dasar logika matematikaocw.upj.ac.id/files/handout-gnr105-pertemuan-5-himpunan-diagram... · ... x...

29/09/2018

1

DASAR LOGIKA MATEMATIKAPERTEMUAN 5

HIMPUNAN & DIAGRAM VENN

Prio Handoko, S.Kom., M.T.I.1

OBJECTIVES

Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set)

Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan

diagram Venn

2

29/09/2018

2

DEFINISI HIMPUNAN

Himpunan (set) adalah kumpulan objek

Objek di dalam himpunan disebutelemen, unsur, atau anggota.

Contoh.

Himpunan mahasiswa (HIMA) programstudi Akuntansi.

Sekumpulan hewan bertanduk.

3

George Cantor (1845-1918) seorang matematikawan asal Jerman. Ia adalah orang pertama yang menemukan teori

himpunan.

DEFINISI HIMPUNAN

Set huruf kapital

4

29/09/2018

3

CARA PENYAJIAN HIMPUNAN

Penulisan Anggota

Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

Contoh. Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2,4, 6, 8, 10}.

C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K = { {} } himpunan K mempunyai anggota himp kosong

5


Keanggotaan Himpunan

Anggota himpunan ditulis dengan Simbol (elemen)

x A : x merupakan anggota himpunan A.

x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

6

29/09/2018

4


Contoh.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}}.

Maka,

3 A

{a, b, c} R

{} K

7


Simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan asli atau alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat integer= { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

8

29/09/2018

5


Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh.

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}, maka jika anggota himpunan A = {1,3, 5} maka A adalah himpunan bagian dari U.

Misalkan U = {Harimau, Singa, Puma, Leopard, Panther}, makajika anggota himpunan B = {Harimau, Leopard}, maka B adalahhimpunan bagian dari U

9


Notasi Pembentuk Himpunan

Penulisan Anggota himpunan dibatasi oleh oleh kurung kurawal braces { }, setiap anggota dipisahkan dengan koma.

Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh.A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5.Jawab:A = { 1, 2, 3, 4}

10

29/09/2018

6


Atau penulisan dengan notasi :

A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau bisa juga ditulis dengan bentuk seperti ini :

A = { x | x P, x < 5 }

Latihan :1. Tuliskan himpunan kelas dasar logika (10 anggota saja)2. Kelompokan dalam beberapa himpunan berdasarkan prodi dari 10 anggota

himpunan yang anda tulis pada soal no.1

11


Latihan.

1. Tuliskan 10 anggota himpunan mahasiswa kelas dasar logika prodi Akuntansi.

2. Kelompokan dalam beberapa himpunan berdasarkan jenis kelamin dari 10 anggota himpunan yang anda tulis pada soal nomor 1.

12

29/09/2018

7


Diagram Venn

13

John Venn (4 Ags 1834 - 4 April 1923)

Seorang matematikawan, ahli logika dan filsuf asal

Inggris yang menemukan diagram Venn. Dengan

menggunakan diagram Venn ini, relasi antar himpunan

menjadi lebih mudah dipahami. Ia yang

memperkenalkan diagram Venn, yang dapat digunakan

dalam berbagai bidang seperti: teori set, probabilitas,

logika, statistik, dan ilmu komputer.


Contoh.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

14

U A B

1

3

4

7

2

5

8

6

29/09/2018

8

RELASI HIMPUNAN (SET RELEATIONSHIPS)

Setiap himpunan dapat berelasi dengan himpunan lainnya untuk menunjukkan adanya hubungan antar himpunan. Suatu himpunan dapat berelasi dengan 1 atau lebih himpunan lainnya. Relasi himpunan terdiri atas:

1. Subset

2. Disjoint

3. Overlapping

15


A. Subset (Himpunan Bagian)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika

dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A B

Diagram Venn:

16

U

A

B

29/09/2018

9


B. Disjoint (Himpunan Saling Lepas)

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika

keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

Notasi: A // B

Diagram Venn:

17

UA

B


B. Overlapping

Dua himpunan A dan B dikatakan overlapping jika keduanya

memiliki elemen yang sama. Pada bagian elemen yang sama

disebut dengan irisan (intersection)

Notasi irisan:

A B = { x x A dan x B }

Diagram Venn:

18

U A B

29/09/2018

10


Latihan.

Jelaskan dan gambarkan relasi menggunakan diagram venn:

1. Menteri dan DPR

2. Pemenang Oscar dan pemenang Golden Globe

3. Atlet dan Mahasiswa

19

KARDINALITAS

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A

Contoh.

1. B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau

B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

2. T = {kucing, a,Amir, 10, paku}, maka T = 5

20

29/09/2018

11

HIMPUNAN KOSONG (NULL)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

Notasi : atau {}

Contoh. E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0

Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}21

HIMPUNAN SAMA

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B

dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah

himpunan bagian dari A.

Notasi : A = B A B dan B A

22

29/09/2018

12

HIMPUNAN SAMA

Contoh.

Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

Jika A = { 3, 5, 8} dan B = {3, 8}, maka A B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

a. A = A, B = B, dan C = C

b. jika A = B, maka B = A

c. jika A = B dan B = C, maka A = C

23

HIMPUNAN EKIVALEN

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan

hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B A = B

Contoh.

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka

A ~ B sebab A = B = 4.

24

29/09/2018

13

OPERASI HIMPUNAN

1. Irisan (Intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

25

OPERASI HIMPUNAN

Contoh.

1) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4,

10}

2) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya:

A // B

3) A= {amir, budi, ani} dan B= {budi, ali, toni} maka A B = {budi}

26

29/09/2018

14

OPERASI HIMPUNAN

2. Gabungan (Union)

Notasi : A B = { x x A atau x B }

27

OPERASI HIMPUNAN

Contoh.

1) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8,

22 }

2) A = A

28

29/09/2018

15

OPERASI HIMPUNAN

3. Komplemen (Complement)

Notasi : A’ = { x x U, x A }

29

OPERASI HIMPUNAN

Contoh.

Misalkan U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.

1) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A’ = {2, 4, 6, 8}

2) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A’ = { 1, 3, 5, 7 }

30

29/09/2018

16

LATIHAN #1

Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya < Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

31

LATIHAN #1

Tentukan operasi terhadap himpunan jika memiliki kondisi sebagai

berikut:

1) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai

nilai jual lebih dari Rp 100 juta”

2) “semua mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam

negeri atau diimpor dari luar negeri”

3) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum

tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

32

29/09/2018

17

LATIHAN #1

Jawab.

1) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai

nilai jual lebih dari Rp 100 juta”

B C’ D’2) “semua mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam

negeri atau diimpor dari luar negeri”

(E A) (E B) atau E (A B)33

LATIHAN #1

3) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum

tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta”

A C D

34

29/09/2018

18

LATIHAN #2

1. Sebuah kelas terdiri 40 siswa ,diantaranya 18 siswa suka IPA , 23 suka IPS, 8 siswa suka keduanya dan sejumlah siswa tidak suka keduanya, tentukan:

a. Jumlah siswa yang tidak suka keduanya

b. Gambarkan diagram venn

2. Suatu kelompok belajar berjumlah 21 siswa, diantaranya 10 siswa belajar bahasa inggris, 15 siswa belajar matematika tentukan:

a. Jumlah siswa yang belajar keduanya,

b. Gambarkan diagram venn

35

TUGAS #1

Perhatikan table berikut.

36

Gambarkan dalam diagram Venn yang menggambarkan:

1. WANITA terhadap BIOLOGI

2. WANITA terhadap BISNIS

3. PRIA terhadap BIOLOGI

4. PRIA terhadap BISNIS

29/09/2018

19

TUGAS #2

Survey dari beberapa pembaca surat kabar di Jakarta:

37

Gambarkan diagram Venn berdasarkan tabel di samping ini:

a. Berapa banyak orang yang membaca kompas dan poskota

b. Berapa banyak orang yang membaca kompas atau sindo

c. Berapa banyak orang yang membaca kompas atau sindo atau poskota

d. Berapa banyak orang yang membaca kompas tapi bukan poskota

DASAR LOGIKA MATEMATIKAPERTEMUAN 5

HIMPUNAN & DIAGRAM VENN

Terima Kasih

dasar logika matematikaocw.upj.ac.id/files/handout-gnr105-pertemuan-5-himpunan-diagram... · ... x...

Documents