39

BAB 4

UKURAN KECENDERUNGAN MEMUSAT

OBJEKTIF BAB

Selepas mempelajari bab ini, anda seharusnya boleh: 1. Memahami konsep beberapa ukuran kecenderungan memusat. 2. Menjelaskan kegunaan ukuran kecenderungan memusat. 3. Menunjukkan kemahiran mengira setiap ukuran kecenderungan

memusat. 4. Menerangkan keputusan pengiraan min, median dan mod. 5. Menerangkan bentuk taburan data berdasarkan nilai min, median

dan mod.

4.1 PENGENALAN Selain daripada taburan kekerapan dan Gambar rajah yang dibincangkan sebelum ini, kita mungkin berminat untuk memperihalkan data dengan menggunakan beberapa indeks statistik sebagai kesimpulan kepada taburan data yang lebih besar. Contohnya, sekiranya kita ingin menjelaskan purata markat dan perbezaan antara satu markat dengan markat yang lain di dalam taburan. Untuk tujuan ini, kita memperihalkan data melalui cara statistik deskriptif dengan menggunakan apa yang dikatakan sebagai ukuran kecenderungan memusat. 4.2 UKURAN KECENDERANGAN MEMUSAT Ukuran kecenderungan memusat menunjukkan keadaan purata dan indeks kepusatan sesuatu taburan data. Terdapat tiga pengukuran atau statistik yang biasa digunakan untuk menggambarkan kepusatan taburan iaitu min, median dan mod. 4.3 MIN Min sering dipanggil sebagai purata aritmetik kepada taburan data. la merupakan ukuran yang paling popular sebagai petunjuk kepada kepusatan taburan. Min populasi diberi simbol miu () dan min kepada sampel ialah X berpalang di atasnya sekiranya X digunakan sebagai mewakili markat atau skor individu. Jika kita gunakan Y pula, min sampel kepada taburan markat tersebut ialah Y berpalang. Dalam penulisan ini min sampel, diberi simbol huruf besar M atau kadangkala menggunakan simbol X. Secara definisi, min sampel diperoleh daripada hasil bahagi jumlah semua markat yang ada

40

dalam taburan dengan jumlah kes atau jumlah individu yang ada dalam taburan tersebut. Formula kepada min sampel ialah

M = Xi N atau M = X1 + X2 + X3 + . + Xn

N iaitu X = markat setiap individu

N = jumlah kes = simbol mengarahkan jumlah kesemua markat

Min kepada markat 4, 12, 20, 38 dan 46 ialah (4 + 12 + 20 + 38 + 46) 120/5 = 24.0. Min kepada taburan markat pencapaian pelajar Tahun Pertama Program Pembangunan Manusia yang ditunjukkan dalam Jadual 2.1 dalam Bab 2 sebelum ini ialah Min = 38 + 50 + 37 + ........... + 46 188 = 9095/188 = 48.38

Formula untuk mengira min bagi data yang terkumpul yang ditunjukkan dalam taburan kekerapan adalah seperti berikut:

Min = ( K * X) N iaitu

K = kekerapan X = nilai titik tengah N = jumlah kes

Nilai titik tengah digunakan sebagai ganti kepada nilai sebenar markat. Jadual 4.1 berikut menunjukkan hasil darab K*X yang terdapat dalam lajur 4. Pengiraan min taburan kekerapan di atas ialah

Min = 9106 188

= 48.44

41

Min yang dikira daripada taburan kekerapan agak berbeza sedikit daripada min yang dikira dengan menggunakan formula data mentah kerana menggunakan nilai titik tengah sebagai anggaran kelas.

Jadual 4.1 Pengiraan Min dari Taburan Kekerapan Markat

188 Pelajar Program Pembangunan Manusia

Kelas Nilai Titik Tengah

Kekerapan K*X

65 69 67 6 402 60 64 62 15 930 55 59 57 37 2109 50 54 52 30 1560 45 49 47 42 1974 40 44 42 23 966 35 39 37 20 740 30 34 32 7 224 25 29 27 5 135 20 24 22 3 66

Jumlah - 188 9106 4.4 SIFAT MIN Antara sifat min yang penting ialah (i) Min dipengaruhi oleh sebarang perubahan nilai dalam taburan

terutamanya nilai ekstrem, sama ada terlalu rendah ataupun terlalu tinggi. Min juga dipengaruhi oleh data outlier.

(ii) Jumlah skor atau markat sisihan dari min bersamaan dengan sifar. Markat sisihan ialah perbezaan antara sesuatu markat dengan min taburan tersebut. Simbol yang biasa digunakan untuk menyatakan markat sisihan ialah huruf kecil dan boleh dikira menggunakan formula berikut:

xi = (Xi Min) Jumlah markat sisihan ialah xi = (Xi Min) = 0

Senaraikan lima pemboleh ubah yang anda selalu mengira minnya.

4.5 MIN KUMPULAN BERGABUNG Katakanlah data pencapaian pelajar lelaki dan perempuan yang dibincang sebelum digunakan diambil daripada 100 orang pelajar lelaki dan 88 orang perempuan dan masing-masing mempunyai min 49.99 dan 48.28. Kita

42

berminat untuk mengetahui min kumpulan tersebut secara bergabung lelaki dan perempuan. Pengiraan min dibuat menggunakan formula berikut:

Mp = (N1 * Min1) + (N2*Min2) N1 + N2

iaitu Min1 dan Min2 = min lelaki dan perempuan N1 dan N2 = jumlah lelaki dan perempuan Mp = (100*49.98) + (88*48.28)

100 + 88

= (4998 + 4248.64) 188 = 9246.6.64 1.88 = 49.18 Secara formula pergiraannya seperti berikut: Mp = (Ni * Mini) iaitu

Ni = jumlah kes bagi setiap kumpulan Mi = min bagi setiap kumpulan N = jumlah semua kes

4.6 MEDIAN Median ialah ukuran kecenderungan memusat yang menggambarkan nilai titik tengah seluruh taburan data. Ia dikatakan juga sebagai nilai penengah yang membahagikan taburan kepada dua. Sebanyak 50% markat berada di atasnya dan 50% markat lagi berada pula di bawahnya. Simbol kepada median dalam modul ini ialah Mdn. Mengira median kepada data yang tidak terkumpul bolehlah mengikut langkah-langkah berikut: (i) Susun skor atau markat mengikut cara ordinal daripada yang paling

kecil hinggalah kepada yang besar. Gambar rajah nilai asas dan nilai hujung berguna untuk penyusunan tersebut.

(ii) Jika jumlah kes dalam taburan ganjil, secara formula, median terletak pada kes (N + 1)/2. Sebagai contoh lihat data ini: 22 24 35 36

43

38 40 44. Median terletak pada kes (7 + 1)/2 = kes keempat iaitu 36.

(iii) Jika jumlah kes dalam taburan genap, median terletak antara dua kes yang berada di tengah-tengah taburan. Secara formula median berada pada kes (N/2) dengan (N/2)+l. Nilai tengah ini boleh juga ditakrif sebagai purata kepada nilai kes N/ 2 dan (N/2)+l. Sebagai contoh, lihat data ini: 22 34 35 36 38 40 44 46. Median terletak antara kes keempat dan kes kelima iaitu antara (36 + 38)/2 = 37.

Bagi taburan data terkumpul formula mengira median ialah

Mdn = Xr + (0.50)(N) KK * J K

iaitu

Xr = nilai bawah had sebenar pada kelas yang mengandungi median KK = kekerapan kumulatif bagi kelas di bawah kelas yang

mengandungi median K = kekerapan pada kelas yang mengandungi median J = julat ataupun selang kelas N = jumlah kes

Untuk mengira median taburan kekerapan Jadual 4.2 digunakan. Merujuk kepada lajur kekerapan kumulatif, median terletak dalam kelas 4549 kerana kekerapan kumulatifnya ialah 53.19. Nilai-nilai yang diperlukan ditunjukkan dalam Jadual 4.2.

Jadual 4.2 Taburan Kekerapan Markat Pencapaian

Pelajar Tahun Program Pertama Pembangunan Manusia

Kelas Nilai Titik Tengah X

Kekerapan K

KK Peratus KK

65 69 67 6 188 100.00 60 64 62 15 182 96.81 55 59 57 37 167 88.83 50 54 52 30 130 69.15 45 49 47 42 100 53.19 40 44 42 23 58 30.85 35 39 37 20 35 18.61 30 34 32 7 15 7.98 25 29 27 5 8 4.26 20 24 22 3 3 1.60

Xr = 44.5 J = 5 KK = 58 N = 188 K = 42

44

Pengiraannya ialah Mdn = 44.5 + (0.50)(188) 58 * 5 42 = 44.5 + ( 94 58) * 5 42 = 44.5 + (36 x 5) 42 = 44.5 + 4.29 = 48.79

Senaraikan lima pemboleh ubah yang anda selalu gunakan median sebagai petunjuk kepada datanya.

4.7 MOD Mod ialah markat atau skor yang mempunyai kekerapan yang paling banyak dalam sesuatu taburan data. Ia dikatakan sebagai indeks yang paling mudah bagi menggambarkan ukuran kecenderungan memusat. Mod boleh dikenal pasti dengan melihat markat yang paling banyak wujud dalam taburan. Dalam taburan yang ditunjukkan di Jadual 2.2 dalam Bab 2 sebelum ini, modnya ialah 56 kerana markat ini muncul sebanyak 14 kali. Dalam jadual taburan kekerapan yang menggunakan kelas, mod terletak pada kelas yang kekerapannya paling banyak. Mengikut Hinkle, Wiersme dan Jurs (1998) mod ditentukan berdasarkan nilai titik tengah kelas. Kekerapan paling banyak dalam taburan kekerapan yang ditunjukkan di Jadual 2.4 dalam Bab 2 sebelum ini berada pada kelas 45 49. Nilai titik tengah kelas tersebut ialah 47. Taburan data yang mempunyai satu mod dikenali sebagai taburan satu mod atau unimodal. Bagi taburan yang mempunyai dua mod, ia dipanggil sebagai taburan dwimod, manakala taburan yang mempunyai banyak mod dipanggil sebagai taburan pelbagai mod. Rajah 4.1 (A) menunjukkan taburan satu mod, manakala Rajah 4.1 (D) ialah gambaran taburan dwimod. 4.8 PERBANDINGAN ANTARA MIN, MEDIAN DAN MOD Setelah kita teliti ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat, mungkin timbul persoalan yang manakah antara ukuran kecenderungan memusat yang paling sesuai dan baik untuk menggambarkan taburan markat? Jawapannya bergantung kepada keadaan pemboleh ubah tempat markat tersebut diperoleh. Bagi pemboleh ubah yang mempunyai data ordinal,

45

penggunaan median dan mod adalah yang sesuai. Bagi pemboleh ubah yang mempunyai data nisbah dan sela, ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat sesuai untuk digunakan. Jika kita berminat untuk tujuan membuat inferens kepada populasi, min paling sesuai digunakan berbanding median atau mod. Kita boleh lakukan manipulasi statistik kepada min sedangkan perkara ini agak sukar dilakukan kepada median dan mod terutamanya untuk proses perbandingan beberapa kumpulan sampel yang dicabut daripada populasi yang bentuknya normal. Bagi yang tidak berminat untuk membuat sebarang inferens kepada populasi, kita bolehlah memilih mana-mana tiga ukuran ini yang sesuai digunakan.

Rajah 4.1 Perbandingan Taburan Berdasarkan Min, Median dan Mod

Min, median dan mod boleh menghasilkan berbagai-bagai bentuk keluk taburan. Apabila ketiga-tiga ukuran kecenderungan memusat mempunyai nilai yang sama, ia membentuk taburan semetrik atau semukur sebagaimana yang terdapat pada Rajah 4.1 (A). Taburan yang tidak semetrik ataupun

46

herot ialah taburan yang ketiga-tiga nilai ukuran kecenderungan memusatnya berbeza. Bentuk taburan tidak simetrik yang pertama dipanggil taburan herot positif apabila mod lebih kecil daripada median dan minnya lebih besar daripada median [Rajah 4.1 (B)]. Apabila min lebih kecil daripada median dan modnya lebih besar daripada median maka taburan tersebut dipanggil sebagai taburan herot negatif [Rajah 4.1 (C)]. Apabila taburan data mempunyai dua mod maka taburan ini dinamakan taburan dwimod [Rajah 4.1 (D)]. 4.9 KESIMPULAN Ukuran yang digunakan untuk menggambarkan kepusatan taburan ialah min, median dan mod. Ukuran masing-masing mempunyai kekuatan dan kelemahan untuk digunakan dalam penyelidikan. Namun demikian, min ialah ukuran kecenderungan memusat yang paling banyak digunakan kerana ia boleh dimanipulasi, namun ketiga-ketiga ukuran kecenderungan memusat berguna untuk mempastikan sama ada taburan data berbentuk normal ataupun mempunyai keherotan secara negatif atau positif. Min, median dan mod digunakan bergantung kepada keadaan taburan data. Jika taburan data itu normal, ketiga-tiga statistik ini sesuai digunakan. Apabila terdapat data yang ekstrem dalam taburan dan taburannya tidak normal, min tidak lagi sesuai dan ukuran kecenderungan memusat yang paling sesuai digunakan ialah median.

SOALAN DALAM TEKS

1. Berdasarkan data motivasi berikut yang terdapat

dalam Bab 3 sebelum ini, anda diminta untuk menjawab soalan-soalan di bawah.

77 73 75 81 85 81 83 98 75 72 82 86 66 68 76 87 71 74 73 73 80 81 71 74 79 76 102 74 70 88 84 83 75 82 98 75 72 79 67 68 88 78 77 75 71 85 72 74

(a) Dengan menggunakan data mentah yang tidak

terkumpul, kira min, median dan mod. (b) Dengan menggunakan taburan kekerapan, kira

min, median dan mod. (c) Terangkan bentuk taburan dan keluk taburan data.

Semak jawapan anda di akhir bab ini.

47

SOALAN PENILAIAN KENDIRI

1. Data berikut telah ditunjukkan dalam Soalan Penilaian Kendiri Bab

3 berhubung dengan markat nilai kerja murni di kalangan pekerja. Dengan menggunakan data ini, anda diminta menjawab soalan-soalan yang dikemukakan di bawah.

74 76 102 82 98 75 72 74 79 67 68 88 78 77 87 71 77 70 88 84 83 75 79 81 73 75 81 82 86 66 68 76

71 85 81 75 71 85 72 74 83 98 75 72 74 73 73 80

(a) Berdasarkan jadual taburan kekerapan yang anda bina dalam

Bab 3, kira min median dan modnya. (b) Terangkan bentuk keluk taburan data nilai kerja murni di atas.

2. Statistik yang paling sensitif dengan data ekstrem rendah ataupun ekstrem tinggi ialah

A. Min B. Median C. Mod D. Semua di atas

ARAHAN: Data berikut digunakan untuk Soalan 3 hingga 5:

29 54 43 38 40 39 45 45 53 52 31 39 41 39

X = 588 X2 = 25,418

3. Min bagi taburan data di atas ialah

A. 45 B. 42 C. 39 D. 29

4. Mod bagi taburan data di atas ialah

A. 45 B. 42 C. 39 D. 29

48

5. Median bagi taburan data di atas ialah A. 41.5 B. 41.0 C. 40.5 D. 40.0

ARAHAN: Soalan 6 hingga 7 berdasarkan kepada taburan kekerapan berikut:

Kelas Kekerapan 70 74 2 65 69 4 60 - 64 12 55 59 21 50 54 33 45 49 42 40 44 15 35 39 9 30 34 3

6. Dalam kelas manakah terletaknya mod

A. 70 - 74 B. 50 - 54 C. 45 - 49 D. 30 - 34

7. Dalam kelas manakah terletaknya median

A. 55 - 59 B. 50 - 54 C. 45 - 49 D. 35 - 39

Semak jawapan anda di akhir modul kursus ini.

JAWAPAN SOALAN DALAM TEKS 1. (a) Min yang dikira berdasarkan data mentah yang tidak

terkumpul ialah 77 + 75 + 71+ ........... + 74 = 3754/48 = 78.20.

49

Untuk menentukan median, susun dahulu data dan kenal pasti data yang berada di tengah-tengah susunan iaitu yang terletak pada kedudukan 50 peratus, 76.00.

Data Kekerapan Peratus Peratus KK 66.00 1 2.1 2.1 67.00 1 2.1 4.2 68.00 2 4.2 8.3 70.00 1 2.1 10.4 71.00 3 6.3 16.7 72.00 3 6.3 22.9 73.00 3 6.3 29.2 74.00 4 8.3 37.5 75.00 5 10.4 47.9 76.00 2 4.2 52.1 77.00 2 4.2 56.3 78.00 1 2.1 58.3 79.00 2 4.2 62.5 80.00 1 2.1 64.6 81.00 3 6.3 70.8 82.00 2 4.2 75.0 83.00 2 4.2 79.2 84.00 1 2.1 81.3 85.00 2 4.2 85.4 86.00 1 2.1 87.5 87.00 1 2.1 89.6 88.00 2 4.2 93.8 98.00 2 4.2 97.9 102.00 1 2.1 100.0 Jumlah 48 100.0

Untuk menentukan mod, susun data dan lihat kekerapan

paling tinggi. 75.00 mempunyai kekerapan yang paling tinggi, iaitu 5.

(b) Pengiraan min menggunakan taburan kekerapan = KX/N

= 3756/48 = 78.25.

Kelas Nilai Titit Tengah (X) Kekerapan (K) KX 100 - 104 102 1 102 95 - 99 97 2 194 90 - 94 92 0 0 85 - 89 87 6 522 80 - 84 82 9 738 75 - 79 77 12 924 70 - 74 72 14 1008 65 - 69 67 4 268

= 3756

50

Pengiraan median menggunakan taburan kekerapan.

Kelas Nilai Titik

Tengah

Kekerapan Peratus Kekerapan

Kekerapan Kumulatif

(KK)

Peratus KK

100 - 104

102 1 2.08 48 100.0

95 - 99 97 2 4.16 47 97.92 90 - 94 92 0 0.00 45 93.75 85 - 89 87 6 12.50 45 93.75 80 - 84 82 9 18.75 39 81.12 75 - 79 77 12 25.00 30 62.50 70 - 74 72 14 29.17 18 37.50 65 - 69 67 4 8.33 4 8.33

Mdn = 74.5 + (0.50)(48) 18 * 5 12 = 74.5 + (24 18) * 5 12 = 74.5 + (6 x 5) 12 = 74.5 + 2.5 = 77.00 Mod berada pada kekerapan 14.

(c) Bentuk keluk taburannya: Min = 78.20, Median = 76.0, dan Mod = 75.0. Min lebih tinggi daripada mod. Taburannya herot positif.