MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 5Penggunaan Fungsi Non-Linear dalam EkonomiI Komang Adi AswantaraUT Korea Fall 2013

Fungsi Permintaan dan PenawaranKurva permintaan dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola atau hiperbola.Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola.

Fungsi PermintaanKurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun horizontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas, bawah, kiri, maupun kanan.

Fungsi PermintaanKurva a, parabola terbuka ke bawah p < 0, titik vertex (h,k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P sehingga h 0 dan k > 0Kurva b, parabola terbuka ke atas p > 0, titik vertex (h,k) terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q sehingga h > 0 dan k 0

Fungsi PermintaanKurva c dan d adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q dan bentuk umumnya adalah:(P k)2 = 4p(Q h)Kurva c, parabola terbuka ke kiri p < 0, titik vertex terletak di kuadran keempat sehingga h > 0 dan k < 0Kurva d, parabola terbuka ke kanan p > 0, titik vertex terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P, sehingga h 0 dan k > 0

Contoh SoalGambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:P = 1 Q2 4Q + 20 5Q2 20Q + 100 = 5P(Q 10)2 = 4.5(P 0)4

Jadi, p = 5/4, h = 10, dan k= 0. Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 P = 20Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0 Q = 10

Fungsi PermintaanKurva permintaan dapat merupakan bagian dari hiperbola yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu vertikal.Dalam hiperbola yang bentuk umumnya(x h)2 (y k)2 = 1 a2 b2atau(y k)2 (x h)2 = 1 b2 a2Apabila a = b, maka asimtot berpotongan tegak lurus, sehingga (x h)(y k) = c

Contoh SoalGambarkankurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaanQP + 2P = 20Persamaan ini dapat dirubah menjadi(Q + 2)(P 0) = 20Sehingga (h,k) = (-2,0)Dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2.

Fungsi PenawaranKurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola dan parabola tersebut sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal.

Contoh SoalGambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaanP = Q2 + 2Q + 14P = Q2 + 2Q + 144P = Q2 + 2Q + 14(P 0) = (Q + 1)2Titik vertex (-1,0)

Titik KeseimbanganKurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga dan jumlah keseimbangan.

Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua. Persamaan ini timbul karena:Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat duaHarga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk fungsi permintaanJumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan fungsi derajat dari harga

Contoh SoalHitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan permintaan berikut:Qs = P2 + P 2Qd = -2P + 16Keseimbangan dapat terjadi jika Qs = QdQs = QdP2 + P 2 = -2P + 16P2 + 3P 18 = 0(P 3)(P + 6) = 0P = 3 atau P = -6 (karena negatif maka tidak dipakai)Jadi harga keseimbangan = P = 3Jumlah keseimbangan Q = 10

Kurva IndifferenceKurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu.

Sifat-sifat kurva indifference:Merupakan kurva yang menurunCembung terhadap titik originTidak saling berpotonganSemakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi

Kurva IndifferenceSumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y.Kurva indifference merupakan kurva yang menurun karena untuk menambah jumlah barang x yang di konsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama.Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola, dan parabola.

Kurva IndifferencePada kurva indifference yang ditunjukkan dengan lingkaran, persamaannya:(x a)2 + (y a)2 = a2Dalam kurva indifference hanya seperempat lingkaran yang digunakan yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y, sehingga persamaanya menjadi:x + y - 2xy = a

Contoh SoalBila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh persamaan x + y - (2xy) = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit dan agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan?X = 3, a = 15Jadi 3 + y - (2.3.y) = 15 y 12 = (6y) y2 24y 144 = 6y y2 30y 144 = 0 (y 24)(y 6) = 0Jadi y1 = 6 dan y2 = 24

Kurva IndifferenceUntuk kurva indifference yang memakai bentuk hiperbola, persamaannya adalah:(x + h)(y + k) = aDengan asimtot x = -h, dan y = -kTitik potong dengan sumbu x = a/k hTitik potong dengan sumbu y = a/h - k

Contoh SoalSeorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya ditunjukkan oleh persamaan xy + y + 6x = a 6Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?a = 30xy + y + 6x + 6 = 30y(x + 1) + 6(x + 1) = 30(x + 1)(y + 6) = 30Titik pusat = (-1,-6)Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0)(x +1)6 = 30x + 1 = 5x = 4

Kurva IndifferenceUntuk kurva indifference yang memakai bentuk parabola, ditunjukkan dengan:(x h)2 = 4p(y k)Dengan titik puncak (h,k)

Nilai p di sini diabaikan.

Contoh SoalKurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan x - (y + 1) = a. Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap sebesar 4 satuan.a = 4x - (y + 1) = 4x 4 = (y + 1)(x 4)2 = y + 1Puncak parabola (-4,1)Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0 y = 15Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0 (x 4)2 = 1 x1 = 5 dan x2 = 3

Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Sehingga jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.

Garis AnggaranApabila dengan uang sebanyak M digunakan untuk membeli barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py.Garis ini disebut garis anggaran atau budget line.Tingkat kepuasan yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.

Contoh SoalHimpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah 2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi olehnya:Persamaan indifference: xy = aPersamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100 y = 20 2/5 xxy = ax(20 2/5 x) = a2/5 x2 20x + a = 0x2 50x +5/2 a = 0Untuk mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran dan kurva indifference maka dapat memakai rumus B2 4AC = 0Dimana A = 1, B = 50, C = 5/2 a. sehingga a = 250Jadi x2 50x +5/2.250 = 0 x = 25Untuk x 25, maka y = 10Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi adalah 25 unit dan barang y sebanyak 10 unit.

Tugas 2Buat sketsa grafik: 24x2 10xy 4y2 = 0 Tentukan vertex dari persamaan berikut:a. (x 3)2 = -8(y + 4) b. 9(x 4)2 4(y + 8)2 = 363. Diketahui pasangan persamaan:a. Q = 16 2Pb. 4Q = 4P+P2 Tentukan dari pesamaan a dan b yang mana fungsi permintaan dan yang mana fungsi penawaran dan jumlah keseimbangan.4.Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan 5x2 + 6y2 xy = a dan garis anggarannya x + 2y = 24.