bab i-5 laporan analisis numerik

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

1.1.1 Metode Numerik

Metode Numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang

diformulasikan secara matematik dengan cara operasi hitungan (arithmetic). Alasan pemakaian

metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis

dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik

yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak Jadi,

Jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode

matematis (analitik) kita dapat menggunakan metode numerik sebagai elternative penyelesaian

persoalan tersebut. Metode numerik secara umum merupakan salah satu mata kuliah yang

diajarkan di jurusan pendidikan matematika maupun matematika murni. Metode Numerik

dianggap penting karena mengajarkan mahasiswa memecahkan suatu kasus dengan memakai

berbagai cara dan permodelan. Terlebih, dalam mata kuliah ini juga mengharuskan

mahasiswanya untuk cekatan dan aktif dalam memaksimalkan teknologi. Yang termasuk

program paket numerik, misalnya MATLAB, Maple, dan sebagainya yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah matematika dengan metode numerik tersebut dibuat oleh orang yang

mempunyai dasar-dasar teori metode numerik.

Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, beberapa metode telah

dilakukan, namun masih memiliki kendala-kendala. Metode yang digunakan antara lain:

a. Metode Analitik, solusi ini sangat berguna namun terbatas pada masalah sederhana. Sedangkan masalah

real yang kompleks dan nonlinier tidak dapat diselesaikan.

b. Metode Grafik, metode ini digunakan sebagai pendekatan penyelesaian yang kompleks. Kendalanya

bahwa metode ini tidak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu.

c. Kalkulator dan Slide Rules, penyelesaian numerik secara manual. Cara ini cukup lama dan mungkin bisa

terjadi kesalahan pemasukan data.

Dengan mempelajari metode numerik diharapkan mahasiswa mampu menangani sistem

persamaan besar ketaklinieran dan geometri yang rumit,yang dalam masalah rekayasa tidak

mungkin dipecahkan secara analitis. Selain itu, mahasiswa diharapkan mengetahui secara

singkat dan jelas teori matematika yang mendasari paket program, mampu merancang program

2

sendiri sesuai permasalahan dihadapi pada masalah rekayasa dan dapat menangani masalah

rekayasa yang tidak dapat ditangani secara analitis.

Di samping itu, metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan dan

keterbatasan komputer menangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari

masalah serta menyediakan sarana memperkuat pengertian matematika mahasiswa.

Karena salah satu kegunaannya adalah menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi

operasi-operasi matematika yang mendasar.

Dalam sebuah laporan yang berjudul Metode Numerik oleh Drs. Heri Sutarno tertulis

bahwa metode numerik merupakan alat untuk memecahkan masalah matematika yang sangat

handal. Banyak permasalahan teknik yang mustahil dapat diselesaikan secara analitik, karena

kita sering dihadapkan pada sistem-sistem persamaan yang besar, tidak linear dan cakupan yang

kompleks, dapat diselesaikan dengan metode numerik.

Menurutnya, banyak masalah matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan memakai

program paket atau tidak tercakup dalam program paket. Oleh karena itu kita perlu belajar

metode numerik untuk dapat membuat program paket (software) untuk masalah sendiri. Metode

numerik merupakan suatu sarana yang efisien untuk mempelajari penggunaan komputer. Belajar

pemrograman secara efektif adalah menulis program komputer. Metode numerik mengandung

bagian yang dirancang untuk diterapkan pada komputer, misalnya membuat algoritma. Tahap-

tahap dalam menyelesaikan masalah matematika secara numerik dengan memakai alat bantu

komputer secara umum adalah : pemodelan, pemilihan metode (algoritma) numerik,

pemrograman (koding), dokumentasi dan penafsiran hasil.

Pada metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati

solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau

solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi

hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya.

Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti

semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.

3

1.1.2 Matlab

Pengertian Matlab: Matlab merupakan bahasa canggih untuk komputansi teknik.

Matlab mengintegrasikan komputasi, visualisasi, dan pemrograman dalam suatu model yang

sangat mudah untuk pakai dimana masalah-masalah dan penyelesaiannya diekspresikan dalam

notasi matematika yang familiar.

Matlab adalah sistem interaktif dengan elemen dasar array yang merupakan basis datanya. Array

tersebut tidak perlu dinyatakan khusus seperti di bahasa pemograman yang ada sekarang. Hal ini

memungkinkan anda untuk memecahkan banyak masalah perhitungan teknik, khususnya yang

melibatkan matriks dan vektor dengan waktu yang lebih singkat dari waktu yang dibutuhkan

untuk menulis program dalam bahasa C atau Fortran. Untuk memahami matlab, terlebih dahulu

anda harus sudah paham mengenai matematika terutama operasi vektor dan matriks, karena

operasi matriks merupakan inti utama dari matlab. Pada intinya matlab merupakan sekumpulan

fungsi-fungsi yang dapat dipanggil dan dieksekusi. Fungsi-fungsi tersebut dibagi-bagi

berdasarkan kegunaannya yang dikelompokan didalam toolbox yang ada pada matlab.

Penggunaan Matlab meliputi bidangbidang:

a. Matematika dan Komputasi

b. Pembentukan Algorithm

c. Akusisi Data

d. Pemodelan, simulasi, dan pembuatan prototype

e. Analisa data, explorasi, dan visualisasi

f. Grafik Keilmuan dan bidang Rekayasa

MATLAB merupakan suatu sistem interaktif yang memiliki elemen data dalam suatu

array sehingga tidak lagi kita dipusingkan dengan masalah dimensi. Hal ini memungkinkan kita

untuk memecahkan banyak masalah teknis yang terkait dengan komputasi, kususnya yang

berhubungan dengan matrix dan formulasi vektor, yang mana masalah tersebut merupakan

momok apabila kita harus menyelesaikannya dengan menggunakan bahasa level rendah seperti

Pascall, C dan Basic.

4

Bagian-bagian Utama Matlab

1. Development Environment.

Merupakan sekumpulan perangkat dan fasilitas yang membantu anda untuk

menggunakan fungsi-fungsi dan file-file MATLAB. Beberapa perangkat ini merupakan

sebuah graphical user interfaces (GUI). Termasuk didalamnya adalah MATLAB desktop

dan Command Window, command history, sebuah editor dan debugger, dan browsers

untuk melihat help, workspace, files, dan search path.

2. MATLAB Mathematical Function Library.

Merupakan sekumpulan algoritma komputasi mulai dari fungsi-fungsi dasar sepertri:

sum, sin, cos, dan complex arithmetic, sampai dengan fungsi-fungsi yang lebih kompek

seperti matrix inverse, matrix eigenvalues, Bessel functions, dan fast Fourier transforms.

3. MATLAB Language.

Merupakan suatu high-level matrix/array language dengan control flow statements,

functions, data structures, input/output, dan fitur-fitur object-oriented programming. Ini

memungkinkan bagi kita untuk melakukan kedua hal baik "pemrograman dalam lingkup

sederhana " untuk mendapatkan hasil yang cepat, dan "pemrograman dalam lingkup yang

lebih besar" untuk memperoleh hasil-hasil dan aplikasi yang komplek.

4. Graphics.

MATLAB memiliki fasilitas untuk menampilkan vector dan matrices sebagai suatu

grafik. Didalamnya melibatkan high-level functions (fungsi-fungsi level tinggi) untuk

visualisasi data dua dimensi dan data tiga dimensi, image processing, animation, dan

presentation graphics. Ini juga melibatkan fungsi level rendah yang memungkinkan kita

untuk membiasakan diri untuk memunculkan grafik mulai dari bentuk yang sederhana

sampai dengan tingkatan graphical user interfaces pada aplikasi MATLAB.

5. MATLAB Application Program Interface (API).

Adalah suatu library yang memungkinkan program yang telah ditulis dalam bahasa C

dan Fortran mampu berinterakasi dengan MATLAB, melibatkan fasilitas untuk

pemanggilan routines dari MATLAB (dynamic linking), pemanggilan MATLAB sebagai

sebuah computational engine, untuk membaca dan menuliskan MAT-files.

5

Beberapa Bagian dari Window Matlab

1. window utama matlab

Merupakan window induk yang melingkupi seluruh lingkungan kerja MATLAB. Fungsi utama

sebagai tempat dock-ing bagi bentuk yang lain. Command Window adalah jendela utama dimana

pengguna computer mengawali komunikasi dengan program. Tampilan promt MATLAB(>>)

pada command window menunjukkan MATLAB siap menerima perintah dari Pengguna

computer, Jadi Command window ini merupakan window yang dibuka pertama kali setiap

menjalankan MATLAB. Jika tidak ingin hasil perintah ditampilkan, akhiri perintah dengan tanda

tangan titik koma(;).

Gambar 1 : Jendela Utama Matlab

2. Current Directory

Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan matlab. Kita dapat

mengganti direktori ini sesuai dengan tempat direktori kerja yang diinginkan. Default dari

alamat direktori berada dalam folder works tempat program files Matlab berada.

6

Gambar 2 : Current directory

3. Command History

Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah-perintah apa saja yang sebelumnya

dilakukan oleh pengguna terhadap matlab.

Gambar 3: Command History

7

4. Command Window

Window ini adalah window utama dari Matlab. Disini adalah tempat untuk menjalankan fungsi,

mendeklarasikan variable, menjalankan proses-proses , serta melihat isi variable.

5. Workspace

Workspace berfungsi untuk menampilkan seluruh variabel-variabel yang sedang aktif

pada saat pemakaian matlab. Apabila variabel berupa data matriks berukuran besar maka

user dapat melihat isi dari seluruh data dengan melakukan double klik pada variabel

tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan window array editor yang

berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user, Gambar berikut menampilkan

tampilan antar muka dari matlab versi 7.0

Gambar 3: workspace

6. M File

Di dalam matlab, kita dapat menyimpan semua script yang akan digunakan dalam file

pada matlab dengan ekstensi .M. M-File dapat dipanggil dengan memilih menu file-

>new->M-File. Contoh gambar M-File:

8

Gambar 4: Mfile

Di dalam M-File, kita dapat menyimpan semua perintah dan menjalankan dengan

menekan tombol atau mengetikan nama M-File yang kita buat pada command window.

7. Getting Help

Matlab menyediakan fungsi help yang tidak berisikan tutorial lengkap mengenai Matlab

dan segala keunggulannya. User dapat menjalankan fungsi ini dengan menekan tombol

pada toolbar atau menulis perintah helpwin pada command window. Matlab juga

menyediakan fungsi demos yang berisikan video tutorial matlab serta contoh-contoh

program yang bias dibuat dengan matlab

Interupting dan Terminating dalam Matlab

Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada matlab dapat dilakukan dengan

menekan tombol Ctrl-C. Sedangkan untuk keluar dari matlab dapat dilakukan dengan

menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window atau dengan menekan menu exit pada

bagian menu file dari menu bar.

9

1.1.3 Variabel Pada Matlab

Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap

variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung menuliskan variabel baru

tanpa harus mendeklarasikannya terlebih dahulu pada command window

Penamaan variabel pada matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu diperhatikan penggunaan

huruf besar dan kecil pada penamaan variabel. Apabila terdapat variabel lama dengan nama

yang sama maka matlab secara otomatis akan me-replace variabel lama tersebut dengan

variabel baru yang dibuat user.

1. Matriks

Dapat diasumsikan bahwa didalam matlab setiap data akan disimpan dalam bentuk

matriks. Dalam membuat suatu data matriks pada matlab, setiap isi data harus dimulai dari

kurung siku [ dan diakhiri dengan kurung siku tutup ]. Untuk membuat variabel dengan data

yang terdiri beberapa baris, gunakan tanda titik koma (;) untuk memisahkan data tiap barisnya.

Matlab menyediakan beberapa fungsi yang dapat kita gunakan untuk menghasilkan

bentuk-bentuk matriks yang diinginkan. Fungsi-fungsi tersebut antara lain:

zeros : untuk membuat matriks yang semua datanya bernilai 0

ones : matriks yang semua datanya bernilai 1

rand : matriks dengan data random dengan menggunakan distribusi uniform

randn : matris dengan data random dengan menggunakan distribusi normal

eye : untuk menghasilkan matriks identitas

Untuk memanggil isi dari suatu data matriks, gunakan tanda kurung () dengan isi indeks

dari data yang akan dipanggil.

Untuk pemanggilan data berurutan seperti a(1,2,3) dapat disingkat dengan menggunakan

tanda titik dua : sehingga menjadi a(1:2). Penggunaan tanda titik dua : juga dapat digunakan

untuk memanggil data matriks perbaris atau perkolom.

Contoh penggunaan:

c(2:5) = memanggil data matrik baris 2 sampai baris 5

a(1,:) = memanggil data matriks pada baris pertama

b(:,3) = memanggil data matris pada kolom ketiga

10

2. Flow Control

Matlab memiliki empat macam statement yang dapat digunakan untuk mengatur aliran data pada

fungsi yang akan dibuat.

1. If, Else, Elseif

2. Switch

3. while

Statement while digunakan untuk aliran data yang bersifat perulangan.

4.for

3. Operator

Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua operand (A dan B) ditunjukkan

pada table berikut ini.

Operasi Bentuk Aljabar Bentuk Matlab Contoh

Perkalian A x B A * B 5*3

Pembagian A B A B B 23

Penambahan A + B A + B 1+2

Pengurangan A B A B 4-3

Eksponensial A ^ B 4^3

Tabel 1: operator aritmatika antara dua operand (A dan B)

4. Fungsi Matematika lainnya

Beberapa fungsi matematika lainnya yang dapat kita gunakan untuk operasi matematika antara lain

sebagai berikut:

abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x

sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x1

exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, e x

log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x

log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis 10, x 10 log

sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x

rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pembagian) x terhadap y

11

a. Rumusan Masalah

1. Bagaimana cara menyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan meto bisection

(bagi dua)?

2. Bagaimana cara menyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan metode

Newton Raphson?

3. Bagaimana cara menyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan metode

Secant?

4. Bagaimana cara menyelesaikan suatu permasalahan dengan menggunakan interpolasi

Linier?


Beda Terbagi Newton?


Lagrannge?

7. Bagaimana cara menyelesaikan suatu permasalahan dengan menggunakan eliminasi

gauss jordan?

8. Bagaimana cara menyelesaikan suatu permasalahan integrasi numerik dengan

menggunakan aturan Trapesium?

9. Bagaimana cara menyelesaikan suatu permasalahan integrasi numerik dengan

menggunakan aturan Simpson?

12

1.3 Tujuan Praktikum

1. Untuk mengetahuicara pengerjaan penyelesaian persamaan atau mencari akar persamaan

non linier dengan metode Bisection (Bagi Dua)?


non linier dengan metode Newton Raphson?


non linier dengan metode Secant?


non linier dengan metode Interpolasi Linear?


non linier dengan metode Interpolasi Newton Bagi Dua?


non linier dengan metode Interpolasi Lagrange?

7. Untuk mengetahuicara pengerjaan penyelesaian persamaan eliminasi gauss jordan?


non linier dengan metode Aturan Trapesium?


non linier dengan metode Aturan Simpson?

13

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Metode Bisection (Bagi Dua)

Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi f(x) adalah kontinu pada interval [a1, b1],

serta f (a1) dan f (b1) mempunyai tanda berlawanan, artinya f (a1).f (b1) < 0. Karena itu terdapat

minimal satu akar pada interval [a1, b1]. Idenya adalah interval selalu dibagi dua sama lebar. Jika

fungsi berubah tanda sepanjang suatu subinterval, maka letak akarnya kemudian ditentukan ada

di tengah-tengah subinterval. Proses ini diulangi untuk memperoleh hampiran yang diperhalus

Persamaan non linier bisa di selesaikan dengan beberapa metode. Diantaranya yang

terkenal adalah metode Bisection (bagi dua), Newton Rapshon, dan Secant. Metode Bagi Dua,

yang juga dinamakan pemenggalan biner, pemaruhan interval, atau metode Bolzano, merupakan

salah satu jenis metode pencarian inkremental di mama interval selalu di bagi dua.

Metode Bagi Dua , digunakan untuk mencari akar yang harus dibagi dua dengan terkaan

awal yang diberikan pada suatu fungsi merupakan salah satu jenis metode pencarian akar dalam

interval yang ditentukan. dalam mana selang selalu dibagi dua. Jika suatu fungsi berubah tanda

pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah. Akar yang dipilih adalah nilia

yang terletak ditengah dan mendekati nilai sejati. akar ditentukan sebagai terletak pada titik

tengah selang bagian tempat terjadinya perubahan tanda.lakukan secara berulang sampai

mendekati nilai sejati.

Jika terdapat suatu f(x) yang menerus [a,b] dan f(a)-f(b) < 0, maka paling tidak f(x)

mempunyai satu akar f(x) mempunyai satu akar [a,b].

Gambar 5: Metode Bagi Dua

14

Metode bagi-dua mensyaratkan dua titik awal a dan b sedemikian sehingga f(a) dan f(b)

memiliki tanda berlainan. Ini dinamakan kurung dari sebuah akar. Menurut teorema nilai antara,

fungsi f mestilah memiliki paling tidak satu akar dalam selang (a, b). dengan formula sebagai

berkut:

(1)

Metode ini kemudian membagi selang menjadi dua dengan menghitung titik tengah c = (a +

b) / 2 dari selang tersebut. Kecuali c sendiri merupakan akar persamaan, yang mungkin saja

terjadi, tapi cukup jarang, sekarang ada dua kemungkinan: f(a) dan f(c) memiliki tanda

berlawanan dan mengapit akar, atau f(c) dan f(b) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar.

Kita memilih bagian selang yang mengapit, dan menerapkan langkah bagi-dua serupa

terhadapnya. Dengan cara ini selang yang mungkin mengandung nilai nol dari f dikurangi

lebarnya sebesar 50% pada setiap langkah. Kita meneruskan langkah ini sampai kita memiliki

selang yang dianggap cukup kecil.

2.2 Metode Newton Raphson

Gambar 6: Metode Newton Rapshon

Secara geometri, metode Newton Raphson hampir sama dengan metode regula falsi,

bedanya garis yang dipakai adalah garis singgung. Dengan menggunakan x0 sebagai tebakan

awal, dilanjutkan dengan mencari titik (x0, f(x0)). Kemudian dibuat garis singgung dari titik (x0,

15

f(x0)), sehingga diperoleh titik potong (x1, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik (x0, f(x0)).

Kemudian dilanjutkan lagi dengan mencari titik (x1, f(x1)). Dari titik (x1, f(x1)) kemudian dibuat

garis singgung, sehingga diperoleh titik potong (x2, 0) antara sumbu-x dan garis singgung titik

(x1, f(x1)).

)('

)()()(' 1

1 i

i

ii

ii

i

ixf

xfxx

xx

xfxf

2.3 Metode Secant

Gambar 7: Metode Secant

Metode Secant merupakan pengembangan dari metode Newton Raphson. Metode newton

raphson memiliki bentuk yang lebih simple. Newton Raphsom dapat dipakai pada fungsi

polinom. Newton raphson juga dapat digunakan untuk fungsi yang berderajat banyak. Turunan

dari newton Raphson agak sedikit lebih sulit karena kadang memakai fungsi berderajat banyak.

Pada metode Secant ini turunan pertama yang kita gudakan adalah bersamaan berhingga

( ) ( )

sehingga

( )

( ) ( ).. (2.3)

Secara geometri berupa perpotongan sumbu x dan tali busur kurva f(x) yang

berpadanan terhadap dan (lihat grafik di atas). Metode Secant memerlukan dua tebakan

awal dan , tetapi menghindari perhitungan turunan.

2.4 Interpolasi Linear

16

Gambar 8: Interpolasi Linier

Interpolasi linear adalah interpolasi yang menggunakan sarana garis lurus melalui dua

buah titik .

Ditunjukan oleh persamaan berderajat satu ],,[)()( 10001 xxfxxfxp dengan ],[ 10 xxf

adalah beda terbagi pertama yang didefinisakan sebagai:

01

01

10 ],[xx

ffxxf

(2.4)

2.5 Interpolasi Beda Terbagi Newton

Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi, maka perkiraan dilakukan dengan

menggunakan garis lengkung yang menghubungkan titik-titik data. Apabila terdapat tiga titik

data, maka perkiraan dapat dilakukan dengan polinomial order dua. Untuk maksud tersebut

persamaan polinomial order dua dapat ditulis dalam bentuk:

f2(x) = b0 + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1)

f2(x) = b0 + b1 x b1 x0 + b2 x2 + b2 x0 x1 b2 x x0 b2 x x1

17

atau

f2(x) = a0 + a1 x + a2 x2

dengan

a0 = b0 b1 x0 + b2 x0 x1

a1 = b1 b2 x0 b2 x1

a2 = b2

Koefisien b0 dapat dihitung dengan memasukan nilai x = x0.

f (x0) = bo + b1 (xo x0) + b2 (x0 x0) (x0 x1)

bo = f (x0)

koefisien b1 dapat dihitung dengan memasukkan x = x1

f (x1) = f (x0) + b1(x1 x0) + b2(x1 x0)(x1 x1)

b1 = 01

01 )()(

xx

xfxf

f (x2) = f (x0) + 01

01 )()(

xx

xfxf

(x2 x0) + b2(x2 x0)(x2 x1)

atau

b2 = )()(

)()()(

)()(

1202

12

01

0112

xxxx

xxxx

xfxfxfxf

b2 = 02

01

01

12

12 )()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

Bentuk persamaan Interpolasi newton serupa dengan uraian deret taylor dalam arti bahwa

suku-sukunya ditambahkan secara sekuensial supaya menangkap perilaku orde yang lebih tinggi

dari fungsi yang mendasari. Beda-beda ini dipakai dapat dipakai untuk menghitung koefisien-

koefisien. Perlu diperhatikan bahwa titik-titik data yang dipakai tidak perlu berjarak sama

Interpolasi newton yang bisa membuat hampiran suatu titik dari banyak titik yang diberikan

Analisis ini dicocokkan polinom orde ke-n sampai n +1 titik-titik data.

Polinom orde ke-n tersebut adalah

18

fn(x) = b0 + b1(x x0) + . . .+ bn(x x0) (x x1). . .(x xn 1 )

Titik titik dapat dipakai untuk menghitung koefisien-koefisien b0, b1, . . ., bn. Untuk

polinom orde ke-n, diperlukan n + 1 titik titik data: x0, x1, . . .xn. Beda-beda ini dipakai dapat

dipakai untuk menghitung koefisien-koefisien. Perlu diperhatikan bahwa titik-titik data yang

dipakai tidak perlu berjarak sama Dengan memakai titik-titik data ini, persamaan berikut dipakai

untuk menghitung koefisien-koefisiennya.

Beda terbagi hingga pertama :

f [xi, xj)] = ( ) ( )

(8)

Beda terbagi kedua, yang menggambarkan perbedaan dari dua beda terbagi pertama,

diungkapkan secara umum sebagai:

f[xi, xj, xk] = ( ) ( )

(9)

atau bahwa nilai-nilai absis perlu dalam urutan menaik beda-beda tingkat yang lebih tinggi

disusu n dari beda-beda tingkat rendah.

Suku-suku ini adalah beda hingga dank arena itu menyatakan hampiran dari turunan-

turunan dari orde yang lebih tinggi. Akibatnya serupa dengan deret taylor, jika yang dimaksud

adalah polinom orde ke-n , maka polinom interpolasi orde ke-n yang didasarkan pada n+1 titik-

titik data akan menuju hasil yang eksak.

Interpolasi terbagi newton dikenal juga dengan interpolasi kuadrat.sering kali interpolasi linier

menyulitkan kita untuk bentuk variable berderajat banyak untuk itulah interpolasi kuadrat

berguna. Hak tersebut dapat dilakukan dengan menggangap bahwa fungsi-fungsi tersebut

berprilaku sebagai fungsi kuadrat. Jika tersedia tiga titik data, ini dapat dilakukan dengan

polinom orde kedua.bentuk secra khas yang cocok untuk maksud diatas adalah:

Fnx = b0 + b1(x-x0) + b2 (x-x0)(x-x1)++bn(x-x0)(x-xn-1) (10)

Gambar 9: Beda Terbagi Newton

19

Kita perhatikan interpolasi linier yang membuat hampiran titik dari dua titik yang

diberikan.dari grafik diatas terlihat bahwa interpolasi linier mempunyai kemungkinan galat yang

besar untuk kurva yang tidak linier.

Untuk itu akan dibahas interpolasi Newton yang bias membuat hampiran suatu titik dari banyak

ttik yang diberikan.secara umum,interpolasi newton dapat dituliskan sebagai:

)(....),,())((],[)()( 210101,000 nxxxxxfxxxxxxfxxfxF

2.6 Interpolasi Lagrange

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak

menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan

dari persamaan Newton.

Bentuk polinomial Newton order satu:

f1(x) = f (x0) + (x x0) f [x1, x0]

Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:

f [x1, x0] = 10

0

01

1 )()(

xx

xf

xx

xf

jika disubtitusikan, maka

f1(x) = f (x0) + 01

0

xx

xx

f (x1) +

10

0

xx

xx

f (x0) (12)

Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:

f1(x) =

10

0

10

10

xx

xx

xx

xx f (x0) +

01

0

xx

xx

f (x1)

atau

f1(x) = 10

1

xx

xx

f (x0) +

01

0

xx

xx

f (x1)

Persamaan diatas dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.

Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:

f1(x) = 10

1

xx

xx

20

2

xx

xx

f (x0) +

01

0

xx

xx

21

2

xx

xx

f (x1) +

02

0

xx

xx

12

1

xx

xx

f (x2)

20

Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:

fn(x) = )(n

0ii xL

f (xi)

dengan

Li (x) =

n

ij0j

ji

j

xx

xx

Simbol merupakan perkalian.

Untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:

f3(x) = )(3

0ii xL

f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2) + L3(x) f (x3)

L0(x) = ))()((30

3

20

2

10

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

L1(x) = ))()((31

3

21

2

01

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

L2(x) = ))()((32

3

12

1

02

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

L3(x) = ))()((23

2

13

1

03

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:

f3(x) = ))()((30

3

20

2

10

1

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f (x0) + ))()((

31

3

21

2

01

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f (x1)

+ ))()((32

3

12

1

02

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f (x2) + ))()((

23

2

13

1

03

0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

f (x3) (13)

21

2.7 Metode Eliminasi Gauss Jordan

Dalam aljabar linier, eliminasi gauss jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada

metode eliminasi Gauss Jordan kita membuat nol elemen-elemen dibawah maupun diatas

diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal

satuan ( semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya 0 )

[

]

[

]

Metode elimsieih efiinasi Gauss Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL,

tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks

koefisien sama.

Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan dalam bahasa

analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris. Perbedaan utamanya dengan eliminasi

Gauss adalah bila sebuah variabel yang tidak diketahui dieliminasikan dengan metode Gauss-

Jordan maka ia deliminasikan dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik

kesatuan, sedang eliminasi Gauss merupakan matrik triangular.

Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi

Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara

langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris .

Satu cara yang gamblang untuk menghitung inversi ialah dengan menggunakan metode Gauss-

Jordan. Untuk melakukan ini,matriks koefisien diperluas dengan sebuah matriks kesatuan.

Kemudian metode Gauss Jordan diterapkan agar mengurangi matriks koefisien menjadi sebuah

matriks kesatuan.

Jika telah selesai, ruas kanan matriks yang diperluas akan mengandung inversi.

Langkah-langkah Eliminasi Gauss-Jordan

1. Tentukan kolom tak nol paling kiri.

2. Jika unsur paling atas dari kolom tak nol paling kiri yang didapatkan pada langkah 1 adalah 0,

pertukarkanlah baris teratas dengan baris lain.

3. Jika unsur teratas yang sekarang pada kolom yang didapatkan di dalam langkah 1 atau 2 adalah a,

kalikanlah baris pertama dengan 1/a untuk memperoleh 1 utama.

22

4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris dibawahnya sehingga semua

unsur di bawah 1 utama menjadi 0.

5. Abaikan baris teratas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 - 4 yang

dikerjakan pada submatriks yang masih tersisa. Teruskanlah cara ini sampai keseluruhan matriks

tersebut berada dalam bentuk eselon baris.

6. Dimulai dari baris tak nol terakhir dan dikerjakan ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai

dari baris tersebut ke baris-baris diatasnya untuk mendapatkan nol di atas 1 utama.

2.8 Aturan Trapesium

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak

menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan

dari persamaan Newton.

Penyelesaian suatu integral tertentu dapat dilakukan dengan cara membagi daerah antara

x = a dengan x = b menjadi pita-pia tipis yang lebarnya ,yang membentuk bangun trapesium.

Karena setiap pita berbentuk trapesium maka luas pita I yang terletak antara xi dan xi+1

adalah sesuai dengan aturan luas trapesium yaitu:

( ).

Jadi, untuk daerah yang dibentuk oleh pita-pita tipis tadi, dapat kita hitung masing-

masing luasnya sebagai : Ai =

[ ( ) ( )] sehingga untuk n buah pita, jumlah luasnya

adalah :

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

Gambar 10: Trapesium

23

2.9 Aturan Simpson

Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi trapezoida, hanya

saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan

menggunakan pembobot berat di titik tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau

dengan kata lain metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.

Gambar 11: Luasan Simpson

Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah :

L = )2(2

)(2

)(2

1111 iiiiiii fffh

ffh

ffh

(16)

Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan dengan 2 untuk

menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan:

L = )4(3

)2(3

)2(3

1111 iiiiiii fffh

ffh

ffh

(17)

Perhatikan gambar berikut:

Gambar 12: Simpson

24

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X

dapat dihitung sebagai berikut

)2(3

2(3

...)2(3

)23

)2(3

)2(3

112433220 nnnnii ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

ffh

L (18)

Atau dapat di tulis dengan

)24(3

0 n

genapi

i

ganjili

ffiffh

L (19)

25

BAB 111

ALGORITMA DAN FLOWCHART

3.1 Algoritma

3.1.1 Algoritma Metode Bagi Dua

Masukan : f(x),a,b dan epsilon

Keluaran : akar

Langkah-langkah:

1. mmmm bcab :;:

2. Untuk iterasi = 1,2,...,m

Untuk 1,...,2,1 mmi

ii ab :

3. 0)().( bfaf

4. 2

:ba

T

5. Jika 0)().( Tfaf berarti akar berada pada selang [a,T] maka Tb : , jika tidak

a:=T

6. Jika epsilonab maka etiminasi Takar : . Selesai

7. Ulangi kembali ke langkah 1

3.1.2 Algoritma Newton Raphson

Masukan : f(x),f(x), x0, epsilon dan m (banyaknya iterasi)

Keluaran : akar

Langkah-langkah:

1. Defenisikan terlebih dahulu fungsi dan turunan fungsinya.

2. Jika 0)(' xf maka proses gagal. Selesai

3. Jika tidak, )('

)(:

0

0

0xf

xfxxr

4. Jika epsilonx

xx

r

r 0 akar:=xr. Selesai satu iterasi

26

5. Ulangi iterasi dengan mengambil rxx :0

3.1.3 Algoritma Metode Secant

Masukan : xn, xn-1,f(x), x, epsilon dan m (banyaknya iterasi)

Keluaran : akar

Langkah-langkah

1. Masukkan 2 tebakan awal

2. Jika f beda hingga = 0 maka proses gagal. Selesai

3. Jika tidak, xn+1 := xn f(xn))()( 1

1

nn

nn

xfxf

xx

4. jika epsilonx

xx

n

nn

1

1 maka akar := xn+1. Selesai satu iterasi

5. Ulangi iterasi dengan mengambil xn := xn+1 hingga galat epsilon atau sesuai jumlah

iterasi.

3.1.4 Algoritma Interpolasi Linier

Masukan : xi, f(xi), x ;i =1,2

Keluaran : ilinear

Langkah-langkah

1. Untuk i=1,2,Masukkan xi dan f(xi)

2. Beda terbagi := ( ) ( )

Jika tidak, xn+1 := xn f(xn)

( ) ( )

3. Ilinear :=f(xi) + beda Terbagi x (x x1)

3.1.5 Algoritma Interpolasi Beda Terbagi Newton

Masukan : n, xi, f(xi), z, epsilon i;=0,1,2,. . .n

Keluaran : Perkiraan bagi (pbagi)

Langkah-langkah

b0 := f(x0) pbagi :=b0 faktor := i

Untuk i :=0,1,2,. . .n lakukan

)(: ii xfb

27

Untuk j:= i 1, i 2, . . .0 lakukan

bj :=

faktor := faktor. (z xi-1)

suku :=b0 . faktor

pbagi :=pbagi + suku

Jika | | epsilon, selesai

3.1.6 Algoritma Lagrange

Masukkan : n,x ,i=0,1,,n; f(x ),i=0,1,,n

Keluaran : perkiraan lagrange (plag)

Langkah-langkah :

Plag :=0

Untuk i = 0,1,,n,lakukan

faktor :=1

Untuk J=0,1,,n

Jika JI,faktor :=faktor. ji

j

xx

xx

Plag : = plag + faktor. f(xi)

3.1.7 Algoritma Eliminasi Gauss Jordan

Masukan : banyaknya variabel (n), entri matriks

Keluaran : Matriks Hasil Eliminasi, Solusi SPL

Langkah-langkah:

1. Buat Augmented Mtriks (M) dari entry yang di input

2. Untuk iterasi (i) =1,2,3,...,n-1

Jika

a=i

untuk

a = a+1

T =

i i

28

Untuk j = i+1,i+2,i+2,...,n

Jika

( )

3. Jika dan

SPL tidak memiliki solusi Unik

Jika Tidak

Untuk i =n,n-1,n-2,...,1

Untuk j =i-1,i-2,i-3,...,1

( )

Selesai

Untuk i = 1,2,...,n

( )

4. Tampilkan

3.1.8 Algoritma Aturan Trapesium

Masukkan : a,b,n, f(x)

Keluaran : A(luas daerah )

Langkah-Langkah:

h := (h-a)/n

jsisi :=0

Untuk i := 1 sampai n-1 lakukan

x :=a + h*(i+1)

jsisi :=jsisi +f (x)

sisi := h/2[f (a) = f(b)+2*sisi]

3.1.9 Algoritma Aturan Simpson

Masukan ; a,b,n,f(x)

29

Keluar : luas

Langkah-Langkah

Definisikan fungsi f (x)

Input a,b,n

Dinyatakan x0 = a dan luas = 0

Dengan mengunakan rumus

x1 =x0 + 2h

x2 =x1 = 2h

Luas = luas+(2n/3)(f (x0)+4f(x1)+f(x2))

Hingga x2 =b

Maka iterasi dari f (x) adalah luas

30

3.2 Flowchart

3.2.1 Flowchat Metode Bagi Dua

ya tidak

tidak

ya

mulai

input xa, xb, eps

x_ tengah =(xa-xb)/2

f-a. f-b, f-tengah

f-a*f-tengah

eps

xb = x tengah

f-b = f- xtengah

xa = x- tengah

f-a = f- xtengah

Abs (xa-xb)

Abs(xa-xb)

x_tengah

Selesai

31

3.2.2 Flowchart Newton Raphson

ya

Tidak

mulai

Masukkan f(x),f(x), xa, epsilon

Feval(fname,x (iter-1)

Feval(feval,x(iter-1)

Feval(fname,x(

iter-1) = 0

X(iter = x(iter-1)-Feval(fname.x(iter-1)

/Feval(fname-1)))

Abs(x(iter)-

x(iter-1)eps

X(r) = akar

Selesai

32

3.2.3 Flowchart Metode Secant

Tidak

Tidak

ya

mulai

selesai

Tampilkan

( )

( )

Abs x(iter)

x(iter-1)eps

33

3.2.4 Flowchart Interpolasi Linier

Mulai

Masukkan nilai ( ) i=1,2

Selesai

( ) ( )

( ) ( )

Ilinier

34

3.2.5 Flowchart Interpolasi Beda Terbagi Newton

mulai

Masukkan nilai ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( )

Untuk i = 2,3,...,n j = 1,2,...,n

Temp = Temp (x cari-x(j-1)

P = P+temp

selesai

Definisikan nilai

P(a) = 1 = y(1)

Temp = a(i), i=2,n

35

3.2.6 Flowchart Interpolasi Lagrange

mulai

Masukkan nilai ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( )

Untuk i = 2,3,...,n j = 1,2,...,n

Temp = Temp (x cari-x(j-1)

P = P+temp

selesai

Definisikan nilai

P(a) = 1 = y(1)

Temp = a(i), i=2,n

36

3.2.8 Flowchart Aturan Trapesium

mulai

Masukkan nilai a,

b, n ; f(x)

( )

x(i) = a+b+i

i = 1,2,...,n-1

Nilai f(x) dan f(b)

selesai

( ( ) ( ) ( )

37

3.2.9 Flowchart Aturan Simpson

mulai

Masukkan f(x),a,b,n

( )

selesai

Nilai f(a) dan f(b)

X(i) = a+h*i

i = 1,2,...,n-1

( ) ( ) ( ) ( )

38

3.3 TELADAN TERAPAN

3.3.1 Teladan Metode Bagi Dua (Bisection)

1.

2. ( )

3.3.2 Teladan Metode Newton Raphson

1. ( )

2. ( )

3.3.3 Teladan Metode Secant

1. ( )

2. ( )

3.3.4 Teladan Interpolasi Linier

1.

Cari x = 2000

2.

Cari x=3

X F(x)

1997 50

2002 3000

X F(x)

1 2.26

4 2.89

39

3.3.5 Teladan Interpolasi Beda terbagi Newton

1. X = [1 2 3 5]

2. X = [1 5 10 20]

3.3.6 Teladan Interpolasi Lagrange

1.

3.3.7 Teladan Metode Eliminasi Gauss Jordan

Selesaikan beberapa SPL berikut ini :

1. SPL 1

2. SPL 2

3. Sebuah roket diluncurkan dari suatu tempat tertentuuntuk diuji kecepatannya. Setelah

beberapa waktu dicatat beberapa waktu berikut ini :

Waktu

(s)

Kecepatan

(m/s)

5 106.8

8 177.2

12 279.2

Tabal 2

Jika data pada tabeldi atas dapat didekati dengan persamaan polynomial berikut :

( )

Dimana : t =Waktu

V(t) = Kecepatan pada saat t

40

Tentukan nilai awal dan [gunakan metode gauss jordan]

3.3.8 Teladan Aturan Trapesium

1. Diberikan fungsi ( )

,tentukan integrasi numerik dari fungsi tersebut pada interval

[2,8] dengan menggunakan aturan trapesium !

3.3.9 Teladan Aturan Simpson

1. Fungsi ( ) dengan interval [2,8]

3.4 LANGKAH KERJA

Langkah kerja secara umum dalam matlab adalah sebagai berikut :

1. Memulai Matlab

Perhatikan Dekstop pada layar monitor PC, anda mulai MATLAB dengan melakukan

double-clicking pada shortcut icon MATLAB

Gambar 13: Icon MATLAB pada desktop PC

Selanjutnya anda akan mendapatkan tampilan seperti pada Gambar berikut ini.

41

Gambar 14 Tampilan awal Matlab

Sedangkan untuk mengakhiri sebuah sesi MATLAB, anda bisa melakukan dengan dua cara,

pertama pilih File -> Exit MATLAB dalam window utama MATLAB yang sedang aktif,

atau cara kedua lebih mudah yaitu cukup ketikkan type quit dalam Command Window

2. Menentukan Direktori Tempat Bekerja

Anda dapat bekerja dengan MATLAb secara default pada directory Work ada di dalam

Folder MATLAB. Tetapi akan lebih bagus dan rapi jika anda membuat satu directory khusus

dengan nama yang sudah anda kususkan, dargombes atau nama yang lain yang mudah

untuk diingat. Hal ini akan lebih baik bagi anda untuk membiasakan bekerja secara rapi dan

tidak mencampur program yang anda buat dengan program orang lain. Untuk itu Arahkan

pointer mouse anda pada kotak bertanda yang ada disebelah kanan tanda panah kebawah

(yang menunjukkan folder yang sedang aktif). Pilih new directory, selanjutnya ketikkan

dargombes, dan diikuti dengan click Ok.

42

Gambar 15 Membuat Folder baru tempat program

3. Menyusun Progam Sederhana

Anda dapat mengedit suatu file text yang tersusun dari beberapa perintah Matlab. Ini

dapatdilakukan dengan menekan double-click pada icon "New M-File" icon in the Matlab

toolbar.

43

Gambar 16 Langkah awal menyusun program sederhana

Selanjutnya anda akan mendapatkan sebuah tampilan Matlab Editor yang masih kosong

seperti ini.

Gambar 17 Tampilan Matlab Editor tempat membuat program.

Selanjutnya anda buat program seperti pada contoh sebelumnya

44

Gambar 18 Contoh penulisan program pada Matlab Editor

Gambar 19 Cara menyimpan dan mengeksekusi program anda

Lanjutkan dengan menekan toolbar Debug, dan jangan lupa anda pilih Save anda Run.

Disitu anda harus menuliskan nama program. Anda tuliskan coba_1, secara otomatis akan

menjadi file coba_1.m dan akan anda lihat tampilan hasilnya.

4. Printing (Mencetak di MATLAB)

Printing di Matlab sangat mudah. Ikuti step berikut:

*Macintosh

Untuk nge print sebuah plot atau sebuah m-file dari Macintosh,klik pada plot atau m-file,

pilih Print dibawah menu File dan tekan return.

*Windows

Untuk nge printsebuah plot atau sebuah m-filedari sebuah computer jalankan Windows, pilih

Printdari menu File di window of the plot atau m-file, and tekan return.

45

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Metode Bisection ( Bagi Dua )

1. Listing program

Gambar 19 Listing program metode bagi dua

46

2. Listing Program Bonus

Gambar 20 Listing program bonus

47

3. Listing Fungsi 1

Gambar 21 Listing fungsi 1

4. Listing Fungsi 2


5. Output 1

Gambar 23 Output 1

48

6. Output 2

Gambar 24 Output 2

7. Output bonus 1

Gambar 25 Output bonus 1

49

8. Output bonus 2

Gambar 26 Output 2

4.2 Metode Newton Raphson

1. Listing Program

Gambar 27 Listing program metode newton raphson

50

2. Listing Program Otomatis 1

Gambar 28 Listing program otomatis 1

3. Listing Program Otomatis 2

Gambar 29 Listing program otomatis 2

51

4. Listing Fungsi 1


5. Listing Fungsi Turunan 1

Gambar 31 Listing fungsi turunan 1

6. Listing Fungsi 2


7. Listing Fungsi Turunan 2

Gambar 33 Listing fungsi turunan 2

52

4.3 Metode Secant

1. Listing Program

Gambar 34 Listing program metode secant

2. Listing Fungsi 1


3. Listing Fungsi 2


53

4. Output 1

Gambar 37 Output 1

5. Output 2

Gambar 38 Output 2

54

4.4 Interpolasi Linier

1. Listing Program 1

Gambar 39 Listing program 1

2. Listing Program 2

Gambar 40 Listing program 2

55

5. Output 1

Gambar 41 Output 1

6. Output 2

Gambar 42 Output 2

56

4.5 Interpolasi Beda terbagi Newton

1. Listing Program

Gambar 43 Listing program Interpolasi Beda Terbagi

2. Output 1

Gambar 44 Output 1

57

3. Output 2

Gambar 45 Output 2

4.6 Interpolasi Lagrange

1. Listing Program

Gambar 46 Listing program Interpolasi lagrange

58

2. Output

Gambar 47 Output

59

4.7 Metode Eliminasi Gauss Jordan

1. Listing Progam

60

Gambar 48 Listing program SPL

4.8 Aturan Trapesium

1. Listing Program

Gambar 49 Listing program trapesium

61

2. Listing Fungsi

Gambar 50 Listing fungsi

3. Output

Gambar 51 Output

4.9 Aturan Simpson

1. Listing Program

Gambar 52 Listing program Aturan simpson

2. Listing Fungsi

Gambar 53 Listing fungsi

62

3. Output

Gambar 54 Output

63

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari praktikum yang telah dilakukan maka dapat disimpulkan bahwa:

1. Penyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan metode bisection (bagi dua)

menggunakan 2 titik awal dengan menentukan x_tengah nya terlebih dahulu.

2. Penyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan metode Newton Rapshon hanya

menggunakan 1 titik awal, tetapi kita harus menentukan turunan dari fungsi yang diberikan.

3. Penyelesaian persamaan non linier dengan menggunakan metode Secant menggunakan 2 titik

awal tetapi tidak dihadapkan dengan turunan fungsi lagi.

4. Penyelesaian suatu permasalahan dengan menggunakan interpolasi Linier memiliki galat (error)

yang cukup besar.

5. Penyelesaian suatu permasalahan dengan menggunakan interpolasi Beda Terbagi Newton

memerlukan pencarian terhadap beda hingga nya terlebih dahulu. Interpolasi ini digunakan untuk

persamaan kuadrat.

6. Penyelesaian suatu permasalahan dengan menggunakan interpolasi Lagrange tidak menggunakan

bentuk pembagian beda hingga.

7. Penyelesaian suatu permasalahan integrasi numerik dengan menggunakan aturan Trapesium

merupakan pendekatan integral numerik dengan persamaan polinomial order satu.

8. Penyelesaian suatu permasalahan integrasi numerik dengan menggunakan aturan Simpson

merupakan pengembangan dari aturan Trapesium dimana daerah pembaginya bukan berupa

trapesium tetapi berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik

tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini.

5.2 Saran

Gunakan ketelitian yang tepat karena data tersebut akan diolah. Semoga laporan ini bisa

mejadi bahan pembanding dan pembelajaran bagi kita. Dan juga dapat memahami metode-

metode tersebut secara lengkap karena laporan ini mungkin banyak kekurangan nya.baik kritik

maupun saran sangat diharapkan oleh penulis.

64

Saran penulis untuk asisten pembimbing pratikum metode numerk

Lebih peduli lagi bagi para pratikan yang belum mengerti akan materi.

Diharapkan asisten menjelaskan materi secara detail agar praktikan lebih memahami

materi.

Asisten pembimbing diharapkan mampu menjelaskan bagaimana cara membuat listing dan

flowchart yang baik dan benar, tanpa harus sesuai dengan listing yang telah diberikan.

65

DAFTAR PUSTAKA

Munir, Rinaldi. 2006. Metode Numerik. Bandung : Informatika.

Tim Penyusun. 2009. Modul Praktikum Meode Numerik. Bengkulu : Prodi Matematika FMIPA

Universitas Bengkulu

Anonim.1999.Modul Praktikum Komputasi Numerik.Laboratorium Komputasi FMIPA Universitas

Gajah Mada.Yogyakarta.

Prawirasusanto,Sumartono.1997.Praktek Program Metode Numerik.Aditya Media.Yogyakarta

Agustina, Dian dan Sriliana, Idhia .2010.Modul Praktikkum Metode Numerik.Fmipa

Unib.Bengkulu.

Chapra, Steven C dan Canale, Raymond P, 1994, Metode Numerik, Jilid 1, Erlangga, Jakarta.

Hanselman, Duane & Littelefield, Bruce, 2004. MATLAB Bahasa Komputasi Teknis, Andi,

Yogyakarta.

http://www.defenisi_metode_numerik./com

http://www.modul_metode _numerik./com

66

LAMPIRAN

bab i-5 laporan analisis numerik

Documents