa kelas molekul seperti dendrimer dan struktur-nano yang lain. Justeru itu, didalam kajian kajian ini, saya akan memfokuskan dua kelas dendrimer nano-bintang iaitu dan .

BAB 3

METODOLOGI

3.1 METODOLOGI KAJIAN

Pada tahun 1975 ,Randi telah memperkenalkan indeks keterkaitan darjah bagi graf G . Beliau telah memperkenalkan satu formula iaitu :

Secara jelasnya, melalui semua laluan (untuk 1 s < t m+1 ) bagi m di dalam G. Formula diatas merupakan formual umum bagi mencari indeks keterkaitan. Justeru itu, untuk mengira indeks keterkaitan peringkat kedua bagi dendrimer nano-bintangdan , saya akan merujuk kaedah seperti berikut:

Kesimpulannya, untuk Projek Ilmiah Tahun Akhit II saya akan merujuk kaedah 3.1 dan 3.2 untuk mengira indeks keterkaitan peringkat kedua bagi dendrimer nano-bintang dan ,

BAB 4

JANGKAAN DAPATAN

3.1 JANGKAAN DAPATAN KAJIAN

1. Sifat-sifat matematik (sifat keterkaitan) bagi struktur nano atau graf kimia iaitu dendrimer nano-bintang untuk dan akan dapat disiasat dengan lebih jelas dan dapat ditentukan.

2. Indeks keterkaitan dendrimer peringkat kedua bagi dendrimer nano-bintang dan akan dapat dikira.

RUJUKAN

[1] Ashrafi, A. R., Karbasion, A,.Szeged index of an infinite class of dendrimer nanostarDigest Journal of Nanomaterials and Biostructures. 4(2009), 663-666

[2]Ashrafi, A. R., &Mirzargar, A., The study of an infinite class of dendrimer nanostar by topological index approaches.Journal of Applied Mathematics and Computing. 31(2009), 289-294

[3]Ashrafi, A. R., & Nikzad, P., Connectivity Index of the Family of Dendrimer Nanostars. Digest Journal of Nanomaterials and Biostructures, 4(2009), 269-273

[4]Ahmadi, M. D., Sadeghimer, M., Atom Bond Connectivity Index of an Infinite Class of Dendrimer Nanostar. Optoelectronics and Advanced Materials, 4(2010), 1040-1042.

[5]Araujo, O., The Connectivity Index of a Weighed Graph. Linear Algorithm Applied. 283(1998), 171-177

[6]Ahmadi, M. B., Seif, M., The Merrified-Simmons Index of an Infinite DendrimerNanostar. Digest Journal of Nanomaterials and Biostructure. 5(2010), 335-338

[7]Araujo, O., and de la Pena, J.A., The connectivity index of a weighted graph, Linear. Alg. Appl. 283(1998), 171-177.

[8] Dong, F. M., Koh, K.M., Tay, E.G. 2007. Introduction to graph theory. Singapore: World Scientific Publishing Co. Ptd. Lt[9]Kier, L. B., Murray, W. J., Randic, M., Hall, L. H., Connectivity Series Concept Applied to Density ,65(1976), 1226-1230.

[10]Madanshekaf, A., The Randic Index of Some Dendrimer Nanostars, Journal Applied Mathematics and Infomatics. 29(2011), 1075-1080.

[11]Nabeel, E., A., Hasni, R., Alikhani, S., Fourth Order and Fourth Sum Connectivity Indices of Polyphenylene Dendrimers. Journal of Applied Sciences, 12(2012), 2279-2282.

[12]Rada, J., and Araujo, O., Higher order connectivity index of starlike trees, DiscreteApplied Mathematics , 119 (2002), 287-295.

[13]Randic, M., On characterization of molecular branching, Journal Chemistry Society.97 (1975), 6609-6615.

[14] Randic, M., Representation of molecular graphs by basic graphs, Journal Chemistry Informative Computer Science. 32(1992), 57-69.

[15] Sadeghimehr, M., Ahmadi, M. B., Second Order Connectivity Index of an Infinite Class of Dendrimer Nanostars. Digest Journal of Nanomaterials and Biostrucutures. 4(2009), 639-643.16