ANALISIS REGRESI NON LINEAR

MODEL HIPERBOLA

MAKALAH

Untuk memenuhi tugas matakuliah

Analisis Regresi

Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi

Oleh: Kelompok 4

Anita Hermaningtyas 408312408019

Umi Qoiriah 408312409125

Rachmadania Akbarita 408312409133

Elvira Firdausi N. 408312411952

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

Oktober 2010

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Salah satu teknik analisis data yang sedang ngetrend belakangan ini adalah

regresi. Regresi adalah salah satu metode peramalan yang dikenal dalam statistik.

Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan hubungan

sebab-akibat antara satu variabel dan variabel yang lain. Dalam dunia pendidikan,

regresi sangat sering digunakan oleh mahasiswa yang sedang menyelesaikan tugas

akhir.

Analisis regresi berguna untuk mengetahui pengaruh antara variabel bebas

(yang juga dikenal dengan prediktor) yang disimbolkan dengan dan variabel

terikat (yang juga dikenal dengan kriterium) yang disimbolkan dengan .

Istilah variabel bebas dan variabel terikat berasal dari matematika. Dalam

penelitian:

Variabel bebas adalah variabel yang dimanipulasikan oleh peneliti. Misalnya

seorang peneliti di bidang pendidikan yang mengkaji akibat dari berbagai

metode pengajaran. Peneliti dapat menentukan metode (sebagai variabel

bebas) dengan menggunakan berbagai macam metode. Dalam bahasa yang

lebih lugas, variabel bebas adalah variabel yang meramalkan sedangkan

variabel terikat adalah variabel yang diramalkan.

Variabel terikat adalah akibat yang diduga mengikuti perubahan dari variabel

bebas. Contoh, misalnya kita mengkaji tentang hubungan antara kecerdasan

dan prestasi sekolah, maka kecerdasan adalah variabel bebas dan prestasi

sekolah adalah variabel terikat. Jika kita meneliti hubungan antara merokok

dan penyakit kanker, maka merokok adalah variabel bebas dan penyakit

kanker adalah variabel terikat.

Meskipun terdapat banyak sekali bentuk regresi non linear yang biasa

digunakan tetapi di sini hanyalah akan ditinjau beberapa saja yang penting dan

termudah. Untuk regresi non linear atas yang akan ditinjau di sini, antara lain

berbentuk lengkungan :

a. Parabola kuadratis dengan persamaan:

b. Parabola kubis dengan persamaan:

c. Logaritmis dengan persamaan:

d. Hiperbola dengan persamaan:

Dalam makalah ini akan dibahas lebih mendalam mengenai bentuk regresi non

linear hiperbola

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana persamaan umum regresi non linear model hiperbola dan

bentuk linear dari persamaan tersebut?

2. Bagaimana menganalisa model regresi yang telah diperoleh?

3. Bagaimana aplikasi regresi non linear model hiperbola?

C. Tujuan

1. Menuliskan persamaan umum regresi non linear model hiperbola dan

bentuk linear dari persamaan tersebut.

2. Menganalisa model regresi yang telah diperoleh.

3. Mengetahui aplikasi dari regresi non linear model hiperbola.

BAB II

PEMBAHASAN

1. Persamaan Umum Regresi Non Linear Model Hiperbola dan Bentuk

Linear dari Persamaan Tersebut

Persamaan regresi hiperbola (lengkung cekung) ada dua model, yaitu:

A.

( ) di mana garis persamaannya akan memotong sumbu , ini

berarti bahwa nilai ada yang negatif, atau bahkan keduanya (nilai

maupun ) sama-sama negatif.

Jika tidak ada berharga nol dapat ditulis menjadi:

Dan bentuk tersebut sudah linear terhadap

dan

B.

di mana garis persamaannya akan memotong sumbu , ini berarti

bahwa dalam persamaan ini penyebaran nilai ada yang negatif.

Model hiperbola ini jarang dipakai pada penelitian pendidikan karena nilai-

nilai yang dihadapi dalam dunia pendidikan sifatnya positif. Walaupun terjadi

maka model ini pun dapat digunakan, sedangkan perhitungan koefisien regresinya

tidak berbeda dengan yang telah dibahas di muka (regresi linear sederhana), hanya

seluruh nilai diganti dengan

. Dengan demikian maka untuk menghitung

koefisien regresi digunakan rumus:

(∑ )(∑

) (∑ ) (∑ )

∑ (∑ )

Sedangkan untuk menghitung koefisien regresi digunakan rumus:

∑

(∑ ) (∑ )

∑ (∑ )

2. Menganalisa Model Regresi yang Telah Diperoleh

Jika telah diperoleh model regresi yang linear maka kita dapat melakukan

analisa sebagai berikut:

1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai

berikut

: model regresi tidak berarti

: model regresi berarti

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel

dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika

.

2. Uji Koefisien regresi

Untuk menguji koefisien regresi menggunakan uji T, dengan hipotesis sebagai

berikut

, artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel terikat.

, artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel

dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika

.

3. Uji asumsi analisis regresi

a) Normal residual

Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan

uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis

sebagai berikut:

: Residual berdistribusi normal.

: Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menentukan menolak atau menerima , dilakukan perbandingan

P_value dengan suatu nilai (taraf kepercayaan) dengan ketentuan

sebagai berikut:

, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan.

, jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium.

, jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau

binatang.

, dalam bidang kedokteran.

Terima jika P_value ,

Tolak jika P_value .

b) Kebebasan residual

Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk

residual. Homogenitas residual bersifat homogen atau tidak saling bebas

jika ada korelasi antar sisa.

c) Homogenitas

Untuk mengetahui apakah sisa antara variable terikat dengan variable

bebas mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan

kecenderungan tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara (-2,2) secara

merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai

keragaman yang tetap.

Jika asumsi kehomogenan ini terpenuhi maka secara otomatis asumsi

normalitas akan dipenuhi, jika sumsi ini tidak dipenuhi maka dilakukan

cara untuk mengatasi salah satunya dengan cara melakukan transformasi

terhadap data tersebut.

3. Aplikasi Regresi Non Linear Model Hiperbola

Toko Maju Makmur pada hari pertama pembukaan memiliki jumlah

pengunjung yang berbeda pada setiap menitnya. Pada menit-menit pertama

pembukaan, terdapat banyak pengunjung yang tertarik untuk melihat-lihat dan

membeli di toko tersebut. Data pengunjung diberikan sebagai berikut:

= menit setelah toko dibuka

= jumlah pengunjung toko

X Y X Y

20 150 500 97

35 125 800 62

60 105 1200 58

100 100 1300 40

150 92 1500 38

300 97 1600 35

Dengan minitab, didapatkan plot sebagai berikut:

Data di atas dianalisis dengan regresi model hiperbola yang ditransformasi

menjadi bentuk linier.

Nilai-nilai yang diperlukan untuk mencari parameter adalah sebagai berikut:

X Y

20 150 0.0066667 400 0.1333

35 125 0.0080000 1225 0.2800

60 105 0.0095238 3600 0.5714

100 100 0.0100000 10000 1.0000

150 92 0.0108696 22500 1.6304

300 97 0.0103093 90000 3.0928

500 97 0.0103093 250000 5.1546

800 62 0.0161290 640000 12.9032

1200 58 0.0172414 1440000 20.6897

1300 40 0.0250000 1690000 32.5000

1500 38 0.0263158 2250000 39.4737

1600 35 0.0285714 2560000 45.7143

Jumlah 7565 - 0.178936 8957725 163.143

Diperoleh ∑ , ∑(

)

∑ , ∑

dan

sehingga didapat:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

Jadi persamaan regresi model hiperbola dari data di atas adalah

(( ) ( ) )

Keterangan grafik:

Dari minitab diperoleh grafik yang menunjukkan taksiran garis regresi yang

linier dengan koefisien determinasi ( ) sebesar 92.7% dan sisanya sebesar 7.3%.

Ini menunjukkan bahwa keragaman variabel mempengaruhi

sebesar 97.2%,

sedangkan 7.3% dipengaruhi oleh variabel lain yang tidak masuk dalam model.

Grafik di atas memperlihatkan taksiran intersep sebesar 0.00733 dan

taksiran parameter sebesar 0.000012. R-Sq berkisar antara 0.1 sampai 0.5,

dengan catatan semakn kecil nilai R-Sq, semakin lemah hubungan antara kedua

variable (begitu juga sebaliknya).

Model regresi linear telah diperoleh maka kita dapat menganalisis sebagai berikut:

1) Menguji model regresi

Data di atas diperoleh dari data lapangan maka

Dari minitab diperoleh Anova sebagai berikut:

Dari AnovA di atas diperoleh nilai

Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai

berikut:

Terima jika dan tolak jika .

: model regresi tidak berarti

: model regresi berarti

Dari tabel didapat

Karena maka menolak . Tanpa mencari dapat

diketahui dari ( ) ( ) yang berarti sehingga

dapat disimpulkan bahwa model regresi

signifikan

dengan kata lain data sangat mendukung adanya hubungan antara menit ( )

dengan pengunjung ( ) dengan persamaan

. Adanya

hubungan ini dapat diidentifikasi dengan tingginya nilai koefisien determinasi

sebesar 0.927 atau 92.7%.

2) Menguji koefisien regresi

Untuk menguji koefisian regresi digunakan uji T, dengan hipotesis sebagai

berikut:

Terima jika dan tolak jika .

artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel

terikat.

artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh

Hasil uji koefisien kemiringan garis regresi menunjukkan adanya pengaruh

menit ( ) terhadap pengunjung ( ) dengan nilai , jadi

. Tanpa mencari dapat diketahui dari ( ) ( ). Karena

maka menolak dengan kata lain hipotesis

artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat diterima. Jadi

variabel bebas ( ) sangat mempengaruhi variabel tak bebas ( ).

3) Uji asumsi analisis regresi

a) Normal residual

Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan uji

Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis sebagai

berikut:

: Residual berdistribusi normal.

: Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menentukan apakah menolak atau menerima , P_value dibandingkan

dengan suatu nilai .

Dari minitab diperoleh nilai P_value beserta grafiknya sebagai berikut:

Terima jika P_value ,

Tolak jika P_value .

Nilai P_value = 0.96 > 0.05 terima (memenuhi asumsi kenormalan

sisaan), jadi residual berdistribusi normal.

b) Homogenitas

Untuk mengetahui apakah sisa antara variabel terikat dengan variabel bebas

mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan kecenderungan

tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara (-3, 3) secara merata maka sisa

dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai keragaman yang tetap.

Dari minitab diperoleh scatterplot hubungan antara sres1 dengan fits1.

Berdasarkan gambar diketahui bahwa standart sisa 95% berada antara (-3, 3)

secara merata. Dengan kata lain sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga

keragamannya tetap (homogen).

c) Kebebasan residual

Untuk menguji kebabasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk

residual dengan menggunakan alat bantu Minitab:

Karena garis hitam (data) tidak melebihi garis merah maka dapat dikatakan

saling bebas atau tidak ada korelasi antar sisaan.

BAB IV

PENUTUP

Ada dua macam regresi, yaitu regresi linear dan non linear. Regresi linear

merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan linear dan grafiknya

mendekati garis lurus, sedangkan regresi non linear merupakan regresi yang

datanya membentuk persamaan garis non linear, yang terdiri dari beberapa

bentuk, yaitu eksponen, eksponen khusus, geometri, logistik, hiperbola, power,

compound, sigmoid, dan logaritmik.

Regresi non linear r tidak dapat di analisa secara langsung, melainkan harus

dilinearkan terlebih dahulu dengan menggunakan transformasi yang sesuai.

Untuk regresi non linear model hiperbola

( ) . Misalkan

maka

diperoleh persamaan dan dapat diduga parameter untuk persamaan

tersebut sehingga diperoleh model regresinya.