KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah

memberikan nikmat tiada habisnya kepada seluruh umat-Nya terutama kepada kami tim

penyusun makalah sehingga kami dapat menyelesaikan makalah “Kebebasan Stokastik”

untuk mata kuliah TEORI PELUANG.

Selanjutnya ucapan terimakasih yang tak terhingga kami sampaikan kepada:

1. Ibu Reni Astuti M.Pd. yang telah bersabar membimbing kami pada mata kuliah TEORI

PELUANG.

2. Seluruh mahasiswa yang mengikuti mata kulyah ini kami ucapkan terimakasih atas

kerjasamanya dan dorongannya.

Sebagai manusia yang tidak luput dari kesalahan, tidak ada kata yang dapat kami

ucapkan selain kata maaf yang sebesar-besarnya apabila dalam makalah ini terdapat

kesalahan baik dari segi penulisan maupun is dari penulisan makalah. Kami sangat

membutuhkan kritik dan saran para pembaca yang bersifat membangun demi kesempurnaan

makalah selanjutnya. Harapan kami semogaapa yang kami sajikan dapat memberikan

manfaat dan menambah pengetahuan bagi seluruh pihak yang membaca. Dan semoga Tuhan

Yang Maha Esa senantiasa member hidayah kepada setiap hamba-Nya yang mau selalu

berusaha dan belajar.

Pontianak, 2 November 2010

Tim Penyusun

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar belakang

B. Masalah

Masalah yang diambil dalam pembahasan ini adalah tentang kebebasan

stkastik. Kebebasan stokastik merupakan salah satu konsep dasar yang sangat penting

dan menjanjikan berbagai kemudahan dalam praktek untuk kasus distribusi bersama

yang dapat dideteksi melalui koefisien korelasi.

C. Tujuan

Setelah mempelajari pokok bahasan kebebasan stokastik dengan baik,

diharapkan pembaca mampu memahami konsep kebebasan stokastik untuk

menyelesaikan soal-soal yang berkenaan dengan pokok bahasan peluang.

D. Manfaat

Adapun manfaat mempelajari kebebasan stokastik adalah pembaca dapat

dengan mudah mencari dan menghitung kebebasan stokastik melalui f.k.p.,

menghitung peluang bila terjadi kebebasan stokastik, menghitung ekspekstasi hasil

kali dua peubah acak bila terjadi kebebasan stokastik, dan lain-lain yang berkenan

dengan materi peluang bila terjadi kebebasan stkastik

BAB II

PEMBAHASAN

(KEBEBASAN STOKASTIK)

A. Pengertian

Kebebasan stokastik merupakan salah satu konsep dasar yang sangat penting

dan sangat penting dan menjanjikan berbagai kemudahan dalam praktek. Berlaku

secara umum, pada pembahasan keebasan stokastik syaratnya adalah X dan Y

haruslah kontinyu maupu diskrit. Akan tetapi untuk menyederhanakan penulisan atau

penggunaan lambing, maka pembahasa yang diberikan diusatkan pada kasus

kontinyu. Labang yang digunakan adalah lambing integral. Sedangkan untuk kasus

diskrit, lambing tersebut diganti dengan lambing jumlah.

Misalkan f (x,y) adalah f.k.p. bersama dari X dan Y yang kontiu. F.k.p. marginalnya

berturut-turut ditulis f 1(x) dan f 2( y). Jika berhadapan dengan situasi di mana f(y|x)

tidak tergantung dari x. dalam hal demikian f.k.p. marginal Y dapat dituliskan sebagai

berikut:

f 2( y)=∫−∞

∞

f (x , y ) dx=∫−∞

∞

f ( y|x ) f 1 ( x ) dx

¿ f ( y|x )∫−∞

∞

f 1 (x ) dx=f ( y|x ) .

Akibatnya , f (x,y) = f 1 ( x ) . f 2( y ).

Fenomena di atas mengatakan bahwa jika f.k.p bersyarat dari Y diketahui X =

x tidak tergantung ( independent ) dari X , maka f(x,y) = f 1 ( x ) . f 2( y ). Oleh karena

itu, kita anut definisi beikut.

Definisi: Peubah-peubah acak X dan Y dikatakan bebas stokastik jika f(x,y) ≡

f 1(x).f 2(y) untuk setiap x dan y.

Catatan :

i. f 1(x) ≥0 untuk setiap x kecil di Ax dan f 2(y) ≥ 0 untuk setiap y di Ax jika dan

hanya jika f 1(x).f 2(y)≥0 untuk setiap (x,y) di Ax x A y .

ii. Hubungan f(x,y) = f 1(x).f 2(y) memiliki arti sebagai berikut.

Jika A={(x,y)¿f(x,y) ≠ f 1(x).f 2(y)}, maka P(A) = 0.

Teorema 4 : Misalkan f.k.p bersama dari X dan Y adalah f(x,y). Maka X dan Y

bebas. Stokastik jika dan hanya jika terdapat fungsi-fungsi non negatif g(x) dan h(y)

sehingga,

f(x,y) = g(x) . h(y)

dan domain dari g tidak trgantung dari y serta domain dari h tidak tergantung x.

Bukti :

(i). Misalkan X dan Y bebas stokastik. Jadi f(x,y) = f 1(x).f 2(y). dalam al ini cukup

diambil g(x) = f 1(x) dan h(y) = f 2(y).

(ii).Misalkan f(x,y) = g(x) . h(y) : g(x) ≥0 dan h(y) ≥ 0. Akan dibuktikan X dan Y

bebas stokastik. Untuk itu, kita harus mencari terlebih dahulu f 1(x) dan f 2(y).

f 1(x) = ∫−∞

∞

f (x,y) dy = ∫−∞

∞

g(x) . h(y) dy = g(x) ∫−∞

∞

h(y) dy

= Kg (x) degan k =∫−∞

∞

h(y) dy suatu konstanta.

f 2(y) = ∫−∞

∞

f (x,y) dy = ∫−∞

∞

g(x) . h(y) dy = h(x) ∫−∞

∞

h(y) dy

= Lh(y) dengan L =∫−∞

∞

g(x)dy suatu konstanta.

Akan tetapi,

KL = ∫−∞

∞

h(y)dy∫−∞

∞

g(x)dy =∫−∞

∞

∫−∞

∞

g ( x ) . h ( y ) d ydx

=∫−∞

∞

∫−∞

∞

f (x , y )d ydx=0

Akibatnya,

f(x,y) = g(x).h(y) = f 1 (x)

K .

f 2 ( y)

L

Ini berarti X dan Y bebas stokastik. Dari hasil (i) dan (ii), maka teorema di atas

terbukti.

B. Akibat Kebebasan Stokastik Dua Peubah Acak.

Sifat bebas stokastik yang dmiliki dua (atau lebih) peubah acak ,memberkan

banyak kemudahan dalam berbagai perhitungan. Misalnya untuk

menghitung :peluang,ekspektasi,atupun menentukan f.p.m. bersama. Pada teorema

berikut dikemukakan cara perhitungan peluang apabila X dan Y bebas stokastik.

Teorema 5: jika X dan Y bebas stokastik ,maka P(a¿X≤b, c¿Y≤d)=P(a<X≤b).

P(c<X≤d)

Bukti :

Akan kita buktikan untuk kasus kontinu . untuk kasus diskrit, anda tinggal

mengganti lambing integral dengan jumlah. Karena X dan Y bebas stokastik, maka

f(x,y) = f 1(x) f 2 ( y ) . Akibatnya

P(a < X.≤ b, c < Y ≤ d) = ∫−∞

∞

∫−∞

∞

f ( x , y )dxdy

= ∫−∞

∞

∫−∞

∞

f 1(x)f 2(y) dydx = ∫−∞

∞

f 1 ( x ) dx f 2 ( y ) dy

= P(a < X ≤ b ). P(c < Y ≤ d ).

Dengan demikian teori di atas terbukti.

Pada Teorema di atas terlihat bahwa kebebasan stokastik memberikan

kemudahan dalam perhitungan peluang. Banyak lagi kemudahan yang diberikan

antara lain : kemudahan menghitung ekspetasi dan kemudahan menentukan f.p.m.

hal ini dikemukakan dua teorema berikut.

Teorema 6 :

Misalkan :

(i). X dan Y dua peubah acak

(ii). U(X) dan v(Y) masing-masing berupa fungsi dari X dan fungsi Y.

Jika X dan Y bebas stokastik, maka :

E[u(X)v(Y)] = E[u(X)].E[v(Y)]

Bukti :

Di sinipun akan dibuktikan untuk kasus kontinu. Misalkan f(x,y) f.p.m.

bersama dari X dan Y f.p.m. marginalnya kita tulis f 1(x) dan f 2(y). Jadi,

E[u(X)v(Y)] = ∫−∞

∞

∫−∞

∞

u ( x ) v ( y ) f ( x , y )dxdy

= ∫−∞

∞

∫−∞

∞

u ( x ) v ( y ) f 1 ( x ) f 2( y )dxdy

= { ∫−∞

∞

u ( x ) f 1 ( x ) dx} {∫−∞

∞

v ( y ) f 2 ( y ) dy}

= E[u(X)].E[u(Y)]

Dengan demikian teorema di atas terbukti.

Teorema ini menjelaskan bahwa jika X an Y bebas stokastik, maka ekspektasi

dari u(X).v(Y)samadengan hasilkali ekspektasi dari u(X) dan ekspektasi dari v(Y).

dari teorema 3 ini kita peroleh akibat berikut,yang telah disinggung dibagian awal

pembahasan ini.

Akibat : Jika X dan Y bebas stokastik, maka ρ=0. Hal ini disebabkan karena

E[XY] = E[X].E[Y]

atau

Kov(X,Y) = E[XY] –E[X].E[Y] = 0

Catatan :

Hati-hati dalam menerpkan akibat diatas . Jika ρ = 0, maka belum tentu X dan Y

bebas stokastik . halini diperlihatkan pada contoh berikut .

contoh 5.4. diketahui f.k.p. bersama dari X dan Y adalah sebagai berikut .

1/3 : (x,y) = (0,0). (1,1). (2,2)

f(x,y) = { 0 : (x,y) yang lain

a. Buktikan bahwa X dan Y tidak bebas stokastik

b. Buktikan bahwa ρ = 0.

Bukti :

a. F.k.p. marginal X dan Y adalah sebagai berikut.

1/3 ; x = 0,1,2

f(x) = {

0 ; x yang lain

2/3 ; y = 0

f(y) = { 1/3 ; y = 1

0 ; yang lain

Jelas f(x,y) , malahan untuk setiap (x,y). jadi X dan Y tidak bebas stokastik .

b. Dari f.k.p. bersama f(x,y) kita peroleh E(XY) = 1/3. Sedang dari kedua f.k.p.

marginalnya kita peroleh μ1 = 1 dan μ2 = 1/3. Jadi

Kov(X,Y) = E(XY) - μ1 μ2 = 13

- 1. 13

= 0. Akibatnya, koefisien korelasinya ρ = 0

Pada contoh di atas terlihat bahwa walaupun dua peubah acak X dan Y tidak

bebas stokastik , bsa terjadi koefisen korelasi antara mereka samadengan nol. Terlihat

bahwa koefisien korelasi tergntung kepada bentuk f.k.p. bersama dari bentuk X dan Y

. Oleh karena itu hati-hatilah dalam menggunakan koefisien korelasi untuk mendekati

kebebasan stokastik . Bukan kofisien korelasi yang menentukan kebebasan stokastik

melainkan bentuk distribusi bersamanya.

Teorema 7 :

Misalkan :(i). M(t 1 , t 2) f.p.m. bersama dari dan Y .

(ii). M 1(t 1) dan M 2(t 2) masing-masing f.p.m. X dan f.p.m. Y

Maka X dan Y bebas stokastik jika dan hanya jika :

M(t 1 , t 2¿=M 1 (t 1 ) . M 2(t 2)

Bukti :

i. Misalkan X dan Y beas stokastik. Maka

M(t 1 , t 2) = E ( e t1 X+t 2Y ) = E ( e t1 X e t2 Y )

= E ( e t1 X)E (e t2 Y)

= M 1(t 1).M 2(t 2)

ii. Misalkan M(t 1 , t 2) = M 1(t 1). M 2(t 2). Jadi,

M(t 1 , t 2) = { ∫−∞

∞

et1 x f 1(x)dx } {∫−∞

∞

et 2 y f 2(y)dy }

= { ∫−∞

∞

∫−∞

∞

e t1 x+t2 y f 1(x) f 2(y)dxdy

Akan tetapi M(t 1 , t 2) adalah f.p.m. bersama dari X dan Y . ini berarti ,

M(t 1 , t 2) = ∫−∞

∞

∫−∞

∞

e t1 x+t2 y f 1(x) f 2(y) dxdy

Akibatnya , karena f.p.m.bersifat unik , maka f(x,y) = f 1(x)f 2(y),kecuali

mungkin di himpunan yang peluangnya 0. Ini berarti X dan Y bebas stokastik . dari

penjelasan di atas maka teorema di atas terbukti.

C . Kebebasan Stokastik Beberapa Peubah Acak

Pengertian kebebasan stokastik dua peubah acak dapat dikembangkan kepada

n buah peubah acak. Demikianpula dengan teorema 2,3,dan 4. Peubah-peubah acak

X1 , X2,…,X n dikatakan saling bebas stokastik jika f(X1 , X2,…,X n) =

f 1 ( x1 ) f 2 ( x2 ) …f n ( xn ) . Ruas kiri menyatakan f.k.p. bersama dari X1 , X2,…,X n.

Sedangkan ruas kanan adalah hasil kali dari seluruh f.k.p. marginalnya. Berdasarkan

definisi ini, kita peroleh akibat-akibat berikut :

i. Jika X1 , X2,…,X n saling bebas stokastik, maka:

P(a1< X1≤ b1 , a2<x2≤ b2 , …, an< Xn≤ bn¿

= P((a1< X1≤ b1 ¿ .P(a2<x2 ≤ b2¿ …P(an< Xn ≤bn ¿

ii. Jika X1 , X2,…,X n saling bebas stokastik, maka:

E[u1 , ( X1 )u2(X2)…un( Xn)]

= E[u1 , ( X1 ) ]E[u2( X2)]…E[un( Xn) ]

iii. X1 , X2,…,X n saling bebas stokastik jka dan hanya jika:

M(t 1 , t 2 , …t n) = M ( t 1) M( t 2 )… M ( t n) di mana;

a. Ruas kiri adalah f.p.m. bersama X1 , X2,…,X n.

b. M i(t i) adalah f.p.m. dari X i; i = 1,2,…,M i(t i) = M (0,0,…0,t i,0,…,0)

Contoh 1 : Ketiga peubah acak X1 , X2,…,X n di atas diketahui bebas stokastik

dan memiliki f.k.p. yang sama, yakni:

2x ; 0 < x < 1

f(x) = {

0 ; x yang lain

Misalkan Y = maks { X1 , X2 , X3 } yakni yang hargana terbesar di antara

X1 , X2 , dan X3

a. Tentukan f.k.p. bersama dari X1 , X2 , dan X3

b. Cari fungsi distribusi Y.

c. Hitung P ( Y ≤ 1/2 ).

d. Tetukan f.k.p. Y.

Penyelesaian :

a. Karena X1 , X2 , dan X3 saling bebas stokastik, maka f.k.p. bersamanya adalah :

g (x1 , x2 , x3) = f (x1¿ f (x2¿ f (x3¿ =

8x1 x2 x3 ; 0 < x i < 1 ; I = 1,2,3.

= {

0 ; x1 , x2 , x3 lainnya

b. Fungsi distribusi dari Y adalah :

F(y) = P(Y<y) = P [ maks (x1 , x2 , x3)<y]

= P[X1 ≤ y , X2< y , X3< y]

= P[X1 ≤ y¿ . P [ X2≤ y ] . P ¿] = {P [ X< y ]}3

Jadi,

0 ; y < 0

F(y) = { {∫0

y

2 xdx }3 = y6 ; 0 ≤ y < 1

1 ; y ≥ 1

c. P(Y≤1/2) = F(1/2) = (1/2)6 = 1/64.

d. F.k.p. Y adalah h(y) = F’(y), atau :

6y5 ; 0 < y < 1

h(y) = {

0 ; y yang lain

Contoh 2: Sebuah mata uang dilontarkan berkali-kali secara independen. Pada

lontaran ke-i, kita tuliskan

1 , bila muncul muka

X i = {

0 , bila muncul belakang

Misalkan untuk setiap i = 1,2,…,f.k.p. dari X i adalah :

1/3 ; x i = 0

f(x i¿ = { 2/3 ; x i = 1

0 ; x i yang lain

Jika Y menyatakan banyaknya lontaran sampai muncul muka, tentukan :

a. P( Y = 3 )

b. f.k.p. Y.

Penyelesaian :

a. Y = 3 artinya dierluan tiga kali lontaran untuk memperoleh bagian muka. Ini

berarti

X1 = 0, X2 = 0, dan X3 = 1. Engan demikian,

P(Y=3) = P(X1=0,X2=0,X3=1)

¿P(X1=0)P(X2=0)P(X3=1)

= 13

. 13

. 12

= 2

27

b. Karena Y diskrit, maka f.k.p. dari Y adalah f(y) =

P(Y=y). Akan tetapi, Y=y berarti bahwa X1 = 0, X2 = 0,

… , X y .1 = 0, dan X y = 1. Jadi,

f(y)= P(Y=y)

= P(X1=0,X2=0,…,X y .1=0, X y=1)

= P(X1=0)P(X2=0)…P(X y .1=0)P(X y=1)

= ( 13 )

y .1

( 23 ) = 2( 1

3 )y

Atau,

2(1/3 ) y ; y = 1, 2, 3, …

f(y) = {

0 ; y yang lain.

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULAN

Dari uraian di atas,dapat di simpulkan bahwa pembelajaran tentang materi

kebebasan stokastik memberikan berbagai kemudahan dalam menghitung peluang

yang dikaitkan dengan kasus distribusi bersama tertentu yag di deteksi melalui

koefisien korelasi secara umum.

B. SARAN

Daftar Pustaka

TUGAS KELOMPOKDosen : Reni Astuti M.Pd.

Mata Kuliah : Teori Peluang

Materi : Kebebasan Stokastik

D

I

S

U

S

U

N

O L E H :

1. ARIS : (310800)2. JUANDA PASARIBU : (310800)3. M.FADLI KHAIR : (310800)4. NATALIUS TIRO : (310800)5. WAHYUDIANSYAH : (310800)6. SUSANTI : (310800260)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

(STKIP-PGRI) PONTIANAK

2010