dinamika partikel

DINAMIKA

DINAMIKA PARTIKEL

Dinamika adalah ilmu yang mempelajari tentang gerak beserta penyebabnya (gaya).Dasar dari dinamika adalah hukum-hukum Newton.

Hukum Newton I. Setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam atau bergerak lurus beraturan, kecualijika benda itu dipaksa untuk merubah keadaan tersebut oleh gaya-gaya yang dikerjakan padanya.

F = 0.

Jika suatu benda bermassa m padanya dikerja-kan gaya-gaya dengan resultan gaya tidak samadengan nol, maka benda akan mendapat percepatan sebesar a yang arahnya searah denganresultan gaya dan besarnya memenuhi pers :.

F = m.a

Hukum Newton II.

DINAMIKA PARTIKEL

Hukum Newton III. Aksi timbal balik dari dua benda adalah samabesar dan mempunyai arah berlawanan.

Faksi = – Freaksi

HUKUM GRAVITASI NEWTON

Gaya antara dua partikel yang mempunyai massa m1 dan m2 dan ter-pisah oleh jarak r adalah suatu gaya tarik menarik sepanjang garis yang menghubungkan kedua partikel tersebut dan mempunyai besar.

221

r

m.mG F

m1

m2r

F F

DINAMIKA PARTIKEL

Dimana G – tetapan gravitasi yang mempunyai nilai sama untuk setiap

pasangan partikel/benda. ≈ 6.673 x 10-11 N m2/kg2

Jika kedua benda tersebut adalah Bumi dan benda dengan massa m, maka berlaku :

2R

m . MG F

dengan R – jark dari pusat bumi ke benda.

Gaya ini disebut gaya berat benda (W).W = m g

dimana g adalah gravitasi bumi :

2R

MG g

DINAMIKA PARTIKEL

GAYA NORMALSuatu benda yang bermassa bila terletak pada suatu bidang maka padanya mengerjakan gaya dalam arah tegak lurus pada bidang.Gaya ini dinamakan gaya aksi pada bidang. Akibat adanya gaya ini maka benda akan menderita reaksi yaitu gaya yang dilakukan bidang pada benda . Gaya reaksi ini disebut GAYA NORMAL.

Gaya normal mempunyai sifat selalu tegak lurus bidang kontak antara benda dengan bidang.

N

N

N

WW

W

F

Fx

Fy

W sin W cos

N = WN = W - Fy

N = W cos

DINAMIKA PARTIKELGAYA GESEK Agar benda tetap diam ditempatnya , maka

W sin haruslah ada yang mengimbangi.Gaya ini adalah gaya gesek, yang bekerja antara dua benda yang bersinggungandan akan saling bergerak relatip.

W

W cos

W sin

fN

Ada 2 macam gaya gesek :Gaya gesek statis : gaya gesek yang bekerja pada dua permukaanbenda yang bersinggungan yang masih dalam keadaan diamrelatip satu dengan lainnya.

fs = s N

1.

DINAMIKA PARTIKEL

Gaya gesek kinetis : gaya gesek yang bekerja pada dua permukaanbenda yang saling bergerak relatip.

fk = k N

2.

Dalam gambar, jika benda masih diam maka berlaku :

Fy = 0 → N = W cos Fx = 0 → W sin = s N

W sin = s W cos s = tg

DINAMIKA PARTIKEL

GAYA SENTRIPETAL.

Suatu benda yang bergerak melingkar dengan laju tetap mempunyaiPercepatan kearah pusat lingkaran. Percepatan ini fungsinya mengubah arah gerak dan disebut percepatan sentripetal, yang besarnya memenuhi persamaan :

Berdasarkan hukum Newton II, maka berlaku F = ma, sehingga

Gaya ini disebut Gaya Sentripetal dan bekerja pada benda untukMembuat agar benda membelok atau berubah arah geraknya.

r

v a

2

r

vm F

2

DINAMIKA PARTIKEL

GAYA FIKTIF.

Jika kita sedang duduk di Kereta Api (KA) ,kemudian KA bergerakmaju maka kita akan merasa ada yang mendorong kebelakang bagian atas badan kita.Gaya demikian ini disebut gaya fiktif.Contoh gaya fiktif adalah jika ada suatu benda ditempatkan diatas meja bundar yang dapat berputar pada sumbunya. Jika meja kemudian diputar maka pada benda akan bekerja gaya sentripetal. Gaya inimerupakan gaya fiktif.

DINAMIKA PARTIKEL

Contoh :

1. Suatu benda massa 10 kg terletak diatas bidang miring denagn sudut kemiringan 300. Bidang cukup kasar dengan s = 0.4. Jika g = 10 m/s2. a. Gambar komponen-komponen gaya yang ada.b. Berapa besar gaya tegang tali ?.

2. Benda massa 2 kg ditarik oleh gaya F = 10 N yang bersudut 300. k = 0.2 dan g = 10 m/s2.a. Berapa percepatan yang timbul ?b. Berapa jarak yang timbul setelah bergerak selama 5 s ?.

3. Benda massa m = 2 kg digantung dengan tali yang panjangnya 1 m. benda ini diputar seperti pada gambar sehingga membentuk ayunan konik. Jika = 300, berapa besar kecepatan putarannya ?.

4. Jika mA = 10 kg, mB = 18 kg, A = B = 0.3. a. Kearah mana sistem akan beregrak ?.b. Berapa gaya tegang tali ?

DINAMIKA PARTIKEL

= 300

= 300

F

d

V

m

=

300

A

B

300 450

Soal . 1 Soal . 2

Soal . 4Soal . 3

Soal . 5

A

B

C

DINAMIKA PARTIKEL5. Jika massa katrol C diabaikan, benda A bergerak ke bawah dengan perc. a.

tentukan perbandingan massa benda A terhadap massa benda B (mA/mB). 6. Berapa besar gaya F minimum agar benda B bergerak dengan percepatan a

untuk kasus-kasus seperti pada gambar, jika AB dan BL ≠ 0.7. Sebuah tikungan jalan raya dirancang untuk lalu lintas dengan kecepatan

60 km/jam. a. Jika jari-jari tikungan 150 m, sedang permukaan jalan licin, berapakah seharusnya kemiringan jalan ?b. Jika tikungan tidak miring, berapakah koef. gesek minimum antara roda dengan jalan agar kendaraan tidak tergelincir ?

F

A

B F

A

B F

A

B

Soal . 6

KERJA - ENERGI

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk berpindah sejauh dx didefinisika sebagai : dW = F . dx dW = F cos dx

F

dxA B

2

1

21

x

x

xx dx FW cos

Jika besarnya gaya yang bekerja selalu tetap,

B

A

x

x

B

A

BA

dx cos F

dx cos F W dimana A – posisi di A dan B posisi di B

WA→B = F cos (xB – xA)

KERJA - ENERGI

Satuan dari kerja adalah satuan gaya (Newton) x satuan jarak (m).N. m = Joule.

Contoh : Hitunglah kerja yang dilakukan oleh gaya F jika benda pindah dari posisi A ke B. Kerjakan dengan 2 lintasan (A → B dan A → C → B).

A C

BF

Kasus 1, jika lintasan benda lang-sung dari A → B

AB F dx F WB

A

BA

Kasus 2. Jika lintasan benda A → C → B

B

C

C

A

B

A

BA dx F dx F dx F W

B

C

C

A

BA CB sin F AC cos F dx cos F dx cos F W

KERJA - ENERGI

Dalam segitiga ABC, berlaku sin = BC/AB dan cos = AC/AB

AB F AB

BC

AB

AC F

BCAB

BCAC

AB

AC F W

22

B A

Nampak bahwa dengan lewat lintasa A → C → B, kerja yang diperoleh sama besar dengan lintasan langsung dari A → B.

Kesimpulan : kerja yang dilakukan oleh gaya yang sama tidak tergantung pada lintasan, hanya tergantung pada posisi awaldan akhir.

TEOREMA KERJA - ENERGI

Suatu benda yang massanya ‘m’ terletak diatas bidang miring yang kasar dengan sudut kemiringan . Benda ditarik oleh gaya F yang bersudut seperti nampak pada gambar, sehingga benda berpindah tempat.

F

h1

h2

v1

v2

N

f

F cos F sin

m g

mg sin

mg cos

Misal pada saat awal bendabergerak dengan kecepatan v1 dan tinggi h1

Setelah gaya F bekerja sejauh x, kecepatannya menjadi v2 dan tingginya h2.

Dari hukum Newton II

Fx = m ax.


F cos - m g sin - f = m ax dimana F cos - m g sin - f = m v

F cos dx - m g sin dx - f dx = m v dv

dx

dvdx

dv v

dt

dx

dx

dv

dx

dx

dt

dva x

dh

dv vm dx f -dh g m -dx cos F

Dengn batas-batas integrasi dari keadaan awal (x1, v1,h1) ke Keadaan akhir (x2,v2,h2). Dengan pengaturan diperoleh :

2

1

2

1

2

1

2

1

v

v

h

h

x

x

x

x

dv mvdh g m dx f - dx cos F


2

1

2

1

2

1

2

1

v

v

212

1222

1

12

h

h

x

x

x

x

vm - vm dv mv

mgh -mgh dh g m

dx f -

dx cos F Kerja yang dilakukan oleh gaya F (WF)

Kerja yang dilakukan oleh gaya gesek ‘f’ (-Wf)

Perubahan energi potensial gravitasi (EP)

Perubahan energi kinetikEK

WF + Wf = EP + EK W = E


Suatu kasus jika benda selama geraknya tidak dipengaruhi oleh gaya-gaya luar (F dan f), berarti kerja oleh gaya F dan f adalah 0 (nol).

0 = EP + EK

0 = mgh2 – mgh1 +atau

212

1222

1 vm vm

212

11

222

12 vm mgh vm mgh

EP + EK = tetap HUKUM KEKEKALAN ENERGI MEKANIK

ENERGI POTENSIAL PEGAS

F’

F

x

k

k

Jika suatu pegas ditarik oleh suatu gaya F maka besarnya gaya tersebutsebanding dengan simpang pegas (x)

Makin besar x juga makin besar FF x

Menurut Hooke’s besarnya gaya F juga tergantung pada sifat kekakuan pegas .

Besarnya memenuhi hubungan : F = k x.Dari definisi kerja, maka besarnya kerja yang dilakukan oleh gayapegas adalah : dW = F . dx = - F’ dx

)k x k x ( k x k x - dxk x - W 212

1222

1212

1222

1

x

x

21

2

1

= - EPP. dimana EPP disebut energi potensial pegas

KERJA OLEH GAYA GRAVITASI

Jika besarnya percepatan gravitasi dianggap tetap, maka besarnyakerja yang dilakukan oleh gaya berat benda akan sama dengan perubahan energi potensial gravitasinya.

W1→2 = EP = mgh2 – mgh1.Jika percepatan gravitasi harganya berubah-ubah sesuai dengan hukumgravitasi Newton, maka kerja yang dilakukannya adalah :

BA

r

r2BA r

m M G

r

m M Gdr

r

m MG W

F.dx W

B

A

r̂r

m MG F

2dimana cos dx = dr

WA→B = EPB – EPA r

m MG - E

r

m MG - E

APA

B PB dgn &

Jadi : r

m MG - EP

DAYA (POWER)

Daya didefinisikan besarnya kerja yang dilakukan persatuan waktu.

dt

dW P

Jika kerja total dW = F . dX, maka diperoleh

F.v dt

dx F. P (bentuk ini disebut daya sesaat)

Jika kerja total adalam W = F x, maka daya rata-rata : P = W/t

Satuan daya adalah Joule /detik. Satuan ini desebut Watt.

Satuan lain dari daya adalah HP, dimana 1 HP = 746 watt.

SOAL-SOAL KERJA - ENERGI

Sebuah benda bergerak lurus diaras lantai horizontal ditarik dengan Tali. Massa benda 5 k, sedang koefisien gesek lantai 0.6. Akibat gaya-gaya yang bekerja benda bergerak dengan percepatan 2 m/s2.a. Berapa besar energi yang diberikan oleh orang yang menarik tali agar benda

bergeser sejauh 2 m.b. Berapa besar energi yang hilang karena gesekan , kemana energi ini hilang ?

Bila diketahui gaya yang bekerja pada sebuah benda diberikan oleh F = 10 i + 20 j (Newton) dan pergeseran yang dihasilkan adalah r = 0.5 i – 2 j. Berapa energi yang diterima benda setelah mengalami pergeseran diatas ?

Sebuah benda bergerak lurus diatas lantai datas. Gaya gesekan adalah satu-satusya gaya yang bekerja dalam arah beraknya. Koef. gesek serubah dengan posisiseperti diperlihatkan daalm gambar. Bila massa benda m = 2 kg. Tentukan energiYang hilang karena gesekan sewaktu benda bergerak dari x = 1 sampai x = 6 m

Suatu gaya medan mempunyai bentuk F = 10 x2 i, bekerja pada benda.

1.

2.

3

IMPULS - MOMENTUMGAYA IMPULS.

• Suatu benda jika mendapat gaya sbesar F, maka pada benda akan terjadi perubahan kecepatan. Apakah gaya F bekerja dalam waktu yang lama atau singkat.

• Suatu gaya yang bekerja dalam waktu yang singkat disebut gaya impuls. Misal Bola yang menumbuk tembok, tendangan pada bola, tumbukan dua benda, bola softball dipukul oleh tongkat.

F

t

Dari hukum Newton II F = m a =

dt

dv F dt = m dv

Jika selama gaya F bekerja atau selama waktu pengamatan massa benda tetap, maka diperoleh :

t

IMPULS - MOMENTUM

t

t0

dt F

t

t

v

v

0

0 0

mv mv - mv dv m dt F

t

t0

dt F

- dapat dihitung jika kita mengetahui fungsi F(t). Bentuk Ini disebut sebagai IMPULS ( I ).

Jadi I =

sedangkan hasil kali mv disebut momentum linier yang didefinisikansebagai P . Jadi P = m v.

P P - P dt t)(F 0 I = P

Dari hukum Newton, F = ma = dt

)mv(d

dt

dvm

dt

dP F

IMPULS - MOMENTUMHUKUM KEKEKALAN MOMENTUM

Dua buah balok bergerak diatas bidang datar yang licin masing-masingdengan kecepatan v1 dan v2. Anggap kedua balok bergerak dalam arah satu dimensi. Saat terjadi tumbukan maka timbul gaya F dan F’. Berdasarkan hukum Newton III, F dan F’ mempunyai harga yang sama dan arah berlawanan.

F = - F’

v1

v2v’2

v’1

m1

m2

F’F

Gaya-gaya ini timbul saat bertumbukan. Sebelum dan sesudah tumbukan keduanya berharga nol.

IMPULS - MOMENTUM

dt

dvm F 1

1

22'22

t

t

v

v

2

t

t

vmvm dt 'F

dv m dt 'F

2

1

2

1

2

1

11'11

t

t

v

v

1

t

t

vmvm dt F

dv m dt F

2

1

2

1

2

1

Dari hukum Newton II, untuk kedua gaya ini berlaku hubungan :

F dt = m1 dt1

dt

dvm F 2

2

F dt = m2 dt2

Oleh karena F = - F’ maka 2

1

2

1

t

t

t

t

dt F' - dt F

sehingga : m1 v’1 – m1 v1 = - (m2 v’2 – m2 v2) atau m1 v’1 + m2 v’2 = m1 v1 + m2 v2 Hk Kek. Momentum

IMPULS - MOMENTUM

2'222

12'112

12222

12112

1 vm vm vmvm

)vv(m - )vv(m 2'2

222

2'1

211

'22

2'2

22

'11

2'1

21

vv

vv

vv

vv

)2(

)1(

KOEFISIEN TUMBUKAN / RESTITUSIDalam tumbukan yang bersifat ideal, maka energi sistem sebelum dan sesudah tumbukan harus tetap. Dalam hal tumbukan pada bidang horisontal , maka yang dimaksud ini adalah energi kinetik kinetiknya.

Dari hukum kekekalan momentum, diperoleh : m1 (v1 –v’1) = - m2 (v2 – v’2) (2)

(1)

'22

'22

'22

'11

'11

'11

vv

)vv)(v(v

vv

)vv)(v(v

IMPULS - MOMENTUM

v1 + v’1 = v2 + v’2

atau v1 – v2 = - (v’1 – v’2)

besaran : v1 – v2 adalah kecepatan relatip kedua benda sebelum tumbukan

v’1 –v’2 adalah kecepatan relatip kedua benda setelah tumbukan.

Derajat dari jenis tumbukan antara kedua benda ditentukan oleh sifat elastisitas yang dinyatakan sebagai koefisien restitusi (e) yang didefinisikan sebagai harga negatip dari perbandingan kecepatan relatip setelah tumbukan dengan kecepatan relatip sebelum tumbukan.

1 e 0 vv

vv - e

12

'1

'2

IMPULS - MOMENTUMHarga e ini antara 0 dan 1.Jika e = 1 berarti untuk tumbukan elastis sempurna, sedangkan e = 0 untuk tumbukan yang menghasilkan kecepatan kedua benda setelah tumbukan sama besarnya.

Contoh : 1. Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian h1 menumbuk lantai dan mantul naik setinggi h2. Hitunglah koef. restitusinya.

Kecepatan bola saat akan menumbuk lantai dapat dihitung dari teori kinematika, diperoleh :

v1 = (2 gh1)½

Kecepatan setelah menumbuk lantai dan mengakibat- kan bola nail setinggi h2 adalah

v2 = (2 gh2) ½. v1

v2

h1

h2

IMPULS - MOMENTUM

12

'1

'2

vv

v- v - e

Dengan arah kedua kecepatan ini berlawanan.

1

2

1

2

h

h

h g 2

h g 2 - e

dengan v2 = v’2 = 0

IMPULS - MOMENTUM2. Dua buah bola masing-masing bermassa m1 = 2 kg, m2 = 3 kg bergerak dalam arah berlawanan dengan kecepatan v1 = 10 m/s dan v2 = 6 m/s. Jika koef. restitusi e = 0.4. Hitunglah kecepatan masing-masing benda setelah tumbukan dan berapa energi sistem yang hilang ?.

m1

m1 m2

m2

v1 v2

v’2v’1

Hukum kekekalan momentum :

m1 v1 + m2 v2 = m1 v’1 + m2 v’2

2.10 + 3.(-6) = 2 . v’1 + 3 v’2

2 = 2 v’1 + 3 v’2 . . . . . . . .(1)

Jika dimasukkan nilai koef. restitusi Diperoleh :

-6.4 = v’1 – v’2 . . . . . . . . . . . (2)

Dari kedua pers. maka v’1 dan v’2 dapat diperoleh.Untuk menghitung energi yang hilang berarti dihitung energi kinetik sebelum dan setelah tumbukan.

PUSAT MASAContoh : Carilah titik pusat masa dari suatu segitiga sama kaki dengan tinggiT an alas L.

t

L/2

dx Persamaan garis miring : Y = (L/2t) x

dm = dA = (2L/2t) x dx

tt

t

dxx

dx x

dx x

dx x x

dm

dm dx 3

22

21

331

t

0

t

0

2

tL

tL

PM

1.

dinamika partikel

Documents