bab iii - repository.upi.edurepository.upi.edu/2947/6/s_mtk_0907143_chapter3.pdf · menyelesaikan...

32 Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB III

T2 HOTELLING PADA DATA SUBGRUP

Pada tahun 1924, Walter. A. Shewart di Bell Telephone Laboratories

menciptakan suatu grafik kontrol statistika untuk mengontrol variabel-variabel

penting pada proses produksi. Grafik ini diperkirakan sebagai cikal bakal dari

permulaan Statistical Process Control ( SPC ). Ini adalah salah satu metode

pertama quality assurance yang diperkenalkan pada industri modern yang ada saat

ini.

Grafik kontrol ini dirancang berdasarkan teori statistik yang relevan dan

dirancang agar output dari proses operasional saat ini tidak banyak berbeda

dengan output dari proses operasional normal. Statistik ini menghitung apakah

output dari proses operasional saat ini tidak banyak berbeda dengan output dari

proses operasional normal.

Untuk menjamin suatu proses produksi berlangsung dengan baik dan stabil

atau produk yang dihasilkan selalu dalam daerah standar, perlu dilakukan

pemeriksaan terhadap titik origin ( titik asal ) dan hal-hal yang berhubungan

dengan titik asal tersebut, dalam rangka meningkatkan dan memelihara kualitas

produk agar sesuai dengan harapan. Hal ini yang disebut Statistical Process

Control (SPC) atau pengendalian kualitas secara statistik ( Novyanto : 2007)

SPC merupakan metode yang dapat digunakan untuk mengontrol dan

memonitor suatu proses. Salah satu alat yang dapat digunakan adalah bagan

kendali ( control chart ). Seperti yang sudah dijelaskan pada bab sebelumnya

bahwa bagan kendali ini merupakan suatu alat yang secara grafis digunakan untuk

memonitor apakah suatu proses dapat diterima sebagai suatu proses yang

terkendali. Bagan kendali ini dikenal sebagai bagan Shewart univariat, karena

bagan ini digunakan untuk memonitor serta mengontrol suatu proses yang hanya

melibatkan satu variabel.

33

Mohamad Ilham Aliansyah, 2013 Statitika Pengendalian Buku Mutu Dengan Metode T2 Hotelling Data Subgroup Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

Dalam prakteknya, permasalahan yang sering ditemui terdiri dari

bermacam variabel atau dikenal dengan istilah multivariat, sehingga bagan

kendali Shewart univariat dirasa kurang cocok dan menghasilkan kesimpulan

yang kurang tepat. Harold Hotelling pada tahun 1947 memperkenalkan suatu

statistik yang dapat menggambarkan observasi multivariat, yang dikenal dengan

T2 Hotelling.

Statistical Process Control ( SPC ) pada dasarnya mempunyai tujuan

utama yaitu dalam peningkatan dan pemeliharaan kualitas dengan menstabilkan

proses dan mengurangi variabilitas. Dalam SPC juga dikenal adanya “seven tools”

yakni tujuh alat yang menggunakan metode grafik sederhana untuk

menyelesaikan masalah, yang salah satu daiantaranya adalah bagan kendali (

control chart ) ( Smith : 1998 ).

Bagan kendali adalah suatu alat yang secara grafis menilai karakteristik

kualitas yang dimonitor, digambarkan sepanjang sumbu y, dan sumbu x

menggambarkan sampel atau subgrup dari karakteristik kualitas tersebut. Seperti

yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya secara umum terdapat tiga garis pada

grafik pengendali, yaitu garis tengah ( center line ) adalah garis yang

menunjukkan nilai rata-rata dari karakteristik kualitas yang diplot pada grafik,

selanjutnya batas pengendali atas ( upper limit control ) dan batas pengendali

bawah ( lower limit control ) digunakan untuk membuat keputusan suatu proses.

Apabila terdapat data yang berada di luar batas pengendali atas dan batas

pengendali bawah serta pada pola data tidak acak, maka dapat disimpulkan bahwa

data berada diluar kendali statistik. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya

bahwa terdapat dua macam bagan kendali yaitu bagan kendali univariat dimana

bagan kendali ini digunakan untuk mengontrol dan memonitor hanya untuk satu

variabel atau karakteristik kualitas, sedangkan bagan kendali multivariat

digunakan untuk mengontrol dan memonitor lebih dari satu variabel atau

karakteristik kualitas yang dikenal dengan bagan kendali T2 Hotelling. Fokus

kajian pada skripsi ini adalah bagan kendali T2 Hotelling.

34


3.1 Distribusi T2 Hotelling

T2 Hotelling merupakan suatu skalar yang mengkobinasikan informasi dari

dispersi dan mean dari beberapa variabel, dapat pula dikatakan sebagai

counterpart dari statistik t-Student.

Misalkan nXXX ,...,, 21 adalah sampel acak dari populasi normal, nilai

satistik t-Student didekati oleh

ns

Xt 0

dimana

n

j

jXn

X1

1 dan

n

j

j XXn

s1

22

1

1

Apabila nilai t-Student dikuadratkan akan menjadi

0

12

02

2

02

XsXnns

Xt

Secara umum untuk menghitung nilai T2, digunakan rumus sebagai

berikut:

ˆˆ 12

kkk xSxT

dimana

kx Nilai observasi

Nilai estimasi mean atau rata-rata dari observasi

1S Nilai invers dari matriks varians kovarians

Dengan mengasumsikan normalitas multivariat, didapatkan sebaran probabilitas

dari T2 Hotelling sebagai berikut

35


),(

12 )(/)1)(1(~ˆˆpnpkkk FpnnnnpxSxT

),( pnpF mewakili distribusi F dengan derajat kebebasan p untuk numerator yang

didapat dari jumlah perlakuan dan n-p adalah denominator, dimana n adalah

banyaknya sampel yang digunakan.

3.2 Bagan Kendali T2 Hotelling Data Subgrup

Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengendalian kualitas secara

statistik menggunakan statistik T2 Hotelling. Alat yang akan digunakan untuk

mengontrol kualitas suatu proses adalah bagan kendali.

Pada aplikasi nyata dari T2 Hotelling untuk multivariat process control,

adalah jika data multivariat diambil dalam bentuk subgrup dan menggunakan dua

fase perhitungan. Pada fase atau tahap satu dilakukan pengumpulan informasi dari

sejumlah subgrup yang didapat dari hasil produksi yang berjalan pada saat

operasional normal dan menghitung limit kontrol berdasarkan data yang telah

diambil.

Pada fase satu ini akan diperiksa data dari setiap subgrup. Apabila subgrup

tersebut keluar dari kontrol limit, maka harus dilakukan penghapusan data

subgrup tersebut dan kembali dilakukan penghitungan ulang. Pada akhirnya

didapatlah himpunan data subgrup yang telah berada di dalam kontrol limit yang

selanjutnya dapat digunakan sebagai data acuan.

Fase selanjutnya yaitu fase dua. Fase kedua ini digunakan data hasil

perhitungan pada fase satu yang telah berada dalam kontrol limit sebagai

perbandingan dengan data dari produksi saat ini. Akan dilakukan pengamatan dari

setiap subgrup data produksi saat ini, apakah data tersebut berada diluar kontrol

limit atau tidak berdasarkan dari hasil perhitungan fase satu.

Jika terdapat data dari salah satu subgrup yang berada di luar kontrol limit

berarti terdapat keragaman atau variasi yang signifikan antara data produksi

normal dengan data produksi saat ini. Hal ini disinyalir terdapat kemungkinan

36


penurunan kualitas dan harus segera dilakukan pengecekan pada setiap proses

produksi.

Dalam membangun bagan kendali ini terdapat tiga kasus yang mungkin,

yaitu:

1. Ukuran subgrup dengan n = 1, atau bisa dikatakan ini adalah bagan

kendali T2 Hotelling Individual

2. Ukuran subgrup yang sama dengan n > 1

3. Ukuran subgrup yang berbeda dengan

Fokus kajian skripsi ini berupa bagan kendali T2 Hotelling Data Subgrup

dengan ukuran subgrup yang sama. Berikut adalah prosedur untuk

membangun bagan kendali T2 Hotelling Data Subgrup

3.2.1 Tahap Start Up Stage ( Tahap Pertama)

Misalkan

adalah sampel acak dari ),( pN dengan

banyaknya sugrup, dan dengan catatan antara subgrup yang

satu dan lainnya saling bebas.

Jika ),...,,( 21 k

ip

k

i

k

i

k

i XXXX maka setiap subgrupnya dapat

dinyatakan sebagai matriks-matriks berikut

Subgrup-1 Subgrup-2 ... Subgrup-m

11

2

1

1

1

2

1

22

1

21

1

1

1

12

1

11

npnn

p

p

XXX

XXX

XXX

22

2

2

1

2

2

2

22

2

21

2

1

2

12

2

11

npnn

p

p

XXX

XXX

XXX

...

m

np

m

n

m

n

m

p

mm

m

p

mm

XXX

XXX

XXX

21

22221

11211

Pada tahapan ini digunakan statistik

XXSXXnT kk

k

)(1)(2 )(

37


Nilai tersebut berdistribusi Fisher dengan

1)1(,

2

1)1(

)1)(1(~

pnmpk F

pnm

nmpT atau

1)1(,

2

1~

pnmpk F

pmmn

ppnpmpmnT

dengan

n

i

k

i

k Xn

X1

)()( 1,

nNX p

k ,~)(

m

k

kXm

X1

)(1

n

i

kk

i

kk

i

k XXXXn

S1

)()()(

1

1

m

k

kSm

S1

)(1

Sedangkan batas-batas kendali untuk tahap awal ini adalah

Upper Control Limit ( UCL) 1,;1

pmmnpF

pmmn

ppnpmpmn

Lower Control Limit ( LCL) = 0, karena T2≥0 ( tidak pernah negatif)

Untuk lebih jelasnya, prosedur pembangunan bagan kendali tahap pertama

dapat diringkas sebagai berikut :

1. Untuk setiap subgrup k = 1,2,...,m hitunglah rata-rata setiap subgrup

n

i

k

i

k Xn

X1

)()( 1

38


2. Hitung matriks varians kovarians subgrup

n

i

kk

i

kk

i

k XXXXn

S1

)()()(

1

1

3. Hitung rata-rata dari rata-rata subgrup ( the grand mean vector )

m

k

kXm

X1

)(1

4. Hitung matriks varians kovarians gabungan ( the pooled covariance

matrix )

m

k

kSm

S1

)(1

5. Untuk setiap subgrup k = 1,2,...,m hitung

XXSXXnT kk

k

)(1)(2 )(

6. Untuk setiap subgrup k = 1,2,..., m bandingkan dengan batas

atasnya

UCL 1,;1

pmmnpF

pmmn

ppnpmpmn

Jika > UCL , maka subgrup ke- k berada diluar limit kontrol atau

berada diluar kendali statistik ( out of control ), sehingga data pada

subgrup ini tidak dapat digunakan untuk menghitung batas-batas

kendali.

7. Hapuslah data subgrup yang berada diluar kendali statistik ( out of

control )

8. Hitung kembali X dan S dengan menggunakan data subgrup yang

berada di dalam kendali statistik ( in control )

Setelah langkah-langkah tersebut dilakukan, dan proses yang

dihasilkan adalah berada di dalam kendali statistik ( in control ), maka

akan dihasilkan nilai X dan S yang kemudian akan digunakan dalam

perhitungan tahap selanjutnya

39


3.2.2 Tahap Pengendalian ( Tahap Kedua )

Pada tahap Start Up Stage atau pada tahap pertama, dimulai dengan k

subgrup dan banyaknya sampel tiap subgrup adalah m. Hal tersebut sama

dengan proses yang akan dilakukan pada tahap kedua, namun kontrol limit

pada tahap kedua berbeda dengan kontrol limit pada tahap pertama. Hal ini

dikarenakan data pada tahap kedua kembali dihitung independen.

Misalkan X dan S menyatakan vector grand mean dan matriks

varians kovarians yang telah didapat pada tahapan pertama. Misalkan pula

subgrup berikutnya diperoleh vector mean sampel , dimana fX bebas

terhadap X dan S . Maka setiap subgrup yang baru dapat dihitung

menggunakan rumus sebagai berikut :

XXSXXnT fff

12

Dimana fX adalah vektor rata-rata dari pengamatan subgrup baru.

Selanjutnya nilai kontrol limit untuk 2

fT adalah

1)1(,

12

1)1(

)1)(1(~

pnmpfff F

pnm

nmpXXSXXnT

Jadi UCL = )1)1(,;(1)1(

)1)(1(

pnmpF

pnm

nmp

LCL = 0, karena ( tidak akan pernah negatif )

3.3 Analisis Kemampuan Proses ( Process Capability Analyze )

Langkah selanjutnya setelah proses berada dalam keadaan terkendali

adalah melakukan analisis kemampuan proses ( Process Capability

Analyze). Analisis kemampuan proses adalah suatu kemampuan proses

40


yang merefleksikan derajat keseragaman dalam memproduksi untuk

menghasilkan output yang sesuai dengan spesifikasi yang telah ditetapkan.

Analisis kemampuan proses merupakan prosedur yang digunakan untuk

memprediksi kinerja jangka panjang yang berada dalam batas pengendali

proses statistik ( Ariani, 2003 ).

Suatu proses dikatakan memiliki kapabilitas yang baik apabila :

a. Proses tersebut dalam kondisi terkendali

b. Proses tersebut memenuhi spesifikasi

c. Proses tersebut memiliki nilai presisi dan akurasi yang tinggi.

Akurasi adalah kedekatan nilai amatan dengan nilai sasarannya,

sedangkan presisi adalah kedekatan nilai amatan yang satu dengan

nilai amatan lainnya ( Nindya, 2008 )

Dasar masalah statistis dalam proses pengendalian mutu adalah

membuat suatu keadaan berada di bawah kendali selama proses

pembuatan yaitu, penghapusan sebab-sebab keragaman khusus dan

kemudian mempertahankan keadaan tersebut selamanya. Masalah yang

kedua adalah batas-batas kemampuan analisis. Yaitu, suatu keadaan yang

telah berada di dalam kendali dan output telah memenuhi spesifikasi yang

diinginkan.( Eugene L. Grant & Richard S.Leavenworth, 1988 ).

Tindakan-tindakan yang menghasilkan perubahan atau

penyesuaian dalam proses, menunjukkan penghapusan sebab-sebab umum,

seringkali merupakan hasil dari beberapa bentuk analisis kemampuan.

Perbandingan batas-batas toleransi alami dengan batas-batas spesifikasi

dapat mengarah ke bentuk-bentuk tindakan sebagai berikut :

1. Tidak ada tindakan

Jika batas-batas toleransi alami terjadi dalam batas-batas

spesifikasi, biasanya tidak diperlukan tindakan apa-apa, atau proses

sudah berada dalam kendali

41


2. Tindakan untuk menyesuaikan pemusatan

Bila rentangan toleransi alami kira-kira sama seperti rentangan

spesifikasi, penyesuaian yang relatif sederhana terhadap pemusatan

proses diperlukan untuk membawa proses ke dalam batas

spesifikasi

3. Tindakan untuk mengurangi keragaman

Biasanya ini merupakan tindakan yang paling rumit.dalam sebuah

kasus suatu analisis yang rumit mengenai sumber keragaman

mungkin diperlukan yang menghasilkan perubahan-perubahan

dalam metode, peralatan,bahan dan atau perlengkapan.

4. Tindakan-tindakan untuk mengubah spesifikasi

Ini merupakan keputusan rancangan yang seharusnya tidak

diabaikan oleh seseorang di bagian pengendalian mutu. Hanya

karena spesifikasi ditetapkan secara tertulis tidak berarti bahwa

spesifikasi tersebut dapat dilanggar.

5. Penghentian kerugian

Bila semuanya gagal, manajemen harus merasa puas akan kerugian

yang besar. Dalam hal ini, perhatian dipusatkan pada biaya sisa dan

pekerjaan ulang,tingkat pengendalian secara ekonomis yang

seharusnya dilakukan terhadap proses produksi, dan biaya yang

berkaitan dengan penyaringan semua produk dengan kesadaran

bahwa beberapa produk yang tak sesuai mungkin masih dapat

diterima.

Tujuan dari analisis kemampuan proses ialah untuk mencegah

dihasilkannya produk cacat yang lebih banyak ( Mayaranie, 2009 ).

Menurut Montgomery ( 2001), kegunaan analisis kapabilitas proses antara

lain :

42


1. Memprediksi seberapa baik proses dalam memenuhi spesifikasi

yang telah ditetapkan

2. Membantu dalam memilih maupun memodifikasi sebuah proses

produksi

3. Menentukan syarat perfomansiperalatan yang baru

4. Membantu dalam memilih pemasok

5. Merencanakan tahapan proses

6. Mengurangi variabilitas dalam proses manufaktur. Hasil analisis

ini dinyatakan dengan indeks kapabilitas proses.

Seperti telah disebutkan sebelumnya bahwa dalam menganalisis

kemampuan proses dikenal istilah indeks kapabilitas proses yang berguna

untuk mengurangi variabilitas dalam proses manufaktur.

Capability index merupakan pengukuran terhadap kemampuan proses

dalam menghasilkan suatu produk yang memenuhi spesifikasi (

Montgomery, 2001 ). Selain itu Capability index dapat didefinisikan pula

sebagai suatu indeks proses yang menunjukkan nilai rasio antara

penyebaran ( variabilitas ) yang diijinkan terhadap spesifikasi produk yang

diperbolehkan atau penyebaran proses aktual yang melibatkan lebih dari

satu variabel. Dengan mengetahui capability index tentunya akan sangat

membantu dalam memfokuskan pada target value, yaitu value yang

paling diinginkan oleh konsumen.

Untuk menghitung nilai indeks kemampuan proses multivariat terdapat

berbagai cara. Misalnya indeks kemampuan proses multivariat vektor,

indeks kemampuan proses multivariat MCpm, dan indeks kemampuan

proses MCp.

Fokus pada skripsi ini untuk menghitung niali indeks kemampuan

proses multivariat menggunakan metode indeks kemampuan proses MCpm.

Metode ini diperkenalkan pertama kali oleh Taam, Subbaiah, dan Liddy

pada tahun 1993. Perhitungan indeks kemampuan proses dengna metode

43


indeks kemampuan MCpm dinilai lebih sensitif dan lebih mudah untuk

diterapkan. Kelebihan lain dari metode ini juga dapat mengindikasikan

variability, centeredness, dan keduanya ( Scagliarini & Vermiglio : 2007 ).

Scagliarini & Vermiglio (2007) menjelaskan bahwa perhitungan

indeks kemampuan proses MCpm ini didefinisikan sebagai rasio dari dua

buah volume, yaitu sebagai berikut :

)(

)(

2

1

Rvol

RvolMC pm (3.1)

dimana R1 merupakan daerah toleransi modifikasi, sedangkan R2

merupakan daerah proses 99,72 % yang merupakan daerah yang terletak

pada daerah . Apabila data pengamatan berdistribusi normal

multivariat, maka daerah R2 berbentuk ellips, sedangkan R1 ( daerah

toleransi modifikasi ) adalah ellipsoid terbesar yang berpusat pada target

yang berada di dalam daerah toleransi yang asli.

Dalam kasus umum p-variat, R1 berbentuk hiperellipsoid dengan

volume R1 ( Kendall, 1961)( dalam Nindya, 2008) sebagai berikut :

2

2

)( 1

2

1p

p

a

Rvol

p

i

p

i

dimana merupakan nilai toleransi spesifikasi ke-i dengan i = 1,2,...,p.

Indeks kemampuan proses Multivariat ( Multivariate Capability index )

ini dituliskan sebagai berikut :

)()()(

)(1

1

0

pKXXvol

RvolMC pm

(3.2)

Dengan X adalah vektor acak berukuran (p x 1) yang berdistribusi normal

multivariat dengan vektor rata-rata µ dan matriks kovarians

44


. Sedangkan

000 XXE adalah matriks

mean square error dari proses, adalah suatu vektor yang menyatakan

nilai target, dan K(p) adalah 99,73 persentil dari dengan derajat

kebebasan p.

Penyebut dari indeks kemampuan proses MCpm juga dapat

dinyatakan sebagai hasil dari dua persamaan

2

1

0

1

0

1

221

2 112

)(

p

pKRvolp

2

1

0

1

03 1)(

Rvol (3.3)

Dengan R3 adalah daerah dimana 99,73% dari suatu proses berada dalam

wilayah tersebut.

Oleh karena itu berdasarkan persamaan (3.1) dan persamaan (3.3)

MCpm dapat dinyatakan sebagai berikut

2

1

0

1

03

1

1)(

)(

Rvol

RvolMC pm

2

1

0

1

03

1

)()(1

1

)(

)(

Rvol

Rvol

D

CMC

p

pm (3.4)

Berdasarkan persamaan (3.4) indeks kemampuan proses

multivariat MCpm terdiri dari dua komponen yaitu Cp dan D. Dimana Cp

merupakan variabilitas proses untuk daerah toleransi modifikasi,

sedangkan D merupakan deviasi proses dari target. Misalkan X1,X2,...,Xn

45


adalah sampel acak berukuran n, masing-masing berdimensi p, maka

perkiraan atau taksiran dari indeks Cpm adalah sebagai berikut

2

1

0

1

0

1

221

1

11

1

12

)(ˆ

XSXn

npKS

RvolCM

ppm

D

CCM

p

pm ˆ

ˆˆ

dengan

| | ⁄ ⁄ ( )

dan

2

1

0

1

01

1ˆ

XSX

n

nD

dimana K adalah quantil 99,73 dari distribusi chi-square

Ketika vektor rata-rata proses sama dengan vektor target dan indeksnya

bernilai satu, maka 99,73% nilai proses terletak di dalam daerah toleransi

modifikasi. Perkiraan indeks pC analog dengan indeks Cp pada kasus univariat,

yaitu jika indeks bernilai lebih dari satu maka proses mempunyai variansi yang

lebih kecil dibandingkan dengan batas spesifikasi, sedangkan jika indeks bernilai

kurang dari satu maka proses mempunyai variansi yang lebih besar dibandingkan

dengan batas spesifikasi. Untuk 1ˆ10

D menunjukkan kedekatan antara rata-

rata proses dengan target, sehingga semakin besar nilai D

1 maka rata-rata

semakin dekat dengan target.

bab iii - repository.upi.edurepository.upi.edu/2947/6/s_mtk_0907143_chapter3.pdf · menyelesaikan...

Documents