DIFERENSIAL PARSIAL

Persamaan Diferensial Parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan

fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau diferensialnya. Persamaan

diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan

geometris. Bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas.

Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana

yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan

mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika

lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan

persamaan differensial parsial.

Umumnya, jika f adalah fungsi dua variable x dan y, andaikan kita

misalkan hanya x saja yang berubah-ubah sedangkan y dibuat tetap, katakan y=b

dengan b konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variable

tunggal x, yaitu g ( x )=f ( x , b ) . jika g mempunyai turunan di a, maka kita

menamakannya turunan parsial dari f terhadap x di (a ,b) dan menyatakannya

dengan f x (a ,b). Jadi

1. f x (a , b )=g ' (a ) dengan g ( x )=f (x , b)

Menurut definisi turunan, kita mempunyai

g' (a )=limh →0

f (a+h ,b )−f (a ,b)h

Sehingga persamaan nomor 1 menjadi

2. f x ( a ,b )=limh →0

f (a+h , b )−f (a , b)h

Dengan cara serupa, turunan parsial dari f terhadap y di (a ,b) , dinyatakan dengan

f y ( a , y ), diperoleh dengan membuat x tetap(x=a)dan mencari turunan biasa dib

dari fungsi G( y )=f (a , y )

3. f y (a ,b )=limh → 0

f ( a , b+h )−f (a ,b )h

Jika f adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya adalah fungsi f x dan f y yang

didefinisikan oleh

4. f x ( x , y )=limh →0

f ( x+h , y )−f (x , y )h

f y ( x , y )=limh→ 0

f (x , y+h )−f (x , y)h

Contoh 1.

Tentukan turunan parsial terhada x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang

dirumuskan dengan f(x,y)= x2y + 5x +4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f

terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3)

Penyelesaian

∂ f ( x , y )∂ x

= lim∆ x →0

f ( xo+∆ x , yo )−f ( xo , yo )∆ x

¿ lim∆ x→ 0

(x+∆ x )2 y+5 ( x+∆ x )+4 (x2 y+5 x+4 )∆ x

¿ lim∆ x→ 0

x2 y+2 x ∆ xy+(∆ x )2 y+5 x+5 ∆ x+4−( x2 y+5 x+4)∆ x

¿ lim∆ x→ 0

2 x ∆ xy+(∆ x)2 y+5 ∆ x∆ x

¿2 xy+5

∂ f ( x , y )∂ y

= lim∆ x →0

f ( xo , y0+∆ y )−f ( xo , yo )∆ y

¿ lim

∆ x→ 0

x2 ( y+∆ y )−5 x+4−(x2 y+5 x+4)∆ y

¿ lim

∆ x→ 0

x2∆ y∆ y

¿ x2 Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah

∂ f (2,3 )∂ x

=2 (2 ) (3 )+5=17

dan turunan f terhadap y dititik (2,3) adalah ∂ f (2,3 )

∂ y=22=4

Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variabel f(x,y)

maka dapat dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variabel x

maka y diperlakukan seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variabel

y maka x diperlakukan seperti konstanta.

Contoh 2.

Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang

dirumuskan dengan f (x,y) = 3x4y2 + xy2 +4y

Penyelesaian :

∂ f ( x , y )∂ x

=12 x3 y2+ y2

∂ f ( x , y )∂ y

=6 x4+2 xy+4

A. Notasi Diferensial Parsial

Jika z=f (x , y ) kita tuliskan

f x ( x , y )=f x=∂ f∂ x

= ∂∂ x

f ( x , y )= ∂ z∂ x

=f 1=D 1 f =D x f

f y ( x , y )=f y=∂ f∂ y

= ∂∂ y

f ( x , y )= ∂ z∂ y

= f 2=D2 f =D y f

B. Deret Pangkat dengan 2 Variabel

Bentuk dasar persamaaan deret pangkat :

∑m=0

∞

am(x−x0)m=a0+a1 ( x−x0 )+a2( x−x0)

2+…(1)

x adalah sebuah varibel dan ao ,a1 ,a2 …. adalah konstanta-konstantanya. xo

adalah sebuah konstanta yang disebut sebagai pusat dari deret. Jika xo = 0,

kitadapatkan deret pangkat x.

∑m=0

∞

am xm=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+… (2 )

Ide dari metode deret pangkat

PD2 : y} + p left (x right ) {y} ^ {'} + q left (x right ) y + ¿

Kita asumsikan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat sebagai

berikut

y=∑m=0

∞

am xm=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+… (3 )

y '=∑m=1

∞

mam xm−1=a1+2a2 x+3 a3 x2+4 a4 x3+… (4 a )

y ' '=∑m=1

∞

m(m−1)am xm−2=2a2+3.2 a3 x+4.3 a4 x2+… (4b )

Diferensial Deret Pangkat

Deret pangkat dapat diturunkan bagian per bagian.

y ( x )=∑m=0

∞

am(x−x0)m

Konvergen untuk |x−x0|<R dimana R>0, maka deret turunannya juga

konvergen.

y ' (x )=∑m=1

∞

mam ( x−x0)m−1 (|x−x0|<R )

y ' ' ( x )=∑m=2

∞

m (m−1 ) am ( x−x0 )m−2 (|x−x0|< R ) , etc .

C. Diferensial Total

Diferensial total adalah perubahan fungsi f (x , y ) terhadap pertambahan

salah satu variabelnya x atau y. Misalkan fungsi f (x , y ) mempunyai turunan

parsial di (x , y ). Pertambahan fungsi f (x , y ) jika x ditambah menjadi x+∆ x dan

y menjadi y+∆ y adalah

∆ f =f ( x+∆ x , y+∆ y )−f ( x , y )

Jika ditambah dan dikurangi f ( x , y+∆ y ) di ruas kanan, diperoleh

∆ f = [ f ( x+∆ x , y+∆ y )−f ( x , y+∆ y ) ]+[ f ( x , y+∆ y )−f (x , y ) ]pers (*)

pertambahan x dalam fungsi f ( x , y+∆ y )

dengan mempertahankan y+∆ y tetap.

Teorema nilai rata-rata kalkulus

Jika f (x) memiliki turunan f ’ (x ) pada setiap titik dalam selang [x - ∆x, x+ ∆x]

maka :

[ f (x+∆ x )−f (x )]=f ’ (ξ )∆ x

Dengan ξ=x+∆ x (0<¿1) sebuah titik dalam selang [ x−∆ x , x+∆ x ].

Dengan demikian,

[ f (x+∆ x , y+∆ y )– f (x , y+∆ y )]=f x (x+1 ∆ x , y+∆ y )∆ x

dengan 0 < q1 < 1

Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan

[ f (x , y+∆ y )– f ( x , y )]=f y ( x , y+2∆ y )∆ y

dengan 0 < q2 < 1

Jika turunan parsial f x (x , y) dan f y ( x , y ) kontinu di (x , y ), maka

f x (x+1∆ x , y+∆ y)=f x (x , y )+ε 1

f y ( x , y+2∆ y )=f y (x , y)+ε2

dengan lim ε1= 0 dan lim ε2 = 0 , bila ∆x dan ∆y menuju nol. Pers.(*)

teralihkan menjadi :

∆ f =f x (x , y )∆ x+ f y (x , y )∆ y+ε 1 ∆ x+ε 2 ∆ y

Dengan mengambil limit ∆x ®0 dan ∆y®0, diperoleh turunan total fungsi f(x,y)

:

df =∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ y

dy

Untuk f (x , y , z , ...) , turunan totalnya

df =∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ y

dy+ ∂ f∂ z

dz+…

Contoh 3

Hitunglah diferensial total fungsi f (x , y )=xy 2– sin(xy ) .

Penyelesaian :

f x= y2 – y cos (xy ) dan f y=2 xy−xcos (xy )

Sehingga turunan totalnya :

df =( y 2 – y cos (xy))dx+¿

D. Aturan Rantai

Aturan Rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah

dikenal oleh semua pembaca. Jika y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi

yang dapat didiferensialkan, maka

dydt

=∂ y∂ x

dxdt

y=f (u) dan u=φ(x)

y=f ¿, composite fungsi

2 fungsi : dydx

=∂ y∂u

dudx

3 fungsi : dydx

=∂ y∂u

dudv

dvdx

Rumus 1

(Aturan Rantai). Andaikan x=x (t) dan y= y (t) dapat didiferensialkan di t

dan andaikan

z=f (x , y )dapat didiferensialkan di (x (t) , y (t)). Makaz=f (x (t)) dapat

didiferensialkan di t, maka :

dzdt

=∂ z∂ x

dxdt

+ ∂ z∂ y

dydt

Rumus 2

(Aturan Rantai). Misalkan x=x (s , t) dan y= y (s ,t )mempunyai turunan

peetama di (s , t) dan misalkan z=f (x , y )dapat didiferensialkan di

(x (s , t) , y (s ,t )). Maka z=f (x (s , t) , y (s ,t)) mempunyai turunan parsial

pertama yang diberikan oleh,

Jika, z=f (x , y ) , x=x (s , t) , y= y (s , t), maka

(1)∂ z∂ s

= ∂ z∂ x

∂ x∂ s

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ s

(2)∂ z∂ t

= ∂ z∂ x

∂ x∂ t

+ ∂ z∂ y

∂ y∂t

Rumus 3

Jika, w=f (x , y , z) , x=x (r , s , t) , y= y (r , s , t) , z=(r , s ,t ) maka

(1)∂ w∂ r

=∂ w∂ x

∂ x∂ r

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ r

+ ∂ w∂ z

∂ z∂ r

(2)∂ w∂ s

=∂ w∂ x

∂ x∂ s

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ s

+ ∂ w∂ z

∂ z∂ s

(3)∂ w∂ t

=∂ w∂ x

∂ x∂ t

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ t

+ ∂ w∂ z

∂ z∂t

ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI

1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y)

dengan u dan v kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F

fungsi dari u dan v yang mempunyai turunan pertama yang kontinu dalam

daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka:

∂ F∂ x

=∂ F∂u

∂ u∂ x

+ ∂ F∂ v

∂ v∂ x

dan ∂ F∂ y

=∂ F∂u

∂ u∂ y

+ ∂ F∂ v

∂ v∂ y

2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua

variable u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial

pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:

∂ F∂ x

=∂ F∂u

∂ u∂ x

+ ∂ F∂ v

∂ v∂ x

+ ∂ F∂ w

∂ w∂ x

dan ∂ F∂ y

=∂ F∂u

∂ u∂ y

+ ∂ F∂ v

∂ v∂ y

+ ∂ F∂ w

∂ w∂ y

Contoh 4.

1. z=4 xy+x2− y2 denganx=t cos t , dan y=sin t .Mengingat,

∂ z∂ x

=4 y+2 x∂ z∂ y

=4 x−2 y

dxdt

=cot− t sin tdydt

=sin t−t cos t

Jawab :

dzdt

=∂ z∂ x

dxdt

+ ∂ z∂ y

dydt

¿ (4 y+2x ) (cot−t sin t )+(4 y−2 y )(sin t−t cos t)

¿ ( 4 t−2 t2 ) sin 2t +(2 t+4 t 2 ) cos2 t

2. z=x2+4 xy− y2 denganx=r cos2 t , dan y=r sin 2 t .Mengingat,

∂ z∂ x

=2 x+4 y∂ z∂ y

=4 x−2 y

∂ x∂r

=cos 2t∂ y∂ r

=sin 2t

∂ x∂ t

=−2 r sin 2 t∂ y∂ t

=2r cos 2t

Jawab :

∂ z∂ r

= ∂ z∂ x

∂ x∂ r

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ r

=(2 x+4 y ) cos2 t+ (4 x−2 y ) sin 2t

∂ z∂ t

= ∂ z∂ x

∂ x∂ t

+ ∂ z∂ y

∂ y∂t

=(2 x+4 y ) (−2 r sin2 t )+(4 x−2 y)(2r cos2 t)

E. Diferensial Implisit

Aturan hubungan sebuah fungsi mungki tidak eksplisit. Sebagai contoh,

aturan y=f (x ) adalh implisit terhadap persamaan x2+4 xy5+7 xy+8=0. Lebih

lanjut, tidak ada alasan untuk percaya bahwa persamaan ini dapat diselesaikan

untuk y dalam bentuk x. Akan tetapi, dengan mengasumsukan domain yang sama

(yang dijelaskan oleh variabel bebas x) angggota persamaan dari ruas kiri dapat

diartikan sebagai komposisi fungsi-fungsi dan didiferensiasi dengan benar. (aturan

diferensiasi berikut ini ditulis untuk untuk anda cek kebenarannya).

Dalam contoh ini, diferensiasi terhadap x menghasilakan

2 x+4 ( y5+5 xy 4 dydx )+7( y+x

dydx )=0

Perhatikanlah bahwa persamaan ini dapat diselesaikan untuk dydx

sebagai fungsi

dari x dan y (tetapi tidak untuk x semata).

Diberikan, F (x , y )=c maka

dydx

=−(∂ F /∂ x )(∂ F /∂ y)

dxdy

=−(∂ F /∂ y)(∂ F /∂ x)

Hitung,dydx

dari 3 xy2+3 y3=x3

Misalkan, F (x , y )= 3 xy2+3 y3=x3, maka :

∂ F∂ x

=3 y2−3 x2=3( y2−x2)

∂ F∂ x

= 6xy + 9 y2

Demikian pula, jikaF (x , y , z)=c, maka

∂ z∂ x

=−(∂ F /∂ x)(∂ F /∂ z )

∂ z∂ y

=−(∂ F /∂ y )(∂ F /∂ z )

Misal z = F(x,y) dan y = g(x), maka z = F(x, g(x)) menyatakan fungsi satu variable,

sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:

∂ z∂ x

=∂ F∂ x

∂ x∂ x

+ ∂ F∂ y

∂ y∂ x

∂ z∂ x

=∂ F∂ x

+ ∂ F∂ y

∂ y∂ x

Jika z = 0 maka F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*)

menjadi

0=∂ F∂ x

+∂ F∂ y

∂ y∂ x

∂ y∂ x

=

−∂ F∂ x∂ F∂ y

asalkan ∂ F∂ y

≠ 0

Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan

oleh persamaan F(x,y,z) = 0 maka :

∂ z∂ x

=

−∂ F∂ x∂ F∂ z

dan ∂ z∂ y

=

−∂ F∂ y∂ F∂ z

asalkan ∂ F∂ z

≠ 0

F. Aplikasi Diferensial Parsial

Hubungan Maxwell dalam Termodinamika

Termodinamika merupakan cabang Fisika yang paling banyak menggunakan

perumusan turunan dan diferensial parsial. Misalnya, hukum I Termodinamika

dapat dituliskan dalam bentuk diferensial berikut:

d Q=dU +dW ………....(1)

dengan d Q menyatakan sejumlah kecil kalor yang keluar/masuk sistem, dU

menyatakan selisih infinitesimal energi dalam sistem dan d W menyatakan

sejumlah kecil kerja yang diterima/dilakukan sistem. Perlu dicatat bahwa d Q dan

d W bukan menyatakan selisih, sehingga operator diferensialnya dituliskan

sebagai d . Untuk sistem yang bersifat reversibel atau prosesnya dapat dibalik

arahnya, maka berlaku hubungan:

d Q=TdS…………………(2)

Dengan T adalah temperatur dan dS adalah selisih infinitesimal entropi (S)

sistem. Sementara itu, sejumlah kecil usaha dapat dituliskan sebagai:

d W=PdV …………………(3)

dengan P adalah tekanan dan dV adalah selisih infinitesimal volume (V ) sistem.

Berdasarkan hubungan pada persamaan (2) dan (3), maka persamaan (1) dapat

dituliskan kembali sebagai:

dU =TdS−PdV……………(4)

Dari perumusan ini jelas terlihat bahwa energi dalam merupakan fungsi dari

entropi dan volume, U=U (S ,V ).

Tinjau kembali definisi diferensial total yang telah dijelaskan sebelumnya yang

ditulis ulang sebagai berikut :

df =( ∂ f∂ x )

y

dx+( ∂ f∂ y )

x

dy……(5)

Dengan ( ∂ f∂ x )

ymenyatakan turunan parsial f terhadap x dengan y konstan dan

( ∂ f∂ y )

xmenyatakan turunan parsial f terhadap y dengan x konstan. Selanjutnya kita

asumsikan bahwa kita berhubungan dengan fungsi f yang bersifat konservatif

sehingga memenuhi kondisi berikut:

∂2 f∂ x∂ y

= ∂2 f∂ y∂ x

………… ………(6)

Maka dari sini kita dapatkan diferensial total dari fungsi U=U (S ,V ) adalah :

dU =( ∂ U∂ S )

V

dS+( ∂U∂ V )

S

dV

Bandingkan dengan persamaan 4 yang kita peroleh :

( ∂ U∂ S )

V

=T ,( ∂ U∂ V )=−P

Selanjutnya berdasarkan kondisi 6 dan turnan parsial berikut :

∂∂ V ( ∂ U

∂ S )= ∂2 U∂V ∂ S

=( ∂ T∂V )

S

∂∂ S ( ∂ U

∂ V )= ∂2 U∂ S∂ V

=( ∂T∂ S )

V

Diperoleh hubungan berikut :

( ∂T∂ V )

S

=−( ∂ P∂ S )

V

yang dikenal sebagai salah satu dari empat buah “Hubungan Maxwell” (Maxwell

Relations) dalam Termodinamika. Pada hubungan ini diperlihatkan bahwa pada

proses reversibel, perubahan temperatur terhadap volume pada entropi tetap sama

dengan negatif perubahan tekanan terhadap entropi pada volume tetap.

G. Peubah Variabel

Hampir semua fenomena-fenomena di dalam Fisika harus digambarkan

melalui persamaan diferensial. Jika fenomena tersebut melibatkan beberapa

variabel, baik berupa besaran pokok ataupun besaran turunan, maka persamaan

diferensial yang terkait akan berbentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan

diferensial terkait tersebut kadang – kadan akan lebih mudah dicari solusinya jika

kita menyatakan dalam bentuk variable – variable baru yang merupakan fungsi

dari variabel lama. Untuk jelasnya, tinjau sebagai contoh persamaan gelombang

berikut:

∂2Ψ∂ x2 = 1

v2

∂2Ψ∂ t 2 …………………….(7)

Dengan Ψ menyatakan fungsi gelombang dan v merupakan laju

perambatan gelombang. Dalam pengalaman sehari-hari, kita sering menjumpai

gundukan air yang merambat di dalam kolam atau perambatan gelombang air laut

di pantai. Secara ideal, kesemuanya dapat dihampiri oleh persamaan (1) di atas.

Persamaan gelombang (1) memiliki solusi yang dapat menggambarkan

perambatan dua gelombang yang saling berlawanan arah, oleh karena itu untuk

menggambarkannya kita dapat mendefinisikan variabel baru berikut:

r=x+vt…………………………..(8a)

s= x – vt…………………………….(8b)

Sekarag kita misalkan Ψ = Ψ (r , s), dengan r=r (x ,t ) dan s=s (x ,t) seperti

yang diberikan oleh persamaan (8). Diferensial total Ψ , r dan s adalah:

d Ψ=∂ Ψ∂ r

dr+ ∂Ψ∂ s

ds……………….,(9a)

d r= ∂ r∂ x

dx+ ∂ r∂t

dt………………….. (9b)

d s= ∂ s∂ x

dx+ ∂ s∂t

dt ……………………….(9c)

Dari ketiga diferensial total kita dapatkan:

d Ψ=( ∂ Ψ∂ r

∂r∂ x

+ ∂Ψ∂ s

∂ s∂ x )dx+( ∂Ψ

∂r∂r∂ t

+ ∂ Ψ∂ s

∂ s∂t )dt………(10)

yang sekarang merupakan diferensial total terhadap x dan t , sehingga dengan

demikian kita peroleh:

∂ Ψ∂ x

=∂Ψ∂r

∂ r∂ x

+ ∂ Ψ∂ s

∂ s∂ x

………………………………………..(11a)

∂ Ψ∂t

=∂Ψ∂r

∂r∂ t

+ ∂ Ψ∂ s

∂ s∂t

…………………………………………(11b)

Berdasarkan persamaan (8):

∂r∂ x

=1 ,∂r∂ t

=v ,∂ s∂ x

=1 ,∂ s∂t

=−v ………………………………. (12)

sehingga persamaan (11) memiliki bentuk sebagai berikut:

∂ Ψ∂ x

=( ∂∂ r

+ ∂∂ s )Ψ ...............................................................................(13a)

∂ Ψ∂t

=v ( ∂∂ r

− ∂∂ s )Ψ ……………………………………………(13b)

Akan berguna jika kita menyatakan operator pada persamaan (13) sebagai berikut:

∂∂ x

= ∂∂ r

+ ∂∂ s

…………………………………………………..(14a)

∂∂ t

=v ( ∂∂ r

− ∂∂ s )………………………………………………..(14b)

Untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi Ψ terhadap x dan t , kita dapat

menggunakan penulisan operator pada persamaan (14) sebagai berikut:

∂2Ψ∂ x2 = ∂

∂ x ( ∂Ψ∂ x )=( ∂

∂r+ ∂

∂ s )( ∂ Ψ∂ s

+ ∂ Ψ∂ s )=∂2Ψ

∂ r2 +2∂2Ψ∂r ∂ s

+ ∂2Ψ∂ s2 ………....(15a)

∂2Ψ∂t 2 = ∂

∂ x ( ∂Ψ∂ t )=v2( ∂

∂ r− ∂

∂ s )( ∂ Ψ∂ s

−∂ Ψ∂ s )=v2( ∂2Ψ

∂ r2 −2∂2 Ψ

∂ r ∂ s+ ∂2 Ψ

∂ s2 )………….

(15b)

Selanjutnya substitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan gelombang (7)

diperoleh bentuk persamaan diferensial untuk gelombang dalam variabel r dan s

sebagai berikut:

∂2Ψ∂ r ∂ s

=0 ……………………………………………………………………………(16)

Persamaan gelombang (16) jelas lebih sederhana dari persamaan (7). Pemecahan

dari persamaan (64) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

Ψ =Ψ ( x+vt )+Ψ + ¿(x−vt )¿…………………………………………..(17)

yang tidak lain menggambarkan gelombang yang merambat ke arah x negatif

(diwakili oleh fungsi Ψ−¿¿) dan gelombang yang merambat ke arah x positif

(diwakili oleh fungsi Ψ +¿ ¿).

H. Diferensiasi Integral (aturan Leibniz)

Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama

kalkulus (yang lainnya adalah Isaac newton). Cara penulisannya (notasinya)

untuk turunan masih dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan

seperti halnya Fisika, kimia, dan ekonomi. Daya tariknya terletak dalam

bentuknya, sebuah bentuk yang seringmengemukakan hasil-hasil yang benar

dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana membuktikannya. Setelah kita

menuasai notasi Leibniz, kita akanmenggunakannya untuk menyatakan

kembali Aturan rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan

tersebut.

Pertambahan

Jika nilai sebuah variabel x berganti dari x1 ke x2 makax2 – x1,

perubahan dalam x disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan

oleh ∆ x. Jika x1=4,1 dan x2=5,7 maka

∆ x=x 2– x1=5,7 – 4,1=1,6

Jika x1 = c dan x2 = c+h, maka

∆ x=x 2– x1=c+h –c=h

Andaikan bahwa y=f (x ) menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah dari

x1 ke x2 maka y 1 berubah dari 1=f (x 1)ke y2=f (x 2) . Jadi bersesuaian dengan

pertambahan ∆ x=x 2– x1 dalam x, terdapat pertambahan dalam y yang diberikan

oleh

∆ y= y 2 – y1=f (x 2)– f (x 1)

Contoh 5.

Jika y = f(x) = 2 – x2. Carilah ∆ y jika x berubah dari 0,4 ke 1,3

Penyelesaian :

∆ y=f (1,3) – f (0,4 )

¿ [2 – (1,3)2] – [2– (0,4)2]

¿0,31 – 1,84

¿−1,53

Lambang dy/dx turunan

Andaikan variabel bebas beralih dari x ke x+∆ x. Perubahan yang terjadi

dalam variabel tak bebas y akan berupa

∆ y = f (x+∆ x) – f(x)

ΔyΔx

=f ( x+∆ x )−f (x )

∆ x

Soal dan Pembahasan

1. Carilah f x (1,2 ) dan f y (1,2 ) jika f ( x , y )=x2 y+3 y3.

Penyelesaian:

Untuk mencari f x (x , y) kita anggap y sebagai konstanta dan kita

diferensialkan fungsi ini terhadapx didapat

f x ( x , y )=2 xy+0

Jadi,

f x (1,2 )=2 ∙1 ∙2=4

Demikian pula,

f y ( x , y )=x2+9 y2

Sehingga,

f y (1,2 )=12+9∙ 22=37

Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain.

f x ( x , y )= ∂ z∂ x

=∂ f ( x , y )

∂ x f y ( x , y )= ∂ z

∂ y=

∂ f (x , y )∂ y

f x ( x0 , y0 )= ∂ z∂ x|( x0 , y0)

f y ( x0 , y0 )= ∂ z∂ y|( x0 , y0)

Lambang ∂ adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan

parsial.

2. Jika z=x2 sin ( xy2) , cari ∂ z∂ x

dan ∂ z∂ y

.

Penyelesaian :

∂ z∂ x

=x2 ∂∂ x

[sin ( xy2 ) ]+sin ( xy2 ) ∂∂ x

(x2)

¿ x2cos ( xy2 ) ∂∂ x

( xy2 )+sin ( xy2 ) .2 x

¿ x2cos ( xy2 ) . y2+2 x sin (xy2)

¿ x2 y2 cos ( xy2 )+2 x sin (xy2)

∂ z∂ y

=x2 cos ( xy2 ) .2 xy=2 x3 y cos ( xy2 )

3. Cari keempat turunan parsial kedua dari

f ( x , y )=x ey−sin( xy )+x3 y2

Penyelesaian :

f x ( x , y )=ey− 1y

cos( xy )+3 x2 y2

f y ( x , y )=xe y+ x

y2cos( x

y )+2 x3 y

f xx ( x , y )= 1

y2sin ( x

y )+6 x y2

f yy ( x , y )=xe y+ x2

y4 sin ( xy )−2 x

y3 cos ( xy )+2 x3

f xy ( x , y )=e y+ x

y3sin ( x

y )+ 1

y2cos( x

y )+6 x2 y

f yx (x , y )=e y+ x

y3sin( x

y )+ 1

y2cos ( x

y )+6 x2 y

4. Jika f (x , y , z)=xy+2 yz+3 zx, cari f x , f y , f z

Penyelesaian :

Untuk memperoleh f x, kita pandang y dan z sebagai konstanta dan turunkan

terhadap peubahx. Jadi,

f x ( x , y , z )= y+3 z

Untuk mencari f y, kita anggap x dan z sebagai konstanta dan turunkan

terhadapy:

f y ( x , y , z )=x+2 z

Serupa halnya,

f z ( x , y , z )=2 y+3x

5. Suatu tangki silinder berjari 0 jari 2,5 m dan tingginya 3 m mempunyai lubang

pada alasnya dengan jari – jari 25 mm. Diketahui bahwa air akan mengalir ke

luar melalui lubang semacam ini dengan kecepatan mendekati v=2,5√hm /s,

h adalah dalamnya air dalam tangki. Carilah waktu yang diperlukan untuk

mengosongkan tangki itu lewat lubang tersebut.

Penyelesaian :

Volume air yang mengalir ke luar per detik dapat dipikirkan sebagai volume

silinder yang berjari – jari 25 mm dan tingginya v. dengan demikian volume

yang mengalir keluar pada saat dt detik adalah

π (0,025)2 (2,5√h ) dt

Perubahan permukaan air di tangki dinyatakan dengan dh, volume air yang

mengalir ke luar dinyatakan oleh(2,5 )2 π dh. Maka :

π (0,025 )2 ( 2,5√h )dt=−π (2,5 )2 dh atau dt=−( 2,50,025 )

2 dh2,5√h

=−4000dh√h

Integrasikan antara t=0, h=3 dan t=t, h=0,

∫0

t

dt=∫3

0

−4000∫3

0dh√h

=−8000 √h|3

0=8000√3 detik

¿3 jam 34 detik