dinamica en un sistema de particulas

8/16/2019 Dinamica en Un Sistema de Particulas

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ESARROLLO E EJERCICIOS

Alumno:

Cubas BecerraFranklin

Enrique Aguilar Elias

Plasencia Revilla

Richard

Vidaurre Cruz Julio Fernando

Escuela profesional:

Ing. Mecnica ! El"c#rica

Profesor:

$aba E%o Augus#o

Curso:

}c F&sica I

Tema

'in(ica en un $is#e(a de

Par#&culas

Ciclo:

)*+, II

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A +

“Año de la iversificacion Produciva !

"oralecimieno de la Educacion#

FIMELambayeque de 22 de

noviembre del 2015


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I-4R5'6CCI7-

En el presente trabajo daremos a conocer

acerca de la dinámica en un sistema de

partículas, que es el movimiento de un gran

número de partículas consideradas en

conjunto. Daremos concepto, teorías yfórmulas del tema, ya expuesto al principio y

además de ejemplos de este tema además de

qu! forma se encuentra presente en nuestra

vida diaria así como de los diversos medios o

formas en que los podemos encontrar.

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A )


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DI$%&ICA E$ '$ SISTE&A DE PART(C'LAS

CONTENIDO

". Introducción

"". Definición de dinámica en un sistema de partículas

""". Aplicación de las leyes de Newton al movimiento de unsistema de partículas. Fuerzas efectivas

"#. Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema departículas

#. ovimiento del centro de masa de un sistema de partículas

#". Cantidad de movimiento angular de un sistema departículas alrededor de su centro de masa

#"". Conservación de la cantidad de movimiento parasistemas de partículas

#""". !nergía cin"tica de un sistema de partículas

"$. #rincipio del tra$a%o y la energía. Conservación de laenergía para un sistema de partículas

$. #rincipio del impulso y la cantidad de movimiento de unsistema de partículas

$". &istemas varia$les de partículas

$"". Corriente estacionaria de partículas

$""". &istemas 'ue ganan o pierden asa$"#. (i$liografia

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A 8


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I$%&ICA E$ '$ SISTE&A E

PART(C'LAS

II) efinici*n:

!n mecánica consideramos un sistema de partículas como un con%unto

de N puntos materiales 'ue se mueven por separado) si $ien interact*an entre sí y

están sometidos a fuerzas e+ternas.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia) mi )

siendo un índice 'ue sirve para eti'uetar individualmente cada una

de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición y una

velocidad . !sta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes

de la dinámica

&iendo la resultante de las fuerzas 'ue act*an so$re la partícula i . !sta

resultante se compone de las fuerzas 'ue cada una de las demás partículas del

sistema e%erce so$re i ) más la resultante de las fuerzas e+ternas aplicadas so$re

ella

!ste sumatorio representa la suma so$re las partículas restantes) esto es k va

de , -asta N ) e+cluyendo el caso k i ) ya 'ue admitimos 'ue una partícula no

produce fuerza so$re sí misma /e'uivalentemente) 0.

&uponemos 'ue las interacciones entre las partículas o$edecen la 12 ley de

Newton

o) lo 'ue es lo mismo

!n la mayoría de los casos se cumplirá además 'ue la fuerza 'ue la

partícula k e%erce so$re la i /y por tanto la 'ue la i e%erce so$re la k 0 va en la

dirección de la recta 'ue une am$as partículas. atemáticamente) esto se

e+presa imponiendo 'ue el vector es paralelo a la posición relativa )

esto es) si

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A 9


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!liminando par"ntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto e'uivale a la

condición

III) Aplicaci*n de las le!es de $e+on al movimieno de

un sisema de par,culas) "uer-as efecivas

#ara deducir las ecuaciones de movimiento de un sistema de partículas se

comienza escri$iendo la segunda ley de Newton para cada partícula individual del

sistema. Considerando una partícula Pi donde ,3 i 3 n. &ean mi la masa

de Pi y ai su aceleración con respecto al sistema de referencia newtoniano 4+yz.

5a fuerza e%ercida so$re Pi por otra partícula Pj ) se denomina fuerza interna y se

denota por Fij /donde se supone 'ue no tiene significado y es igual a cero0. #or

otro lado al denotar Fi la resultante de las fuerzas externas 'ue act*an so$re Pi )

se escri$e la segunda ley de Newton en la siguiente forma6

A-ora $ien) denotando por r i el vector de posición de la partícula P i y tomando en

cuenta los momentos alrededor de 4) tam$i"n se escri$e6

Si se repite el procedimiento para cada partícula del sistema, se obtienen n

ecuaciones del tipo Fi y n ecuaciones del tipo r i x F i donde i toma los valores 1,2,

n sucesivamente! "n consecuencia las ecuaciones #ue se obtienen expresan el

$ec$o de las fuerzas externas e internas #ue act%an sobre el sistema son

e#uipolentes al sistema de las fuerzas efectivas &m i ai '!

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A ,


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!n cuanto a la

deducción de las

ecuaciones) -ay 'ue e+aminar las fuerzas internas fij ) en

pares fij y fji, donde fij representa la fuerza e%ercida por la partícula Pj a las

partículaPi y la fuerza fji representa la fuerza e%ercida por Pi so$re Pj . A-ora $ien)

las fuerzas fij y fji son iguales y opuestas y tienen la misma línea de acción. #or lo

tanto) su suma esfij ( fji ) * .

Al agregar todas las fuerzas internas del sistema y sumar sus momentos alrededor

de 4) se o$tienen las ecuaciones6

Al regresar a la primera ecuación y utilizando la primera de las anteriores

o$tenemos6

Al proceder de manera similar la segunda ecuación 'ue se denotó y la segunda de

las anteriores o$tenemos6

5as ecuaciones anteriores e+presan el -ec-o de 'ue las fuerzas internas son

e'uipolentes a cero. &in em$argo no se afirma 'ue las fuerzas internas no tengan

efecto so$re las partículas.

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A :


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En esta figura se observa que las fuerzas tienen la misma resultante y el mismo

momento, pero éstos actúan de manera distinta.

III)CA$TI A E &O.I&IE$TO LI$EAL / A$0'LAR

E '$ SISTE&A E PART(C'LAS)

5as ecuaciones para el movimiento de un sistema de partículas) puedene+presarse de una manera más concreta si se introduce la cantidad demovimiento lineal y angular de un sistema de partículas. Definiendo la cantidad demovimiento lineal % del sistema de partículas como la suma de las cantidades demovimiento de las diferentes partículas del sistema) escri$imos&

Definiendo la cantidad de movimiento angular 'o con respecto a + del sistema departículas)encontramos6

5a cual -aciendo el desglose puede reducirse a la siguiente ecuación 6

#or'ue los vectores v i y mi v i son colineales.

!ntonces escri$imos6

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A ;


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I.)&O.I&IE$TO EL CE$TRO E &ASA E '$ SISTE&A E

PART(C'LAS

5a ecuación anterior puede escri$irse en otra forma si se considera el centro demasa de partículas. !l centro de masa del sistema es el punto definido por elvector de posición 'ue satisface la relación

!n la 'ue m representa la masa total de las partículas. Descomponiendo losvectores de posición en componentes rectangulares) o$tenemos las tresecuaciones escalares) 'ue pueden utilizarse para encontrar las coordenadas delcentro de masa6

Como mi - representa el peso de la partícula # i y m- el peso total de las partículas)notamos 'ue . es tam$i"n el centro de gravedad del sistema de partículas.

Al derivar am$os miem$ros de la ecuación

4 sea6

/a0

!n la cual 7 representa la velocidad del centro de masa . del sistema departículas) pero el segundo miem$ro de la ecuación /a0 es por definición) lacantidad de movimiento lineal 5 del sistema. #or tanto) tenemos

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A


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.I)CA$TI A E &O.I&IE$TO A$0'LAR E '$

SISTE&A E PARTIC'LAS ALRE E OR E S'

CE$TRO E &ASA

.

5a cantidad de movimiento /o momento lineal0 del sistema es la suma de las

cantidades de movimiento de cada una de las partículas

5a cantidad de movimiento se relaciona directamente con el centro de masas del

sistema. Derivando respecto al tiempo la relación

4$tenemos6

!sto es

!n pala$ras6 la cantidad de movimiento del sistema e'uivale a la 'ue tendría unasola partícula material 'ue concentrara toda la masa del sistema y 'ue se moviera

como el centro de masas de "ste.

De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se

llega a 'ue la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es

siempre nula

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A =


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!sto permite redefinir el centro de masas como a'uel punto /varia$le0 desde el

cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un

sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistemade referencia se dice 'ue se está estudiando desde el sistema centro de masas.

(omento cin!tico )o angular*&

De manera análoga a la cantidad de movimiento) se define el momento cin"tico /oangular0 de un sistema de partículas como la suma vectorial de los momentos

cin"ticos individuales

Descomposición del momento angular&

5as ecuaciones de la dinámica de sistemas se simplificarían nota$lemente si el

momento angular) como el lineal) e'uivaliera al de una partícula puntual 'ue

concentrara toda la masa. No es así.

#ara relacionar el momento angular con el centro de masa) descomponemos cada

posición y cada velocidad en suma de la del centro de masas más la posición o

velocidad relativas

Con esta descomposición) el momento angular de cada partícula se separa en

cuatro t"rminos

Al sumar los momentos cin"ticos individuales para o$tener el momento angular

total nos 'uedan cuatro sumas) en cada una de las cuales podemos sacar factor

com*n la posición o la velocidad del C) 'ue es una cantidad 'ue no depende del

índice i

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A +*


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!l segundo y el tercer t"rmino en la e+presión del momento cin"tico total se

anulan y la e+presión se reduce a

donde

es el momento cin"tico relativo al centro de masas. !mpleando la notación del

tema de dinámica) lo denotaríamos como .

&eg*n esto) el momento angular o cin"tico de un sistema de partículas secompone de dos contri$uciones6 el momento angular 'ue tendría una partícula

'ue contuviera toda la masa y se moviera como el centro de masas del sistema)

más el momento angular 'ue tienen las partículas por moverse alrededor del

centro de masas.

8n e%emplo físico sencillo de esta descomposición lo tenemos en el momento

angular de la 9ierra en cuanto planeta del &istema &olar. &u momento angular se

compone de una parte de$ida al movimiento de traslación alrededor del &ol /lo

'ue se conoce como momento angular orbital 0) 'ue sería el primer t"rmino) más

otra parte de$ida al movimiento de rotación alrededor de su e%e /el llamado

momento angular intrínseco0) 'ue sería .

.II)CO$SER.ACI1$ E LA CA$TI A E

&O.I&IE$TO PARA SISTE&AS E PART(C'LAS

&i so$re las partículas de un sistema no act*an formas e+ternas) los primerosmiem$ros de las ecuaciones

: F ;5 y : o ; y ;

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A ++


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Concluimos 'ue 5constante


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5a primera sumatoria representa la masa total m del sistema. Al recordar la

ecuación ,G.,1) se nota 'ue la segunda sumatoria es igual a m vB y) en

consecuencia) a cero) ya 'ue vB representa la velocidad de relativa al sistema de

referencia +ByBzB) es claramente cero. #or lo tanto) se escri$e.

9 ? mu ? @ miuBi

!sta ecuación muestra 'ue la energía cin"tica 9 de un sistema de partículas

puede o$tenerse al sumar la energía cin"tica del centro de masa /suponiendo

'ue toda la masa está concentrada en 0 y la energía cin"tica del sistema en su

movimiento relativo al sistema de referencia +ByBzB.

I3)PRI$CIPIO EL TRA4AJO / LA E$ER0(A)

CO$SER.ACI1$ E LA E$ER0(A PARA '$ SISTE&A

E PART(C'LAS

!l principio de tra$a%o y energía puede aplicarse a cada partícula #i de un sistema

de partículas. &e escri$e6

9, 8,H 9

#ara cada partícula #i donde 8,H representa el tra$a%o realizado por las fuerzas

internas y la fuerza e+terna resultante Fi actuando so$re #i. Al sumar las energiascin"ticas de las diferentes partículas del sistema y al considerar el tra$a%o de todas

las fuerzas implicadas) se puede aplicar la ecuación anterior al sistema completo.

5as cantidades6

9, = 9 ? @mivi

9 9 ? mv ? @ mivBi

5a cantidad 8,H representa el tra$a%o de todas las fuerzas 'ue act*an so$re las

partículas del sistema.


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&i todas las fuerzas 'ue act*an so$re las partículas del sistema son conservativas)

la ecuación anterior puede sustituirse por

9, 7, 9 7

Donde 7 representa la energía potencial asociada con las fuerzas internas y

e+ternas 'ue act*an so$re las partículas del sistema.

3)PRI$CIPIO EL I&P'LSO / LA CA$TI A E

&O.I&IE$TO E '$ SISTE&A E PART(C'LAS

5as integrales de las ecuaciones anteriores representan los impulsos lineales de

las fuerzas e+ternas 'ue act*an so$re las partículas del sistema. !n la segunda

ecuación las integrales representan los impulsos angulares alrededor de 4 de las

fuerzas e+ternas de tal modo) se e+presa 'ue la suma de los impulsos lineales

'ue act*an so$re el sistema y la suma de los impulsos angulares alrededor de 4

son iguales) respectivamente) al cam$io en la cantidad del movimiento lineal y del

momento angular alrededor de 4 del sistema.

&e arreglan los t"rminos de las ecuaciones y se escri$e6

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A +9


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!n las figuras/a0 y /c0) están e+presadas las cantidades de movimiento de las

partículas en el tiempo , y respectivamente. !n la figura /$0 se indica un vector

igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas e+ternas y un momento par

igual a la suma de los impulsos angulares alrededor de 4 de las fuerzas e+ternas

esto igual puede aplicarse en pro$lemas en el espacio.

5 por definición es la resultante de la cantidad de movimiento mv se nota

entonces 'ue la primera ecuación e+presa 'ue la resultante de los vectores

mostrados en las figuras a0 y $0 es igual a la resultante de los vectores indicados

en la figura c0. #or consiguiente)


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cuales se de$en aplicar sistemas varia$les de partículas) 'uiere decir) en los

cuales se ganen o pierdan partículas o las dos al mismo tiempo.

!n sí) "ste tema sólo es una introducción a los dos siguientes en los cuales ya nos

e+plicarán a detalle lo 'ue es un sistema varia$le de partículas.

3II)CORRIE$TE ESTACIO$ARIA E PART(C'LAS

Considere una corriente estacionaria de partículas) tal como un c-orro de agua'ue desvía una paleta fi%a o un flu%o de aire 'ue pasa por un ducto o por unventilador. #ara determinar la resultante de las fuerzas e%ercidas so$re laspartículas en contacto con la paleta) el ducto o el ventilador) se aíslan estaspartículas y se denota por S el sistema definido de esa manera.

4$serve 'ue S es un sistema varia$le de partículas) ya'ue de manera continua gana las partículas 'ue fluyen -acia su interior e igualmente pierde un n*mero igual de partículas 'ue fluyen -acia afueradel sistema. #or lo tanto) los principios de la cin"tica 'ue se -an esta$lecido


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partículas 'ue entran a S por / ∆ m0v y la cantidad de movimiento de las

partículas 'ue salen de S por / ∆ m0v /figura ,G.,>c 0! &e representan tam$i"n

mediante vectores apropiados las cantidades de movimiento mi vi de las partículas

'ue forman a S y los impulsos de las fuerzas e%ercidas so$re S y se indica

mediante signos más e igual en azul 'ue el sistema de las cantidades de

movimientos e impulsos en las figuras a0 y b0 de la es e'uipolente al sistema de

las cantidades de movimiento en la figura c 0.

5a

sumatoria ∑ mi vi de las cantidades de movimiento de las partículas de S se

encuentra a am$os lados del signo de igualdad y por ello puede omitirse. &e

concluye 'ue el sistema formado por la cantidad de movimiento& ∆ m'v de las

partículas #ue entran a S en el tiempo

∆

t y los impulsos de las fuerzasejercidas sobre S durante ese tiempo es e#uipolente a la cantidad de movimiento &

∆ m'v de las partículas #ue salen de S en el mismo tiempo ∆ t! #or lo

tanto) es posi$le escri$ir

(∆m ) v A+∑F∆ t =(∆m ) vB

&e puede o$tener una ecuación similar considerando los momentos de losvectores 'ue intervienen. Al dividir todos los t"rminos de la ecuación anterior entre

∆ t y de%ando 'ue ∆ t tienda a cero) se o$tiene en el límite

∑F =dm

dt (vB−v A)

DondevB−v A representa la diferencia entre el vector v y el vector v .

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A +;


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Considere una corriente estacionaria de partículas) tal como un c-orro de agua

'ue desvía una paleta fi%a o de igual manera un flu%o de aire por un ventilador.

&e puede decir 'ue la masa de las partículas cam$ia durante el intervalo del

tiempo 'ue recorre el sistema se aísla el sistema de las partículas para poder

calcular y -allar la resultante de fuerzas.

&e puede decir 'ue los sistemas de corriente estacionaria son varia$les por'ue

continuamente ganan y pierden partículas 'ue fluyen a su interior.

Aun'ue siempre las partículas 'ue entren tienen 'ue ser las mismas 'ue salen) se

pueden aplicar el principio de impulso y la cantidad de movimiento. Ja 'ue su

masa permanece constante) la misma masa denotada por su velocidad al inicio y

en la salida del sistema.

&e puede o$tener otra ecuación con la suma de momentos de los vectores 'ue

intervienen en los sistemas sus unidades son KgLs = mLs

Ejemplos&

+orriente de fluido desviada por una paleta.

!n este e%emplo la *nica fuerza seria la utilizada para desviar el flu%o de corriente

la fuerza de la corriente sería igual y opuesta a la de la paleta.

lujo de fluido en el interior de un tubo

5a fuerza 'ue e%erce un fluido so$re una transición del tu$o) como una curva o unestrec-amiento) puede determinarse al considerar el sistema de partículas & 'ue

está en contacto con la transición. Como en general) variaría la presión en el flu%o)

tam$i"n de$emos considerar las fuerzas 'ue las partes colindantes de fluido

e%ercen so$re &.

(otor a reacción.

!n un motor el aire 'ue entra sin velocidad en la parte delantera del motor) y lo

a$andona por la parte trasera con una gran velocidad.

5a energía necesaria para acelerar las partículas de aire se o$tiene 'uemando el

com$usti$le aun'ue los gases de escape contienen com$usti$le 'uemado) la

masa de este es pe'ueMa comparada con la masa del aire 'ue fluye por el interior

del motor.

#entilador

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A +


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5a velocidad de las partículas al entrar al sistema del ventilador se puede suponer

a cero y la velocidad de salida es la velocidad del viento de -"lice.

'elicóptero

5a determinación del empu%e creado por las -"lices giratorias de un -elicóptero es

igual a la del empu%e de un ventilador.

3III)SISTE&AS 5'E 0A$A$ O PIER E$ &ASA

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A +=


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!n seguida seanaliza un tipo diferente de sistema varia$le de partículas) a sa$er) un sistema 'ue

gana masa al a$sor$er continuamente partículas o 'ue pierde masa al e+pulsar

partículas de manera continua. Considere el sistema S 'ue se muestra en la

figura. &u masa) igual a m en el instante t, aumenta en ∆ m en el intervalo de

tiempo ∆ t . #ara aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento al

análisis de este sistema) se de$e considerar en el tiempo t al sistema S m0s las

partículas de masa ∆ m 'ue a$sor$e S durante el intervalo de tiempo ∆ t . 5a

velocidad de S en el tiempo t se denota mediante v) la velocidad de S en el tiempo

t ∆ t se denota mediante

v ∆ v) y la velocidad a$soluta

de las partículas

a$sor$idas se denota por medio de va. Al aplicar el principio del impulso y la

cantidad de movimiento) se escri$e

Al resolver para la suma ∑ ∆ t de los impulsos de las fuerzas e+ternas 'ue

act*an so$re S /e+cluyendo las fuerzas e%ercidas por las partículas 'ue sea$sor$en0) se tiene

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A )*


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Al introducir la velocidad relativa u con respecto a S de las partículas 'ue sea$sor$en) se escri$e u va H v y se anota) puesto 'ue va v ) 'ue la velocidad

relativa u está dirigida -acia la iz'uierda) como se muestra en la. &i se ignora el*ltimo t"rmino en la ecuación anterior) 'ue es de segundo orden) se escri$e

Al dividir entre ∆ t y de%ar 'ue ∆ t tienda a cero) se tiene en el límite

Al reagrupar los t"rminos y recordar 'ue d vLdt) a, donde a es la aceleración del

sistema S) se escri$e

Oue muestra 'ue la acción so$re S de las partículas 'ue se están a$sor$iendo ese'uivalente a un empu%e

Cuando la velocidad a$soluta va de las partículas 'ue se a$sor$en es cero) uHv)y la fórmula G se convierte en

I-E-IER/A MEC0-ICA 1 E23C4RICA P0I-A )+


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3I.)4I4LIO0RA"(A:

6p:77dinamicacivile8)9lospo)pe7;

dinamica en un sistema de particulas

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