Nama ; Kelas ; sekolah ; FUNGSI INVERS f(x) = ax+b ; a = 0f-1(x) = (x-b)/a ; a = 0 f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x = -d/cf-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x = a/c f(x) = ax + bx + c ; a = 0f-1(x) = (-b+\(b-4a(c-x))/2a ; a = 0 f(x) = a log cx ; a > 0 = 1 ; cx>0f-1(x) = ax/c ; c = 0 f(x) = acx ; a > 0 = 1f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c=0 (g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x) contoh:1.Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak 2.Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak ! CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers3.Diketahui f: R R f(x) = 2x - 3 Tentukan f-1 (x) ! Jawab: f one one onto sehingga f mempunyai invers misalkan y = image dari x y = f(x) y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y)) x = (y+3)/2 f-1(x) = (x+3)/24.Diketahui f: A B f(x) = (x - 2)/(x - 3) dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}} (baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33) Tentukan f-1(x) Jawab: y = (x - 2)/(x - 3) y(x - 3) = x - 2 yx - 3y = x - 2 x(y - 1) = 3y - 2 x = (3y - 2)/(y - 1) f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi. f(x) = x untuk X > 0 f-1(x) = \x untuk X > 0 Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurusBentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk y = mx + n (eksplisit) dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b = 0) Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus. m disebut koefisien arah (gradien) garis m = tan o , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam) 0 < o < 90 tan o = + 90 < o < 180 tan o = ukup dengan menentukan 2 buah titik sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu). contoh: Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0 1.Titik potong dengan sumbu x y = 0 ; 2x + 3(0) - 6 = 0 x = 3 (3,0) 2.Titik potong dengan sumby y x = 0 ; 2(0) + 3y - 6 = 0 y = 2 (0,2) Ket:Untuk mengetahui apakah suatu titik terletak pada suatu garis adalah dengan cara mensubstitusi koordinat titik tersebut ke persamaan garis. Bila memenuhi persamaan berarti titik tersebut terletak pada garis. Dengan perkataan lain bila suatu titik terletak pada suatu garis, maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan garis (dapat menggantikan variabelnya yang bersesuaian). 3.Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut. g1 : y = m1x + n1 m1 = tan o g2 : y = mx2 + n2 m2 = tan | u : sudut yang dibentuk kedua garis u = (o - |) dengan menggunakan rumus tangens, didapat : tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)| 4.Ket : 5.Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens u harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak. 6.Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan :Kedudukan Garis Bentuk Eksplisit y = m1x + n1 y = m2x + n2 Bentuk Implisit ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 Berpotongan m1 = m2a/p = b/q Sejajar m1 = m2 dan n1 = n2a/p = b/q = c/r Tegak lurusm1.m2 = -1 (ap/bq) = -1 Berimpitm1= m2 dan n1=n2a/p = b/q = c/r ax + by + c = 0 atau y = mx + n 2. Persamaan sumbu x y = 03. Persamaan sumbu y x = 04. Sejajar sumbu x y = k 5. Sejajar sumbu y x = k 6. Melalui titik asal dengan gradien m y = mx 7. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m y -y1 = m (x - x1) 8. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b) bx + ay = ab 9. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1) y-y1 = ((y2-y1)/(x2-x1))(x-x1) 7.ket : 8.Persamaan (9) didapat dari persamaan (7) dengan menggantim=(y2-y1)/(x2-x1) Garis ini mempunyai gradien m = (y2-y1)/(x2-x1) 9.Jarak Dua Buah Titik Jarak antara titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) AB = \((x1-x2)+(y1-y2)) Koordinat Titik Tengah Koordinat titik tengah antara titik A(x1,y2) dan titik B(x2,y2) XT = (x1+x2)/2 YT = (y1+y2)/2 Jarak Titik Ke Garis Jarak titik A(x1,y1) ke garis g : ax + by + c = 0 d = |(ax1+by1+c)/\(a+b)| 10. Ket : 11. Untuk menentukan jarak antara dua buah garis sejajar, pertama tentukan sembarang titik yang terletak pada salah satu garis, kemudian nyatakan jarak titik ini ke garis yang lain. 12. Atau gunakan rumus jadi : 13. Jarak dua garis sejajar ax + by + c1 = 0 dan ax + by +c2 = 0 adalah 14. d = |(c1-c2)/\(a+b)| 15. Penggunaan : 16. Luas segitiga = (alas X tinggi) (alas = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis 17. Luas bujur sangkar = sisi X sisi (sisi = jarak 2 titik atau jarak titik ke garis 18. Luas Trapesium = (jumlah sisi sejajar X tinggi) (sisi sejajar = jarak 2 titik; tinggi = jarak titik ke garis) 19. Garis BagiGaris yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sudutnya menjadi 2 bagian sama besar Garis tinggiGaris yang ditarik dari suatu titik sudut dan tegak lurus sisi dihadapannya Garis beratGaris yang ditarik dari suatu titik sudut dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua bagian sama besar Garis SumbuGaris yang membagi suatu sisi menjadi dua bagian sama besar dan tegak lurus pada sisi itu. 20. 21. PERGESERAN GRAFIK 22. Fungsi asal y = f(x)Geser a satuanFungsi Baru Kekanany = f(x-a) Kekiriy = f(x+a) Keatas(y-a) = f(x) y = f(x) + a Kebawah(y+a) = f(x) y = f(x) -a 23. Ket : rumusan pergeseran ini berlaku untuk sembarang grafik, seperti : garis lurus, parabola, lingkaran dsb.contoh :garis melalui (0,0) y = mxParabola berpuncak di (0,0) y = x garis melalui (x1, y1) y-y1 = m(x-x1) Parabola berpuncak di (xp,yp) y-yp = a(x-xp) y = a(x-xp) + yp 24. PROGRAM LINIER adalah suatu teknik optimalisasi dimana variabel-variabelnya linier. Metode ini dipakai pada saat kita dihadapkan pada beberapa pilihan dengan batasan-batasan tertentu, sedangkan di lain pihak kita menghendaki keputusan yang optimum (maksimum/minimum). DASAR MATEMATIS Persamaan linier ax + by = c (x,y variabel ; a,b,c konstanta) membagi bidang atas 3 bagian : 1. Titik-titik yang memenuhi persamaan ax + by = c 2. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by < c 3. Titik-titik yang memenuhi pertidaksamaan ax + by > c Ket : grafik ax + by = c merupakan garis lurus yang berfungsi sebagai garis batas Titik-titik yang memenuhi ax + by > c atau ax + by < c merupakan suatu daerah. contoh : 1. Gambarkan tempat kedudukan (daerah) 2x-3y s -6Langkah : -gambarkan terlebih dahulu garis 2x- 3y = -6 -titik potong dengan sumbu x y = 0 dan x = -3 (-3,0) -titik potong dengan sumbu y x =0 dan y = 2 (0,2) Hubungkan kedua titik potong tersebut pilih sembarang titik yang tidak terletak pada garis, misalkan titik(0,0) Kemudian uji apakah titik tersebut memenuhi syarat 2x - 3y = 2(0) - 3(0) = 0 < -6 (salah) Ternyata tidak memenuhi syarat . Berarti titik -titik yang memenuhisyarat (yang dimaksud) adalah di pihak lain dari titik (0,0) berada(seperti terlihat pada gambar berikut) Ket : 1.daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian atau menggunakan tanda anak panah (persetujuan) 2.bila pertidaksamaan berbentuk 2x - 3y < -6 (tanpa =), maka garis 2x - 3y = -6 dibuat putus-putus, untuk menunjukkan bahwa titik titik pada garis bukan merupakan daerah penyelesaian. 2. Gambarkan daerah yang memenuhi : x + 3y s 12 3x + y s 12 x > 0 ; y > 0 Langkah : gambarkan garis x + 3y = 12 dan tentukan daerah x + 3y s 12...(1) gambarkan garis 3x + y = 12 dan tentukan daerah 3x + y s12...(2) syarat x > 0 ; y > 0 menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud terletak di kuadran I (x dan y positif) penyelesaiannya adalah daerah yang memenuhi keempat syarat di atas (merupakan irisan dari penyelesaian persyaratan diatas). daerah yang memenuhi adalah daerah yang diarsir POLIGONAL DAN TITIK EKSTRIM Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian pertidaksamaan, membentuk suatu Poligonal. Titik P disebut Titik Ekstrim dari poligonal, jika P adalah titik potong garis garis yang membatasi poligonal tersebut. Contoh : Gambarkan TKx + 2y s 4(1) x - y s 4(2) x > 1 (3) y > -1 (4) Langkah: Gambarkan terlebih dahulu keempat garis batasnya dan masing- masing tentukan daerahnya. Cari irisannya yang merupakan suatu poligonal. Terakhir cari koordinat titik ekstrim poligonal tersebut. - A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = -1 - B adalah titik potong antara garis y = -1 dan garis x-y =4 - C adalah titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x-y=4 C (4, 0) - D adalah titik potong antara x = 1 dan x + 2y = 4. D (1, 3/2i ) Terbentuk poligonal ABCD dengan 4 titik ekstrimnya, yaitu :A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4 , 0) ; D(1,3/2)

Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qydimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut ax + by s c dx + ey s f px + qy s r Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal. DALIL Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya). Contoh : Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy dengan syarat : x + 2y s 4 x- ys 4 x > 1 y > -1 Langkah : Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya. Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 ) Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3 f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1 f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8 f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2 Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai - Nilai maksimum = 91/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).

Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ; yang secara garis besar dibagi 2 bagian : - constraint ( Persyaratan ) - objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran) Langkah - Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....) - Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan - Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya - Tentukan titik esktrim daerah tersebut - Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan - Bandingkan nilai yang didapat - Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum) contoh : MASALAH MAKSIMUM 1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepungdan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentegayang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ? Tabel Kue AKue BTersedia Tepung Mentega150 5075 752250 1750KEUNTUNGAN100125 Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi : Maksimumkan : f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan) dengan syarat (ds): 150x + 75y s 2250 2x + y s 30 ...(1) 50 x + 75y s 1750 2x + 3y s 70 ...(2) x,y > 0 catatan : bentuk persyaratan s Titik Ekstrim A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20) f(x,y) = 100x + 125y f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875 (dalam hal ini roti tidak pecahan) f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500 f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000 Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m. Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit. Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ? Tabel Model I Model II Tersedia Katun SuteraWool2 111 2 316 11 15KEUNTUNGAN30005000 Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x model II yang dibuat = y Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y ds : 2x + y s 16 (1) x + 2y s 11 (2) x + 3y s 15 (3) x;y > 0 Titik Ekstrim A(8,0) TP antara garis (1) dengan sb-xB(7,2) TP antara garis (1) dengan (2)C(3,4) TP antara garis (2) dengan (3)D(0,5) TP antara garis (3) dengan sb-y f (x,y) = 3000x + 5000y f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000 Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II. MASALAH MINIMUM 3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unitprotein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan Amengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat danlemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kgmasing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agarkebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganyaRp 800,00 ? Tabel A BKebutuhan Protein Karbohidrat Lemak4 122 2 2 616 24 15HARGA1700800 Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y ds : 4x + 2y > 16 2x + y > 8 (1) 12x + 2y > 24 6x + y > 12 (2 2x + 6y > 18 x + 3y > 9 (3) (Catatan : Bentuk persyaratan > )Titik Ekstrim A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y. f (x,y) = 1700x + 800y f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300 Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya.Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya. Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by Garis Selidik ax + by = k Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut. Kemungkinan-kemungkinan 1) k=0 ax +by=0 Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0. 2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri(masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir daripoligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimumdari fungsi didapat. contoh : Maksimumkan f(x,y) = x + 2y ds : x + 3y s 9...(1) 2x + y s 8...(2)x ; y > 0 Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E. Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7 Keterangan : Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan.

BENTUK UMUM y = f(x) = ax2 + bx + c x variabel bebas; y variabel tak bebas;a,b,c konstanta ; a = 0 NILAI EKSTRIM Bentuk y = ax + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a) - D/4a Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a Dapat disimpulkan : y = a(x - x ekstrim) + y ekstrim

Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimumtergantung dari nilai a. Tanda dari a aParabola TerbukaGrafik a > 0 Ke atas Mempunyai nilai minimum a < 0 Ke bawah Mempunyai nilai maksimum GRAFIK Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA. Untuk melukiskannya harus diperhatikan 1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X y=O ax+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)

KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN Diskriminan PKAkar PKTitik Potong Dengan Sumbu x Grafik D > 02 akar berlainan2 titik potong D = 0akar kembar1 titik potong (titik singgung) D < 0tidak ada akarTidak ada titik potong

2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y x=0 y=c (0, c) KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN c > 0c < 0c = 0 memotong sumbu y di atasmemotong sumbu y di bawahmelalui titik (0,0) 3. SUMBU SIMETRI (Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris). Persamaan sumbu simetrix = -b/2a Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b. 4. TITIK PUNCAK Puncak (-b/2a , -D/4a) 5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y SECUKUPNYA KOMBINASI TANDA a dan Da>0 a 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x. (fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF). Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x. (fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).

Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja. diketahui melaluimisalkan fungsi 1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3) y = ax + bx + c (a = ? ; b=? ; c = ?) 2) Titik potong dengan sumbu x(x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3) y = a (x - x1) (x - X2) ( a = ? ) 3) Titik Puncak (xp, yp) dan sebuah titik sembarang (X2,Y2) Y = a (x - xp) + yp ( a = ? ) Ket: Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan.

Misalkan :Garis lurus : y = mx + n ...(1) Parabola : y = ax + bx + c ... (2) Koordinat titik potong garis lurus dan parabola di atas merupakan nilai x dan y yang memenuhi persamaan (1) dan (2). Didapat : mx + n = ax + bx + c ax + (b - m)x + ( c - n ) = 0 merupakan PersamaanKuadrat dalam x. KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN DiskriminanAkar PKGaris dan Parabola D > 0 2 akar berlainan Berpotongan di 2 titik D = 0Akar kembarbersinggungan D < 0 Tidak ada akar riil Tidak ada titik potong

Untuk menentukan koefisien arah garis singgung (gradien) di titik (x1,y1) pada grafik y = f (x) m= f'(x1) f'(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1 Persamaan garis singgung y - f(x1) = f '(x1) (x - x1) Keterangan : Untuk titik yang tidak terletak pada parabola. Ada dua persamaan garis singgung Bila titiknya tidak terletak pada parabola, maka gradiennya dimisalkan dengan m dan persamaan garisnya : y - y1 = m (x - x1 ) disinggungkan dengan parabola y = aX + bx + c dengan syarat D = 0 Anggap f : A B dan g : B C Didapat fungsi baru (g o f) : A C yang disebut komposisi fungsi dari f dan g h = g o f (g o f) (x) = g (f (x)) yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu ket : image f merupakan domain bagi g. contoh: 1. f:A B; g:B C (g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t (g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r (g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t 2. f: R R ; f(x) = x g: R R ; g(x) = x + 3 R=riil maka (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3) = x + 6x + 9 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x) = x + 3 Bila x=2, maka (f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25 (g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7 3. Diketahui [rumus] jika (f o g)(x) = x Tentukan g(x) ! jawab: [rumus] SIFAT Bila f : A B; g : B C ; h : C D maka (f o g) = (g o f) : tidak komutatif (h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif f : A B Bila b e B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau f-1 (b) = {x | x e A, f(x) = b} Jika f adalah fungsi dari A B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1 ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) nyatakan x dalam y TEOREMA f : A B dan f-1 : B A f-1 o f : A A : fungsi indentitas di A ff-1

A B A (f-1 o f) f o f-1 : B B : fungsi identitas di B f-1 f B A B (f o f-1)

(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x) contoh:1.Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak 2.Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak ! CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers3.Diketahui f: R R f(x) = 2x - 3 Tentukan f-1 (x) ! Jawab: f one one onto sehingga f mempunyai invers misalkan y = image dari x y = f(x) y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y)) x = (y+3)/2 f-1(x) = (x+3)/24.Diketahui f: A B f(x) = (x - 2)/(x - 3) dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}} (baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33) Tentukan f-1(x) Jawab: y = (x - 2)/(x - 3) y(x - 3) = x - 2 yx - 3y = x - 2 x(y - 1) = 3y - 2 x = (3y - 2)/(y - 1) f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

FUNGSI ASALFUNGSI INVERS f(x) = ax+b ; a = 0f-1(x) = (x-b)/a ; a = 0 f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x = -d/cf-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x = a/c f(x) = ax + bx + c ; a = 0f-1(x) = (-b+\(b-4a(c-x))/2a ; a = 0 f(x) = a log cx ; a > 0 = 1 ; cx>0f-1(x) = ax/c ; c = 0 f(x) = acx ; a > 0 = 1f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c=0 Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi. f(x) = x untuk X > 0 f-1(x) = \x untuk X > 0

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurusBentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk y = mx + n (eksplisit) dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b = 0) Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus. m disebut koefisien arah (gradien) garis m = tan o , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam) 0 < o < 90 tan o = + 90 < o < 180 tan o = n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat y = mx + n m > 0m < 0m = 0 arah ke kanan membentukarah ke kiri membentuk sudut tumpul sejajar sumbu x n > 0n < 0n = 0 memotong sumbu y di atasmemotong sumbu y di bawahmelalui (0,0)

Cukup dengan menentukan 2 buah titik sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu). contoh: Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0 1.Titik potong dengan sumbu x y = 0 ; 2x + 3(0) - 6 = 0 x = 3 (3,0) 2.Titik potong dengan sumby y x = 0 ; 2(0) + 3y - 6 = 0 y = 2 (0,2) Ket:Untuk mengetahui apakah suatu titik terletak pada suatu garis adalah dengan cara mensubstitusi koordinat titik tersebut ke persamaan garis. Bila memenuhi persamaan berarti titik tersebut terletak pada garis. Dengan perkataan lain bila suatu titik terletak pada suatu garis, maka koordinat titik tersebut memenuhi persamaan garis (dapat menggantikan variabelnya yang bersesuaian).

Kedudukan 2 buah garis ditentukan oleh kemungkinan sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut. g1 : y = m1x + n1 m1 = tan o g2 : y = mx2 + n2 m2 = tan | u : sudut yang dibentuk kedua garis u = (o - |) dengan menggunakan rumus tangens, didapat : tan q = |(m1-m2)/(1+m1m2)| Ket : Sudut yang dibentuk antara dua buah garis yang berpotongan, selalu dimaksudkan sebagai sudut lancip antara kedua garis tersebut. Karena tangens u harus bernilai positif (sudut lancip) maka rumusnya menggunakan tanda mutlak. Dari rumus di atas dapat ditentukan bahwa kedua garis akan :Kedudukan Garis Bentuk Eksplisit y = m1x + n1 y = m2x + n2 Bentuk Implisit ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 Berpotongan m1 = m2a/p = b/q Sejajar m1 = m2 dan n1 = n2a/p = b/q = c/r Tegak lurusm1.m2 = -1 (ap/bq) = -1 Berimpitm1= m2 dan n1=n2a/p = b/q = c/r strlen() Digunakan untuk menghitung jumlah karakter dalam suatu variable, syantax-nya sebagai berikut : strlen($namavariable) contoh: