BAB III

PEMBAHASAN

Dalam bab ini, akan dibahas model matematika penyakit diabetes dengan pengaruh

transmisi vertikal.

1. Bentuk Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus dengan Pengaruh Transmisi

Vertikal

Model penyebaran penyakit diabetes mellitus merukan salah satu pengembangan model

SIS. Dalam pembentukan model matematika penyakit diabetes ini, transmisi bertikal pada

factor kelahiran akan diperhitungkan. Sehingga proses pembentukan model penyakit ini,

populasi dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu kelompok manusia sehat namun didalam

darahnya tidak terdapat gen pembawa penyakit diabetes, kelompok manusia sehat dimana

didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit diabetes, dan kelompok manusia yang

telah terkena penyakit diabetes.

Variable yang yang digunakan dalam model matematika penyakit dibetes dengan

transmisi vertikal ini adalah

1. kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen pembawa penyakit

diabetes yang dilambangkan dengan X1

2. kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit

diabetes yang dilambangkan dengan X2

3. kelompok manusia yang telah terkena penyakit diabetes yang dilambangkan X3.

Parameter yang digunakan adalah

ρ : peluang terlahirnya manusia sehat pada kelompok X1

β1 : tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok X3 ke kelompok X2

β2 : tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok X3 ke kelompok X1

µ : tingkat kematian natural

δ : tingkat kematian yang diakibatkan oleh penyakit diabetes pada kelompok X3

γ : tingkat kesembuhan orang yang telah terkena diabetes.

Langkah selanjutnya adalah membuat kerangka dasar model. Hal ini dilakukan dengan

menentukan asumsi yang akan digunakan dalam membentuk model matematika penyakit

diabetes dengan transmisi vertikal. Asumsi yang digunakan dalam pembentukan model

matematika penyakit diabetes dengan transmisi vertikal adalah

1. Populasi manusia bersifat tertutup dimana tidak terjadi imigrasi maupun emigrasi.

2. Total populasi manusia bersifat konstan, artinya jumlah kelahiran akan sama dengan

jumlah kematian

3. Jumlah kelahiran manusia yaitu sebesar A

4. Jumlah kematian setiap kompartemen sama

5. Setiap individu yang lahir diasumsikan rentan terkana penyakit diabetes mellitus

6. Peluang terlahirnya manusia sehat tanpa gen penyakit diabetes yaitu sebesar p

7. Peluang terlahirnya manusia sehat tanpa gen penyakit diabetes yaitu sebesar (1-p)

8. Individu yang berada pada kelompok terkena penyakit diabetes dapat sembuh dari

penyakit diabetes dengan tingkat kesembuhan dari individu yang terkena penyakit

campak sebesar γ

9. Individu yang telah sembuh dapat terkena penyakit diabetes kembali

10. Individu yang terkena penyakit diabetes yang berada pada kelompok manusia terkena

penyakit diabetes (X3) apabila sembuh dari penyakit diabetes akan masuk ke

kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa penyakit

diabetes (X2)

µ

p β1 µ

A γ

(1- p) β2 δ

µ

Gambar 1. Model Penyakit Diabetes dengan Transmisi Vertikal

Proses pembentukan model matematika penyakit diabetes dengan transmisi vertikal

adalah sebagai berikut

1. Laju jumlah kelompok manusia sehat namun didalam darahnya tidak terdapat gen

pembawa penyakit diabetes dipengaruhi oleh peluang dari kelahiran manusia sehat tanpa

gen pembawa penyakit diabetes yaitu sebesar pA, kemudian dipengaruhi oleh adanya

tingkat transfer pola hidup tidak sehat dari kelompok X3 ke X1 yaitu sebesar −β1X1 X3

N,

X3

X1

X2

kemudian juga dipengaruhi oleh adanya kematian pada kelompok manusia sehat tanpa

penyakit diabetes sebesar −µX1

d X1

dt=p A−

β1 X1 X3

N−µ X1 (1)

2. Laju jumlah kelompok manusia sehat dimana didalam darahnya terdapat gen pembawa

penyakit diabetes dipengaruhi oleh peluang kelahiran manusia sehat dengan gen

pembawa penyakit diabetes yaitu sebesar (1−p ) A, kemudian

d X2

dt=(1−p ) A−

β2X 2X3

N−µX2+γ X3 (2)

3. Laju jumlah

d X3

dt=β1 X1 X3

N+β2X2 X3

N−(µ+γ+δ ) X3 (3)

Sehingga model matematika penyakit diabetes dengan transmisi vertikal adalah sebagai

berikut

(4 ) {d X1

dt=p A−

β1X 1X3

N−µX 1

d X 2

dt=(1−p ) A−

β2 X2 X3

N−µX 2+γ X3

d X3

dt=β1 X1 X3

N+β2 X2 X3

N−(µ+γ+δ ) X3

dengan A=µ (X1+X2+X3) dan N=X1+X2+X3

2. Hasil Analisis Model Matematika Penyakit Diabetes dengan Transmisi Vertikal

Pandang model penyakit diabetes dengan transmisi vertikal. Missal B=µ+γ+δ , sistem

persamaan (4) dapat dinyatakan kedalam bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut

(5 ) {d X1

dt=p A−

β1 X1X3

N−µX1

d X2

d t=(1−p ) A−

β2 X2 X3

N−µX 2+γ X3

d X3

dt=β1 X1 X3

N+β2 X2X 3

N−B X3

Selanjutnya akan ditentukan titik tetap dari system (6) diatas dengan menggunakan

menggunakan definisi

1. Titik Tetap Model Matematika Penyakit Diabetes tanpa Transmisi Vertikal

Titik tetap merupakan titik keseimbangan dari sistem yang diperoleh pada saat

d X1

dt=0 ,

d X2

dt=0 ,

d X 3

dt=0

Sehingga akan diperoleh system persamaan diferensial berikut

p A−β1X 1X3

N−µX1=0 (6)

(1−p ) A−β2 X2 X3

N−µX 2+γ X3=0 (7)

β1 X1 X3

N+β2 X2 X3

N−B X3=0 (8)

Terdapat dua titik tetap dari model matematika penyakit diabetes tanpa transmisi

vertikal yairu titik bebas penyakit diabetes dan titik bebes endemik diabetes.

a. Titik Tetap Bebas Penyakit Diabetes Dengan Transmisi Vertikal

DFE=(X10, X20

, X30)

Titik tetap bebas penyakit diabetes dengan transmisi vertikal diartikan bahwa

tidak ada individu yang terinfeksi penyakit diabetes, secara matematis X3=0.

Substitusikan nilai X3=0 kepersamaan (6) sampai (8) maka

p A−β1X 1X3

N−µX1=0 (7)

Diperoleh µX1=p A−β1X 1X3

N

µX1=p A−β1X 1(0)N

X1=p Aµ

Sehingga X10= p Aµ

(1−p ) A−β2 X2 X3

N−µX 2+γ X3=0 (8)

Diperoleh µX2=(1−p ) A−β2 X2 X3

N+γ X3

µX2=(1−p ) A−β2 X2(0)N

+γ (0)

X2=(1−p ) Aµ

Sehingga X20=

(1−p ) Aµ

β1 X1 X3

N+β2 X2 X3

N−B X3=0 (9)

Diperoleh β1 X1 X3

N+β2 X2 X3

N−B X3=0

β1 X1(0)N

+β2 X2(0)N

−B (0)=0

Sehingga X30=0

diperoleh titik tetap bebas penyakit diabetes dengan transmisi vertikal adalah

¿=( pAµ,

(1−p ) Aµ

,0)

b. Titik Tetap Endemik Penyakit Diabetes dengan Transmisi Vertikal EE=( X1 , X2 , X3 )

Titik tetap Endemik penyakit diabetes dengan transmisi vertikal diartikan bahwa

terdapat individu yang terkena penyakit diabetes, maka X3>0.

Sehingga diperoleh titik tetap bebas penyakit diabetes dengan transmisi vertikal adalah

EE=X1∗,−( pA+γ X1+δ X1−X1 β1)

δ β1X1−β1 β2X1+γ β1X1+µ β1 X1−µ β2X1+ pA β2

,X1 (µX1 β1−µX1 β1−pA β2+ pA β2 ) X1 β1

δ β1X 1−β1β2X 1+γ β1X 1+µ β1X1−µ β2 X1+ pA β2

¿

Bentuk eksplisit dari titik EE tidak dapat ditunjukan dalam makalah ini secara

eksplisit karena kompleksitas dari bentuknya. Titik keseimbangan untuk X1* didapatkan

dari akar persamaan

f (Ω, x1 )=X12 ((β2−µ+ (p−1 ) δ−γ ) β1−β2 ( pδ−µ ))

−µ (−β2+β1 )(−β1+δ)Ax1−

A2 β2 p

−µ (−β2+β1 )(−β1+δ)

Dimana Ω adalah himpunan semua parameter dalam model persamaan (1) sampai (3).

Titik DFE merupakan titik keseimbangan dimana tidak terdapat orang yang terinfeksi

oleh penyakit diabetes di lapangan olehnya X3 bernilai 0. Bila diperhatikan, total populasi

manusia sehat yaitu X1+X2 ekivalen dengan Aµ

yang dapat dipresentasikan bahwa total

populasi manusia sebenarnya adalah rasio antara laju kelahiran dan laju kematian secara

natural. Titik keseimbangan yaitu EE merupakan titik keseimbangan dimana semua

kompartemen eksis dilapangan.

2. Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Matematika Penyakit Diabetes dengan

Transmisi Vertikal

Analisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai

eigen dari matriks Jacobi dari system () yang diperoleh sebagai berikut

J=[−µ0 0−µ

−p β1

−β2+p β1+γ0 0 β2−p β2+ p β1−γ−δ−µ ]

Nilai eigen dari matriks J diberikan oleh akar kembar -µ dan

(1−p) β2+ p β1−γ−δ−µ. Agar sistem stabil. Maka semua nilai eigen haruslah bernilai

negtif. Oleh karena itu, agar semua nilai eigen bernilai negatif maka haruslah dipenuhi

bahwa R1=(1−p )β2+ β1

γ+µ+δ<1.

3. Bilangan Reproduksi Kontrol (Rc) Model matematika Penyakit Diabetes dengan

Transmisi Vertikal

Basic reproduction ratio didefinisikan sebagai jumlah ekspektasi kejadian kasus

sekunder dari satu kasus primer pada populasi virgin selama periode proses infeksi. Basic

reproductive ratio merupakan bilangan non dimensional yang dapat mengatur tingkat

keendemikan suatu wilayah dan didapatkan dari pectral radius dri matriks generasi. Basic

Reproducrive ratio sistem (1) sampai (3) diberikan oleh

R0=(1−p )β2+β1

γ+µ+δ

Titik DFE akan stabil lokal jika dan hanya jika R0<1 dan sebaliknya, titik EE

akan stabil lokal jika R0>1. Level set untuk sensitivitas parameter dari R0 terhadap γ danδ

dapat dilihat dari gambar 1. Dapat dilihat bahwa untuk menekan besaran R0 hingga

bernilai kurang dari 1 maka dibutuhkan usaha yang lebih besar untuk memperbesar nilai

γ yaitu laju kesembuhan orang terinfeksi. Hal ini bisa dilakukan misalnya dengan budaya

hidup sehat, program diet dan lain sebagainya.

Gambar 1: level set R0 terhadap γ dan δ

Pada bagian berikutnya, simulasi numerik untuk mendukung hasil kajian analitik akan

ditunjukkan untuk beberapa kasus yang berbeda

Gambar 2. Dinamik manusia pada kasus R0=0.9(kiri) dan V=0.36 (kanan)

Gambar 3. Dinamik manusia pada kasus p=0.1 dan p= 0.7

1. Kesimpulan

Model matematika pada penyakit diabetes dengan transmisi vertikal pada populasi

tertutup telah dikonstruksi dalam makalah ini. Basic reproductive ratio (R¿¿0)¿ sebagai

indikator keendemikan ditunjukan secara analitik. Berdasarkan kajian analitik terhadap R0

dan didukung dengan simulasi numerik, ditunjukan bahwa jumlah orang sehat akan lebih

besar apabila proporsi atau peluang kelahiran dalam keadaan carrier (pembawa) diabetes

lebih kecil. Pengembangan model dapat dilanjutkan dengan melibatkan beberapa faktor

antara lain kelas umur, program penanggulangan dan pencegahan, dan lain-lain.