Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

TE 091467 Teknik

Numerik Sistem Linear

OBJEKTIF

TEORI

CONTOH

SIMPULAN

LATIHAN

1

2

3

4

5

O U T L I N E

OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu:

1. Menjelaskan definisi ruang vektor beserta interpretasi geometri dari vektor

2. Menghitung norma suatu vektor

3. Membuktikan ortogonalitas dua vektor

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Vektor merupakan besaran yang memiliki arah ....

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Definisi dan Notasi

Operasi dan Sifat-sifat Vektor

Ruang-n Euclidean

Vektor Ortogonal

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Definisi dan Notasi

Definisi Ruang-n

– Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real

Notasi: Rn

– n = 2 pasangan terurut;

– n = 3 triple terurut

– n = 1 satu bilangan real (notasi: R1 atau R)

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Interpretasi tripel terurut

(a1, a2, a3) (a1, a2, a3)

2 interpretasi geometris tripel terurut

Titik: a1,a2,a3 koordinat

Vektor: a1,a2,a3 komponen vektor

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Operasi Standar

Dua vektor u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn) di Rn dan k skalar

Penjumlahan vektor

Perkalian skalar

u+v = (u1+v1, u2+v2, ···, un+vn)

ku=(ku1, ku2,···, kun)

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Sifat-sifat Aritmatika

Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) di Rn

– Negatif: -u = (-u1, -u2,···, -un)

– Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v1-u1, v2-u2, ···, vn-un)

Sifat-sifat: (k,l: skalar)

v+ u = u +v k(l u) = (kl) u

u + (v+w) = (u +v) + w k(u +v) = k u + kv

u + 0 = 0+ u = u (k+l) u = ku+lu

u +(- u)= 0 u - u = 0 1u = u

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Ruang n-Euclidean

Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn), w=(w1, w2,···, wn) di Rn dan k skalar

Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean:

u·v = (u1v1 + u2v2 + ··· + unvn)

4 sifat penting inner product Euclidean (dot product)

u·v = v·u

(u+v)·w = uw + vw

(ku)·v = k(u·v)

v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Norma dan Jarak

Norm/panjang Euclidean vektor u=(u1, u2,···, un)

222

21

21)( nuuu +++=⋅= uuu

Jarak antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn)

2222

211 )()()(),( nn vuvuvud −++−+−=−= vuvu

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Sifat-sifat norma

Jika u dan v adalah vektor dan k skalar

||u|| ≥ 0

||u|| = 0 iff u =0

||ku|| = |k| ||u|| perkalian vektor dgn skalar mengalikan

panjang dari vektor sebesar k

u

ku

v

u

u + v ||u +v|| ≤ ||u||+||v||

jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Vektor Ortogonal

Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff

u

v u + v

Teorema Phytagoras

||u+v||2 = ||u||2 + ||v||2

Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga

u·v=0

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Notasi alternatif untuk vektor di Rn

Vektor u=(u1, u2,···, un) ditulis dalam notasi matriks

Operasi matriks

=

nu

uu

2

1

u][ 21 nuuu =u

+

++

=

+

=+

nnnn vu

vuvu

v

vv

u

uu

22

11

2

1

2

1

vu

=

=

nn ku

kuku

u

uu

kk

2

1

2

1

u

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Notasi alternatif untuk vektor di Rn

Operasi matriks

][][ 2121 nn vvvuuu +=+ vu

][ 2211 nn vuvuvu +++=

][][ 2121 nn kukukuuuukk ==u

Operasi vektor

),,,(),,,(),,,( 22112121 nnnn vuvuvuvvvuuu +++=+=+ vu

),,,(),,,( 2121 nn kukukuuuukk ==u

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Hasilkali-dalam Euclidean dalam perkalian matriks

Hasilkali-dalam Euclidean

=

n

nT

v

vv

uuu

2

1

21 ][uv

Vektor u dan v dalam notasi matriks

=

nu

uu

2

1

u

=

nv

vv

2

1

v

vuvu ⋅=⋅=+++= ][][ 2211 nnvuvuvu

u ∙ v = vTu

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Hasilkali-dalam Euclidean dalam perkalian matriks

vuuvuvuvvu TTTTT AAAAA ⋅====⋅ )()()(

Vektor u dan v di Rn dan matriks A(n×n)

Au ∙ v = u ∙ ATv

vuuvuvuvvu ⋅====⋅ TTTTTT AAAAA )()()(

u ∙ Av = ATu ∙ v

Jadi,

Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Contoh 1

Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)

Penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa

(3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v) = (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)

u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18

Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Contoh 2

Dapatkan norma dan jarak dari vektor: u = (-1, 3, 5, 1) dan v = (2, 1, 2, 4)

6153)1()( 222221 =+++−=⋅= uuu

54212)( 222221 =+++=⋅= vvv

31)41()25()13()21(),( 2222 =−+−+−+−−=−= vuvud

Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Contoh 3

Buktikan bahwa vektor-vektor berikut adalah ortogonal

a) u = (-2, 3, 1, 5) dan v = (5, 4, -2, 0)

b) u = (0, 3, -2, 1) dan v = (5, 2, -1, -3)

a) u·v = (-2)(5) + (3)(4) + (1)(-2) + (5)(0) = 0

b) u·v = (0)(5) + (3)(2) + (-2)(-1) + (1)(-3) = 5 bukan ortogonal

ortogonal

Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan

Contoh 4

Dapatkan u·v untuk vektor berikut:

18035125 =++−−=

−

=

7531

u

−

=

074

5

v

−

−==⋅

7531

]0745[uvvu T

Objektif Teori Contoh SIMPULAN Latihan

Ruang Vektor Euclidean

Dua vektor disebut ortogonal jika dan hanya jika hasilkali-dalam (inner product) Euclidean sama dengan nol

Objektif Teori Contoh Simpulan LATIHAN

Soal Latihan 1

Dapatkan nilai k agar vektor u dan v adalah ortogonal

a) u = (2, 1, 3) dan v = (1, 7, k)

b) u = (k, k, 1) dan v = (k, 5, 6)

a) k=-2

b) k=-2 atau -3 Jawaban soal latihan 1

Objektif Teori Contoh Simpulan LATIHAN

Soal Latihan 2

Dapatkan Au ∙ v dan u ∙ Av untuk matriks dan vektor berikut:

=

13

u

−=

62

v

−=

4312

A

[ ]

−−==⋅

13

4312

62)( uvvu AA T [ ] 68135

62 =

−=

−

−==⋅

13

62

4312

)(T

TAA uvvu 1213

1310

=

−=

TJawaban soal latihan 2