Download - Asri Amaliza Fathia Matusea
DIFERENSIAL PARSIAL
Persamaan Diferensial Parsial adalah suatu persamaan yang melibatkan
fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau diferensialnya. Persamaan
diferensial parsial dijumpai dalam kaitan dengan berbagai masalah fisik dan
geometris. Bila fungsi yang terlibat tergantung pada dua atau lebih peubah bebas.
Tidak berlebihan jika dikatakan bahwa hanya sistem fisik yang paling sederhana
yang dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa mekanika fluida dan
mekanika padat, transfer panas, teori elektromagnetik dan berbagai bidang fisika
lainnya penuh dengan masalah-masalah yang harus dimodelkan dengan
persamaan differensial parsial.
Umumnya, jika f adalah fungsi dua variable x dan y, andaikan kita
misalkan hanya x saja yang berubah-ubah sedangkan y dibuat tetap, katakan y=b
dengan b konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variable
tunggal x, yaitu g ( x )=f ( x , b ) . jika g mempunyai turunan di a, maka kita
menamakannya turunan parsial dari f terhadap x di (a ,b) dan menyatakannya
dengan f x (a ,b). Jadi
1. f x (a , b )=g ' (a ) dengan g ( x )=f (x , b)
Menurut definisi turunan, kita mempunyai
g' (a )=limh →0
f (a+h ,b )−f (a ,b)h
Sehingga persamaan nomor 1 menjadi
2. f x ( a ,b )=limh →0
f (a+h , b )−f (a , b)h
Dengan cara serupa, turunan parsial dari f terhadap y di (a ,b) , dinyatakan dengan
f y ( a , y ), diperoleh dengan membuat x tetap(x=a)dan mencari turunan biasa dib
dari fungsi G( y )=f (a , y )
3. f y (a ,b )=limh → 0
f ( a , b+h )−f (a ,b )h
Jika f adalah fungsi dua variable, turunan parsialnya adalah fungsi f x dan f y yang
didefinisikan oleh
4. f x ( x , y )=limh →0
f ( x+h , y )−f (x , y )h
f y ( x , y )=limh→ 0
f (x , y+h )−f (x , y)h
Contoh 1.
Tentukan turunan parsial terhada x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang
dirumuskan dengan f(x,y)= x2y + 5x +4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f
terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3)
Penyelesaian
∂ f ( x , y )∂ x
= lim∆ x →0
f ( xo+∆ x , yo )−f ( xo , yo )∆ x
¿ lim∆ x→ 0
(x+∆ x )2 y+5 ( x+∆ x )+4 (x2 y+5 x+4 )∆ x
¿ lim∆ x→ 0
x2 y+2 x ∆ xy+(∆ x )2 y+5 x+5 ∆ x+4−( x2 y+5 x+4)∆ x
¿ lim∆ x→ 0
2 x ∆ xy+(∆ x)2 y+5 ∆ x∆ x
¿2 xy+5
∂ f ( x , y )∂ y
= lim∆ x →0
f ( xo , y0+∆ y )−f ( xo , yo )∆ y
¿ lim
∆ x→ 0
x2 ( y+∆ y )−5 x+4−(x2 y+5 x+4)∆ y
¿ lim
∆ x→ 0
x2∆ y∆ y
¿ x2 Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah
∂ f (2,3 )∂ x
=2 (2 ) (3 )+5=17
dan turunan f terhadap y dititik (2,3) adalah ∂ f (2,3 )
∂ y=22=4
Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variabel f(x,y)
maka dapat dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variabel x
maka y diperlakukan seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variabel
y maka x diperlakukan seperti konstanta.
Contoh 2.
Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang
dirumuskan dengan f (x,y) = 3x4y2 + xy2 +4y
Penyelesaian :
∂ f ( x , y )∂ x
=12 x3 y2+ y2
∂ f ( x , y )∂ y
=6 x4+2 xy+4
A. Notasi Diferensial Parsial
Jika z=f (x , y ) kita tuliskan
f x ( x , y )=f x=∂ f∂ x
= ∂∂ x
f ( x , y )= ∂ z∂ x
=f 1=D 1 f =D x f
f y ( x , y )=f y=∂ f∂ y
= ∂∂ y
f ( x , y )= ∂ z∂ y
= f 2=D2 f =D y f
B. Deret Pangkat dengan 2 Variabel
Bentuk dasar persamaaan deret pangkat :
∑m=0
∞
am(x−x0)m=a0+a1 ( x−x0 )+a2( x−x0)
2+…(1)
x adalah sebuah varibel dan ao ,a1 ,a2 …. adalah konstanta-konstantanya. xo
adalah sebuah konstanta yang disebut sebagai pusat dari deret. Jika xo = 0,
kitadapatkan deret pangkat x.
∑m=0
∞
am xm=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+… (2 )
Ide dari metode deret pangkat
PD2 : y} + p left (x right ) {y} ^ {'} + q left (x right ) y + ¿
Kita asumsikan penyelesaian dalam bentuk deret pangkat sebagai
berikut
y=∑m=0
∞
am xm=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+… (3 )
y '=∑m=1
∞
mam xm−1=a1+2a2 x+3 a3 x2+4 a4 x3+… (4 a )
y ' '=∑m=1
∞
m(m−1)am xm−2=2a2+3.2 a3 x+4.3 a4 x2+… (4b )
Diferensial Deret Pangkat
Deret pangkat dapat diturunkan bagian per bagian.
y ( x )=∑m=0
∞
am(x−x0)m
Konvergen untuk |x−x0|<R dimana R>0, maka deret turunannya juga
konvergen.
y ' (x )=∑m=1
∞
mam ( x−x0)m−1 (|x−x0|<R )
y ' ' ( x )=∑m=2
∞
m (m−1 ) am ( x−x0 )m−2 (|x−x0|< R ) , etc .
C. Diferensial Total
Diferensial total adalah perubahan fungsi f (x , y ) terhadap pertambahan
salah satu variabelnya x atau y. Misalkan fungsi f (x , y ) mempunyai turunan
parsial di (x , y ). Pertambahan fungsi f (x , y ) jika x ditambah menjadi x+∆ x dan
y menjadi y+∆ y adalah
∆ f =f ( x+∆ x , y+∆ y )−f ( x , y )
Jika ditambah dan dikurangi f ( x , y+∆ y ) di ruas kanan, diperoleh
∆ f = [ f ( x+∆ x , y+∆ y )−f ( x , y+∆ y ) ]+[ f ( x , y+∆ y )−f (x , y ) ]pers (*)
pertambahan x dalam fungsi f ( x , y+∆ y )
dengan mempertahankan y+∆ y tetap.
Teorema nilai rata-rata kalkulus
Jika f (x) memiliki turunan f ’ (x ) pada setiap titik dalam selang [x - ∆x, x+ ∆x]
maka :
[ f (x+∆ x )−f (x )]=f ’ (ξ )∆ x
Dengan ξ=x+∆ x (0<¿1) sebuah titik dalam selang [ x−∆ x , x+∆ x ].
Dengan demikian,
[ f (x+∆ x , y+∆ y )– f (x , y+∆ y )]=f x (x+1 ∆ x , y+∆ y )∆ x
dengan 0 < q1 < 1
Dengan cara yang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan
[ f (x , y+∆ y )– f ( x , y )]=f y ( x , y+2∆ y )∆ y
dengan 0 < q2 < 1
Jika turunan parsial f x (x , y) dan f y ( x , y ) kontinu di (x , y ), maka
f x (x+1∆ x , y+∆ y)=f x (x , y )+ε 1
f y ( x , y+2∆ y )=f y (x , y)+ε2
dengan lim ε1= 0 dan lim ε2 = 0 , bila ∆x dan ∆y menuju nol. Pers.(*)
teralihkan menjadi :
∆ f =f x (x , y )∆ x+ f y (x , y )∆ y+ε 1 ∆ x+ε 2 ∆ y
Dengan mengambil limit ∆x ®0 dan ∆y®0, diperoleh turunan total fungsi f(x,y)
:
df =∂ f∂ x
dx+ ∂ f∂ y
dy
Untuk f (x , y , z , ...) , turunan totalnya
df =∂ f∂ x
dx+ ∂ f∂ y
dy+ ∂ f∂ z
dz+…
Contoh 3
Hitunglah diferensial total fungsi f (x , y )=xy 2– sin(xy ) .
Penyelesaian :
f x= y2 – y cos (xy ) dan f y=2 xy−xcos (xy )
Sehingga turunan totalnya :
df =( y 2 – y cos (xy))dx+¿
D. Aturan Rantai
Aturan Rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah
dikenal oleh semua pembaca. Jika y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi
yang dapat didiferensialkan, maka
dydt
=∂ y∂ x
dxdt
y=f (u) dan u=φ(x)
y=f ¿, composite fungsi
2 fungsi : dydx
=∂ y∂u
dudx
3 fungsi : dydx
=∂ y∂u
dudv
dvdx
Rumus 1
(Aturan Rantai). Andaikan x=x (t) dan y= y (t) dapat didiferensialkan di t
dan andaikan
z=f (x , y )dapat didiferensialkan di (x (t) , y (t)). Makaz=f (x (t)) dapat
didiferensialkan di t, maka :
dzdt
=∂ z∂ x
dxdt
+ ∂ z∂ y
dydt
Rumus 2
(Aturan Rantai). Misalkan x=x (s , t) dan y= y (s ,t )mempunyai turunan
peetama di (s , t) dan misalkan z=f (x , y )dapat didiferensialkan di
(x (s , t) , y (s ,t )). Maka z=f (x (s , t) , y (s ,t)) mempunyai turunan parsial
pertama yang diberikan oleh,
Jika, z=f (x , y ) , x=x (s , t) , y= y (s , t), maka
(1)∂ z∂ s
= ∂ z∂ x
∂ x∂ s
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ s
(2)∂ z∂ t
= ∂ z∂ x
∂ x∂ t
+ ∂ z∂ y
∂ y∂t
Rumus 3
Jika, w=f (x , y , z) , x=x (r , s , t) , y= y (r , s , t) , z=(r , s ,t ) maka
(1)∂ w∂ r
=∂ w∂ x
∂ x∂ r
+ ∂ w∂ y
∂ y∂ r
+ ∂ w∂ z
∂ z∂ r
(2)∂ w∂ s
=∂ w∂ x
∂ x∂ s
+ ∂ w∂ y
∂ y∂ s
+ ∂ w∂ z
∂ z∂ s
(3)∂ w∂ t
=∂ w∂ x
∂ x∂ t
+ ∂ w∂ y
∂ y∂ t
+ ∂ w∂ z
∂ z∂t
ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI
1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y)
dengan u dan v kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F
fungsi dari u dan v yang mempunyai turunan pertama yang kontinu dalam
daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka:
∂ F∂ x
=∂ F∂u
∂ u∂ x
+ ∂ F∂ v
∂ v∂ x
dan ∂ F∂ y
=∂ F∂u
∂ u∂ y
+ ∂ F∂ v
∂ v∂ y
2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua
variable u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial
pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka:
∂ F∂ x
=∂ F∂u
∂ u∂ x
+ ∂ F∂ v
∂ v∂ x
+ ∂ F∂ w
∂ w∂ x
dan ∂ F∂ y
=∂ F∂u
∂ u∂ y
+ ∂ F∂ v
∂ v∂ y
+ ∂ F∂ w
∂ w∂ y
Contoh 4.
1. z=4 xy+x2− y2 denganx=t cos t , dan y=sin t .Mengingat,
∂ z∂ x
=4 y+2 x∂ z∂ y
=4 x−2 y
dxdt
=cot− t sin tdydt
=sin t−t cos t
Jawab :
dzdt
=∂ z∂ x
dxdt
+ ∂ z∂ y
dydt
¿ (4 y+2x ) (cot−t sin t )+(4 y−2 y )(sin t−t cos t)
¿ ( 4 t−2 t2 ) sin 2t +(2 t+4 t 2 ) cos2 t
2. z=x2+4 xy− y2 denganx=r cos2 t , dan y=r sin 2 t .Mengingat,
∂ z∂ x
=2 x+4 y∂ z∂ y
=4 x−2 y
∂ x∂r
=cos 2t∂ y∂ r
=sin 2t
∂ x∂ t
=−2 r sin 2 t∂ y∂ t
=2r cos 2t
Jawab :
∂ z∂ r
= ∂ z∂ x
∂ x∂ r
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ r
=(2 x+4 y ) cos2 t+ (4 x−2 y ) sin 2t
∂ z∂ t
= ∂ z∂ x
∂ x∂ t
+ ∂ z∂ y
∂ y∂t
=(2 x+4 y ) (−2 r sin2 t )+(4 x−2 y)(2r cos2 t)
E. Diferensial Implisit
Aturan hubungan sebuah fungsi mungki tidak eksplisit. Sebagai contoh,
aturan y=f (x ) adalh implisit terhadap persamaan x2+4 xy5+7 xy+8=0. Lebih
lanjut, tidak ada alasan untuk percaya bahwa persamaan ini dapat diselesaikan
untuk y dalam bentuk x. Akan tetapi, dengan mengasumsukan domain yang sama
(yang dijelaskan oleh variabel bebas x) angggota persamaan dari ruas kiri dapat
diartikan sebagai komposisi fungsi-fungsi dan didiferensiasi dengan benar. (aturan
diferensiasi berikut ini ditulis untuk untuk anda cek kebenarannya).
Dalam contoh ini, diferensiasi terhadap x menghasilakan
2 x+4 ( y5+5 xy 4 dydx )+7( y+x
dydx )=0
Perhatikanlah bahwa persamaan ini dapat diselesaikan untuk dydx
sebagai fungsi
dari x dan y (tetapi tidak untuk x semata).
Diberikan, F (x , y )=c maka
dydx
=−(∂ F /∂ x )(∂ F /∂ y)
dxdy
=−(∂ F /∂ y)(∂ F /∂ x)
Hitung,dydx
dari 3 xy2+3 y3=x3
Misalkan, F (x , y )= 3 xy2+3 y3=x3, maka :
∂ F∂ x
=3 y2−3 x2=3( y2−x2)
∂ F∂ x
= 6xy + 9 y2
Demikian pula, jikaF (x , y , z)=c, maka
∂ z∂ x
=−(∂ F /∂ x)(∂ F /∂ z )
∂ z∂ y
=−(∂ F /∂ y )(∂ F /∂ z )
Misal z = F(x,y) dan y = g(x), maka z = F(x, g(x)) menyatakan fungsi satu variable,
sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:
∂ z∂ x
=∂ F∂ x
∂ x∂ x
+ ∂ F∂ y
∂ y∂ x
∂ z∂ x
=∂ F∂ x
+ ∂ F∂ y
∂ y∂ x
Jika z = 0 maka F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*)
menjadi
0=∂ F∂ x
+∂ F∂ y
∂ y∂ x
∂ y∂ x
=
−∂ F∂ x∂ F∂ y
asalkan ∂ F∂ y
≠ 0
Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan
oleh persamaan F(x,y,z) = 0 maka :
∂ z∂ x
=
−∂ F∂ x∂ F∂ z
dan ∂ z∂ y
=
−∂ F∂ y∂ F∂ z
asalkan ∂ F∂ z
≠ 0
F. Aplikasi Diferensial Parsial
Hubungan Maxwell dalam Termodinamika
Termodinamika merupakan cabang Fisika yang paling banyak menggunakan
perumusan turunan dan diferensial parsial. Misalnya, hukum I Termodinamika
dapat dituliskan dalam bentuk diferensial berikut:
d Q=dU +dW ………....(1)
dengan d Q menyatakan sejumlah kecil kalor yang keluar/masuk sistem, dU
menyatakan selisih infinitesimal energi dalam sistem dan d W menyatakan
sejumlah kecil kerja yang diterima/dilakukan sistem. Perlu dicatat bahwa d Q dan
d W bukan menyatakan selisih, sehingga operator diferensialnya dituliskan
sebagai d . Untuk sistem yang bersifat reversibel atau prosesnya dapat dibalik
arahnya, maka berlaku hubungan:
d Q=TdS…………………(2)
Dengan T adalah temperatur dan dS adalah selisih infinitesimal entropi (S)
sistem. Sementara itu, sejumlah kecil usaha dapat dituliskan sebagai:
d W=PdV …………………(3)
dengan P adalah tekanan dan dV adalah selisih infinitesimal volume (V ) sistem.
Berdasarkan hubungan pada persamaan (2) dan (3), maka persamaan (1) dapat
dituliskan kembali sebagai:
dU =TdS−PdV……………(4)
Dari perumusan ini jelas terlihat bahwa energi dalam merupakan fungsi dari
entropi dan volume, U=U (S ,V ).
Tinjau kembali definisi diferensial total yang telah dijelaskan sebelumnya yang
ditulis ulang sebagai berikut :
df =( ∂ f∂ x )
y
dx+( ∂ f∂ y )
x
dy……(5)
Dengan ( ∂ f∂ x )
ymenyatakan turunan parsial f terhadap x dengan y konstan dan
( ∂ f∂ y )
xmenyatakan turunan parsial f terhadap y dengan x konstan. Selanjutnya kita
asumsikan bahwa kita berhubungan dengan fungsi f yang bersifat konservatif
sehingga memenuhi kondisi berikut:
∂2 f∂ x∂ y
= ∂2 f∂ y∂ x
………… ………(6)
Maka dari sini kita dapatkan diferensial total dari fungsi U=U (S ,V ) adalah :
dU =( ∂ U∂ S )
V
dS+( ∂U∂ V )
S
dV
Bandingkan dengan persamaan 4 yang kita peroleh :
( ∂ U∂ S )
V
=T ,( ∂ U∂ V )=−P
Selanjutnya berdasarkan kondisi 6 dan turnan parsial berikut :
∂∂ V ( ∂ U
∂ S )= ∂2 U∂V ∂ S
=( ∂ T∂V )
S
∂∂ S ( ∂ U
∂ V )= ∂2 U∂ S∂ V
=( ∂T∂ S )
V
Diperoleh hubungan berikut :
( ∂T∂ V )
S
=−( ∂ P∂ S )
V
yang dikenal sebagai salah satu dari empat buah “Hubungan Maxwell” (Maxwell
Relations) dalam Termodinamika. Pada hubungan ini diperlihatkan bahwa pada
proses reversibel, perubahan temperatur terhadap volume pada entropi tetap sama
dengan negatif perubahan tekanan terhadap entropi pada volume tetap.
G. Peubah Variabel
Hampir semua fenomena-fenomena di dalam Fisika harus digambarkan
melalui persamaan diferensial. Jika fenomena tersebut melibatkan beberapa
variabel, baik berupa besaran pokok ataupun besaran turunan, maka persamaan
diferensial yang terkait akan berbentuk persamaan diferensial parsial. Persamaan
diferensial terkait tersebut kadang – kadan akan lebih mudah dicari solusinya jika
kita menyatakan dalam bentuk variable – variable baru yang merupakan fungsi
dari variabel lama. Untuk jelasnya, tinjau sebagai contoh persamaan gelombang
berikut:
∂2Ψ∂ x2 = 1
v2
∂2Ψ∂ t 2 …………………….(7)
Dengan Ψ menyatakan fungsi gelombang dan v merupakan laju
perambatan gelombang. Dalam pengalaman sehari-hari, kita sering menjumpai
gundukan air yang merambat di dalam kolam atau perambatan gelombang air laut
di pantai. Secara ideal, kesemuanya dapat dihampiri oleh persamaan (1) di atas.
Persamaan gelombang (1) memiliki solusi yang dapat menggambarkan
perambatan dua gelombang yang saling berlawanan arah, oleh karena itu untuk
menggambarkannya kita dapat mendefinisikan variabel baru berikut:
r=x+vt…………………………..(8a)
s= x – vt…………………………….(8b)
Sekarag kita misalkan Ψ = Ψ (r , s), dengan r=r (x ,t ) dan s=s (x ,t) seperti
yang diberikan oleh persamaan (8). Diferensial total Ψ , r dan s adalah:
d Ψ=∂ Ψ∂ r
dr+ ∂Ψ∂ s
ds……………….,(9a)
d r= ∂ r∂ x
dx+ ∂ r∂t
dt………………….. (9b)
d s= ∂ s∂ x
dx+ ∂ s∂t
dt ……………………….(9c)
Dari ketiga diferensial total kita dapatkan:
d Ψ=( ∂ Ψ∂ r
∂r∂ x
+ ∂Ψ∂ s
∂ s∂ x )dx+( ∂Ψ
∂r∂r∂ t
+ ∂ Ψ∂ s
∂ s∂t )dt………(10)
yang sekarang merupakan diferensial total terhadap x dan t , sehingga dengan
demikian kita peroleh:
∂ Ψ∂ x
=∂Ψ∂r
∂ r∂ x
+ ∂ Ψ∂ s
∂ s∂ x
………………………………………..(11a)
∂ Ψ∂t
=∂Ψ∂r
∂r∂ t
+ ∂ Ψ∂ s
∂ s∂t
…………………………………………(11b)
Berdasarkan persamaan (8):
∂r∂ x
=1 ,∂r∂ t
=v ,∂ s∂ x
=1 ,∂ s∂t
=−v ………………………………. (12)
sehingga persamaan (11) memiliki bentuk sebagai berikut:
∂ Ψ∂ x
=( ∂∂ r
+ ∂∂ s )Ψ ...............................................................................(13a)
∂ Ψ∂t
=v ( ∂∂ r
− ∂∂ s )Ψ ……………………………………………(13b)
Akan berguna jika kita menyatakan operator pada persamaan (13) sebagai berikut:
∂∂ x
= ∂∂ r
+ ∂∂ s
…………………………………………………..(14a)
∂∂ t
=v ( ∂∂ r
− ∂∂ s )………………………………………………..(14b)
Untuk mencari turunan parsial kedua dari fungsi Ψ terhadap x dan t , kita dapat
menggunakan penulisan operator pada persamaan (14) sebagai berikut:
∂2Ψ∂ x2 = ∂
∂ x ( ∂Ψ∂ x )=( ∂
∂r+ ∂
∂ s )( ∂ Ψ∂ s
+ ∂ Ψ∂ s )=∂2Ψ
∂ r2 +2∂2Ψ∂r ∂ s
+ ∂2Ψ∂ s2 ………....(15a)
∂2Ψ∂t 2 = ∂
∂ x ( ∂Ψ∂ t )=v2( ∂
∂ r− ∂
∂ s )( ∂ Ψ∂ s
−∂ Ψ∂ s )=v2( ∂2Ψ
∂ r2 −2∂2 Ψ
∂ r ∂ s+ ∂2 Ψ
∂ s2 )………….
(15b)
Selanjutnya substitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan gelombang (7)
diperoleh bentuk persamaan diferensial untuk gelombang dalam variabel r dan s
sebagai berikut:
∂2Ψ∂ r ∂ s
=0 ……………………………………………………………………………(16)
Persamaan gelombang (16) jelas lebih sederhana dari persamaan (7). Pemecahan
dari persamaan (64) tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
Ψ =Ψ ( x+vt )+Ψ + ¿(x−vt )¿…………………………………………..(17)
yang tidak lain menggambarkan gelombang yang merambat ke arah x negatif
(diwakili oleh fungsi Ψ−¿¿) dan gelombang yang merambat ke arah x positif
(diwakili oleh fungsi Ψ +¿ ¿).
H. Diferensiasi Integral (aturan Leibniz)
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama
kalkulus (yang lainnya adalah Isaac newton). Cara penulisannya (notasinya)
untuk turunan masih dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan
seperti halnya Fisika, kimia, dan ekonomi. Daya tariknya terletak dalam
bentuknya, sebuah bentuk yang seringmengemukakan hasil-hasil yang benar
dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana membuktikannya. Setelah kita
menuasai notasi Leibniz, kita akanmenggunakannya untuk menyatakan
kembali Aturan rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan
tersebut.
Pertambahan
Jika nilai sebuah variabel x berganti dari x1 ke x2 makax2 – x1,
perubahan dalam x disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan
oleh ∆ x. Jika x1=4,1 dan x2=5,7 maka
∆ x=x 2– x1=5,7 – 4,1=1,6
Jika x1 = c dan x2 = c+h, maka
∆ x=x 2– x1=c+h –c=h
Andaikan bahwa y=f (x ) menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah dari
x1 ke x2 maka y 1 berubah dari 1=f (x 1)ke y2=f (x 2) . Jadi bersesuaian dengan
pertambahan ∆ x=x 2– x1 dalam x, terdapat pertambahan dalam y yang diberikan
oleh
∆ y= y 2 – y1=f (x 2)– f (x 1)
Contoh 5.
Jika y = f(x) = 2 – x2. Carilah ∆ y jika x berubah dari 0,4 ke 1,3
Penyelesaian :
∆ y=f (1,3) – f (0,4 )
¿ [2 – (1,3)2] – [2– (0,4)2]
¿0,31 – 1,84
¿−1,53
Lambang dy/dx turunan
Andaikan variabel bebas beralih dari x ke x+∆ x. Perubahan yang terjadi
dalam variabel tak bebas y akan berupa
∆ y = f (x+∆ x) – f(x)
ΔyΔx
=f ( x+∆ x )−f (x )
∆ x
Soal dan Pembahasan
1. Carilah f x (1,2 ) dan f y (1,2 ) jika f ( x , y )=x2 y+3 y3.
Penyelesaian:
Untuk mencari f x (x , y) kita anggap y sebagai konstanta dan kita
diferensialkan fungsi ini terhadapx didapat
f x ( x , y )=2 xy+0
Jadi,
f x (1,2 )=2 ∙1 ∙2=4
Demikian pula,
f y ( x , y )=x2+9 y2
Sehingga,
f y (1,2 )=12+9∙ 22=37
Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain.
f x ( x , y )= ∂ z∂ x
=∂ f ( x , y )
∂ x f y ( x , y )= ∂ z
∂ y=
∂ f (x , y )∂ y
f x ( x0 , y0 )= ∂ z∂ x|( x0 , y0)
f y ( x0 , y0 )= ∂ z∂ y|( x0 , y0)
Lambang ∂ adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan
parsial.
2. Jika z=x2 sin ( xy2) , cari ∂ z∂ x
dan ∂ z∂ y
.
Penyelesaian :
∂ z∂ x
=x2 ∂∂ x
[sin ( xy2 ) ]+sin ( xy2 ) ∂∂ x
(x2)
¿ x2cos ( xy2 ) ∂∂ x
( xy2 )+sin ( xy2 ) .2 x
¿ x2cos ( xy2 ) . y2+2 x sin (xy2)
¿ x2 y2 cos ( xy2 )+2 x sin (xy2)
∂ z∂ y
=x2 cos ( xy2 ) .2 xy=2 x3 y cos ( xy2 )
3. Cari keempat turunan parsial kedua dari
f ( x , y )=x ey−sin( xy )+x3 y2
Penyelesaian :
f x ( x , y )=ey− 1y
cos( xy )+3 x2 y2
f y ( x , y )=xe y+ x
y2cos( x
y )+2 x3 y
f xx ( x , y )= 1
y2sin ( x
y )+6 x y2
f yy ( x , y )=xe y+ x2
y4 sin ( xy )−2 x
y3 cos ( xy )+2 x3
f xy ( x , y )=e y+ x
y3sin ( x
y )+ 1
y2cos( x
y )+6 x2 y
f yx (x , y )=e y+ x
y3sin( x
y )+ 1
y2cos ( x
y )+6 x2 y
4. Jika f (x , y , z)=xy+2 yz+3 zx, cari f x , f y , f z
Penyelesaian :
Untuk memperoleh f x, kita pandang y dan z sebagai konstanta dan turunkan
terhadap peubahx. Jadi,
f x ( x , y , z )= y+3 z
Untuk mencari f y, kita anggap x dan z sebagai konstanta dan turunkan
terhadapy:
f y ( x , y , z )=x+2 z
Serupa halnya,
f z ( x , y , z )=2 y+3x
5. Suatu tangki silinder berjari 0 jari 2,5 m dan tingginya 3 m mempunyai lubang
pada alasnya dengan jari – jari 25 mm. Diketahui bahwa air akan mengalir ke
luar melalui lubang semacam ini dengan kecepatan mendekati v=2,5√hm /s,
h adalah dalamnya air dalam tangki. Carilah waktu yang diperlukan untuk
mengosongkan tangki itu lewat lubang tersebut.
Penyelesaian :
Volume air yang mengalir ke luar per detik dapat dipikirkan sebagai volume
silinder yang berjari – jari 25 mm dan tingginya v. dengan demikian volume
yang mengalir keluar pada saat dt detik adalah
π (0,025)2 (2,5√h ) dt
Perubahan permukaan air di tangki dinyatakan dengan dh, volume air yang
mengalir ke luar dinyatakan oleh(2,5 )2 π dh. Maka :
π (0,025 )2 ( 2,5√h )dt=−π (2,5 )2 dh atau dt=−( 2,50,025 )
2 dh2,5√h
=−4000dh√h
Integrasikan antara t=0, h=3 dan t=t, h=0,
∫0
t
dt=∫3
0
−4000∫3
0dh√h
=−8000 √h|3
0=8000√3 detik
¿3 jam 34 detik