bab ii matematika i

BAB II

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat

2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat

3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui

4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

5. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat

6. Merancang model matematika yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi

kuadrat.

36

LEMBAR KERJA SISWA 1

Mata pelajaran : MatematikaUraian Materi Pelajaran : Menentukan koefisisen persamaan kuadrat dan

menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus abc.

Kelas/Semester : X /GasalWaktu : 2 x 45menit

-------------------------------------------------------------------------------------

MATERI :

A. MENENTUKAN KOEFISIEN PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0 ,a, b, c bilangan real dan a

0.

a disebut koefisien x2 , b koefisien x dan c konstanta.

Contoh :

Tentukan koefisien persamaan kuadrat :

a. 6x2 - 7x + 10 = 0

Jawab : a = 6 , b = -7, dan c = 10

b. 5x - x2 = 0

Jawab : a = -1, b = 5, dan c = 0

c. x – 4 = 2/x

Jawab : pada bentuk ini diubah ke bentuk kuadrat yang sudah baku

x – 4 - 2/x = 0

x2 - 4x - 2 _________ = 0 x x2 - 4x – 2 = 0

a = …, b = …., dan c = ….

d. px2 - 3px – 6 = 0

Jawab : a = p, b = …., dan c = …

Latihan 1

Tentukan koefisien persamaan kuadrat :

37

1. –x2 - 4x + 7 = 0

2. 5x2 + 12x = 0

3. 6x = 1 - 3x2

4. 2x – 3 = 6/x

5. 2/x = 3/(x+1) + 2

6. mx - x2 + 5 + m = 0

7. (t-1)x2 - 5x + t = 0

B. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT DENGAN

MEMFAKTORKAN

Contoh :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran

a. x2 - 5x – 6 = 0

Jawab :

x2 - 5x – 6 = 0 (dua bilangan jika dikali –6 dan jika ditambah –5)

(x - 6) (x + 1) = 0

x – 6 = 0 atau x + 1 = 0

x = 6 atau x = -1

b. 2x2 - 7x + 3 = 0

Jawab :

2x2 - 7x + 3 = 0

(2x -….) ( ….- 3) = 0

2x -…. = 0 atau …. – 3 = 0

x =…. atau x =….

c. 4x2 - x = 0

Jawab :

4x2 – x = 0

(4x -….) (x - 0) = 0

4x -…= 0 atau x – 0 = 0

38

x =…. atau x =….

Latihan 2

Tentukan akar –akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

1. x2 -5x – 14 = 0

2. 3x2 - 7x + 2 = 0

3. 8x2 - 4x = 0

4. –4x2 = 8x – 21

5. 10 + m = 2m2

6. p2 - 3p – 18 = 0

C. MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT DENGAN

MENGGUNAKAN RUMUS ABC

Akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 dapat ditentukan dengan

menggunakan rumus abc .

Contoh :

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus abc

x2 + 5x – 6 = 0

a = 1, b = 5, dan c = -6

Rumus :

-b (b2 – 4ac) -5 (52 – 4.1.-6) -5 49x1,2 = = =

2a 2.1 2

-5 + 7 -5 - 7 x1 = ______ = 1 atau x2 = _____ = -6

39

-b ( b2 - 4ac )x1,2 = 2a

2 2 Latihan 3

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus abc

1. 4x2 – x = 0

2. 3x2 –7x + 2 = 0

3. 10 + x = 2x2

4. 2x2 –7x + 3 = 0

40


Mata Pelajaran : Matematika

Uraian Materi Pelajaran : Jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat dan jumlah dan

hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Kelas / Semester : X / Gasal

Waktu : 2x 45 menit

___________________________________________________________________

MATERI :

A. JENIS - JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan real dan a 0

akar-akar persamaan tersebut dapat ditentukan dengan rumus :

-b ( b2 - 4ac) x1,2 = 2a

nilai b2 - 4ac disebut nilai Diskriminan dan ditulis D

Jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai diskriminannya.

a. jika D > 0, akar-akar persamaan kuadrat nyata dan berbeda

b. jika D = 0, akar-akar persamaan kuadrat nyata dan sama

c. jika D < 0, akar-akar persamaan kuadrat tidak nyata atau imajiner

Contoh :

Tentukan jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat :

1). x2 + 2x + 3 = 0

a = 1, b = 2 , c = 3

D = b2 – 4 a c

= 22 – 4.1.3 = 4 – 12 = - 8

D < 0 maka akar akarnya tidak nyata atau imajiner

41

2). 2 + x = 0

a = …. , b = ….. , c = ……

D = b2 – 4 a c = ……..

D …… 0 , maka akar-akarnya …..

3). 9x2 – 6x + 1 = 0

a = …, b = …., c = ……

D = b2 – 4 a c = ……

D = ….. 0, maka akar-akarnya ……..

Latihan

Tentukan jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat :

1. x2 – 5x – 6 = 0

2. 8x2 – 4x = 0

3. 5x2 – 6x + 1 = 0

4. 10 + p = 2p2

5. 2m – 3 = 6/m

B. MENENTUKAN JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c bilangan real dan a 0 mempunyai

akar - akar x1 dan x2.

a. jumlah akar-akar persamaan kuadrat : x1 + x2 = -b / a

b. hasil kali akar-akar persamaan kuadrat : x1 . x2 = c / a

Contoh :

Persamaan kuadrat 2x2 – 7x –4 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2.

42

a. x1 +x2= -b / a = -(-7) / 2 = 7 / 2

b. x1 . x2 = c / a = - 4 / 2 = - 2

c. 2x1 + 2x2 = 2( x1 + x2 ) = 2 ( -b/a ) = 2.( 7/2) = 7

d. 3x1 . 3x2 = 9.x1.x2 = 9. (c/a) = 9. –2 = -18

x2 + x1 ( -b/a ) 7/2 …. e. 1 /x1 + 1/x2 = ________ = ______ = ______ = ____ = …….. x1. x2 (c/a) -2 ….

f. Ingat rumus ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2

a2 + b2 = ( … + …)2 – 2ab

x12 + x2

2 = (x1+ x2 ) 2 – 2 x1.x2= ( -b/a ) 2 – 2. (c/a)

= (…..)2 – 2. (…) = …….

x2 x1 x2 + x1 (-b/a) …… g. ___ + ___ = _______ = _____ = ______ = ……. x1 x2 x1.x2 (c/a) ….. .

h. (x1 – 3) ( x2 – 3) = x1.x2 – 3.x1 – 3.x2 + 9 = x1.x2 – 3 (…. + ….) + 9

= (c/a) – 3 ( ….) + 9 = ……

43

Latihan

A. Persamaan kuadrat 2x2 +6x –1 = 0 , jika akar-akarnya x1dan x2 tentukan nilai :

1. x1 + x2

2. x1. x2

3. 3x1+ 3x2

4. 5x1 .5x2

5. x12 + x2

2

6. 1/x1 + 1/x2

7. (x1 – 2) (x2 – 2)

8. x13 + x2

3

B. Ulangi pertanyaan di atas untuk persamaan kuadrat 6x = 1 – 3x2

44



Uraian Materi Pelajaran : Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui

dan akar-akarnya simetris dengan akar-akar persamaan

yang lain.


Waktu : 2 x 45 menit

___________________________________________________________________

MATERI :

A. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT YANG AKAR AKARNYA DIKETAHUI

Pada pembahasan yang lalu, akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh

dengan cara memfaktorkan.

Contoh :

Persamaan kuadrat x2 – 5x –6 = 0

(x – 6) ( x + 1) = 0

( x – 6 ) ( x – ( -1) ) = 0

x = 6 atau x = -1

Dengan cara membalik langkah-langkah diatas dapat disusun suatu persamaan

kuadrat :

x = 6 atau x = -1

( x – 6 ) ( x – ( -1) ) = 0

( x – 6 ) ( x + 1 ) = 0

dijabarkan : x2– 5x – 6 = 0

a. Jika x1 dan x2 akar-akar suatu persamaan kuadrat maka dapat disusun

persamaan kuadratnya yaitu :

Persamaan kuadrat : ( x – x1) ( x – x2 ) = 0 dijabarkan :

x2 –x1.x - x2.x + x1.x2 = 0

45

( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0

x2 – ( x1 + x2 ) x + x1.x2 = 0

Jumlah akar-akar hasil kali akar-akar

b. Jika x1 dan x2 akar-akar suatu persamaan kuadrat maka dapat disusun

persamaan kuadratnya yaitu :

Contoh :

Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui 2 dan 5

Jawab :

x1 = 2 dan x2= 5

cara 1. Persamaan kuadrat ( x – x1 ) ( x – x2 ) = 0

( x – 2 ) ( x – 5 ) = 0

x2– 7x – 10 = 0

cara 2. Persamaan kuadrat x2 – ( jumlah akar-akar)x + hasil kali akar-akar = 0

x2 – ( 2 + 5 ) x + (2 . 5 ) = 0

x2 - 7x + 10 = 0

Latihan

Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui

1. –3 dan 4

Jawab : x1 = -3 dan x2 = 4

persamaan kuadrat x2 – ( …………) x + ……… = 0

x2 - …….. x + ……….. = 0

2. ½ dan 5

3. –2/3 dan 2/3

4. 1 + 3 dan 1 - 3

46

x2 – ( x1 + x2 ) x + x1.x2= 0ataux2 – ( jumlah akar-akar) x + hasil kali akar-akar = 0

B. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT YANG AKAR-AKARNYA SIMETRIS

DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG LAIN

Persamaan kuadrat I mempunyai akar-akar x1 dan x2

Persamaan kuadrat II mempunyai akar-akar y1 dan y2

Bentuk-bentuk simetris :

1. y1 = x1 + c dan y2 = x2 + c

2. y1 = x1 – c dan y2 = x2 – c

3. y1 = 1 / x1 dan y2 = 1 / x2

4. y1 = k . x1 dan y2 = k . x2

5. y1 = - x1 dan y2 = - x2

Contoh :

a. Susun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya 4 lebihnya akar-akar

persamaan x2 – x + 5 = 0

Jawab :

Misal akar-akar persamaan kuadrat x2 – x + 5 = 0 adalah x1 dan x2

Maka akar-akar persamaan kuadrat baru adalah y1 dan y2

y1 = x1 + 4 x1 = y1 - 4 x = y – 4

y2 = x2 + 4 x2 = y2 - 4 x = y - 4

Nilai x = y – 4 disubtitusi ke persamaan x2 –x + 5 = 0 diperoleh :

( y – 4 ) 2 – ( y – 4 ) + 5 = 0

(y2 - 8y + … ) – ( y - …) + 5 = 0

y2 - ….y + …..= 0

Jadi persamaan kuadrat baru adalah mengganti variabel y dengan variabel

x adalah x2 - ….x + … = 0

b. Diketahui persamaan kuadrat 2x2 – 3x + 1 = 0, susun persamaan kuadrat jika

akar-akarnya

Jawab :

Misal akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2

47

Maka akar-akar persamaan kuadrat baru adalah y1 dan y2

y1 = x1 = …. x = ….

y2= x2 = …. x = ….

Nilai x = ….. subtitusi ke persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 diperoleh :

2(…………)2 – 3 ( ……..) + 1 = 0

2( ………………….) – ( ………….) + 1 = 0

…………………………………… = 0

Jadi persamaan kuadrat baru adalah

…………………………… = 0

Latihan

1. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x2 + x – 3 = 0, susunlah

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3x1 dan 3x2.

2. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2– x + 1 = 0 , susunlah persamaan

kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar-akar persamaan

tersebut.

3. Susun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-

akar persamaan x2 – 8x + 15 = 0

4. Susun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

jika x1dan x2 akar-akar persamaan kuadrat -x2 -4x + 7 = 0

48



Uraian Materi Pelajaran : Membuat grafik fungsi kuadrat



MATERI :

FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA

Fungsi kuadrat dalam variabel x mempunyai bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c

Dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0 . Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat.

a. titik potong dengan sumbu x

Titik potong grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dengan sumbu x diperoleh

jika y = f(x) = 0, yaitu ax2 + bx + c = 0, nilai x yang memenuhi persamaan ini

tergantung dari nilai diskriminan yaitu D = b2 – 4ac

jika D>0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berbeda,

sehingga grafik fungsi memotong di sumbu x di dua titik.

jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang sama,

sehingga grafik fungsi memotong di satu titik atau menyinggung sumbu x.

jika D<0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real, sehingga

grafik fungsi tidak memotong sumbu x.

Keadaan di atas dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

49

b. titik potong dengan sumbu y

Titik potong grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c = 0 dengan sumbu y

diperoleh jika x = 0 , sehingga y = f(x) = c. jadi titik potongngrafik dengan sumbu

y tergantung dari nilai c.

> Jika c > 0, maka grafik memotong sumbu y positif

> jika c = 0, maka grafik melalui titik asal (0,0)

> jika c < 0, maka grafik memotong sumbu y negatif

keadaan grafik dapat dilihat pada gambar di bawah ini :

50

D>0, a>0 D=0, a>0 D<0, a>0

D>0, a<0 D=0, a<0 D<0, a<0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

c>0, a>0 c=0, a>0 c<0, a>0

(0,c)

(0,0) (0,c)

c>0, a<0 c=0, a<0 c<0, a<0

(0,c)

(0,0) (0,c)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

2. Koordinat titik puncak

Koordinat titik puncak fungsi kuadrat diperoleh dengan cara mengubah bentuk

f(x) = ax2 + bx + c menjadi bentuk kuadrat sempurna.

f(x) = ax2 + bx + c f(x) = , D = b2 – 4ac

jika a > 0 , maka parabola terbuka ke atas, titik puncak adalah titik balik

minimum, koordinat titik balik minimum

Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah, titik puncak adalah titik balik

maksimum, koordinat titik balik maksimum

3. Persamaan sumbu simetri

Koordinat titik puncak parabola fungsi f(x) = ax2 + bx + c adalah , karena

sumbu simetri melalui titik puncak maka persamaan sumbu simetri parabola

mempunyai rumus x =

Contoh :

Gambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 2x – 8

Jawab :

F(x) = x2 – 2x – 8

a. titik potong dengan sumbu koordinat

- dengan sumbu x , diperoleh jika y = 0,yaitu

x2 – 2x – 8 = 0

( x – 4 ) ( x + 2 ) = 0 x = 4 atau x = -2

jadi titik potongnya di (-2,0) dan (4,0)

- dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0, yaitu :

y = -8 , jadi titik potongnya di (0, -8)

b. persamaan sumbu simetri

51

x = = 1

c. koordinat titik puncak

P = = ( 1 , -9 )

Karena a = 1 a>0 maka titik puncak parabola merupakan titik balik minimum

Gambar grafik :

y

-2 4 x

8

P(1,-9)

Latihan

Untuk tiap fungsi di bawah ini, gambarlah grafiknya dengan menentukan koordinat

titik potong dengan sumbu x dan sumbu y, persamaan sumbu simetri, dan koordinat

titik puncak.

1. f(x) = x2 – x – 6

2. f(x) = x2 – 5x

3. f(x) = -x2 + 5x – 4

4. f(x) = 1 - 4x2

5. f(x) = x2 – 6x + 9

52



Uraian Materi Pelajaran : Akar – akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan

bentuk kuadrat, sumbu simetri, titik puncak dengan

melengkapkan bentuk kuadrat, dan fungsi kuadrat yang

melalui tiga titik.



MATERI :

A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT DENGAN MELENGKAPKAN

BENTUK KUADRAT

Contoh-contoh bentuk kuadrat

1. x2 = 36 x2 – 36 = 0 x = + √36 atau x = -√36

2. x2 = 16 x2 – 16 = 0 x = +√16 atau x = - √16

jika x2 = k , k ≥ 0 maka x = +√k atau x = -√k

3. (x - 2) 2 = 3 (x – 2) = +√3 atau (x – 2) = -√3

x = 2 + √3 atau x = 2 - √3

jika (x + p) 2 = k , k ≥ 0, maka x + p = + √k atau x + p = - √k

Untuk dapat menentukan nilai x dari bentuk (x+p)2 = k maka bentuk persamaan

kuadrat ax2 + bx + c = 0 diubah ke bentuk (x+p)2 = k, cara ini disebut

melengkapkan bentuk kuadrat.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat di bawah dengan

melengkapkan bentuk kuadrat.

a. x2 – 2x + 1 = 5

ruas kiri diubah menjadi bentuk kuadrat

53

(x – 1) 2 = 5

x – 1 = +√5 atau x – 1 = -√5

x = 1 + √5 atau x = 1 - √5

HP = { 1 + √5 , 1 - √5 }

b. x2 + 14x = 15

Ruas kiri ubah menjadi bentuk kuadrat yaitu bagi koefisien x , 14 dengan 2 ,

kemudian kuadratkan hasilnya.

(x + 14/2) 2 = 15 + (14/2) 2 (tambahkan 14/2 pada ruas kanan)

(x + 7) 2 = 15 + (7)2

(x + 7 ) 2 = 64

x + 7 = √64 atau x + 7 = -√64

x = -7 + 8 atau x = -7 – 8

x = 1 atau x = -15

HP = { -15 , 1 }

c. 5x2 + 15x + 2 = -7

jika koefisien x2 ≠ 1, maka persamaan kuadrat diubah sehingga koefisien x2 = 1

5x2 + 15x + 2 = -7

5x2 + 15x = -2 -7 ( bagi dengan 5 pada kedua ruas)

x2 + 3x = -9/5

( x + 3/2 ) 2 = -9/5 + (3/2) 2

( x + 3/2) 2 = -9/5 + 9/4

x + 3/2 = + √9/20 atau x + 3/2 = -√9/20

x = -3/2 + √9/20 atau x = -3/2 - √9/20

x = ……. atau x = ………

HP = { …….. , ……… }

Latihan

54

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan bentuk

kuadrat.

1 x2 – 4x + 2 = 0

2. 10x2 – 3x – 2 = 0

3. x2 + 5x + 3 = 0

4. 5 (x – 1 ) = x2 – 3

5 . 7x2 = 12x – 3

B. MENENTUKAN SUMBU SIMETRI, TITIK PUNCAK DENGAN MELENGKAPKAN

BENTUK KUADRAT

Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dapat diubah ke y = a (x – h) 2 + k

Titik puncak dan persamaan sumbu simetri y = a(x – h) 2 + k dapat ditentukan

tanpa menggambar grafiknya, yaitu :

Koordinat titik puncak / titik ekstrem adalah titik (h , k)

Persamaan sumbu simetri adalah x = h

Nilai ekstrem / nilai puncak adalah y = k

Y ekstrem maksimum = y maks, jika a < 0

Y ekstrem minimum = y min, jika a > 0

Contoh :

Tentukan titik puncak, persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrem pada fungsi

kuadrat di bawah

a. y = 3 ( x + ½)2 - 1/4

Jawab : titik puncak ( -1/2, -1/4 )

persamaan sumbu simetri x = - 1/2

y min = - ¼ karena a > 0

b. y = - (x – 3 )2 + 4

Jawab : titik puncak (3 , 4)

persamaan sumbu simetri x = 3

y maks = 4 karena a < 0

Latihan

55

Tentukan titik puncak, persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrem pada fungsi

kuadrat di bawah.

1. y = - ( x – 4)2 - 5

2. y = 1/3 ( x + 6) 2 - 2

3. y = - ( x + 5) 2

4. y = x2 + 4

5. y = - x2 – 2

C. MENYUSUN FUNGSI KUADRAT JIKA TIGA TITIK SEBARANG DIKETAHUI

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c , jika titik (x , y) terletak pada grafik, maka

untuk setiap nilai x dan y memenuhi persamaan tersebut.

Contoh :

a. Susun fungsi kuadrat melalui titik ( 1,2 ) , ( 3,8 ) dan ( -2,8 )

misal persamaan grafik y = ax2 + bx + c

grafik melalui (1,2), subtitusi nilai x = 1 dan y = 2 diperoleh a + b + c = 2

grafik melalui (3,8), subtitusi nilai x = 3 dan y = 8 diperoleh 9a + 3b + c = 8

grafik melalui (-2,8), subtitusi nilai x = -2 dan y = 8 diperoleh 4a – 2b + c = 8

diperoleh sistem persamaan linier dengan tiga variabel :

a + b + c = 2 …………. (1)

9a + 3b + c = 8 …………. (2)

4a – 2b + c = 8 …………. (3)

b.Ubah persamaan linier tiga variabel menjadi persamaan linier dua variabel,

dengan menghilangkan variabel c dari dua pasang persamaan linier tersebut.

Dari persamaan (1) dan (2) hilangkan variabel c

a + b + c = 2

9a + 3b + c = 8

-

-8a - 2b = -6 4a + b = 3 …………… (4)

Dari persamaan (2) dan (3) hilangkan variabel c

9a + 3b + c = 8

56

4a – 2b + c = 8

-

5a + 5b = 0 a + b = 0 ……………. (5)

persamaan (4) dan (5) adalah persamaan linier dua variabel

c. menentukan nilai a dan b dengan menghilangkan salah satu variabel pada

persamaan (4) dan (5)

4a + b = 3

a + b = 0

-

3a = 3 a = 1

subtitusi a = 1 ke persamaan a + b = 0 didapat b = -1

untuk a = 1 , b = -1 subtitusi ke persamaan (1) didapat

a + b + c = 2 1 – 1 + c = 2 c = 2

jadi a = 1, b = -1 dan c = 2 maka f(x) = x2 – x + 2

Latihan

Susun fungsi kuadrat yang diketahui grafiknya melalui titik-titik

1. (0,-3) , ( 2,-5) dan (-4,13)

2. (-2,0) , (4,0) dan (0,-16)

3. (-3,0) , (1,0) dan (-2,-6)

57



Uraian Mata Pelajaran : Merancang model matematika yang berkaitan dengan

persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya

menafsirkan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh



MATERI :

Dalam kehidupan sehari-hari maupun masalah dalam matematika sering dijumpai

penggunaan persamaan kuadrat untuk menyelesaikannya. Biasanya masalah

tersebut berbentuk kalimat, sehingga perlu sekali memahami dan menguasai

bagaimana pemecahan masalah tersebut.

Pemecahan masalah tersebut diselesaikan dengan

1. memahami soal sehingga mengetahui apa yang diketahui dan apa yang

ditanyakan.

2. gunakan bantuan gambar serta keterangan –keterangan pada gambarnya.

3. menyatakan atau mengubah dalam model matematika dalam variabel-variabel

x.

4. menyelesaikan persamaan pada langkah 3.

Contoh :

Sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 34 cm, sedang panjang salah satu kakinya

lebih panjang 14 cm dari panjang kaki lainnya. Tentukan panjang kedua kaki segitiga

itu.

Jawab :

Gambar segitiga siku-siku serta keterangannya.

Misal panjang AB = x , x > 0

AC = x + 14

CB = 34

58

C

34

x + 14

A X B

Dengan menggunakan pythagoras diperoleh :

AB2 + AC2 = CB2

X2 + (x + 14) 2 = 342

X2+ x2 +28x + 196 = 1156

2x2 + 28x - 960 = 0

x2 + 14x – 480 = 0

(x + 30) (x – 16) = 0

x = -30 atau x = 16

karena x > 0 maka x = 16

jadi panjang AB = 16 cm dan AC = 30 cm

Latihan

1. Misal x, y bilangan-bilangan positif dan berlaku hubungan x + y = 20, hasil

perkalian kedua bilangan itu adalah 96. Tentukan bilangan-bilangan itu.

2. Selisih dua bilangan positif adalah 3, dan jumlah kebalikan kedua bilangan itu

adalah ½ , tentukan kedua bilangan itu.

3. Sepotong kawat panjang 60 cm akan dibuat menjadi sebuah segitiga siku-siku jika

panjang sisi miringnya 25 cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

4. Sebuah peluru dilemparkan vertikal ke atas sejauh h meter, setelah t detik

dinyatakan oleh h = 64t – 16t2. Tentukan waktu yang dibutuhkan bola untuk

mencapai ketinggian 48 meter !

5. Sebuah persegi panjang mempunyai panjang tiga kali lebarnya. Jika lebarnya

kurang dari 1 cm dan panjangnya bertambah 3 cm, maka luasnya 72 cm2.

Tentukan keliling persegi panjang tersebut.

6. Jumlah kuadrat tiga bilangan bulat yang berurutan adalah 110. Carilah bilangan

tersebut.

7. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka dimana angka puluhan adalah dua kali

angka satuan. Jika nilai bilangan tersebut dikalikan jumlah angka-angkanya maka

hasilnya adalah 63. Tentukan bilangan tersebut.

59

bab ii matematika i

Documents