dinamica de particulas 03

8/18/2019 Dinamica de Particulas 03

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1

DinámicaUna vez estudiado el movimiento de loscuerpos vamos a investigar las causas de

dicho movimiento. Si un cuerpo cambiasu estado de movimiento es debido a que

interacciona con otros cuerpos. Estas

interacciones están descritas mediante elconcepto denominado fuerza, que vamos

a estudiar a continuación.

Estudiaremos la dinámica de partículas

aisladas y de sistemas de partículas.


2/34

2

Leyes de Newton

Masa: Valor que se asocia a un cuerpo y que se obtiene comparando éste con un cuerpopatrón, utilizando una balanza de brazos iguales. Masa en reposo = masa en movimiento.

Momento lineal: Es una cantidad vectorial que viene dada por la expresión

≡=

s

mkg metro pde I S Unidad m ..v p

1ª Ley (Ley de inercia): “Un cuerpo libre, es decir, sin interacción con otros cuerpos, semueve siempre con velocidad constante (o sin aceleración)”.

2ª Ley (Ley fundamental de la Dinámica): “Un cuerpo sometido a una fuerza externa sufreuna aceleración en la misma dirección que dicha fuerza. El valor de la aceleración esproporcional al valor de la fuerza e inversamente proporcional al valor de la masa del

cuerpo”.

3ª Ley (Ley de acción y reacción): “Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerceuna fuerza igual pero opuesta sobre el primer cuerpo”.

Conceptos

Sistema de referencia inercial: Sistema de referencia no acelerado. Supondremos, enprincipio, que las partículas se mueven respecto a sistemas inerciales.


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3

Conservación del momento lineal. Definición de fuerza

2121 vv p p P 21 mm +=+=

2121 v' v' p' p' P' 21 mm +=+=

En t,

En t’,

Para un sistema de dos partículas

P' P = (Para cualesquiera t y t’) tetancons=+⇒ 21 p p

2121 p' p' p p +=+ ( )2211 p p' p p' −−=−⇒ 21 p p ∆−=∆o bien,

21

vv ∆−=∆⇒ 21

mm2

1

v

v

∆

∆=⇒

1

2

m

m

t t ∆∆

−=∆

∆⇒∆−=∆ 2121

p p p p

t lím

t lím

t t ∆∆

−=∆

∆⇒

→∆→∆

21 p p

00 dt

d

dt

d 21 p p −=⇒

dt

d pF =Definición:

( )a

vvm

dt

d m

dt

md === (2ª Ley de Newton) 21 F F −=⇒ (3ª Ley de Newton)

Para una partícula libre, tetancons= p (1ª Ley de Newton)t

t’

v

v’

v

v’

Ejemplo: Si llamamos g a la aceleración gravitatoria en la superficie de la Tierra y g L a la

correspondiente en la Luna, las fuerzas de atracción sobre un cuerpo de masa m serán,

respectivamente, F T = m g y F L = m g L.

Además, m g es también la fuerza con que el cuerpo atrae a la Tierra y m g L la fuerza con la que atrae a

la Luna.


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4

Conservación del momento lineal. Centro de Masas (C.M.)

Para un sistema con cualquier número de partículas

tetanconsn

i

=+++== ∑=

n321i p p p p p P ...1

( )nk jk j

=+∆−=∆⇒ ∑∑ k j p p

K J F F −=⇒ (J y K son subsistemas del sistema inicial)

DefinicionesDefinición: Centro de masas (C.M.)

M

m

mm

mm i∑

=

++

++=

i i

21CM

r r r

r

...

...

21

21(M: masa total del sistema)

M

m

mm

mm i∑

=++

++==

i i

21CM

vvv

v...

...

21

21 i

∑=

i p P

=dt

d m

dt

d i∑

=

i i

CM

r

r CM M v P =⇒

(P: momento lineal total del sistema)

dt

d

dt

d m

dt

d ii∑∑

==

i i i

CM

pv

v

M

m

mm

mm i∑

=++

++==

i i

21CM

aaa

a...

...

21

21 i

∑=

i F

Definición: Sistema de Referencia Centro de Masas es el sistema de referencia cuyo origen coincidecon el C.M. del sistema. Por tanto, en este sistema de referencia, 0;0;0 === CM CM CM avr


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5

Conservación del momento lineal

Sean los sistemas S y S’. Por el Prinicipio de conservación del Momento Lineal,

Para dos sistemas con cualquier número de partículas

Luego, podemos poner

tetancons=+= S' S

P P P S' S

P P ∆−=∆⇒dt

d

dt

d S' S P P −=⇒

Si llamamos F i a la fuerza total externa sobre la partícula i y F ij a la fuerza sobre la partícula i debida a

la partícula j del mismo sistema, la variación del momento lineal total del sistema será:

S' S

F F −=⇒

∑ ∑∑

+==

i ji dt

d

dt

d ij i

i F F p P

∑=

i

i F ∑∑ +=iji

ij i F F ya que ji ij F F −=

Pero ΣF i es la fuerza total externa sobre el sistema, luego tanto F S como F S’ son fuerzas externas.Las fuerzas internas no modifican el momento lineal del sistema. Además, hemos visto que

dt

d

i ii

i

∑∑ ==F

p

aCM

CM EXT aF M =

EXT F =


6/34


7/34

7

Impulso

dt

d p

F = ∫∫ =⇒

f

i

t

t dt d F p

f

i

p

p ∫=−=−⇒

f

i

t

t i f i f dt mm F vv p p =

Momento angular

x

y

z

O

L = r x p

r p = m v

m ϕ

vr pr L ×=×= m

ω 2r mvr m L ==

ω L 2r m=

z y x p p p z y x

k j i

pr L =×=

;;; x y z z x y y z x p y p x L p x p z L p z p y L −=−=−=

⇒

x

y

z

O

L

r v

Si el movimiento es circular y centradoen el polo de momentos,

Para una partícula

Fuerza media durante intervalo:t

m ∆= I

F


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8

Momento de una fuerza respecto a un punto

dt

d

dt

d

dt

d pr p

r L×+×= F r vv ×+×= m F r ×= τ =

tetanconsdt

d

=⇒=⇒= L L

τ 00

0=×= F r τ

( )( )

( )

=

=

F r r

F r

F

||0

||

0

cular decaso parti

gen por el oride F pasadirecciónla

libre partícula

m

v

r

Od

θ

Si la partícula es libre, d vm senr vm L == θ

F r ||Si , se denomina a la fuerza, fuerza central

Por tanto, si el momento angular de una partícula es constante, o es

una partícula libre, o se mueve bajo una fuerza central.

Momento angular Para un sistema con cualquier número de partículas

El momento angular de un sistema de partículas es, simplemente, la suma vectorial de

los momentos individuales: ∑=+++=i

i L L L L L ...321

Para una partícula


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9

Momento de una fuerza respecto a un punto

321 ;; τ τ τ ===dt

d

dt

d

dt

d 321 L L L

Para un sistema con cualquier número de partículas

( ) 321321 τ τ τ L L L L

++=++=dt

d

dt

d

13112111 F r F r F r ×+×+×=

( )2321222 F F F r τ ++×=

( )3231333 F F F r τ ++×=

( )1312111 F F F r τ ++×=

23221222 F r F r F r ×+×+×=

32331333 F r F r F r ×+×+×=

321 τ τ τ τ ++= 332211 F r F r F r ×+×+×=ij jiji ji jiji jiij F r F r F r F r F F ×−×=×+×⇒−= ij ji F r r ×−= ijij F r ×= ijij F r ||,0=

La variación temporal del momento angular de un sistema de partículas, respecto a un punto

arbitrario, es igual al momento total, relativo al mismo punto, de las fuerzas externas queactúan sobre el sistema.

te stancondt

d =⇒== L

Lτ 0

Ley de conservación del momento angular: “El momento angular total de un sistema

aislado, o sobre el que actúa un momento de fuerzas nulo, es constante en magnitud y

dirección”

Supongamos un sistema de 3 partículas, entonces,


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10

Ejemplo: Dos partículas de masa m y 4 m están fijas en los extremos de

un alambre rígido de masa despreciable. El sistema gira con velocidad

angular constante, ω, en torno a un eje fijo que pasa por O y es

perpendicular al alambre. Calcular el momento angular del sistema

respecto a O , L TO , y respecto al centro de masas, L TCDM , y el momento

angular del centro de masas respecto al punto O , L CDMO . Comprobar que

L TO = L TCDM + L CDMO.

d 3d

Om 4m

El momento angular de cada masa respecto a O será:

;2

1

d m LO

ω = ( ) 222

3634 d md m LO

ω ω ==y el momento total:

2

21 37 d m L L L OOTO ω =+=Para calcular el momento angular respecto al centro

de masas debemos obtener la posición de éste:

( )d mm

d md m

xCDM 5

11

4

34

=++−

=por lo tanto:

2

15

16

5

111 d md d m L CDM ω ω =

+=

2

2 5

48

5

11334 d md d m L

CDM

ω ω =

−=

Momento angular

;5

64 2d m LTCDM ω =

Por otra parte,2

5

121

5

11

5

115 d md d m LCDMO ω ω ==

TOCDMOTCDM Ld md md m L L ==+=+ 222

375

121

5

64ω ω ω Finalmente,

d 3d

O


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11

Ejemplo: La posición de un punto material de 4 kg de masa, respecto de un

sistema dado, viene representada en cierto instante por r 0 =(3i+j) m y su

velocidad v 0 =(5i-k) m/s. Se le aplica entonces una fuerza F tal que su

momento respecto al origen de coordenadas es constante e igual a

τ=(5i+20k) Nm . Calcular el momento angular de dicho punto al cabo de 2

segundos.

105

0134

−

=k j i

Momento angular. Momento de una fuerza respecto a un punto

Al cabo de 2 segundos, el momento angular será igual al momento angular inicial más la variaciónen esos dos segundos, es decir,

L L L ∆+= 0

Vamos a obtener los dos términos.

dt Lτ d =

( ) s

mkg

2

20124 k j i −+−=

∫=∆⇒t

dt 0

τ L t ∆= τ ( )2205 k i += ( ) sm N k i 4010 +=

Por lo tanto:

( ) ( )k i k j i L 401020124 ++−+−= ( ) s

mkg

2

20126 k j i ++=

000 vr L ×= m


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12

Trabajo

dr θ

r

O

F

FT

r F d dW ⋅=

θ cosdr F dW dsd =⇒=r ds F T =Como

Si 0=⇒⊥ dW d r F

Trabajo elemental:

Trabajo total entre dos puntos, A y B: ∫∫ =⋅= B

A

T

B

A

ds F d W r F

FT

sds A B

FTds

Una fuerza actuando sobre una partícula

Si la fuerza es constante, FT = F y ( ) A B s s F ds F W B

A

−=∆∆== ∫

También,

( )∫ ++=

B

A x x x

dx F dx F dx F W

Varias fuerzas actuando sobre una partícula

r F r F r F r F d d d d dW i

i ⋅=⋅+⋅+⋅= ∑...321 r F d R ⋅=Siendo FR la resultante de todas las fuerzas que actúan

sobre la partícula


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14/34

14

Integrando,

( )( )

)

( )

)

∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅=+ f

i

f

i

f

i

f

i

t B

t A

t B

t A

v

v

v

v

d d d dvvmdvvm 12122211222111

,2

,2

,1

,1

r F r F r F

Resolviendo el lado izquierdo,

−+

− 2,222

,22

2

,11

2

,112

1

2

1

2

1

2

1i f i f vmvmvmvm

+−

+= 2,222

,11

2

,22

2

,112

1

2

1

2

1

2

1ii f f vmvmvmvm

ic f c

E E ,,

−=

En el lado derecho, ( )( )∫ ⋅+⋅=

f

i

t B

t A

ext d d W 2211 r F r F ( )

)

∫ ⋅= f

i

t B

t A

int d W 1212 r F y

luego, int ext ic f c W W E E +=− ,,

El cambio de energía cinética de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuadosobre el sistema por las fuerzas externas e internas.

Energía cinética


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15

Se dice que una fuerza es conservativa cuando depende de tal manera de las

coordenadas x, y, z que el trabajo realizado por ella se puede expresar como ladiferencia entre un valor, E p,i (x,y,z), evaluado en el punto inicial, y otro E p,f (x,y,z),

evaluado en el punto final.

f pi p

B

A

B A E E d W ,, −=⋅= ∫→ r F

Fuerzas conservativas. Conservación de la energía

A la cantidad Ep (x,y,z) se la llama energía potencial y depende de la posición.

Conservación de la energía de una partícula

f pi pic f c B A E E E E W ,,,, −=−=→Con fuerzas conservativas, f p f ci pic E E E E ,,,, +=+⇒(Energía total de la partícula)( ) E z y x E vm E E p pc =+=+ ,,

2

1 2

Ejemplo. Trabajo realizado por el campo gravitatorio en la caída libre de una partícula:

∫ ⋅=→2

1

21

h

h

g hh d W hF h g m=( )12 hh g m −=

El trabajo depende solo de h2 y h1, luego la fuerza es conservativa y se conserva laenergía total:

mghvm E += 22

1

Resumiendo,

Si parte del reposo y cae al suelo, h1 = h, v1 = 0 y h2 = 0 2

22

1 vmmgh =⇒ h g v 22 =⇒


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16

f pi p

B

A

int E E d W ,12,,12,1212 −=⋅= ∫ r F


Conservación de la energía de un sistema de partículasPara dos partículas, si las fuerzas internas son conservativas,

Ep,12 es la energía potencial interna del sistema. En la mayoría de los casos, lasfuerzas internas entre las partículas i y j actúan a lo largo de r ij. La energía potencial

interna depende entonces solo de la distancia y es independiente del sistema dereferencia.

int ext ic f c W W E E +=− ,, f pi p,12,ext E E W ,12,−+= ext i pic f p f c W E E E E =+−+⇒ ,12,,,12,,

es la llamada energía propia del sistema.12,

2

2

2

112,2

1

2

1 p pc E vmvm E E U ++=+=

Para i partículas, ∑∑≠

+=+= ji

ij p

i

iiint pc E vm E E U ,2

,2

1

Finalmente pondremos: ext i f W U U =−

El trabajo efectuado por fuerzas externas sobre un sistema de partículas, cuyas

fuerzas internas son conservativas, es igual al cambio de energía propia del sistema.

Si el sistema es aislado, se conserva la energía propia.


17/34

17

f ext piext pext E E W ,,,, −=


Si también las fuerzas externas son conservativas,

Y la variación de la energía propia,

es la llamada energía total del sistema.ext pint pcext p E E E E U E ,,, ++=+=

La energía total de un sistema permanece constante cuando está sometido a fuerzas

internas y externas conservativas.

f ext piext pi f E E U U ,,,, −=− iext pi f ext p f E U E U ,,,, +=+⇒

La energía cinética depende de la velocidad y, por tanto, del sistema de referencia.

int pint cint E E U ,, +=

Llamaremos energía cinética interna de un sistema a la referida al C.M. La energía

potencial interna es independiente del sistema de referencia ya que solo depende de ladistancia entre las partículas.

A la suma de ambas, cinética y potencial internas la llamaremos energía interna:


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18

Trabajo. Conservación de la energíaEjemplo: Un astronauta se mantiene con su módulo lunar (masa combinada M =

450 kg ) a una altura h0 = 100 m sobre la superficie de la Luna gracias al

empuje del motor. En un momento determinado se da cuenta de que solo lequeda combustible para 5 s. Para no chocar contra la superficie a gran

velocidad decide lo siguiente: dejarse caer h = 40 m , encender el motor

durante t = 5 s y caer libremente el resto del trayecto. ¿Con qué

velocidad llegará a la superficie?, ¿Qué trabajo ha realizado el motor?

Dato: g Luna = 1,62 m/s2

Si se deja caer 40 m, la velocidad al final del tramo será:

s

mh g v Lunar 38,114062,122 01 =⋅⋅==

Como el empuje del motor es igual al peso, en el segundo tramo no

habrá aceleración. La altura que cae en este tramo será entonces:

mt vh 9,56538,1111 =⋅== Al apagarse el motor seguirá teniendo una velocidad de 11,38 m/s y

le quedará por recorrer:

mh 1,39,56401002 =−−=

Y finalmente, la velocidad de llegada al suelo será:

s

mvh g vv f Lunar f 81,111,362,1238,112 2

2

2

1

2 =⋅⋅+=⇒=−El trabajo realizado por el motor:

( ) ( )( ) J W motor motor

414801,36062,14501

−=−−⋅⋅=⋅= i i hF

100 m

40 m

5 s

3,1 m


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19

dt

dW P =

PotenciaLa potencia se define como trabajo por unidad de tiempo:

Como r F d dW ⋅= podemos poner dt d P r F ⋅= dt d

r F ⋅= vF ⋅=

Si una fuerza actúa sobre una partícula en una dimensión, la potencia es:

x x v F P = x x vam= x

xvm

P a =⇒

y la aceleración depende inversamente de la velocidad. Si ahora hacemos , resultadt

dv

a x

x =

x x

x x vdt

dvmvam P ==

= 22

1 xvm

dt

d

dt

dE c=

Ejemplo 1: Un automóvil circula a 60 km/h cuando acelera a máxima potencia para

adelantar a otro automóvil. Más tarde efectúa la misma maniobra pero circulando

a 100 km/h. ¿Cuál es la relación entre ambas aceleraciones?

Ejemplo 2: Un automóvil acelera de 0 a 100 km/h en 7 s. ¿Cuánto tiempo

necesitará para acelerar de 80 km/h a 120 km/h si no varía la potencia?

,60

60m

P a =

100100

m

P a = 6,0

100

60

60

100 ==⇒a

a

E t c

∆=∆

A potencia constante,

1,

2,

1

2

c

c

E

E

t

t

∆

∆=

∆∆

⇒2

,1

2

,1

2

,2

2

,2

2

1

2

12

1

2

1

i f

i f

vmvm

vmvm

−

−=

2

,1

2

,1

2

,2

2

,2

i f

i f

vv

vv

−

−= ⇒=

−−

= 8,00100

801202

22

st t 6,578,08,0 12 =⋅=∆=∆⇒


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20

Colisiones

Decimos que ha habido una colisión cuando dos o más partículas interaccionan entre sí

intercambiando en la acción momento y energía.

En una colisión solo actúan fuerzas internas por lo que se conservan tanto el momento como la

energía. Consideremos solo dos partículas, entonces,

2121 '' p p p p +=+

12,12, '' pc pc E E E E +=+ 12,12, '' p pcc E E E E −=−⇒ Q=;0 elásticacolisiónQ ⇒= inelásticacolisiónQ ⇒≠ 0

Colisión elástica

+=+

+=+2

22

2

11

2

22

2

11

22112211

2

1

2

1

2

1

2

1''

v' mv' mvmvm

mmmm vvvv 22112211 '' vvvv mmmm +=+

( )*'' 2211 vvvv +=+

y y y y v' mv' mvmvm ,22,11,22,11 +=+ x x x x v' mv' mvmvm ,22,11,22,11 +=+

z z z z v' mv' mvmvm ,22,11,22,11 +=+

x x x x v' vv' v ,2,2,1,1 +=+

z z z z v' vv' v ,2,2,1,1 +=+

y y y y v' vv' v ,2,2,1,1 +=+

(*) ¡Ojo! Esta ecuación no representa la conservación de la energía

Como las ecuaciones anteriores son sumas de vectores, podemos descomponerlas


21/34

21

Colisiones

+=++=+

2211

22112211

''''

vvvvvvvv mmmm

( )

21

221211

2'

mm

mmm

+

+−=

vvv

( )

21

112122

2'

mm

mmm

++−

= vv

v

Colisión inelástica

Cuando decimos que el choque es inelástico. Un caso extremo se da cuando la energíacinética relativa al C.M. se convierte en calor y energía interna, quedando los objetos que colisionan

unidos. En este caso decimos que la colisión es perfectamente inelástica. Para este tipo de

colisiones, la conservación del momento se escribe:

0' ≠− cc E E

( ) '212211 vvv mmmm +=+

Coeficiente de restituciónEl coeficiente de restitución viene dado por la expresión:

12

12 ''

vv

vv

−

−=e

Sus valores están comprendidos entre 0 (colisión perfectamente inelástica) y 1 (colisión elástica). Enefecto,

2211 '' vvvv +=+ 21 '' vv =

Colisión elástica Colisión perfectamente inelástica

Para el resto de valores se dice que la colisión es parcialmente inelástica.

1''

12

12 =−

−⇒

vv

vv0

''

12

12 =−

−⇒

vv

vv


22/34

22

Colisión elástica

p1

P’1

P’2

P’1x

P’1y

P’2y

P’2x


23/34

23

Colisión elástica

( ) 0'21

1211 =+

−=mm

mm vv 1

21

112

2' v

vv =

+=

mm

m

Ejemplos


24/34

24

Colisión elástica

( )

<>=

+−=

121

1211

0'

v

vv

mm

mm

>>=

+=

121

112

02'

v

vv

mm

m

Ejemplos


25/34

25

Colisión elástica

( )<


26/34

26

p

Ejemplos

Desarrollos


27/34

27

Desarrollos

⇒

+=+

+=+⇒=

+=+

+=+2

2

2

1

2

2

2

1

2121

1

2

2

22

2

11

2

22

2

11

22112211 ''''

v' mv' vmv

mmm

m

m

v' mv' mvmvm

mmmm vvvvvvvv

( ) ( ) ( ) ( ) 222

1

2

2221

2

22

22

12211 ''''2''' vmvvmmmv' m +=+−+−+⇒−+= vvvvvvvvv*

( ) ( ) 222

2221

2

22 '''2' vvm =+−+− vvvvv

( ) ( ) ( )( )22222212

22 ''''2' vvvvvvvvv −+=−+−m

( ) 22122 ''2' vvvvv +=+−m

22111 ''2 vvvv' v +=+−

2211 ' v' vvv +=+

( ) ( ) 2112

1121

2121

211

2

12

2211

22112211''

''

''

'

''vvvvvv

vvvv

vvvv

v' vvv

vvvv +−+−=

+−=

+−=

+=++=+

m

mmmmmmm

⇒

+

+

−

=⇒+

−=

+⇒

2

21

21

2

21

121

2

11

2

1

2

'21'1

m

mmm

mm

mm

mm

vv

vvvv

( )

( )

( )

( )2111212

221

22121

1

2

'

2

' mm

mmm

mm

mmm

+

+−

=⇒+

+−

=⇒

vv

v

vv

v

Dividiendo por m y quitando v’12:

Pasando v22 a la dcha. y haciendo “dif. de cuadr.=suma·dif.”:

Dividiendo por (v’2 - v2):

Aplicando (*):

Reorganizando :

F d t t R i t


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28

Fuerzas de contacto. Rozamiento

N F er µ ≤

Cuando dos cuerpos interaccionan mediante el contacto entre ellos, lo hacen a través de las

llamadas fuerzas de interacción. Por ejemplo, en el dibujo, la caja, A, y la rampa, B,interaccionan mediante fuerzas de rozamiento y fuerzas normales.

B

A NA

Fr,A

Fr,BNB

Fuerza de rozamiento

La fuerza de rozamiento aparece cuando dos cuerpos en contacto

se mueven uno respecto al otro o tienen tendencia a hacerlo.Cada uno de ellos nota la misma fuerza de fricción pero con

sentidos opuestos.

La expresión para la fuerza de rozamiento estática es:

Y para la fuerza de rozamiento dinámica:

N F d r µ =Como se puede observar, mientras la fuerza de rozamiento dinámica es siempre la misma, si la

normal no varía, la estática varía desde cero hasta su valor máximo, µe N. Es decir, no siempre unafuerza de rozamiento es igual a ese valor máximo.

Los coeficientes estático y dinámico, µe y µd, dependen solo de la naturaleza de las superficies en

contacto y están tabulados.

Hay que diferenciar entre fuerza de rozamiento estática y

dinámica. La primera se da entre cuerpos que tienden a moversepero permanecen estáticos, mientras la segunda aparece cuando

existe movimiento relativo.

F d t t R i t


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Fuerzas de contacto. Rozamiento

N sen F g m N g m N F y 5,365,0258,95 =⋅−⋅=−=⇒=+ α

Ejemplo: Mediante una fuerza, F = 25 N ,

que forma un ángulo = 30º con lahorizontal, se arrastra una caja de 5 kg

de masa. Si el coeficiente dinámico de

rozamiento entre el suelo y la caja es =

0,5 , ¿cuánto valen la fuerza de

rozamiento, Fr, y la normal, N?

F

N

Fr

mg

α

Como no hay aceleración en el eje vertical,

N N µ F d r 25,185,365,0 =⋅==

Nota: Observad que si Fr hubiera dado mayor que la

componente horizontal de F, Fx, el objeto no se movería

ya que la fuerza de rozamiento siempre se opone almovimiento y no puede ser causa de él. Es una fuerza

de reacción, no de acción.

En nuestro caso, sí se mueve la caja pues Fx = 21,6 N y

Fr = 18,25 N

F

NFr

mg

αFy

Fx

Di á i d l M i i t A ó i Si l


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Dinámica del Movimiento Armónico Simple

( )i F xk −=

Definición: Se llama fuerza restauradora lineal a la fuerza del tipo

donde k es la llamada constante elástica del medio que provoca la fuerza, x es eldesplazamiento del cuerpo que la sufre y el signo menos indica que el sentido de la fuerza es

siempre opuesto al desplazamiento.Ejemplo: El ejemplo más típico de movimiento

armónico simple es el producido por un muelle

sobre un cuerpo que descansa en una mesa sin

rozamiento. Si estiramos o comprimimos dicho

muelle aparece una fuerza que provoca un

movimiento oscilatorio del cuerpo alrededor de la posición de equilibrio, O . El desplazamiento x se

mide desde esta posición de equilibrio.

O x

Si calculamos ahora el trabajo producido por esta fuerza entre dos posiciones x A y x B, tenemos,

∫ ⋅=→ B

A

B A

x

x

x x dx i F W ( )∫ ⋅−= B

A

x

x

dx xk i i 22

21

21

B A kxkx −=

2

2

1 xk

La expresión obtenida depende solo de la posición, luego la fuerza es conservativa y es

la energía potencial elástica.

Fuerza restauradora lineal



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xam xk =−

Dinámica del M.A.S

Aplicando la segunda ley de Newton,

xm

k

dt

xd −=⇒

2

2

Una solución a esta ecuación es ( )ϕ ω += t cos A x o también ( )'' ϕ ω += t en s A xo cualquier combinación entre ellas. De lo que hemos visto,

m

k

xm

k a

xa

x

x

=

−=

−=ω

ω 2

Una k grande y/o masa pequeña corresponde a oscilaciones rápidas. Una k pequeña y/o masa

grande corresponde a oscilaciones lentas.

Energía de un oscilador armónico simple

La expresión de la energía potencial de un oscilador armónico simple es:

2

2

1 xk E p =

Asimismo, la expresión de la energía cinética de un oscilador armónico simple es:

2

2

1

vm E c =

( )[ ]22

1ϕ ω += t cos Ak ( )ϕ ω += t cos Ak 22

2

1

( )[ ]2

2

1

ϕ ω ω +−= t sen Am ( )ϕ ω ω += t sen Am 222

2

1



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22

,

2

,2

1;

2

1 Am E Ak E máxcmáx p ω ==

Estas expresiones son máximas cuando las funciones seno o coseno valen 1, es decir,

2

2

1 A

m

k m= 2

2

1 Ak =

La energía total del oscilador viene dada por:

( ) ( )ϕ ω ϕ ω ω +++=+ t cos Ak t sen Am E E pc22222

2

1

2

1 2

2

1

Ak =Como las fuerzas son conservativas, cuando E p es máxima, E c debe ser cero y viceversa. En

efecto, la energía potencial es máxima cuando x vale A, que es el instante en que la velocidad

es cero (cos = 1sen = 0) y al revés, cuando x vale cero, es decir, cuando el punto oscilante

está en el origen, la velocidad es máxima.

A veces es conveniente poner ambas energías en función de x , entonces la energíapotencial queda:

( )222222

1

2

1

2

1

2

1 x Ak xk Ak xk E E total c −=−=−=

E total E p,máx E c,máx

E

t T T/2 0

En la gráfica se representan las

energías cinética, potencial ytotal, frente al tiempo para un

oscilador armónico simple (ϕ =0) donde se ve queE total =E p,máx =E c,máx .



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g m yk =0

Ejemplos de movimiento armónico simple

Ejemplo 1. Cuerpo colgado de un muelle: Si colgamos un cuerpo de un muelle de manera que esté en reposo, el muelle estará estirado una distancia y 0 . Si a

partir de esta posición lo levantamos y lo dejamos caer, se genera un

movimiento oscilatorio alrededor del punto de equilibrio. Pero en este punto el

muelle está estirado. ¿Es entonces el movimiento generado un M.A.S.?

Solución

y0

mm

ky0 j

-mg j

-mg j

k(y0 –y) j

y

En la posición de equilibrio,

( ) yam g m y yk =−−0

Si levantamos la masa una altura y y soltamos,

ym

k aam yk y y −=⇒=−

y teniendo en cuenta la ecuación primera,

Si ahora hacemos k/m = ω 2 , obtenemos la expresión propia del movimiento armónico simple:

ya y2ω −=

Por tanto, también en el caso de que el cuerpo esté colgado de un muelle, el movimiento es

armónico simple.



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Ejemplo 2. Péndulo simple: El péndulo simple es otro ejemplo de M.A.S., si

el recorrido de las oscilaciones es pequeño, como vamos a ver.

t am sen g m =− θ

F c

mg

mg sen θ

θ

L

x

s

Según la figura, la componente del peso normal a la trayectoria se compensa

por la tensión de la cuerda, F c . Por tanto es la componente tangencial laresponsable del movimiento. Podemos poner, entonces:

El signo menos indica que la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento, x .Si θ es pequeño, podemos hacer la aproximación:

x sen ≈θ

con lo que la primera ecuación queda:

xam x g m =−

y despejando a x :

x g

a x −=

que es la ecuación propia del movimiento armónico simple, haciendo g/L = ω 2

A partir de esta igualdad, podemos obtener el periodo de un péndulo simple de longitud L:

g

LT π

ω

π 2

2==

dinamica de particulas 03

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