analisis pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah aljabar...

Analisis Pemahaman Konsep Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear

Elementer Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin

Makassar Angkatan 2016

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Meraih Gelar Sarjana

Pendidikan (S.Pd) Jurusan/Prodi Pendidikan Matematika Pada Fakultas Tarbiyah dan Keguruan

UIN Alauddin Makassar

OLEH:

ADILA MUFIDAH B

20700113114

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR

2017

v

KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirabbil’aalamiin, segala puji hanya milik Allah swt atas

limpahan rahmat dan hidayah-Nya yang senantiasa dicurahkan kepada penulis dalam

menyusun skripsi ini hingga selesai. Salam dan shalawat senantiasa penulis haturkan

kepada Baginda Rasulullah Muhammad saw sebagai satu-satunya uswatun hasanah

dalam menjalankan aktivitas keseharian kita.

Melalui tulisan ini pula, penulis menyampaikan ucapan terima kasih

teristimewa kepada kedua orang tua tercinta, ayahanda Bachtiar Wangsa dan ibunda

St. Ni’mat serta saudara-saudaraku tersayang atas segala pengorbanan, pengertian,

kepercayaan, do’a dan dukungannya selalu menyertai sehingga penulis dapat

menyelesaikan studi dengan baik.

Penulis menyadari tanpa adanya bantuan dan partisipasi dari berbagai pihak

skripsi ini tidak mungkin dapat terselesaikan seperti yang diharapkan. Oleh karena itu

penulis patut menyampaikan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Musafir Pababbari, M.Si. selaku Rektor UIN Alauddin Makassar beserta

wakil rektor I, II, III, dan IV.

2. Dr. H. Muhammad Amri, Lc.,M.Ag. selaku Dekan Fakultas Tarbiyah dan

Keguruan UIN Alauddin Makassar beserta seluruh stafnya atas segala pelayanan

yang diberikan kepada penulis.

3. Dr. Andi Halimah, M.Pd. dan Sri Sulasteri, S.Si., M.Si. selaku Ketua dan

Sekretaris Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar beserta

stafnya atas izin, pelayanan, kesempatan dan fasilitas yang diberikan sehingga

skripsi ini dapat terselesaikan.

vi

4. Sri Sulasteri, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I dan Fitriani Nur, S.Pd.I., M.Pd.

selaku pembimbing II yang telah memberi motivasi, arahan, pengetahuan baru

dalam penyusunan skripsi ini, serta membimbing penulis sampai taraf

penyelesaian.

5. Para dosen, karyawan dan karyawati Fakultas Tarbiyah dan Keguruan yang secara

kongkrit memberikan bantuannya baik langsung maupun tak langsung.

6. Terkhusus kepada Dr. Andi Halimah, M.Pd. terima kasih atas bantuan dan

bimbingannya.

7. Saudara-saudara saya Elyda Munifah, Fadel Muhammad, dan Aulia Mufliha.

Terima kasih atas dukungan dan motivasinya.

8. Andi Nur Sulfayani, Devinovita Sari, Devy Purnama, Fitria, Habiba Ulfahyana,

Multazam Arif, Muh. Hidayatullah, Muh. Ridwan Adnan, Zainal Basri, Ismail.

Sahabat-sahabat saya tercinta terima kasih untuk semuanya.

9. Rekan-rekan Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2013.

10. Adik-adik jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2016 yang telah bersedia

menjadi subyek penelitian.

Akhirnya hanya kepada Allah jualah penulis serahkan segalanya, semoga

semua pihak yang membantu penyusun mendapat pahala di sisi Allah swt, serta

semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua orang khususnya bagi penyusun sendiri.

Samata-Gowa, November 2017

Penulis,

Adila Mufidah B

NIM. 20700113114

vii

DAFTAR ISI

JUDUL ............................................................................................................. i

PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI .......................................................... ii

PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................................... iii

PENGESAHAN SKRIPSI ............................................................................... iv

KATA PENGANTAR ..................................................................................... v

DAFTAR ISI .................................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... ix

DAFTAR TABEL ............................................................................................ x

ABSTRAK ....................................................................................................... xi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

A. Latar Belakang ................................................................................ 1 B. Fokus Penelitian dan Deskripsi Fokus ............................................ 8 C. Pertanyaan Penelitian ...................................................................... 9 D. Tujuan Penelitian............................................................................. 10 E. Manfaat Penelitian ........................................................................... 10

BAB II TINJAUAN TEORETIK.................................................................. 12

A.Kajian Teori ...................................................................................... 12 B. Kajian Penelitian yang Relevan ....................................................... 28 C. Kerangka Konseptual ...................................................................... 33

BAB III METODE PENELITIAN................................................................. 35

A.Pendekatan dan Jenis Penelitian ....................................................... 35 B. Lokasi Penelitian ............................................................................. 36 C. Subjek Penelitian ............................................................................. 36 D.Teknik Pengumpulan Data ............................................................... 36 E. Instrumen Penelitian ........................................................................ 37 F. Keabsahan Data ................................................................................ 39 G.Teknik Analisis Data ........................................................................ 39

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ................................. 42

A. Deskripsi Hasil Penelitian ............................................................... 42 B. Analisis dan Validasi Data .............................................................. 52 C. Pembahasan ..................................................................................... 66

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 70

A. Kesimpulan ...................................................................................... 70 B. Implikasi Penelitian ......................................................................... 71 C. Saran ................................................................................................ 73

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 75

viii

LAMPIRAN ..................................................................................................... 77

ix

DAFTAR GAMBAR

No. Gambar Judul Hal.

Gambar 4.1 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 1)

52


53


53


53

Gambar 4.5 Hasil Kerja Mahasiswa S12 (soal nomor 1, 3, dan 5)

57


57


60


61

x

DAFTAR TABEL

No Tabel Judul Hal.

Tabel 4.1 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada

Soal Nomor 1

42


Soal Nomor 2

45


Soal Nomor 3 46


Soal Nomor 4

49


Soal Nomor 5

51

Tabel 4.6 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Keseluruhan

65

xi

ABSTRAK

Nama : Adila Mufidah B

Nim : 20700113114

Fakultas : Tarbiyah Dan Keguruan

Jurusan : Pendidikan Matematika

Judul : Analisis Pemahaman Konsep Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar

Linear Elementer Mahasiswa Pendidikan Matematika UIN

Alauddin Makassar angkatan 2016

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan pemahaman konsep

mahasiswa berdasarkan indikator pemahaman matematis pada mata kuliah aljabar

linear elementer materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor EuclideanPenelitian

ini menggunakan pendekatan deskriptif kualitatif. Subjek penelitian meliputi

mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan

Angkatan 2016 UIN Alauddin Makassar yang diduga mengalami kesulitan dalam

memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Instrumen penelitian

yang digunakan adalah tes diagnostik dan wawancara. Teknik analisis data yaitu

reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa kemampuan pemahaman mahasiswa

Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 dalam

menyelesaikan soal aljabar linear elementer ditinjau dari indikator kemampuan

pemahaman matematis, mahasiswa tergolong cukup mampu pada indikator: (1)

pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2) menyajikan konsep dalam

berbagai bentuk representasi matematika, (3) menggunakan, memanfaatkan dan

memilih prosedur tertentu, dan (4) mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan

masalah. Namun, mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan

memberi contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang

dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa berada

pada kategori cukup mampu.

Faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa Pendidikan

Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 pada mata kuliah Aljabar Linear

Elementer dalam konsep ruang vektor, sub ruang vektor, dan ruang vektor Euclidean,

yaitu: (a) Faktor internal: (1) kurangnya minat belajar, (2) sikap belajar yaitu kurang

fokus dalam belajar, (3) motivasi belajar rendah, (4) konsentrasi belajar yang rendah,

(5) kemampuan mengingat yang rendah, dan (6) kurangnya rasa percaya diri

mahasiswa. (b) Faktor eksternal: (1) kurang memahami maksud soal, (2) lupa konsep

aksioma, (3) mahasiswa tidak tahu konsep aksioma, (4) penggunaan gadget selama

proses pembelajaran, (5) dosen yang kurang memperhatikan mahasiswa selama proses

pembelajaran, (6) tidak adanya buku pegangan mahasiswa.

1

BAB 1

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendidikan adalah segala pengalaman belajar yang berlangsung dalam segala

lingkungan baik yang khusus diciptakan untuk kepentingan pendidikan maupun yang

ada dengan sendirinya dan berlangsung seumur hidup selama ada pengaruh

lingkungan.Pendidikan berlangsung dalam berbagai bentuk, pola, dan lembaga yang

dapat terjadi kapan dan di mana pun dalam hidup dan lebih berorientasi pada peserta

didik.Pendidikan adalah segala situasi hidup yang memengaruhi pertumbuhan dan

perkembangan hidup.1 Berdasarkan pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa

pendidikan akan terus berlangsung dalam hidup seseorang selama masih ada

pengaruh dari lingkungan untuk membantu dalam pertumbuhan dan perkembangan

hidup.

Menurut Al-Tabany pendidikan merupakan salah satu bentuk perwujudan

kebudayaan manusia yang dinamis dan sarat perkembangan.Oleh karena itu,

perubahan atau perkembangan pendidikan adalah hal yang memang seharusnya

terjadi sejalan dengan perubahan budaya kehidupan.2 Berdasarkan pengertian

tersebut, dapat disimpulkan bahwa pendidikan merupakan suatu proses yang terjadi

secara terus-menerus bagi seseorang untuk mengembangkan potensi diri untuk

menjadi lebih baik.

Undang-undang RI Nomor 12 Tahun 2012 pasal 1 ayat 1 juga menerangkan

bahwa pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk menujudkan suasana

1Abdul Kadir, dkk, Dasar-dasar Pendidikan (Jakarta: Kencana Prenada Media Group,

2012), h. 59. 2 Trianto Ibnu Badar al-Tabany, Mendesain Model Pembelajaran Inovatif, Progresif, dan

Kontekstual (Cet I; Jakarta: PT Kharisma Putra Utama, 2014), h. 1.

2

belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan

potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri,

kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya,

masyarakat, bangsa dan negara.3Berdasarkan pengertian tersebut dapat diketahui

bahwa pendidikan bertujuan untuk mengembangkan potensi peserta didik agar

menjadi manusia yang beriman dan menjadi warga Negara yang demokratis serta

bertanggung jawab.Selain itu, pendi dikan juga merupakan salah satu gerbang utama

untuk mendapat ilmu pengetahuan. Hal ini pun telah dijelaskan dalam firman Allah

SWT dalam Al-Qur’an surah Al-‘Alaq/96:1-5.

ي خلق } ا سا رب اك الذ ن علق }١اقرأ با نسان ماك األكرم }٢{ خلق اإل ٣{ اقرأ ورب ي علذ ا { الذ

لقلا } نسان مالم يعل }٤ابا اإل {٥{ علذ

Terjemahnya:

“Bacalah dengan (menyebut) nama Tuhanmu yang menciptakan. Dia

telahmenciptakan manusia dari segumpal darah.Bacalah, dan Tuhanmulah

yangMaha Pemurah.Yang mengajar (manusia) dengan perantara kalam. Dia

mengajarkan kepada manusia apa yang tidak diketahuinya”4

Ada dua pesan penting dari ayat tersebut; yakni perintah untuk berikhtiar

untuk memperoleh ilmu dari Allah SWT dan adanya jalur perolehan ilmu yang

disiapkan guna pencapaiannya yakni melalui proses pembelajaran dan melalui proses

belajar sendiri.

Pendidikan merupakan salah satu usaha yang ditempuh dalam rangka

mencerdaskan kehidupan bangsa. Dalam pelaksanaan pendidikan terdapat proses

3 Departemen Agama RI Direktorat Jenderal Pendidikan Islam, Undang-undang RI Nomor

12 Tahun 2012 tentang Pendidikan Tinggi (Jakarta: Departemen Agama, 2015)

4Kementerian Agama RI, Al-Qur’an dan Terjemahnya (Jakarta: Wali, 2012), h. 597.

3

pembelajaran yang setiap jenjangnya, peserta didik dituntut untuk mengikuti mata

pelajaran tertentu, termasuk mata pelajaran matematika.5Matematika timbul karena

pikiran-pikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran.

Matematika pada hakekatnya merupakan aktivitas mental yang tinggi untuk

memahami arti struktur-struktur, hubungan-hubungan, simbol-simbol, keabstrakan,

yang kemudian menerapkannya dalam situasi nyata. Jadi belajar matematika

merupakan suatu proses aktif yang sengaja dilakukan untuk memperoleh

pengetahuan yang dapat mengakibatkan terjadinya perubahan tingkah laku.6Dengan

demikian, untuk mencapai pemahaman tentang suatu materi matematika

membutuhkan fondasi yang kuat, yaitu dengan memahami konsep yang merupakan

prasyarat yang utama.Hal ini melingkupi penalaran, konsep pemahaman simbol, dan

penguasaan konsep keabstrakan dan generalisasi.Walaupun pada kenyataannya,

adanya perbedaan kemampuan dalam memahami materi matematika ini.

Pembelajaran matematika khususnya di dunia pendidikan sering ditemukan

kendala dalam proses belajar mengajar. Fakta telah menunjukkan bahwa matematika

adalah pelajaran yang menakutkan dan menegangkan sehingga sebagian besar siswa

menganggapnya sebagai momok di sekolah. Prestasi belajar matematika cenderung

lebih rendah bila dibandingkan dengan materi pembelajaran yang lain. Hal ini

disebabkan karena sebagian siswa memiliki persepsi bahwa pelajaran matematika itu

sulit dipelajari, kurang menyenangkan, dan sulit untuk menghafal rumus-rumus

matematika.Hal ini dimungkinkan karena kurangnya pemahaman siswa tentang

5Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam

Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun

Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon)” journal. 6Sanuartini, Pengaruh Kreativitas Belajar Matematika Terhadap Prestasi Belajar

Matematika. (Skripsi.FMIPA UNM Makassar, 2000), h. 7.

4

konsep matematika.7Berdasarkan pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa

terdapat beberapa kendala dalam proses pembelajaran matematika sehingga prestasi

belajar matematika cenderung lebih rendah jika dibandingkan dengan materi

pembelajaran yang lain, salah satu kendalanya yaitu kurangnya pemahaman peserta

didik mengenai konsep matematika.

Matematika merupakan pelajaran yang dipelajari mulai dari bangku sekolah

dasar hingga bangku perguruan tinggi.Matematika di jenjang Perguruan Tinggi (PT)

sangatlah berbeda dengan matematika pada jenjang lainnya.Karena menurut

Ruseffendi bahwa matematika di PT mencakup 4 wawasan yang luas yaitu

aritmatika, aljabar, geometri dan analisis.8Maka dari itu, pembelajaran matematika di

perguruan tinggi menuntut peserta didik untuk lebih berpikir rasional dibandingkan

dengan pembelajaran matematika yang diperoleh sebelumnya di sekolah-sekolah.

Pemahaman pada dasarnya berasal dari kata “paham” yang mengandung

makna “benar-benar mengerti”.Pemahaman dalam Taksonomi Bloom merupakan

salah satu aspek dalam ranah kognitif. Bloom membagi aspek pemahaman menjadi

tiga macam pemahaman yaitu: translation, interpretation, dan ekstrapolasi.

Translation (pengubahan), adalah kemampuan memahami ide yang dinyatakan

dengan cara lain dari pernyataan aslinya. Misalnya mampu mengubah (translation)

soal cerita ke dalam kalimat matematis, pemberian arti (interpretation) misalnya

mampu mengartikan suatu kesamaan, dan memperkirakan (extrapolation).9Dengan

7Rohmatuh mahmuda, ‘Upaya meningkatkan prestasi belajar siswa padajenjang sekolah

menengah atas materi peluang menggunakan metode pemecahan masalah’, Jurnal Tadris Matematika

institute agama islam negeri (IAIN)Tulungagung. 8Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam

Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun

Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon)” journal. 9 E. T. Ruseffendi, Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya

dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA (Bandung: Tarsito, 1991), h. 43.

5

demikian dapat dikatakan bahwa pemahaman ditunjukkan oleh kemampuan

menjelaskan atau mendefinisikan informasi secara verbal, di samping mampu

melihat keterkaitan antara satu konsep dengan konsep lainnya.

Selain konsep pemahaman menurut Bloom, Skemp membagi pemahaman

menjadi dua yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional.Pemahaman

instrumental mengarahkan mahasiswa untuk menghasilkan jawaban yang benar

karena jenis pemahaman ini menuntut mahasiswa untuk berpikir secara prosedural

atau algoritmik.10Mahasiswa biasanya dihadapkan hanya pada persolan rutin

sehingga biasanya mahasiswa memiliki kemampuan koneksi yang sangat rendah dan

terbatas. Pada umumnya mereka akan kesulitan mengadaptasi suatu permasalahan

yang tidak rutin dengan skema yang sudah ada dalam struktur mentalnya.

Pemahaman jenis relasional mengarahkan mahasiswa untuk mengaitkan konsep

dalam satu topik maupun mengaitkan konsep antar topik.Mahasiswa yang memiliki

kemampuan relasional dapat membangun koneksi yang lebih luas untuk membuat

conceptual framework sehingga dapat membantu mereka dalam mengaplikasikan

konsep matematis.Oleh karena itu, karena pentingnya kedua jenis kemampuan

pemahaman tersebut, dalam penelitian ini kemampuan pemahaman matematis yang

diteliti dibatasi pada kemampuan instrumental dan relasional.

Salah satu materi yang penting dan mendasar dalam matematika adalah

aljabar. Hal ini dikarenakan aljabar merupakan cabang matematika yang dicirikan

sebagai generalisasi dari bidang aritmetika, dan aritmatika merupakan salah satu

pondasi dasar matematika..

10U. Sumarmo, Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika pada Siswa Menengah

(Cirebon: Unsgawati, 2004), h. 52.

6

Pemahaman konsep aljabar merupakan salah satu kecakapan atau kemahiran

aljabar yang diharapkan dapat tercapai dalam pembelajaran matematika melalui

penunjukkan keterkaitan antarkonsep dan aplikasi konsep atau algoritma secara

luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.Derajat pemahaman

konsep ditentukan oleh tingkat keterkaitan antara gagasan, prosedur, dan pemecahan

masalah. Sehubungan dengan hal tersebut, maka pemahaman konsep merupakan

kompetensi yang dimiliki mahasiswa dengan beberapa indikator berikut: (1)

menyatakan atau menjelaskan ulang sebuah konsep, (2) mengklasifikasikan

sifat‐sifat tertentu, (3) memberi contoh, (4) merepresentasikan konsep, (5)

menggunakan konsep untuk menyelesaikan masalah.11Dalam Aljabar memiliki

pokok permasalahan untuk dikembangkan lebih lanjut lagi, salah satunya yaitu

Aljabar Linear.

Aljabar Linier Elementer merupakan salah satu mata kuliah dasar yang

diberikan sebelum mengambil mata kuliah matematika tingkat lanjut dan setelah

mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus.Mata kuliah ini menuntut mahasiswa

untuk berpikir cermat dan teliti. Beberapa materi yang dipelajari pada mata kuliah

Aljabar Linear Elementer antara lain adalah matriks, sistem persamaan linear dan

determinan dengan masing-masing mempunyai kesulitan yang berbeda-beda dan

saling berkaitan satu sama lain.12 Kompetensi yang harus dikuasai mahasiswa ketika

belajar materi matriks, sistem persamaan linear dan determinan adalah mahasiswa

dapat menguasai sistem persamaan linier beserta dengan cara memecahkannya serta

sifat-sifatnya, memahami matriks dan operasi yang ada pada matriks dan mahasiswa

11 Bambang Priyo Darmito, ”Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan Sikap

Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran Berbasis Komputer” journal. 12 Mia Fitria, Made Arnawa dan Lufri, “Pengembangan Modul Aljabar Linear Elementer

Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan ICT” journal.

7

mampu untuk mencari invers suatu matriks. Selain itu, mahasiswa juga dapat

menguasai sifat-sifat fungsi determinan dan dapat mencari determinan suatu matriks

bujur sangkar.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa kesalahpahaman konsep pada materi

aljabar akan berdampak terhadap materi lainnya. Kesalahan konsep ini tidak hanya

terjadi pada siswa tetapi juga sering ditemukan pada mahasiswa calon guru.Disadari

bahwa kesalahan konsep terjadi salah satunya disebabkan kekeliruan dalam

pemahaman terhadap konsep. Hal ini tentu akan mengakibatkan kesulitan dalam

belajar yang berujung pada rendahnya hasil belajar.13Berdasarkan desnripsi tersebut

diketahui bahwa sangat penting bagi peserta didik untuk memahami konsep aljabar.

Berdasarkan observasi yang dilakukan pada tanggal 13 maret 2017 melalui

wawancara dengan 5 mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar

angkatan 2016 yang telah mengikuti mata kuliah Aljabar Linear Elementer pada

semester III,14 2 diantaranya berpendapat mata kuliah ini tidak terlalu sulit karena

sebagian materinya membahas SPL, matriks, determinan dan vektor yang telah

dipelajari sebelumnya di bangku sekolah. Sedangkan 3 di antaranya berpendapat

mata kuliah ini sulit karena mereka kurang memahami konsep-konsep dasar yang

digunakan dalam materi kuliah ini sehingga cenderung mengalami kesulitan dalam

menyelesaikan soal mata kuliah aljabar linear elementer.

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Cita Dwi Rosita dkk, yang

berjudul “Analisis Kemampuan Pemahaman Matematis Mahasiswa pada Mata

13 Ade Irfan dan Anzora, ”Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon Guru

Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Abulyatama

Aceh”,Jurnal Dedikasi PendidikanVolume 1, No. 1, Januari 2017. 14Mahasiswa Pendidikan Matematika angk 2013, Wawancara, Kampus II UIN Alauddin

Makassar, 13 Maret 2017.

8

Kuliah Aljabar Linear 1”15 menyimpulkan bahwa ketercapaian pada setiap indikator

soal TKPM, hanya 3 indikator mencapai lebih dari atau sama dengan 70%,

sedangkan 4 indikator lainnya kurang dari 70% dengan terendah ketercapaian 50%,

kemampuan pemahaman matematis mahasiswa secara klasikal tidak mencapai

ketuntasan artinya nilai rata-rata semua mahasiswa berada di bawah KKM yang

ditentukan yaitu 65. Ketuntasan kemampuan pemahaman matematis mahasiswa

secara individual disimpulkan bahwa terdapat nilai TKPM mahasiswa yang

mencapai lebih atau sama dengan 65 sebanyak 54,38% dari keseluruhan mahasiswa,

adanya perbedaan ketuntasan pada kelompok mahasiswa berdasarkan tingkat

kemampuan tinggi, sedang dan rendah di mana masing-masing memperoleh rata-rata

84,7714; 65,7500; 47,1395. Mahasiswa dengan tingkat kemampuan tinggi dan

sedang mencapai ketuntasan lebih dari 65, sedangkan untuk yang berkemampuan

rendah belum tuntas.

Berdasarkan pemikiran di atas maka peneliti berkeinginan untuk melakukan

penelitian yang berjudul “Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Pada Mata

Kuliah Aljabar Linear Elementer MahasiswaPendidikan Matematika UIN

Alauddin Makassar Angkatan 2016.”

B. Fokus Penelitian dan Deskripsi Fokus

Fokus permasalahan dalam penelitian ini adalah kemampuanmahasiswa

dalam memahami konsep Aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Hal

ini dapat ditinjau dari segi pemahaman konsep dan algoritma penyelesaian

masalah/soal. Menganalisis kemampuan mahasiswa dalam memahami konsep

Aljabar maka penelitian ini memusatkan perhatian pada Kemampuan Pemahaman

15Cita Dwi Rosita, Laelasari, dan M. Subali Noto, “Analisis Kemampuan Pemahaman

Matematis Mahasiswa pada Mata Kuliah Aljabar Linear 1”, Jurnal Euclid, ISSN 2355-1712, vol.1,

No.2, pp. 60-136.

9

Matematis (KPM) pada konsep ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor

Euclidean. Adapun indikator pemahaman konsep matematika yang digunakan dalam

penelitian ini, mengacu pada indikator yang dinyatakan oleh Kemendikbud sebagai

berikut:

1. Kemampuan menyatakan ulang sebuah konsep.

2. Kemampuan memberi contoh dan bukan contoh.

3. Kemampuan menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi

matematika.

4. Kemampuan menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu.

5. Kemampuan mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan masalah.

Dalam penelitian ini, peneliti juga memusatkan perhatian pada faktor-faktor

yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa dalam materi ruang vektor, sub

ruang vektor, dan vektor Euclidean.

C. Pertanyaan Penelitian

Berdasarkan uraian latar belakang dan fokus penelitian di atas, maka yang

menjadi pokok permasalahan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear

Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar

angkatan 2016 berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis pada

konsep ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean?

2. Apa saja faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa

dalam materi ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean?

10

D. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk:

1. Menganalisis pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear

Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar

angkatan 2016 berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis pada

ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean.

2. Untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep

mahasiswa dalam materi ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean.

E. Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai

berikut:

1. Manfaat teoritis

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi

pengembangan konsep di bidang pendidikan khususnya pada mata kuliah Aljabar

Linear Elementer.

2. Manfaat praktis

a. Bagi mahasiswa

1) Dapat meningkatkan motivasi pentingnya memahami setiap konsep

matematika.

2) Meningkatkan pemahaman konsep aljabar khususnya pada mata kuliah

Aljabar Linear Elementer.

b. Bagi dosen

1) Sebagai motivasi untuk meningkatkan kemampuan dalam usaha mengajarkan

suatu konsep kepada peserta didik.

11

2) Memberikan informasi atau gambaran mengenai pentingnya penyampaian

materi konsep aljabar serta memperdalam pemahaman dan penguasaan

konsep aljabar terhadap peserta didik.

3) Sebagai motivasi supaya dalam menyelesaikan soal Aljabar Linear Elementer

dengan tepat dan benar.

c. Bagi kampus

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi

pengembangan konsep di bidang pendidikan, khususnya mata kuliah Aljabar Linear

Elementer.

d. Bagi peneliti

Memberikan gambaran yang jelas tentang pengaruh pemahaman konsep

aljabar terhadap mata kuliah Aljabar Linier Elementer.

12

BAB II

TINJAUAN TEORETIK

A. Kajian Teori

1. Pemahaman Konsep

a. Pemahaman Konsep

Pengertian pemahaman yang dikemukakan oleh para ahli seperti yang

dikemukakan oleh Winkel dan Mukhtar, mengemukakan bahwa: “Pemahaman yaitu

kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu

diketahui atau diingat; mencakup kemampuan untuk menangkap makna dari arti dari

bahan yang dipelajari, yang dinyatakan dengan menguraikan isi pokok dari suatu

bacaan, atau mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu ke bentuk yang

lain”.

Dalam hal ini, peserta didik dituntut agar dapat memahami atau mengerti apa

yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan, dan dapat

memanfaatkan isinya tanpa keharusan untuk menghubungkan dengan hal-hal yang

lain. Kemampuan ini dapat dijabarkan ke dalam tiga bentuk, yaitu: menerjemahkan

(translation), menginterpretasi (interpretation), dan mengekstrapolasi

(extrapolation).16

Sementara Benjamin S. Bloom mengatakan bahwa: “Pemahaman

(comprehension) adalah kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami

sesuatu setelah sesuatu itu diketahui dan diingat”. Dengan kata lain, memahami

adalah ketika kita mengetahui tentang sesuatu kemudian mengerti dan dapat

melihatnya dari berbagai segi. Seorang peserta didik dikatakan memahami sesuatu

16 Sudaryono, Dasar-dasar Evaluasi Pembelajaran (Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu,

2012), h. 44.

13

apabila ia dapat memberikan penjelasan atau memberi uraian lebih rinci tentang hal

itu dengan menggunakan kata-kata sendiri.17

Menurut Bloom, pemahaman (comprehension)umumnya mendapat

penekanan dalam proses belajar mengajar. Siswa dituntuk untuk memahami atau

mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan dan

dapat memanfaatkan isinya tanpa keharusan menghubungkannya dengan hal-hal lain.

Bentuk soal yang sering digunakan untuk mengukur kemampuan ini adalah pilihan

ganda dan uraian.

Kemampuan pemahaman dapat dijabarkan menjadi tiga, yaitu:

1) Menerjemahkan (translation)

Pengertian menerjemahkan di sini bukan saja pengalihan (translation) arti

dari bahasa yang satu ke dalam bahasa yang lain. Dapat juga dari konsepsi abstrak

menjadi suatu model, yaitu model simbolik untuk mempermudah orang

mempelajarinya.

2) Menginterpretasi (interpretation)

Kemampuan ini lebih luas daripada menerjemahkan, ini adalah kemampuan

untuk mengenal dan memahami.Ide utama suatu komunikasi.

3) Mengekstrapolasi (extrapolation)

Agak lain dari menerjemahkan dan menafsirkan, tetapi lebih tinggi sifatnya.

Ia menuntut kemampuan intelektual yang lebih tinggi.18

Berdasarkan pendapat di atas, dapat disimpulkan pemahaman adalah

kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu

diketahui dan diingat, memahami atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa

17 Anas Sudijono, Statistik Pendidikan (Jakarta: PT. Raja Grafindo Persada, 2009), h. 50. 18 H. M. Daryanto, Evaluasi Pendidikan (Jakarta: PT Rineka Cipta, 2008), h. 106.

14

yang sedang dikomunikasikan dan dapat melihatnya dari berbagai segi. Seorang

peserta didik dikatakan memahami sesuatu apabila ia dapat memberikan penjelasan

atau memberi uraian yang lebih rinci tentang hal itu dengan menggunakan kata-kata

sendiri. Kemampuan pemahaman dapat dijabarkan menjadi tiga, yaitu:

menerjemahkan (translation), menginterpretasi (interpretation), mengekstrapolasi

(extrapolation).

Allah Berfirman dalam Q.S Al-Mujadalah/58:11.

.أوتوا العلم درجات يرفع هللا الذين ءامنوا منكم والذين .......(11)

Terjemahnya :

”Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan.”(Q.S.Al-Mujadalah/58:11)19

Ayat di atas menerangkan bahwa betapa Allah meninggikan derajat orang-

orang yang beriman dan berpendidikan.Allah sangat menganjurkan setiap umatnya

untuk menuntut ilmu setinggi-tingginya. Allah telah menjanjikan derajat yang tinggi

bagi umatnya yang berilmu pengetahuan luas. Semakin luas pengetahuan seseorang,

semakin tinggi derajatnya dimata Allah SWT.

b. Konsep

Pengertian konsep yang dikemukakan oleh S. Hamid Husen mengemukakan

bahwa: “Konsep adalah pengabstraksian dari sejumlah benda yang memiliki

karakteristik yang sama”. Selanjutnya More mengatakan bahwa “Konsep itu adalah

sesuatu yang tersimpan dalam benak atau pikiran manusia berupa sebuah idea tau

gagasan”. Dengan kata lain, konsep dapat dinyatakan dalam sejumlah bentuk konkrit

atau abstrak, luas atau sempit, satu kata frase.20

19Departemen Agama Republik Indonesia, Al-Qur’an dan Terjemahan.Qur’an Surah Al-

Mujadalah ayat 11. 20 Sapriya, Pendidikan IPS (Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2009), h. 43.

15

Menurut Bloom “Pemahaman konsep adalah kemampuan menangkap

pengertian-pengertian seperti mampu mengungkap suatu materi yang disajikan ke

dalam bentuk yang lebih dipahami, mampu memberikan interpretasi dan mampu

mengaplikasikannya”.

Berdasarkan pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa, pemahaman konsep

adalah kemampuan menangkap pengertian-pengertian seperti mampu memahami

atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan,

memberikan penjelasan atau memberi uraian yang lebih rinci dengan menggunakan

kata-kata sendiri, mampu menyatakan ulang suatu konsep, mampu

mengklasifikasikan suatu objek dan mampu mengungkapkan suatu materi yang

disajikan ke dalam bentuk yang lebih dipahami.

2. Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear Elemenenter

Aljabar (dari bahasa arab "al-jabr" yang berarti salah satu bagian dari

bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori

bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu

yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi

simbol-simbol. Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan

persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti kelompok, gelanggang, dan medan.

Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer,

sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar

modern.Aljabar dasar umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika,

ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi seperti obat-obatan dan

ekonomi.Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut,

yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.

16

Dasar aljabar berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti

menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau

diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam huruf tidak

diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan

nilai: Dalam E = mc2, huruf dan adalah variabel, dan huruf adalah konstanta,

kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan

persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang

memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya

dalam kata-kata.

Kata aljabar juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus

dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan,

misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.21

Aljabar biasanya berkaitan dengan penyelesaian sistem persamaan,

menemukan nilai dari suatu yang belum diketahui, menggunakan rumus kuadrat atau

bekerja dengan sistem rumus, persamaan dan simbol huruf.Dalam mempelajari

aljabar dibutuhkan kemampuan memahami simbol-simbol, operasi dan aturan-

aturannya.Kemampuan yang demikian tereksplorasi dalam penalaran aljabar yang

didalamnya memuat keterampilan memahami pola-pola dan membuat

generalisasinya.

Pada bentuk aljabar dapat dilakukan operasi hitung, Operasi hitung pada

bentuk Aljabar merupakan dasar dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut:

21 “Aljabar”, Wikipedia the Free Encyclopedia. https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar (17

Agustus 2017)

17

a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada

bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut:

1) Suku-suku yang sejenis

2) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu:

a) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐)

b) 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 − 𝑐

3) Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu:

a) Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif

b) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

c) Hasil perkalian bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif adalah

bilangan bulat negatif

Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan di atas, maka hasil penjumlahan

maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang

lebih sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis.22

Contoh:

(1) 16𝑥 + 3 + 3𝑥 + 4 = 16𝑥 + 3𝑥 + 3 + 4 = 19𝑥 + 7

(2) 6𝑚 + 3(𝑚2 − 𝑛2) − 2𝑚2 + 3𝑛2 = 6𝑚 + 3𝑚2 − 3𝑛2 − 2𝑚2 + 3𝑛2

= 6𝑚 + 3𝑚2 − 2𝑚2 − 3𝑛2 + 3𝑛2

= 𝑚2 + 6𝑚

22 M. Cholik Adinawan dan Sugijono, Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester 1

(Jakarta: Erlangga, 2007), h. 5.

18

b. Perkalian bentuk aljabar

Operasi perkalian sangat bermanfaat saat kita mempelajari faktorisasi bentuk

aljabar.Sekarang ingat kembali sifat distributive pada perkalian bilangan bulat.Jika

𝑎, 𝑏, dan 𝑐 bilangan bulat maka berlaku 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 dan 𝑎 ×

(𝑏– 𝑐) = 𝑎𝑏– 𝑎𝑐.Sifat distributif ini digunakan untuk menyelesaikan operasi

perkalian bentuk aljabar.

c. Perkalian antara kosntanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan

suku dua dinyatakan sebagai berikut:

𝑘 (𝑎𝑥) = 𝑘𝑎𝑥

𝑘 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘𝑏

Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah:

1) 4(𝑝 + 𝑞)

Penyelesaian:

4(𝑝 + 𝑞) = 4𝑝 + 4𝑞

2) 5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

Penyelesaian:

5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = 5𝑎𝑥 + 5𝑏𝑦

3) 3(𝑥– 2) + 6(7𝑥 + 1)

Penyelesaian:

3(𝑥– 2) + 6(7𝑥 + 1) = 3𝑥– 6 + 42𝑥 + 6

= (3 + 42)𝑥– 6 + 6

= 45𝑥

19

4) −8(2𝑥– 𝑦 + 3𝑧)

Penyelesaian:

−8(2𝑥– 𝑦 + 3𝑧) = −16𝑥 + 8𝑦– 24

d. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk

menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat

distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat dstributif perkalian terhadap

pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk

aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut:

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut:

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑥 . 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 . 𝑑 + 𝑏 . 𝑐𝑥 + 𝑏 . 𝑑

= 𝑎𝑐2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar

suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut:

(𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑐𝑥 + 𝑑) =𝑎𝑥 (𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑏 (𝑐𝑥 + 𝑑)

=𝑎𝑥 . 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 . 𝑑 + 𝑏 . 𝑐𝑥 + 𝑏 . 𝑑

= 𝑎𝑐2 + 𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑

= 𝑎𝑐2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku

sebagai berikut:

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑒) = 𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑥2 + 𝑎𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑎𝑥 ∙ 𝑒 + 𝑏 ∙ 𝑐𝑥2 + 𝑏 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑒

= 𝑎𝑐𝑥3 + 𝑎𝑑𝑥2 + 𝑎𝑒𝑥 + 𝑏𝑐𝑥2 + 𝑏𝑑𝑥 + 𝑏𝑒

20

= 𝑎𝑐𝑥3 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥2 + (𝑎𝑒 + 𝑏𝑑)𝑥 + 𝑏𝑒23

1) Pembagian

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor-faktor yang sama, maka hasil

pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang

sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.24

Contoh:

21𝑎2 ∶ 3𝑎 =21𝑎2

3𝑎= (

21

3) (

𝑎2

𝑎) = 7𝑎

Adapun konsep dan prinsip Aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear

Elementer sebagai berikut:

e. Konsep Aljabar dalam Aljabar Linear Elementer

Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:

1) Aljabar Elementer, yang dipelajari sifat-sifat operasi pada bilangan rill

direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang

membangun ekspresi dan persamaan matematika yang melibatkan simbol-

simbol.

2) Aljabar abstrak, kadang-kadang sisebut aljabar modern, yang mempelajari

struktur aljabar semacam Grup, Ring, dan Medan (fields) yang

didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.

3) Aljabar linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari ruang vektor

(termasuk matriks).

23 Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya, (Jakarta: Pusat

Pembukuan, 2008) h. 2h.84-85

24M. Cholik Adinawan dan Sugijono, Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester 1,

h.10.

21

4) Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua

struktur aljabar.25

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem

persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear.Matrik dan

operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan mata kuliah aljabar linear.

Secara garis besar, mata kuliah ini akan membicarakan tentang pengertian

matriks, operasi dasar matriks, dan jenis-jenis matriks, determinan, operasi baris

elementer (OBE), matrik ekivalen, matriks invers dan sifat-sifatnya,

sistempersamaan linear, ruang vektor, basis dan dimensi, transformasi linear, eigen

vektor dan eigenvalues.26

Adapun konsep aljabar dalam Aljabar Linear Elementer yaitu sebagai berikut:

1) Sistem Persamaan Linear

a) Persamaan dan Sistem Linear

Persamaan linear adalah dimana sebuah garis yang terletak pada bidang xy

dapat dinyatakan secara aljabar dalam suatu persamaan berbentuk:

𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 = 𝑏

di mana 𝑎1, 𝑎2, dan 𝑏 merupakan konstanta real, dan 𝑎1 dan 𝑎2 tidak keduanya nol.

Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dengan variabel x dan y. secara

umum kita mendefinisikan persamaan linear (linear equation) dengan n variabel 𝑥1,

𝑥2, … , 𝑥𝑛 sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

25http://aby-matematika.blogspot.co.id/2011/08/sejarah-aljabar.html (diakses 25 Juli 2017) 26

Zulhendri, “Pengembangan Bahan Ajar Mata Kuliah Aljabar Linear Berbantuan Matlab”,

journal.

22

di mana 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 dan 𝑏merupakan konstanta real. Variabel-variabel dalam

persamaan linear seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui

(unknown).

Sistem linear, sejumlah tertentu persamaan linear dalam variabel 𝑥1, 𝑥2, …,

𝑥𝑛disebut sistem persamaan linear (system of linear equation) atau sistem linear.

Urutan sejumlah bilangan 𝑠1, 𝑠2, …, 𝑠𝑛merupakan solusi dari setiap persamaan di

dalam sistem tersebut.

Suatu sistem yang persamaan yang tidak memiliki solusi disebut tidak

konsisten (inconsistent), sedangkan jika terdapat paling tidak satu solusi dalam

sistem disebut konsisten (consistent).

2) Sistem Linear Homogen

Suatu sistem linear disebut homogen (homogeneous) jika semua bentuk

konstantanya adalah 0: yaitu, sistem ini memiliki bentuk

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0⋮

𝑎𝑚1𝑥1

⋮+ 𝑎𝑚2𝑥2 +

⋮⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

Setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten karena semua

sistem semacam ini memiliki solusi 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, …, 𝑥𝑛 = 0. Solusi ini disebut

solusi trivial (trivial solution); jika terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut

disebut solusi nontrivial (nontrivial solution).

3) Matriks dan Operasi Matriks

Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-

bilangan.Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.Ukuran

(size) suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah

vertikal) yang dimilikinya.

23

Dua matriks adalah setara (equal) jika keduanya memiliki ukuran yang sama

dan entri-entri yang bersesuaian adalah sama.

Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen),

disusundalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

a) Transpos suatu Matriks

Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka transpos dari A (transpose of A),

dinyatakan dengan 𝐴𝑇, didefinisikan sebagi matriks 𝑛 × 𝑚 yang didapatkan dengan

mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom dari 𝐴𝑇 adalah

baris pertama dari kolom A, kolom kedua dari 𝐴𝑇adalah baris dari A, dan seterusnya.

Jika A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka trace dari A (trace of A),

yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal

utama A. Trace dari A tidak dapat didefinisikan jika A bukan matriks bujursangkar.

b) Invers; Aturan Aritmatika Matriks

Matriks Nol. Sebuah matriks yang seluruh entrinya adalah bilangan nol,

seperti

[0 00 0

] , [0 0 00 0 00 0 0

] , [00

00

00

00

] , [

0000

] , [0]

disebut matriks nol (zero matrix).

Matriks Identitas. Yang menjadi perhatian khusus adalah matriks

bujursangkar dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pda entri-entri

lainnya seperti

[1 00 1

] , [1 0 00 1 00 0 1

] , [

1000

0100

0010

0001

] , dan seterusnya.

24

Matriks dengan bentuk seperti ini disebut matriks identitas (identity matrix)

dan dinyatakan dengan I.

Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang

ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat

dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers(inverse) dari A. Jika matriks B tidak

dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.

c) Matriks Diagonal dan Matriks Segitiga.

Matriks diagonal.Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak

terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal (diagonal matrix).

Matriks segitiga. Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal

utamanya adalah nol disebut matrks segitiga bawah (lower triangular) dan matriks

bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut

matriks segitiga atas (upper triangular). Suatu matriks, baik segitiga bawah atau

segitiga atas disebut matriks segitiga (triangular).

d) Determinan

Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, 3, ….,n} adalah

susunan integer-integer ini menurut suatu aturaan tanpa adanya penghilangan atau

pengulangan. Suatu inversi (inversion) atau pembalikan dikatakan terjadi dalam

suatu permutasi (𝑗1, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛) jika integer yang lebih besar mendahului yang lebih

kecil. Jumlah total inversi yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai

berikut: (1) tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari 𝑗1 dan yang mengikuti

𝑗1 dalam permutasi; (2) tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari 𝑗2 dan yang

mengikuti 𝑗2 dalam permutasi. Lanjutkan prose perhitungan ini untuk 𝑗3, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛−1.

Jumlah dari bilangan-bilangan ini akan merupakan total banyaknya inverse ini dalam

permutasi tersebut.

25

Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total banyaknya inverse adalah

integer genap dan dikatakan ganjil (odd) jika total inverse adalah integer ganjil.

Definisi determinan. Suatu hasilkali elementer (elementary product) dari

suatu matriks A, n × n, adalah hasilkali dari n entri dari A, yang tidak satu pun

berasal dari baris atau kolom yang sama. Hasilkali elementer bertanda dari A(signed

elementary product from A) adalah hasilkali elementer 𝑎1𝑗1, 𝑎2𝑗2

, … . , 𝑎𝑛𝑗𝑛 dikalikan

dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika (𝑗1, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛) adalah permutasi

genap dan tanda – jika (𝑗1, 𝑗2, … . , 𝑗𝑛) adalah permutasi ganjil.

Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar.Fungsi determinan

(determinant function) dinotasikan dengan det dan kita mendefinisikan det(A)

sebagai jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A) disebut

determinan dari A (determinant of A). Simbol |A| adalah notasi alternatif untuk

det(A).

4) Ruang Vektor

a) Vektor pada Ruang berdimensi n.

Jika n adalah suatu integer positif, maka tupel n berurutan (ordered n-tuple)

adalah suatu urutan dari n bilangan real (𝑎1, 𝑎2, … . , 𝑎𝑛). Himpunan semua tupel n

berurutan disebut ruang berdimensi n (n-space) dan dinyatakan sebagai 𝑅𝑛.

Dua vektor u = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) dan v= (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) pada 𝑅𝑛 disebut sama

(equal) jika

𝑢1 = 𝑣1, 𝑢2 = 𝑣2, … , 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛

Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai

𝐮 + 𝐯 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, … , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛)

26

dan jika k adalah suatu skalar sebarang, maka kelipatan skalar (scalar multiple) ku

didefinisikan sebagai

𝑘𝐮 = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, … , 𝑘𝑢𝑛)

b) Ruang berdimensi n Euclidean

Jika 𝐮 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) dan 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) adalah vektor-vektor

sebarang pada 𝑅𝑛, maka hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) 𝐮 ⋅ 𝐯

didefinisikan sebagai

𝐮 ⋅ 𝐯 = 𝑢1𝑣1, 𝑢2𝑣2, … , 𝑢3𝑣3

c) Aksioma Ruang Vektor

Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di

mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar

(bilangan). Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang

mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u + v, yang

disebut jumlah (sum) dari u dan v. Operas perkalian skalar (scalar multiplication),

dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap

objek u pada V dengan suku objek ku, yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple)

dari u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada

V dan semua skalar k dan l, maka kita menyebut V sebagai ruang vektor dan kita

menyebut objek-objek pada V sebagai vektor.

(1) Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah objek-objek pada V, maka 𝑢 + 𝑣 berada pada V.

(2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

(3) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤

(4) Di dalam V terdapat suatu objek 0, yang disebut vektor nol untuk V,

sedemikian rupa sehingga 0 + 𝑢 = 0 + 𝑢 = 𝑢 untuk semua u pada V.

27

(5) Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut negatif

dari u, sedemikian rupa sehingga 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0

(6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku

terdapat pada V.

(7) 𝑘(u + v) = 𝑘u + 𝑘v

(8) (𝑘 + 𝑙)u = 𝑘u + 𝑙u

(9) 𝑘(𝑙u) = (𝑘𝑙)(u)

(10) 1 ⋅ u = u

Suatu subhimpunan W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V dan

W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian

skalar yang didefinisikan pada V.

3. Faktor-faktor yang Mempengaruhi Kemampuan Pemahaman

Keberhasilan Siswa dalam mempelajari matematika dipengaruhi oleh

beberapa faktor. Ngalim Purwanto mengungkapkan bahwa berhasil atau tidaknya

belajar itu tergantung pada bermacam-macam faktor. Adapun faktor-faktor itu dapat

dibedakan menjadi dua golongan, yaitu:

a. Faktor yang ada pada organisme itu sendiri yang kita sebut faktor individu, yang

termasuk dalam faktor individu antara lain kematangan atau pertumbuhan,

kecerdasan latihan, motivasi dan faktor pribadi.

b. Faktor yang ada di luar individu yang kita sebut faktor sosial, yang termasuk

faktor sosial ini antara lain keluarga atau keadaan rumah tangga, guru dan cara

mengajarnya, alat-alat yang digunakan dalam belajar, lingkungan dan

kesempatan yang tersedia serta motivasi sosial.27

27 Ngalim Purwanto, Psikologi Pendidikan, (Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2007) hal.

102.

28

Selain faktor tersebut, pemahaman konsep dipengaruhi oleh psikologis

peserta didik. Kurangnya pemahaman konsep terhadap materi matematika yang

dipelajari karena tidak adanya usaha yang dilakukan oleh siswa dalam

menyelesaikan soal-soal yang diberikan guru. Siswa lebih kepada mengharapkan

penyelesaian dari guru, hal ini memperlihatkan bahwa pemahaman konsep siswa

masih rendah.

B. Kajian Penelitian yang Relevan

Kajian relevan yang digunakan sebagai bahan pertimbangan baik mengenai

kelebihan atau kekurangan yang ada sebelumnya.Selain itu kajian terdahulu juga

mempunyai banyak pengaruh salah satunya yaitu untuk memperoleh informasi

terkait dengan teori yang berkaitan dengan judul yang dapat digunakan sebagai

landasan teori ilmiah.

Penelitian yang dilakukan oleh Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah

yang berjudul “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam Memahami Mata Kuliah

Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun Akademi

2008/2009 Di STAIN Cirebon)” menyimpulkan bahwa Kesulitan mahasiswa dalam

mempengaruhi prestasi belajar aljabar matriks yang ditinjau dari tujuan pengajaran,

yaitu sebesar 26.8%, dengan kesulitan terbesarnya terletak pada kesadaran untuk

belajar sebesar 27% dan tujuan pengajaran memiliki rata-rata sebesar 73.205,

kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi prestasi belajar aljabar matriks yang

ditinjau dari metode pengajaran yaitu sebesar 32.5% dengan kesulitan terbesarnya

terletak pada model mengajar sebesar 33.8% dan metode pengajaran mempunyai

rata-rata sebesar 67.48, kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi prestasi belajar

aljabar matriks yang ditinjau dari isi materi yaitu sebesar 38.1%. Kesulitan

terbesarnya pada pemahaman masalah yaitu sebesar 52.8%. Kemudian pada

29

pemahaman rumus sebesar 45.6%, penulisan simbol sebesar 39%, proses berhitung

sebesar 37.4%, menentukan himpunan penyelesaian sebesar 33.8%, pemahaman

konsep sebesar 33.6% dan memahami istilah sebesar 27.7%. Isi materi memiliki rata-

rata paling kecil yaitu sebesar 61.938, kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi

prestasi belajar aljabar matriks yang ditinjau dari evaluasi pengajaran yaitu sebesar

35.5% dengan kesulitan terbesarnya ialah kemampuan menumbuhkan peran

mahasiswa sebesar 41%. Evaluasi pengajaran memiliki rata-rata sebesar

65.549.Penelitian tersebut mengkaji tentang kesulitan mahasiswa dalam memahami

mata kuliah Aljabar Matriks ditinjau dari tujuan pengajaran, metode pengajaran dan

isi materi.Pada penelitian ini yang diteliti hanya kemampuan pemahaman

berdasarkan indikator pemahaman konsep dan prinsip aljabar mahasiswa dalam mata

kuliah Aljabar Linear Elementer.

Penelitian oleh Yuni Suryaningsih dengan judul “Korelasi Hasil Belajar Mata

Kuliah Aljabar Linear Elementer Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika

Fkip Universitas Lambung Mangkurat Berdasarkan Mata Kuliah Prasyarat”

menyimpulkan bahwa banyaknya mahasiswa yang nilainya mengalami penurunan

disebabkan salah satunya adalah materi pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer

terlalu banyak dan lebih sulit dibandingkan dengan materi pada mata kuliah Matriks

walaupun materi Aljabar Linear Elementer sebagian sudah dipelajari ketika

perkuliahan Matriks. Materi tentang Matriks pernah mahasiswa pelajari sebelumnya

ketika masih di Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) sederajat

sehingga hal tersebut memudahkan bagi mahasiswa untuk lebih memahami materi

tentang Matriks di bangku perkuliahan sehingga perolehan nilainya bisa lebih baik

dibandingkan dengan perolehan nilai pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Penelitian tersebut mengkaji tentang bagaimana pengaruh mata kuliah Aljabar

30

Matriks sebagai mata kuliah prasyarat sebelum terhadap hasil belajar mahasiswa

pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Penelitian oleh Mia Fitria dkk dengan judul “Pengembangan Modul Aljabar

Linear Elementer Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan Ict” menyimpulkan bahwa

berdasarkan pembahasan hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa modul Aljabar

Linear Elementer bernuansa konstruktivisme berbantuan ICT adalah sangat valid,

praktis, dan efektif. Penggunaan modul dalam belajar dapat menarik perhatian

mahasiswa, membuat mahasiswa aktif belajar dan membantu mahasiswa dalam

meningkatkan hasil belajar.Berdasarkan penelitian tersebut, yang dikaji adalah

tentang pengembangan modul Aljabar Linear Elementer sebagai perangkat belajar

mahasiswa.

Berdasarkan penelitian relevan sebelumnya yang dilakukan oleh Ade Irfan

dan Anzora yang berjudul “Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon

Guru Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas

Abulyatama Aceh” menyimpulkan bahwa pemahaman konsep aljabar mahasiswa

calon guru melalui peta konsep pada program studi pendidikan matematika FKIP

Universitas Abulyatama Aceh berada pada tingkatan miskonsepsi sebagian (MSG).

Adapun kesalahan konsep aljabar mahasiswa calon guru di prodi pendidikan

matematika FKIP Universitas Abulyatama Aceh melalui peta konsep terjadi pada

mengidentifikasi ide sekunder, dalam menentukan jenis peta konsep dan alasan

memilihnya, serta dalam menjelaskan hubungan ide pokok dengan ide sekunder.

Respon mahasiswa terhadap proses perkuliahan aljabar adalah positif (3,27).

Penelitian tersebut mengkaji tentang bagaimana deskripsi pemahaman dan

miskonsepsi mahasiswa calon guru dalam memahami konsep aljabar melalui peta

konsep.

31

Penelitian oleh Iin Indrayani dengan judul "Analisis Eliminasi Gauss,

Dekomposisi Crout, dan Metode Matriks Invers dalam Menyelesaikan Sistem

Persamaan Linier serta Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi” menyimpulkan bahwa

metode eliminasi Gauss lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan Dekomposisi

Crout dan Metode matriks Invers. Perbandingan ini dapat dilihat dari jumlah operasi

aritmatika, banyaknya langkah, kecepatan, dan ketepatan dalam penyelesaian.Selain

itu ternyata ketiga metode tersebut dapat diaplikasikan dalam bidang ekonomi,

terutama dalam analisis input-output.Penelitian tersebut mengkaji tentang analisis

materi dalam menyelesaikan soal SPL serta bagaimana aplikasinya dalam bidang

ekonomi.

Penelitian oleh Betty Love dkk yang berjudul “Student learning and

perceptions in a flipped linear algebra course” menyimpulkan bahwa Penelitian ini

melibatkan 55 siswa dalam 2 bagian dari kursus aljabar linear terapan, dengan

menggunakan format ceramah tradisional di satu bagian dan model kelas membalik

di lain. Pada akhirnya, siswa diharapkan untuk mempersiapkan kelas dengan cara

tertentu, seperti menonton screencasts yang disiapkan oleh instruktur, atau membaca

buku teks atau catatan instruktur. Pemahaman isi dan persepsi siswa dipelajari.

Pemahaman konten diukur dengan kinerja pada ujian mata kuliah, dan siswa di

lingkungan kelas yang membalik memiliki peningkatan yang lebih signifikan antara

ujian berurutan dibandingkan dengan siswa di bagian ceramah tradisional, saat

melakukan hal yang sama dalam ujian akhir. Persepsi kursus diwakili oleh survei

akhir semester yang menunjukkan bahwa siswa kelas yang membalik sangat positif

tentang pengalaman mereka dalam kursus, dan sangat menghargai kolaborasi siswa

dan komponen video instruksional. Penelitian tersebut membandingkan dua model

dalam pembelajaran Aljabar Linear.

32

Penelitian oleh Sinan Aydin yang berjudul “Some analysis on a first course in

linear algebra” menyimpulkan bahwa penyederhanaan yang berlebihan untuk

berpikir bahwa ada cara yang unik untukmengajar kuliah ini. Meski banyak

matematikawan bisa menduga bahwa aljabar linear pertama seolah-olah sama di

mana-mana, kenyataannya berbeda dari ide ini. Edisi terbaru dari buku teks aljabar

linier biasanya bahan yang bagus untuk apa yang diajarkan di bukutingkat pengantar.

Tampaknya dengan hanya mengungkapkan dan menunjukkan, guru mungkin tidak

bisa secara signifikan meningkatkan pembelajaran mata kuliah abstrak. Dalam

beberapa tahun terakhir, peneliti aljabar linier telah merumuskan beberapa metode

pengajaran yang efisien untuk memudahkanbelajar bermakna. Perangkat lunak

memberikan visualisasi yang membantu dalamruang vektor dua atau tiga dimensi.

Dengan menciptakan lingkungan interaktif dari program komputer, siswadapat

mengeksplorasi matriks, transformasi linier dan representasi numerik. Dan akhirnya,

adahubungan yang jelas antara aljabar linier, kalkulus, persamaan diferensial, dan

statistik.Penelitian tersebut berkaitan dengan analisis materi yang terdapat dalam

mata kuliah aljabar linier berdasarkan isi materi, buku teks, profil pembelajaran

siswa dan metode pengajaran yang digunakan.

Berdasarkan kajian di atas peneliti memperoleh beberapa perbedaan ataupun

persamaan terkait dengan variabel yang diteliti. Dalam penelitian ini hanya akan

meneliti terkait dengan bagaimana kemampuan pemahaman konsep aljabar

mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar pada mata kuliah aljabar

linear elementer.

C. Kerangka Konseptual

33

Matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang materinya tersusun secara

hierarki dan sistematis serta penalarannya bersifat deduktif. Artinya suatu materi

matematika tertentu dapat dipahami apabila materi lain yang menjadi prasyarat dari

materi tersebut telah dikuasai atau telah dipahami. Permasalahan yang sering muncul

dalam pembelajaran matematika adalah tentang penguasaan atau pemahaman

konsep.Hal ini tidak hanya terjadi dari jenjang sekolah dasar hingga sekolah

menengah atas tetapi di perguruan tinggi pun juga sering terjadi.Dalam pembelajaran

matematika, semua materi yang ada mengandung aspek pemahaman konsep karena

memang kemampuan mendasar dalam belajar matematika adalah penguasaan

konsep.

Matematika tersusun secara hierarkis dan saling berkaitan unsur-

unsurnya.Konsep lanjutan tidak mungkin dapat dipahami sebelum memahami

dengan baik konsep yang menjadi prasyarat.Ini berarti dalam belajar dan

pembelajaran Matematika diperlukan pemahaman konsep secara baik pada

pendahuluan, yaitu sebelum mempelajari materi baru.

Berdasarkan penjelasan di atas dapat diambil kesimpulan bahwa semakin baik

pemahaman konsep peserta didik tentang materi terdahulu, maka akan semakin

memudahkan dalam pembelajaran materi sebelumnya. Begitu juga sebaliknya, jika

kurang mampu memahami konsep materi terdahulu, maka akan mengalami kesulitan

dalam materi selanjutnya.

Dalam hal yang lebih khusus misalnya seorang mahasiswa dapat memahami

dan menguasai materi mata kuliah aljabar linear elementer dengan baik apabila telah

memahami konsep dasar aljabar.Hal ini terjadi karena salah satu materi prasyarat

sebelum mempelajari mata kuliah aljabar linear elementer adalah peserta didik harus

34

memahami dan menguasai dan memahami konsep dasar aljabar.Dengan demikian

perlu diadakan analisis kemampuan pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah

aljabar linear elementer untuk melihat sejauh mana pemahaman dasar aljabar

mahasiswa sebagai bahan prasyarat dalam memahami mata kuliah aljabar linear

elementer.

35

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Pendekatan dan Jenis Penelitian

1. Pendekatan Penelitian

Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif,

karena dalam pendekatan kualitatif langsung dijelaskan dan diterangkan tentang

semua permasalahan yang belum diketahui secara rinci, sehingga akan memberikan

kemudahan bagi orang yang ingin mengetahui tentang semua pembahasan dalam

penelitian tersebut.28Kirk dan Miller mendefinisikan bahwasanya penelitian kualitatif

berhubungan dengan tradisi tertentu dalam ilmu pengetahuan sosial yang secara

fundamental bergantung pada pengamatan terhadap manusia dan dalam kawasannya

sendiri.29

Dalam penelitian kualitatif deskriptif bertujuan untuk menggambarkan,

melukiskan, secara lebih rinci dengan maksud menerangkan, menjelaskan dan

menjawab permasalahan peneliti.Dengan mempelajari semaksimal mungkin seorang

individu, suatu kelompok, atau suatu kejadian, peneliti bertujuan memberikan

pandangan yang lengkap dan mendalam mengenai subyek yang diteliti.30

2. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif kualitatif,

dilakukan untuk menggambarkan keadaan dari suatu fenomena atau peristiwa secara

28Mohammad Nadzir, Metode Penelitian(Jakarta: Ghalia Indonesia, 1998), h. 14. 29Lexy J. Moleong, Metode Penelitian Kualitatif (Bandung: PT. Remaja Rosda Karya, 2006),

h. 4. 30Dedy Mulyana, Metode Penelitian Kualitatif(Bandung: PT. Remaja Rosdakarya, 2001), h.

201.

36

sistematis sesuai dengan apa adanya31, tanpa membuat perbandingan atau hubungan

dari suatu variabel dengan variabel lainnya.

Dengan penelitian ini peneliti mencoba mengungkapkan bagaimana

ketercapaian pemahaman konsep matematika pada peserta didik. Adapun simpulan

dari penelitian ini hanya berlaku bagi peserta didik di kelas yang diteliti dan tidak

digeneralisasikan.

B. Lokasi Penelitian

Penelitian ini dilakukan di lokasi kampus II UIN Alauddin Makassar Jl.

Sultan Alauddin No. 36 Samata Sungguminasa-Gowa, Sulawesi Selatan, Fakultas

Tarbiyah dan Keguruan, sebagai tempat perkuliahaan mahasiswa jurusan Pendidikan

Matematika Angkatan 2016.

C. Subjek Penelitian

Sumber data dalam penelitian merupakan subjek dari mana data dapat

diperoleh.32Subjekdalam penelitian ini adalah mahasiswa Jurusan Pendidikan

Matematika Angkatan 2016 UIN Alauddin Makassar berjumlah 42 orang yang

kemudian diberi tes berupa soal aljabar linear elementer.

D. Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data yang dilakukan adalah tes tertulis dan wawancara.

1. Tes Diagnostik

Tes terdiri dari 7 soal uraian aljabar linear elementer yang disusun

berdasarkan materi yaitu: ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor

31Nyoman Dantes, Metode Penelitian (Yogyakarta: C.V Andi Offset, 2014), h. 51. 32 Suharsimi Arikunto, Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik, Edisi Revisi VI (

Jakarta; PT Rineka Cipta, 2006), h.129.

37

Euclidean. Data kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa diperoleh

dengan memeriksa lembar jawaban tes sesuai dengan rubrik penskoran. Kemudian

data tersebut dianalisis secara deskriptif kuantitatif untuk melihat pencapaian

kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa dalam proses perkuliahan.

Rata-rata nilai akhir yang diperoleh digunakan untuk melihat kategori kemampuan

pemahaman konsep matematika mahasiswa.

2. Wawancara

Wawancara dilakukan secara lisan kepada mahasiswa dengan tingkat

kemampuan matematika yang berbeda. Data hasil wawancara dianalisis secara

deskriptif kualitatif dan digunakan sebagai data pendukung hasil tes kemampuan

pemahaman konsep matematika mahasiswa.Wawancara dilakukan untuk

mempelajari/menelusuri alasan subjek mengambil kesimpulan pada tes tertulis,

pemahaman subjek penelitian dipelajari melalui interpretasi atau representative yang

diberikan subjek dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan pewawancara.Selain itu,

wawancara juga bertujuan untuk mengetahui secara terperinci letak kesulitan

mahasiswa dalam memahami konsep aljabar dalam mata kuliah aljabar linear.

E. Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian adalah alat ukur yang digunakan dalam penelitian.33

Mengacu pada jenis penelitian kualitatif, maka instrumen utama dalam penelitian ini

adalah peneliti sendiri. Alat bantu yang digunakan untuk menghimpun data dalam

penelitian ini berupa tes diagnostik materi aljabar linear elementer dan pedoman

wawancara.

33Sugiyono, Metode Penelitian Administrasi (Cet. VI; Bandung : CV. Alfabeta, 1999), h. 84.

38

1. Tes Diagnostik

Tes diagnostik adalah tes yang digunakan mengetahui kelemahan-kelemahan

peserta didik sehingga berdasarkan hal tersebutdapat dilakukan penanganan yang

tepat.Tes diagnostik juga diartikan sebagai tes yang dilaksanakan untuk menentukan

secara tepat jenis kesukaranyang dihadapi oleh peserta didik dalam suatu pelajaran

tertentu.

Fungsi tes diagnostik, yaitu: (1) menentukan apakah bahan prasyarat telah

dikuasai atau belum, (2) Menentukan tingkat penguasaan peserta didik terhadap

bahan yang dipelajari, (3) Memisah-misahkan peserta didik berdasarkan kemampuan

dalam menerima pelajaran yang akan dipelajari dan (4) Menentukan kesulitan-

kesulitan belajar yang dialami untuk menentukan cara yang khusus untuk mengatasi

atau memberikan bimbingan.

2. Pedoman wawancara

Pedoman wawancara perlu disusun agar proses wawancara tidak

menyimpang dari fokus penelitian. Pedoman wawancara disusun untuk mendukung

hasil tes diagnostik.Penggalian data melalui wawancara dilakukan dengan

wawancara tak terstruktur berbasis tes diagnostik. Wawancara tak terstruktur artinya

pertanyaan yang diajukan disesuaikan dengan respon subjek. Jika respon subjek

terhadap pertanyaan yang diajukan tidak sesuai dengan indikator penelitian, maka

diajukan pertanyaan dengan kalimat yang berbeda namun tetap inti permasalahan.

Pertanyaan yang diajukan bersifat menggali dan menghindari sifat penuntun

yang bertujuan untuk memperoleh data tentang pemahaman subjek mengenai konsep

aljabar dalam mata kuliah aljabar linear elementer.Berbasis tes diagnostik

maksudnya pertanyaan-pertanyaan dalam wawancara nantinya berkaitan dengan

39

jawaban subjek terhadap tes diagnostik yang peneliti berikan.

F. Keabsahan Data

Dalam penelitian kualitatif, instrumen utamanya adalah manusia, karena itu

yang diperiksa adalah keabsahan datanya.34Untuk menguji kredibilitas data penelitian

peneliti menggunakan teknik Triangulasi.

Teknik triangulasi adalah menjaring data dengan berbagai metode dan cara

dengan menyilangkan informasi yang diperoleh agar data yang didapatkan lebih

lengkap dan sesuai dengan yang diharapkan. Setelah mendapatkan data yang jenuh

yaitu keterangan yang didapatkan dari sumber-sumber data telah sama maka data

yang didapatkan lebih kredibel.

Jadi setelah penulis melakukan penelitian dengan menggunakan metode

wawancara dan tes tertulis kemudian data hasil dari penelitian itu di gabungkan

sehingga saling melengkapi.

G. Teknik Analisis Data

Analisis data penelitian ini menggunakan tahap-tahap reduksi data, penyajian

data, dan simpulan. Proses analisis tersebut sebagai berikut:

1. Reduksi data

Pada tahap ini, kegiatan yang dilakukan meliputi kegiatan dalam memilih,

menyederhanakan, menggolongkan, dan menajamkan data yang diperoleh dari hasil

tes dan wawancara subjek agar diperoleh data yang sesuai kebutuhan. Data berupa

hasil tes akan ditabulasi berdasarkan kategori jawaban benar, salah, dan tidak

34Nusa Putra dan Ninin Dwilestari, “Penelitian Kualitatif ; Pendidikan Anak Usia Dini”,

(Jakarta: Rajagrafindo Persada, 2012), hlm. 87.

40

menjawab. Pada jawaban yang salah akan ditabulasi lagi berdasarkan

indikatorkemampuan pemahaman matematis.

2. Penyajian data

Pada tahap ini, data tes atau hasil wawancara subjek sudah tersusun

berdasarkan kategori jawaban dan jenis kesalahan sehingga memudahkan peneliti

untuk mengambil suatu simpulan.

Untuk menganalisa data yang telah terkumpul digunakan analisa data non-

statistik, karena jenis penelitian yang digunakan adalah deskriptif kualitatif. Data

yang muncul berupa kata-kata yang menggambarkan hasil penelitian yang diperoleh,

bukan dalam bentuk angka.

Data penelitian yang berupa jawaban responden atas soal yang diberikan pada

mahasiswa, dianalisa kesalahan-kesalahannya untuk mengetahui tingkat

penguasaannya.Selanjutnya kriteria yang digunakan untuk menentukan kategori skor

penguasaan yang diadopsi dari kategori penguasaan matematika adalah skala

tiga.Skala tiga adalah suatu pembagian tingkatan yang terbagi atas tiga kategori,

yaitu:

1) %100%68 P dikategorikan mampu (tinggi)

2) %67%34 P dikategorikan cukup mampu (sedang)

3) %33%0 P dikategorikan tidak mampu (rendah)35

Untuk mengetahui persentase penguasaan indikator kemampuan pemahaman

matematis yang telah dilakukan oleh mahasiswa digunakan rumus:

%100x

S

SP

Dimana:

P Persentase tingkat penguasaan mahasiswa

35Arikunto dan Jabar.Evaluasi Program Pendidikan (Jakarta: Bumi Aksara, 2010), h. 97.

41

S Banyaknya skor indikator yang diperoleh mahasiswa

S Total skor maksimal

3. Simpulan

Pada tahap ini, kegiatan yang dilakukan yakni membuat penarikan simpulan

dari data tes dan wawancara yang sudah disajikan agar mendapatkan simpulan

mengenai kemampuan pemahaman konsep mahasiswa dalam menyelesaikan soal

aljabar linear elementer. Untuk memeriksa keabsahan data penelitian, peneliti

menggunakan triangulasi teknik dengan cara memeriksa data kepada subjek yang

sama dengan teknik berbeda yakni tes diagnostik dan wawancara.36

Teknik analisis data untuk hasil wawancara dilakukan secara interaktif dan

berlangsung secara terus menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah jenuh.

Aktivitas dalam analisis data yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan

kesimpulan.37Hasil tes mahasiswa dianalisis untuk mengetahui pemahaman konsep

matematis mahasiswa. Data hasil wawancara dianalisis untuk mendukung hasil

analisis dari hasil tes diagnostik mahasiswa.

36Sugiyono, Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D),

(Bandung: Alfabeta, 2013), h. 336. 37Sugiyono, Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D),

(Bandung: Alfabeta, 2013), h. 337.

42

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Hasil Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan pada mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika

UIN Alauddin Makassar Angkatan 2016. Subjek dalam penelitian ini berjumlah 42

orang mahasiswa.

Berdasarkan hasil final mahasiswa dalam mengerjakan soal aljabar linear

elementer materi ruang vektor, sub ruang vektor dan ruang vektor Euclidean,

ditemukan bagaimana kemampuan pemahaman konsep matematis mahasiswa yang

disajikan sebagai berikut:

a. Soal nomor 1

Pada soal nomor 1, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah

mampu menyatakan ulang sebuah konsep (P1) dan mampu menyajikan

konsep dalam bentuk representasi matematis (P3). Adapun soal dan

penyelesaiannya:

Tuliskan 2 vektor dalam R3 dengan norma Euclides 1 yang hasil kali dalam Euclides

dengan (1, 4, -2) nya adalah nol!

Penyelesaian :

Misalkan �� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) dan �� = (1, 4, −2)

dimana �� ⋅ �� = 0 …(P1)

⇒ 𝑢1 + 4𝑢2 − 2𝑢3 = 0

⇒ 𝑢12 + 𝑢2

2 + 𝑢32 = 1

Misalkan 𝑢1 = 0, maka 𝑢3 = 2𝑢2

𝑢22 + (2𝑢2)2 = 1

43

5𝑢22 = 1

𝑢22 =

1

5

𝑢2 = ±1

√5 …(P3)

𝑢2 =1

√5, 𝑢3 =

2

√5, 𝑢1 = 0

𝑢2 = −1

√5, 𝑢3 = −

2

√5, 𝑢1 = 0

Tabel 4.1. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 1

Indikator kemampuan

pemahaman Subjek Jumlah

Klasifikasi

Kemampuan

Menyatakan ulang sebuah

konsep

S2, S3, S5, S8, S11, S13,

S14, S15, S18, S19, S20,

S21, S23, S25, S26, S27,

S28, S29, S31, S34, S36,

S37, S38, S39, S42

25

Tinggi: 12 subjek

Sedang: 13 subjek

Rendah:17 subjek

Menyajikan konsep dalam

bentuk representasi

matematis

S1, S2, S3, S5, S7, S8,

S9, S11, S13, S14, S15,

S18, S19, S20, S23, S25,

S26, S27, S28, S29, S31,

S34, S36, S37, S38, S39,

S40, S42

28

Tinggi : 14 subjek

Sedang : 14 subjek

Rendah : 14 subjek

b. Soal nomor 2


mampu memberi contoh dan bukan contoh (P2), mampu menyajikan

konsep dalam bentuk representasi matematis (P3), dan mampu

menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P3). Adapun

soal dan penyelesaiannya:

Buktikan bahwa himpunan semua matriks2 × 2 berbentuk [[𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎]] , 𝑎, 𝑏 ∈

𝑅 dengan penjumlahan matriks dan perkalian skalar adalah suatu ruang vektor, dan

berikan contoh subruang vektornya kemudian tunjukkan!

44

Penyelesaian :

Misalkan 𝐴 = {(𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎) |𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}

(i) Misalkan 𝑃, 𝑄 ∈ Α di mana ...(P4)

𝑃 = (𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎) dan 𝑄 = (

𝑥 𝑥 + 𝑦𝑥 + 𝑦 𝑥

) , 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Maka, 𝑃 + 𝑄 = (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦)

(𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥) ∈ Α

(ii) 𝑃 + 𝑄 = (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦)

(𝑎 + 𝑥) + (𝑏 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥)

= ((𝑥 + 𝑎) (𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏)

(𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏) (𝑥 + 𝑎)) = 𝑄 + 𝑃

(iii) Misalkan 𝑅 = (𝑐 𝑐 + 𝑑

𝑐 + 𝑑 𝑐) , 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ

(𝑃 + 𝑄) + 𝑅 = (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)

(𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥) + (

𝑐 𝑐 + 𝑑𝑐 + 𝑑 𝑐

)

= ((𝑎 + 𝑥) + 𝑐 ((𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)) + (𝑐 + 𝑑)

((𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)) + (𝑐 + 𝑑) (𝑎 + 𝑥) + 𝑐)

= (𝑎 + (𝑥 + 𝑐) (𝑎 + 𝑏) + ((𝑥 + 𝑦) + (𝑐 + 𝑑))

(𝑎 + 𝑏) + ((𝑥 + 𝑦) + (𝑐 + 𝑑)) 𝑎 + (𝑥 + 𝑐))

= 𝑃 + (𝑄 + 𝑅)

(iv) Karena 𝑂 = (0 00 0

) ∈ Α, maka di dalam Α terdapat vektor nol sehingga

𝑃 + 0 = 𝑃 = 0 + 𝑃, ∀𝑃 ∈ Α.

(v) Misalkan 𝑃 ∈ Α di mana 𝑃 = (𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎) dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Maka, −𝑃 = (−𝑎 (−𝑎) + (−𝑏)

(−𝑎) + (−𝑏) −𝑎) ∈ Α

sehingga, 𝑃 + (−𝑃) = 0 = (−𝑃) + 𝑃

(vi) Misalkan k adalah skalar dan 𝑃 ∈ Α dengan 𝑃 =

(𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎) dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Maka, 𝑘𝑃 = (𝑘𝑎 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏

𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 𝑘𝑎) ∈ Α

45

(vii) 𝑘(𝑃 + 𝑄) = 𝑘 (𝑎 + 𝑥 (𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦)

(𝑎 + 𝑏) + (𝑥 + 𝑦) 𝑎 + 𝑥)

= (𝑘𝑎 + 𝑘𝑥 𝑘(𝑎 + 𝑏) + 𝑘(𝑥 + 𝑦)

𝑘(𝑎 + 𝑏) + 𝑘(𝑥 + 𝑦) 𝑘𝑎 + 𝑘𝑥)

= 𝑘𝑃 + 𝑘𝑄

(viii) (𝑘 + 𝑙)𝑃 = (𝑘 + 𝑙) (𝑎 𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏 𝑎)

= (𝑎𝑘 + 𝑎𝑙 (𝑎 + 𝑏)𝑘 + (𝑎 + 𝑏)𝑙

(𝑎 + 𝑏)𝑘 + (𝑎 + 𝑏)𝑙 𝑎𝑘 + 𝑎𝑙)

= 𝑘𝑃 + 𝑙𝑃

(ix) 𝑘(𝑙𝑃) = 𝑘 (𝑙𝑎 𝑙(𝑎 + 𝑏)

𝑙(𝑎 + 𝑏) 𝑙𝑎) = (

𝑘(𝑙𝑎) 𝑘(𝑙(𝑎 + 𝑏))

𝑘(𝑙(𝑎 + 𝑏)) 𝑘(𝑙𝑎))

= ((𝑘𝑙)𝑎 (𝑘𝑙)(𝑎 + 𝑏)

(𝑘𝑙)(𝑎 + 𝑏) (𝑘𝑙)𝑎)

= (𝑘𝑙)𝑃

(x) 1 ⋅ 𝑃 = (1 ⋅ 𝑎 1 ⋅ (𝑎 + 𝑏)

1 ⋅ (𝑎 + 𝑏) 1 ⋅ 𝑎) = (

𝑎 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 𝑎

) = 𝑃 ...(P3)

Berdasarkan uraian di atas, maka A suatu ruang vektor.

Contoh subruang vektornya:

Misalkan 𝐵 = {(𝑎 𝑎𝑎 𝑎

) |𝑎 ∈ ℝ} maka 𝐵 ⊆ 𝐴 …(P2)

i) Misalkan 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐵 di mana 𝑃 = (𝑎 𝑎𝑎 𝑎

) dan 𝑄 = (𝑎 𝑎𝑎 𝑎

) , 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Maka, 𝑃 + 𝑄 = (𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏

) ∈ 𝐵

ii) Misalkan k adalah skalar dan 𝑃 ∈ 𝐵 di mana 𝑃 = (𝑎 𝑎𝑎 𝑎

) , 𝑎 ∈ ℝ

Maka 𝑘𝑃 = (𝑘𝑎 𝑘𝑎𝑘𝑎 𝑘𝑎

) ∈ 𝐵

Maka, B subruang dari A.

46


Indikator kemampuan


Klasifikasi

Kemampuan

Memberi contoh dan

bukan contoh S5, S13, S24, S25, S27,

S34, S37, S38, S41 9

Tinggi: 1 subjek

Sedang: 8 subjek

Rendah: 33 subjek


bentuk representasi

matematis

S4, S5, S6, S7, S13, S14,

S21, S24, S25, S27, S34,

S37, S41, S42

14

Tinggi : 4 subjek

Sedang : 10 subjek

Rendah : 28 subjek

Menggunakan,

memanfaatkan, dan

memilih prosedur tertentu

S4, S5, S6, S13, S14,

S24, S25, S27, S34, S37,

S41, S42

12

Tinggi : 6 subjek

Sedang : 6 subjek

Rendah : 30 subjek

c. Soal nomor 3


mampu menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P4)

dan mampu mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan masalah

(P5). Adapun soal dan penyelesaiannya:

Jika terdapat suatu sistem persamaan linier seperti berikut:

[1 −2 3

−2 4 −6−1 2 −3

] [𝑥𝑦𝑧

] = [000

]

Apakah solusi dari sistem persamaan di atas adalah subruang dari R3? Jika iya,

tuliskan alasannya begitupun jika tidak!

47

Penyelesaian:

(1 −2 3

−2 4 −6−1 2 −3

|000

)𝑏2 + 2𝑏1

𝑏3 + 𝑏1(

1 −2 30 0 00 0 0

|000

)

Maka, 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0

𝑥 = 2𝑦 − 3𝑧

Misalkan 𝑦 = 𝑠 dan 𝑧 = 𝑡 ⇒ 𝑥 = 2𝑠 − 3𝑡

[𝑥𝑦𝑧

] = [2𝑠 − 3𝑡

𝑠𝑡

] solusi dari SPL di atas

i) Misalkan [

𝑥1

𝑦1

𝑧1

] = [2𝑠1 − 3𝑡1

𝑠1

𝑡1

] dan [

𝑥2

𝑦2

𝑧2

] = [2𝑠2 − 3𝑡2

𝑠2

𝑡2

] …(P4)

Maka, [

𝑥1

𝑦1

𝑧1

] + [

𝑥2

𝑦2

𝑧2

] = [2(𝑠1 + 𝑠2) − 3(𝑡1 + 𝑡2

𝑠1 + 𝑠2

𝑡1 + 𝑡2

] merupakan solusi dari

SPL tersebut.

ii) Misalkan k adalah skalar dan[𝑥𝑦𝑧

] = [2𝑠 − 3𝑡

𝑠𝑡

] solusi dari SPL tersebut

Maka, 𝑘 [𝑥𝑦𝑧

] = [2(𝑘𝑠) − 3(𝑘𝑡)

𝑘𝑠𝑘𝑡

] juga solusi dari SPL tersebut

Maka, {[2𝑠 − 3𝑡

𝑠𝑡

] | 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ} merupakan subruang dari 𝑅3. …(P5)


Indikator kemampuan


Klasifikasi

Kemampuan

Menggunakan,

memanfaatkan, dan

memilih prosedur tertentu

S1, S2, S5, S6, S7, S9,

S10, S15, S17, S18, S20,

S23, S25, S26, S27, S28,

S29, S31, S32, S33, S35,

S36, S37, S38, S39, S41

26

Tinggi: 10 subjek

Sedang: 16 subjek

Rendah:16 subjek

48

Mengaplikasikan konsep

atau algoritma ke

pemecahan masalah

S1, S2, S5, S6, S7, S9,

S10, S12, S14, S15, S17,

S20, S23, S25, S26, S27,

S28, S29, S32, S33, S35,

S36, S37, S38, S41

25

Tinggi : 9 subjek

Sedang : 16 subjek

Rendah : 17 subjek

d. Soal nomor 4


mampu memberi contoh dan bukan contoh (P2), mampu menggunakan,

memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P4), dan mampu

mengaplikasikan konsep atau algoritma ke pemecahan masalah (P4).

Adapun soal dan penyelesaiannya:

Tuliskan:

a. Contoh himpunan yang merupakan ruang vektor, kemudian tunjukkan!

b. Berikan suatu subruang di ruang vektor pada (a), kemudian tunjukkan!

Penyelesaian :

a. Misalkan 𝑅3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} …(P2)

i) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ

⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) ∈ 𝑅3 …(P4)

ii) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦, 𝑐 + 𝑧) = 𝑣 + 𝑢

iii) 𝑤 = (𝑑, 𝑒, 𝑓)

(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦, 𝑧 + 𝑐) + (𝑑, 𝑒, 𝑓)

= ((𝑎 + 𝑥) + 𝑑, (𝑏 + 𝑦) + 𝑒, (𝑐 + 𝑧) + 𝑓

= (𝑎 + (𝑥 + 𝑑), 𝑏 + (𝑦 + 𝑒), 𝑐 + (𝑧 + 𝑓))

= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)

iv) Misalkan 𝑂 = (0, 0, 0) ∈ 𝑅3

Sehingga 𝑂 + 𝑢 = 𝑢 = 𝑢 + 𝑂, ∀ 𝑢 ∈ 𝑅3

v) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3 maka – 𝑢 = (−𝑥, −𝑦, −𝑧) ∈ 𝑅3

49

Sehingga, 𝑢 + (−𝑢) = 0 = (−𝑢) + 𝑢

vi) Misalkan k adalah skalar dan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3

⇒ 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) ∈ 𝑅3

vii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) dan k skalar

𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘(𝑥 + 𝑎), 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐)

= (𝑘𝑥 + 𝑘𝑎, 𝑘𝑦 + 𝑘𝑏, 𝑘𝑧 + 𝑘𝑐)

= 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣

viii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑘 dan 𝑙 skalar

(𝑘 + 𝑙) 𝑢 = ((𝑘 + 𝑙)𝑥, (𝑘 + 𝑙)𝑦, (𝑘 + 𝑙)𝑧)

= (𝑘𝑥 + 𝑙𝑥, 𝑘𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑘𝑧 + 𝑙𝑧)

= 𝑘𝑢 + 𝑙𝑢

ix) 𝑘(𝑙𝑢) = 𝑘(𝑙𝑧, 𝑙𝑦, 𝑙𝑧) = (𝑘(𝑙𝑥), 𝑘(𝑙𝑦), 𝑘(𝑙𝑧) = ((𝑘𝑙)𝑥, (𝑘𝑙)𝑦, (𝑘𝑙)𝑧)

= (𝑘𝑙)𝑢

x) 1 ⋅ 𝑢 = (1 ⋅ 𝑥, 1 ⋅ 𝑦, 1 ⋅ 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢

Jadi, 𝑅3 merupakan suatu ruang vektor.

b. Misalkan 𝐴 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥, 𝑦, 𝑧 bilangan bulat}

i) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) dengan 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ Ζ

⇒ 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) ∈ Α

ii) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦, 𝑐 + 𝑧) = 𝑣 + 𝑢

iii) 𝑤 = (𝑑, 𝑒, 𝑓)

(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐) + (𝑑, 𝑒, 𝑓)

= ((𝑥 + 𝑎) + 𝑑, (𝑦 + 𝑏) + 𝑒, (𝑧 + 𝑐) + 𝑓)

= (𝑥 + (𝑎 + 𝑑), 𝑦 + (𝑏 + 𝑒), 𝑧 + (𝑒 + 𝑓))

= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤)

iv) Misalkan 𝑂 = (0, 0, 0) ∈ Α

Sehingga 𝑂 + 𝑢 = 𝑢 = 𝑢 + 𝑂, ∀ 𝑢 ∈ Α

v) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Α maka – 𝑢 = (−𝑥, −𝑦, −𝑧) ∈ Α

Sehingga, 𝑢 + (−𝑢) = 0 = (−𝑢) + 𝑢

50

vi) Misalkan k adalah skalar dan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ Α

⇒ 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧) ∈ Α

vii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) dan k skalar

𝑘(𝑢 + 𝑣) = 𝑘(𝑥 + 𝑎), 𝑦 + 𝑏, 𝑧 + 𝑐)

= (𝑘𝑥 + 𝑘𝑎, 𝑘𝑦 + 𝑘𝑏, 𝑘𝑧 + 𝑘𝑐)

= 𝑘𝑢 + 𝑘𝑣

viii) Misalkan 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑘 dan 𝑙 skalar

(𝑘 + 𝑙) 𝑢 = ((𝑘 + 𝑙)𝑥, (𝑘 + 𝑙)𝑦, (𝑘 + 𝑙)𝑧)

= (𝑘𝑥 + 𝑙𝑥, 𝑘𝑦 + 𝑑𝑦, 𝑘𝑧 + 𝑙𝑧)

= 𝑘𝑢 + 𝑙𝑢

ix) 𝑘(𝑙𝑢) = 𝑘(𝑙𝑧, 𝑙𝑦, 𝑙𝑧) = (𝑘(𝑙𝑥), 𝑘(𝑙𝑦), 𝑘(𝑙𝑧) = ((𝑘𝑙)𝑥, (𝑘𝑙)𝑦, (𝑘𝑙)𝑧)

= (𝑘𝑙)𝑢

x) 1 ⋅ 𝑢 = (1 ⋅ 𝑥, 1 ⋅ 𝑦, 1 ⋅ 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢

Maka, Α adalah subruang dari 𝑅3. …(P5)


Indikator kemampuan


Klasifikasi

Kemampuan

Memberi contoh dan

bukan contoh

S4, S16, S17, S25, S31,

S38, S40 7

Tinggi: 0 subjek

Sedang: 7 subjek

Rendah: 35 subjek


bentuk representasi

matematis

S4, S16, S17, S20, S25,

S37, S38, S41, S42 9

Tinggi : 6 subjek

Sedang : 3subjek

Rendah : 33 subjek

Mengaplikasikan

konsep atau algoritma

ke pemecahan masalah

S4, S10, S14, S16, S17,

S25, S37, S38, S41, S42 10

Tinggi : 3 subjek

Sedang : 7 subjek

Rendah : 32 subjek

51

e. Soal nomor 5


mampu menyatakan ulang sebuah konsep (P1) dan mampu menggunakan,

memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P4). Adapun soal dan

penyelesaiannya:

Buktikan untuk sebarang vektor u, v dan w. Vektor-vektor u-v, v-w, w-u membentuk

himpunan yang tak bebas secara linier, kemudian berikan contohnya!

Penyelesaian :

Misalkan 𝑆 = {�� − 𝑣, �� − ��, �� − ��}

Karena �� − �� = (−1)(�� − ��) + (−1) (�� − ��), maka �� − �� merupakan

kombinasi linier dari �� − �� dan �� − ��

sehingga, S tidak bebas linier. …(P4)

Contoh:

�� = (1, 2, 3)

�� = (4, 5, 7)

�� = (8, 9, 10)

�� − �� = (−3, −3, −4)

�� − �� = (−4, −4, −3)

�� − �� = (7, 7, 7)

(−1)(�� − ��) + (−1)(�� − ��) = (−7, −7, −7) + (4, 4, 3)

= (−3, −3, −4) = �� − ��

Karena �� − �� merupakan kombinasi linier dari �� − ��dan �� − ��, maka {�� − 𝑣, �� −

��, �� − ��} tidak bebas linier. …(P1)

52


Indikator kemampuan


Klasifikasi

Kemampuan

Menyatakan ulang sebuah

konsep

S1, S4, S5, S6, S9, S10,

S13, S14, S16, S17, S18,

S21, S22, S23, S24, S25,

S27, S28, S33, S35, S36,

S38, S40, S41, S42

25

Tinggi: 13 subjek

Sedang: 12 subjek

Rendah:17 subjek

Tinggi : 17 subjek

B. Analisis dan Validasi Data

Berdasarkan penilaian hasil kerja mahasiswa dan untuk mengetahui lebih jauh

tentang faktor-faktor yang mempengaruhi kemampuan pemahaman tersebut, maka

peneliti memilih beberapa mahasiswa untuk dianalisis jawabannya. Pemilihan

mahasiswa ini dilakukan dengan pertimbangan bahwa beberapa mahasiswa tersebut

memperoleh nilai yang tinggi, sedang dan rendah dalam mengerjakan soal terkait

dengan pemahaman konsep ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor euclidean.

Berikut hasil analisis pengkategorian keseluruhan dan persentase

ketercapaiannya:

Tabel 4.6 : Deskripsi Kemampuan Pemahaman Keseluruhan

NO Indikator Pemahaman

Konsep

Rata-

Rata

Skor

Maksimal (%) Ketercapaian

1 Kemampuan menyatakan

ulang sebuah konsep 11,40 20 57 %

2 Kemampuan memberi

contoh dan bukan contoh 1,70 20 8,5 %

53

3

Kemampuan menyajikan

konsep dalam berbagai

bentuk representasi

matematika

8,5 20 42,5 %

4

Kemampuan

menggunakan,

memanfaatkan dan

memilih prosedur

tertentu

9,95 20 49,75 %

5

Kemampuan

mengaplikasikan

konsep/algoritma ke

pemecahan masalah

6,6 20 33 %

. Selanjutnya kriteria yang digunakan mengapa mahasiswa dikategorikan ke

dalam kategori yaitu berdasarkan pada 3 skala pembagian tingkatan yaitu:

1. %100%68 P dikategorikan mampu (tinggi)

2. %67%34 P dikategorikan cukup mampu (sedang)

3. %33%0 P dikategorikan tidak mampu (rendah)

Setelah melakukan tes diagnostik, rata-rata ketercapaian indikator secara

keseluruhan sebesar 38%. Mahasiswa tergolong cukup mampu pada indikator: (1)

pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2) menyajikan konsep dalam

berbagai bentuk representasi matematika, (3) menggunakan, memanfaatkan dan

memilih prosedur tertentu, dan (4) mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan

masalah. Namun, mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan

memberi contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang

dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa berada

pada kategori cukup mampu.

Beberapa mahasiswa kemudian dipilih untuk diwawancarai terkait hasil

pengerjaan soalnya, dipilih 5 mahasiswa di antaranya yaitu S5 yang mewakili

kategori tinggi, S12 dan S18 yang mewakili kategori sedang, S20 dan S24 yang

54

mewakili kategori rendah nilainya terkait dengan pemahaman konsep ruang vektor,

sub ruang vektor dan vektor Euclidean.

Selanjutnya, untuk menelusuri lebih dalam tentang kemampuan mahasiswa

terkait dengan pemahaman konsep dan faktor-faktor yang mempengaruhi

kemampuan pemahaman tersebut, maka dilakukan wawancara mendalam terhadap

kelima mahasiswa yang terpilih. Data hasil wawancara kemudian dibandingkan

dengan data hasil final mahasiswa (triangulasi data), dengan tujuan untuk

mendapatkan data yang valid.

Berikut adalah hasil analisis dan validasi data terhadap mahasiswa dalam

memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer:

Kemampuan mahasiswa dalam memahami konsep ruang vektor, sub ruang

vektor dan vektor Euclidean dapat ditinjau dari hasil final dan wawancara terkait

dengan pemahaman konsep ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor Euclidean.

Adapun uraian kemampuan pemahaman mahasiswa sebagai berikut:

1. Hasil pengerjaan tes diagnostik dan wawancara dengan S5:

Mahasiswa S5 dipilih berdasarkan kemampuan pemahaman yang termasuk

dalam kategori mampu (tinggi).

Gambar 4.1 Hasil Kerja Mahasiswa S5

55

(soal nomor 1)


(soal nomor 2)


(soal nomor 4)


56

(soal nomor 5)

Petikan wawancara dengan mahasiswa S5 terkait dengan hasil pengerjaan di atas:

Peneliti :“Untuk soal nomor 1, apakah anda paham dengan

maksud soal tersebut?”

S5 :”Iye kak, maksudnya kita diminta menuliskan vektor

dimensi tiga dengan norma euclides satu yang

hasilkali dalamnya sama dengan nol” (J1)

Peneliti :“Apakah anda tahu atau paham dengan konsep vektor

R3?”

S5 :“Hm, vektor R3 itu vektor berdimensi 3 yang di

dalamnya terdapat 3 elemen seperti u1, u2, dan u3” (J2)

Peneliti :”Yah benar, kalau norma euclides satu? Apakah anda

paham maksudnya?”

S5 :”Tidak kak” (J3)

Peneliti :”Bagaimana dengan hasilkali dalam Euclides dengan

(1, 4, -2) adalah nol?”

S5 :”Itu kak, kalau dikalikan dengan vektor u hasilnya

sama dengan nol” (J4)

Peneliti :“Pada nomor 2 dan 4, mengapa adek memilih

menggunakan prosedur seperti ini untuk mengerjakan

soal?”

S5 :”Tidak kutahu sebenarnya caranya ini, jadi waktu itu

saya jawab sembarang ji kak” (J5)

Peneliti :”Oke, Saya perhatikan dari hasil kerja soal final ta,

sepertinya adek memang paham dengan konsep dalam

57

mata kuliah ini. Tapi kenapa soal nomor 3 tidak

dijawab?”

S5 :”Karena tidak kutahu cari solusinya ini sistem

persamaan linear kak, jadi tidak bisa ditentukan ini

sub ruangnya.” (J6)

Peneliti :”Seperti itu? Tapi ini soal yang kita kerjakan memang

waktu itu betul-betul kita tau konsepnya atau hanya

menebak-nebak?”

S5 :”Iye, bisa dibilang tahu konsep karena belajarka

sebelum ujian.” (J7)

Peneliti :”Apakah itu anda pelajari sewaktu menjelang ujian

atau anda memang paham konsep itu dari

pembelajaran di kelas?”

S5 :”Sudah dipelajari di kelas, tapi saya pelajari ulang

juga waktu mau ujian.” (J8)

Peneliti :”Apakah pada saat belajar, anda juga mengerjakan

soal-soal latihan?”

S5 :”Tugas yang pernahji dikerja sebelumnya saya kerja

ulang kak” (J9)

Peneliti :”Jadi apakah anda paham dengan maksud dari semua

soal final ini?”

S5 :”Ada beberapa yang tidak kak, seperti untuk

membuktikan, kurang bisaka karna banyak aksioma

yang harus dipelajari dan semuanya harus

58

berhubungan, sama itu kak, bingungka kasih contoh itu

harus pakai variabel atau bisa pake angka.” (J10)

Peneliti :”Oh tapi sebagian besar sudah dipahami?”

S5 :”Iye bisa dibilang begitu kak” (J11)

Berdasarkan hasil pengerjaan dan petikan wawancara dengan mahasiswa S5

di atas, menurut jawaban kedua dari S5 (J2), dapat dikatakan bahwa S5 sudah bisa

menyatakan ulang konsep terkait materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor

Euclidean. Berdasarkan (J4), S5 menunjukkan mampu menyajikan konsep dalam

bentuk representasi matematis. Namun berdasarkan (J6) dan (J10), S5 mengaku

masih ada kendala memilih atau menentukan prosedur untuk menyelesaikan

soal/permasalahan seperti halnya dalam memahami konsep seperti aksioma dalam

mengerjakan soal pembuktian dengan alasan prosedurnya yang terlalu panjang dan

masih bingung dalam menggunakan variabel atau konstanta dalam memberi contoh.

Selain itu, masih ada sebagian konsep yang digunakan dalam mengerjakan soal

hanya berdasarkan dugaan, bukan karena benar-benar paham dengan konsep.

Berdasarkan petikan wawancara di atas juga diperoleh faktor-faktor yang

mempengaruhi kemampuan pemahaman S5 yang dapat disimpulkan dari jawaban

subjek pada (J7), (J8), dan (J9), di mana peneliti menyimpulkan bahwa intensitas

belajar merupakan faktor yang mempengaruhi kemampuan pemahaman. Sedangkan

faktor lainnya terdapat pada (J10), di mana S5 tidak memahami konsep aksioma

ruang vektor dikarenakan prosedur yang terlalu panjang.



dalam kategori kurang mampu (sedang).

59


(soal nomor 1, 3 dan 5)


(soal nomor 2)

Petikan wawancara dengan mahasiswa S12 terkait dengan jawaban di atas:

Peneliti :”Apakah anda paham dengan maksud dari soal

nomor 5”?

S12 :”Paham ji kak maksudnya” (J1)

60

Peneliti :”Tapi mengapa anda tidak menunjukkan himpunan

yang tidak bebas linear di jawaban anda?”

S12 :”Bingung ka bagaimana caranya kak” (J2)

Peneliti :”Bagian mana yang bikin ki bingung sehingga tidak

bisa membuktikan bahwa ini himpunan tak bebas linier

sedangkan kita paham konsepnya?

S12 :”Tidak tauka tentukan permisalannya kak, tapi saya

tauji kalau himpunan tak bebas itu yang memiliki lebih

dari satu solusi” (J3)

Peneliti :”Nah, jadi kita cuma tahu konsep tapi tidak bisa

menuangkan ke soal, kira-kira kenapa seperti itu dek?

Dan di sini banyak saya lihat soal yang kita kerjakan

tapi setengah-setengah?”

S12 :”Mungkin karena waktu mau uijian itu, saya baru

belajar malamnya kak, jadi itu yang saya pelajari

setengah-setengahji” (J4)

Peneliti :”Apakah waktu belajar, kita juga latihan-latihan

mengerjakan soal?”

S12 :”Tidak kak, materinya ji saya pelajari” (J5)

Peneliti :”Apakah di kelas anda memperhatikan kalau dosen

menjelaskan?”

61

S12 :”Kadang-kadang kak, karena di kelas biasa ngantuk,

main hp, atau cerita-cerita ji kakk, tapi kalau saya

suka materinya pada saat itu, pasti saya perhatikan”

(J6)

Peneliti :”Oh tergantung materinya yah?”

S12 :”Iye, kalau saya seperti itu kak” (J7)

Peneliti :”Kalau ada materi yang tidak dimengerti, apakah

adek bertanya sama dosen?”

S12 :”Tidak kak, malu-maluka, biasa sama temanku jka

bertanya” (J8)

Peneliti :”Kalau temannya tidak tau bagaimana?”

S12 :”Tidak kenapa-kenapa ji kak, nda bertanya ma” (J9)

Peneliti :“Oh iya, ini soal nomor 4 kenapa dikosongkan?

Apakah anda tidak tahu konsepnya?”

S12 :”Kalau tidak salah ini cara kerjanya pakai aksioma-

aksioma yang banyak itu kak” (J10)

Peneliti :“Iya, tapi kenapa anda kosongkan jawabannya?”

S12 :”Tidak mengertika materinya kak, karena panjang

proses pengerjaannya jadi menurut ku susah” (J11)

Berdasarkan hasil pengerjaan dan petikan wawancara dengan mahasiswa

S12 di atas, dari jawaban (J1), (J2), dan (J3), subjek mengaku mengetahui konsep

namun masih bingung dalam menentukan prosedur untuk menyelesaikan soal. Dapat

dikatakan bahwa mahasiswa masih keliru dalam menentukan cara menjawab soal,

62

belum bisa menggunakan prosedur dengan sistematis, tidak mampu memberi contoh

dari suatu konsep.

Berdasarkan petikan wawancara di atas, adapun faktor-faktor yang

mempengaruhi kemampuan pemahaman S12, antara lain: berdasarkan jawaban (J4)

dan (J5), S12 belajar hanya pada saat menjelang ujian dan hanya mempelajari konsep

tanpa latihan mengerjakan soal yang berkaitan, sehingga S12 memahami hanya

sebagian dari konsep, hal ini menyebabkan S12 tidak bisa menyelesaikan satu

soal/permasalahan meskipun sebenarnya tahu konsepnya. Selain itu, berdasarkan

jawaban subjek pada (J6), S12 jarang memperhatikan saat dosen menjelaskan di

kelas atau dapat dikatakan kurang berkonsentrasi saat pembelajaran berlangsung.

Selain itu, S12 masih malu-malu untuk bertanya pada dosen dan lebih memilih

bertanya pada teman apabila ada materi yang sulit dipahami (J8). Pada (J9) dan (J10),

S12 merasa kesulitan memahami konsep aksioma dengan alas an prosedur yang

terlalu panjang dan rumit.



dalam kategori tidak mampu (rendah).

63


(soal nomor 1)


(soal nomor 3)

Petikan wawancara dengan mahasiswa S20 terkait dengan jawaban di atas:

Peneliti :”Pada soal nomor 1, apakah Anda paham dengan

maksud soalnya”?

S20 :”Paham ji kalo soalnya kak, jawabannya tidak” (J1)

Peneliti :”Apanya yang tidak dipahami?”

S20 :”Cara menjawabnya tidak kutau” (J2)

Peneliti :”Lalu mengapa anda menjawab seperti ini?”

S20 :”Asal jawab ja kayaknya ini kak, karena nda saya

taumi apa mau saya isikan” (J3)

Peneliti :”Artinya anda memang tidak paham dengan materi

ini?”

S20 :”Iye begitu mi mungkin” (J4)

64

Peneliti :”Bagaimana dengan soal nomor 3, apakah kita

pahami soalnya atau sama seperti nomor 1, anda

hanya menebak-nebak jawaban?”

S20 :”Samaji mungkin kak, karena seingatku waktu ujian

ini sama sekali tidak ada kutahu” (J5)

Peneliti :”Kenapa begitu dek?Apakah memang tidak belajar

atau materinya yang terlalu sulit?”

S20 :”Belajar ji kak, tapi lain saya pelajari, lain juga

soalnya yang naik” (J6)

Peneliti :”Loh? Kan kita tau ji materi yang mau diujiankan,

dan sudahki diajari sama dosen sebelumnya”

S20 :”Maksudku kak nda saya pelajari semuanya, pusing

ka juga yang mana mau saya pelajari karena banyak

dan susah semua” (J7)

Peneliti :“Apakah kita nda coba kerja soal latihan sebelum

ujian?”

S20 :“Tidak kak.” (J8)

Peneliti :“Apakah adek perhatikan kalau dosen menjelaskan di

kelas?”

S20 :“Perhatikan ji kak, tapi tetap ja tidak mengerti, jadi

kadang main hp ji kak kalau di kelas.” (J9)

Peneliti :“Jika ada materi yang tidak dipahami, apakah anda

bertanya sama dosen?”

S20 :“Tidak” (J10)

65

Peneliti :“Kalau sama teman, bertanya ki?”

S20 :“Tidak juga kak.” (J11)

Peneliti :“Kenapa tidak bertanya?”

S20 :”Kadang malu ka kak kalau mau bertanya” (J12)

Peneliti :“Buku apa yang kita pelajari atau adakah buku

aljabar linear ta?”

S20 :”Itumi juga masalahnya kak, tidak ada buku aljabar

ku.” (J13)

Berdasarkan hasil pengerjaan dan petikan wawancara dengan mahasiswa

S20 di atas, dari jawaban subjek pada (J1), (J1), (J1), dan (J1) dapat diketahui bahwa

mahasiswa tidak paham dengan materi soal sehingga menyebabkan mahasiswa tidak

menjawab sebagian besar soal yang diberikan dan kalau pun ada soal yang dijawab,

itu hanya berdasarkan perkiraan subjek. Dengan demikian, S20 menunjukkan

kemampuan pemahaman yang rendah (tidak mampu).

Berdasarkan petikan wawancara di atas, faktor-faktor yang mempengaruhi

kemampuan pemahaman subjek tersebut antara lain: S20 kurang mempelajari materi

karena terlanjur menganggap materinya susah (J7), tidak latihan mengerjakan soal

yang berkaitan dengan materi (J8) , kurang memperhatikan dosen ketika proses

pembelajaran dan lebih memilih bermain gadget/tidak konsentrasi (J9), malu

bertanya pada dosen maupun temannya (J12), dan tidak memiliki buku pegangan

sendiri sebagai sumber ajar yang lain (J13). Hal-hal tersebut yang menjadi pemicu

rendahnya kemampuan pemahaman S20.

66

C. Pembahasan

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan pada mahasiswa jurusan

pendidikan matematika angkatan 2016. Dalam penelitian ini subjek yang diteliti

sebanyak 42 orang. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana

pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer mahasiswa

pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 berdasarkan

indikator kemampuan pemahaman matematis pada materi ruang vektor, subruang

vektor, dan ruang vektor Euclidean dan untuk mengetahui faktor-faktor yang

mempengaruhi kemampuan pemahaman konsep pada mata kuliah Aljabar Linear

Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan

2016.

Peneliti ingin mengetahui kemampuan pemahaman matematis mahasiswa

melalui soal tes diagnostik yang terdiri 5 soal uraian aljabar linear elementer yang

disusun berdasarkan materi ruang vektor, subruang vektir dan ruang vektor

Euclidean dan tes wawancara dari beberapa mahasiswa yang nilai tertinggi, sedang

dan rendah. Dari hasil analisis pengerjaan mahasiswa, peneliti mengkategorikan

mahasiswa berdasarkan kategori mampu, cukup mampu, dan tidak mampu. Pertama,

mahasiswa yang termasuk ke dalam kategori mampu yaitu mereka mengetahui

konsep dan mengetahui terbentuknya konsep atau menyatakan ulang sesuai konsep

dalam hal ini mereka mampu menyelesaikan soal-soal yang diberikan dan

mengaplikasikan ke dalam tes/soal ujian yang diberikan. Mereka juga di kategorikan

mampu karena mampu menyelesaikan sendiri ketika di tengah proses penyelesaian

ada hal yang salah. Kedua, mahasiswa yang termasuk ke dalam kategori cukup

mampu yaitu mereka yang mngetahui konsep tetapi tidak menyatakan ulang sesuai

konsepnya atau mereka yang mengetahui seperti apa permasalahan pada soal-soal

67

tetapi tidak dapat menyelesaikan ke dalam tes/soal ujian yang diberikan, hal ini

senada dengan beberapa jawaban mahasiswa yang tidak dapat menyelesaikan soal

yang diberikan tetapi mereka mengetahui seperti apa konsep yang akan digunakan.

Ketiga, mahasiswa yang termasuk ke dalam kategori tidak mampu mereka yang tidak

mengetahui seperti apa konsepnya dan tidak menyatakan ulang konsepnya atau tidak

dapat menjawab tes/soal ujian yang diberikan serta tidak dapat menyelesaikannya,

hal ini karena ada mahasiswa yang memang tidak memahamai seperti apa yang

ditanyakan pada soal dengan alasan tidak pernah didapatkan sebelumnya dan mereka

tidak dapat menyelesaikan dengan alasan sudah lupa seperti apa konsep yang akan

digunakan untuk menyelesaikannya tes/soal ujian tersebut meskipun mereka

memahami materi dalam tes/soal ujian yang diberikan.

Berdasarkan hasil wawancara pada beberapa mahasiswa melalui tes

diagnostik yang mendapat nilai tinggi, sedang dan rendah ternyata pemahaman

kemampuan matematis mahasiswa berada pada kategori kurang mampu yang

menunjukkan bahwa mahasiswa mengetahui konsep tetapi tidak menyatakan ulang

sesuai konsepnya atau mereka yang mengetahui seperti apa permasalahan pada soal-

soal tetapi tidak dapat menyelesaikan ke dalam tes/soal ujian yang diberikan, hal ini

senada dengan beberapa jawaban mahasiswa yang tidak dapat menyelesaikan soal

yang diberikan tetapi mereka mengetahui seperti apa konsep yang akan digunakan.

berada pada tingkatan pemahaman intruksional (intructional understanding) dimana

menurut Skemp dalam Hadiwiyanti seseorang baru berada ditahap tahu atau hafal

tetapi dia belum atau tidak tahu mengapa hal itu bisa dan dapat terjadi.Lebih lanjut,

seseorang pada tahapan ini juga belum atau tidak bisa menerapkan hal tersebut pada

keadaan baru yang berkaitan. Hal ini berarti seseorang dapat mengetahui konsep

yang digunakan namun tidak mengetahui mengapa prosedur itu yang digunakandan

68

terkadang hanya menebak jawaban yang diperoleh.38Hal inilah yang terjadi pada

mahasiswa Jurusan PendidikanMatematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016.

Ada beberapa mahasiswa tidak tahu mengapa konsep itu yang digunakan dalam

menyelesaikan tes/soal ujian dan mahasiswa tersebuthanya menebak-nebak seperti

apa konsep yang akan digunakan untuk menyelesaikan soal yang diberikan. Adapun

gambaran pemahaman dan faktor-faktor yang mempengaruhi serta memperkuat

alasan dari kesimpulan dari setiap subjek wawancara adalah tentang kurangnya

pemahaman konsep mahasiswa tentang materi yang terkait adalah wawancara

langsung yang dilakukan pada lima subjek yang pada hakikat nya dan secara

keseluruhan baik dari hasil wawancara dari nilai tertinggi, sedang maupun rendah

adalah mahasiswa ketika mendapatkan suatu masalah, sebenarnya bisa

menyelesaikannya namun yang menjadi kendala saat proses pembelajaran

berlangsung mahasiswa masih banyak yang kurang percaya diri untuk bertanya

kepada dosennya sehingga saat diberikan suatu masalah yang terkait dengan materi

dalam hal ini pemberian tes/soal ujian mahasiswa sudah bingung menjawab, padahal

notabenenya soal tersebut mudah dipahami. Hal lain yang menjadi permasalahan

kurangnya pemahaman konsep karena bayangan dari luar masih banyak yang

mempengaruhi, seperti penggunaan gadget saat belajar dan sebagian besar saat

belajar mahasiswa banyak yang kurang memperhatikan. Selain itu, kurang nya

pengulangan materi yang terkait dirumah..Selain hal yang mendasar di atas yang

mempengaruhi pemecahan masalah dari kemampuan pemahaman konsep matematis

adalah pengetahuan awal, apresisasi matematika, dan kecerdasan logis matematis

mahasiswa. Pengetahuan awal yang dimaksud adalah kemampuan pengetahuan

38Irma Hadiwiyanti, “Analisis Pemahaman Konsep Fisika Siswa Smp Dan Penerapannya Di

Lingkungan Sekitar,”h. 12.

69

mahasiswa dapat membantu mahasiswa dalam memahami materi pokok yang akan

dipelajari. Hal ini dikarenakan ada bagian-bagian tertentu dari pengetahuan awal

mahasiswa yang muncul dari materi pokok. Apresiasi matematika, yaitu untuk

memiliki kemampuan pemecahan masalah dalam pemahaman konsep ini memang

sangat sulit untuk dilakukan, namun hal ini tidak akan sulit dilakukan jika apresiasi

matematika tumbuh dalam diri mahasiswa. Adapun maksud dari kecerdasan logis

adalah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan pemahaman konsep

terdapat empat langkah atau fase yang harus dilakukan oleh mahasiswa itu sendiri

diantaranya memahami masalah terlebih dahulu, melaksanakan rencana, dan

mengecek kembali hasil penyelesaian yang telah dilakukan mahasiswa tersebut.

Hal ini menunjukkan bahwa pada mahasiswa Jurusan Pendidikan

Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 setelah dilakukan analisis secara

keseluruhan mulai dari tes diagnostik dan tes wawancara maka mahasiswa tergolong

dalam kategori cukup mampu dalam kemampuan pemahaman konsep pada mata

kuliah aljabar linear elementer. Meskipun masih ada beberapa dari mahasiswa yang

berada pada kategori tidak mampu dalam menjawab tes/soal ujian yang diberikan

tentang pemahaman kemampuan matematis dalam menyelesaikan soal aljabar linear

elementer, namun ada sebagian dari mahasiswa yang masih bisa termasuk dalam

kategori cukup mampu bahkan kategori mampu. Hanya saja, seringkali mahasiswa

sudah mulai lupa dengan konsep yang akan diterapkannya, terlebih ketika materinya

sudah lama berlalu.

70

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan sebelumnya, makadiperoleh:

1. Berdasarkan hasil tes diagnosttik, kemampuan pemahaman mahasiswa

Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016

dalam menyelesaikan soal aljabar linear elementer pada konsep ruang vektor,

subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean jika ditinjau dari indikator

kemampuan pemahaman matematis, mahasiswa tergolong cukup mampu

pada indikator: (1) pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2)

menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika, (3)

menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu, dan (4)

mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan masalah. Namun,

mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan memberi

contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang

dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa

berada pada kategori cukup mampu. Berdasarkan hasil wawancara dengan

lima subjek yang dipih berdasarkan kategori mampu, cukup mampu dan tidak

mampu, diperoleh pada mahasiswa yang tergolong mampu dapat memenuhi

sebagian besar indikator kemampuan pemahaman, sedangkan pada

mahasiswa yang tergolong cukup mampu masih memiliki kendala dalam

menuangkan atau menggunakan konsep yang diketahui ke dalam

soal/permasalahan. Dan pada mahasiswa yang yang tergolong tidak mampu

71

memiliki kendala dalam memahami konsep-konsep terkait materi ruang

vektor, sub ruang vektor dan vektor Euclidean.

2. Adapun faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa

Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 pada mata

kuliah Aljabar Linear Elementer dalam konsep ruang vektor, sub ruang

vektor, dan ruang vektor Euclidean, yaitu:

a. Faktor internal yang mempengaruhi pemahaman konsep matematis mahasiswa

adalah adalah: (1) kurangnya minat belajar, (2) sikap belajar yaitu kurang fokus

dalam belajar, (3) motivasi belajar rendah, (4) konsentrasi belajar yang rendah,

(5) kemampuan mengingat yang rendah, dan (6) kurangnya rasa percaya diri

mahasiswa.

b. Faktor eksternal yang mempengaruhi kemampuan pemahaman konsep

mahasiswa adalah: (1) Mahasiswa kurang memahami maksud soal, (2)

mahasiswa lupa konsep aksioma, (3) mahasiswa tidak tahu konsep aksioma, (4)

penggunaan gadget selama proses pembelajaran, (5) dosen yang kurang

memperhatikan mahasiswa selama proses pembelajaran, (6) tidak adanya buku

pegangan mahasiswa.

B. Implikasi Penelitian

Berdasarkan kesimpulan di atas, maka temuan dari penelitian ini mencakup

dua hal yaitu bagaimana tingkat kemampuan pemahaman konsep yang dimiliki oleh

mahasiswamahasiswa jurusan Pendidikan MatematikaUIN Alauddin

Makassarangkatan 2016 dalam memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear

Elementer terkait konsep ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean, serta

faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya kesulitan-kesulitan tersebut.

72

Faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep matematis mahasiswa

pada materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor Euclideanyang dimiliki oleh

mahasiswa jurusan Pendidikan MatematikaUIN Alauddin Makassar Angkatan 2016

meliputi faktor yang menyebabkan kesulitan dalam mengerjakan soal FinalAljabar

Linear Elementer. Kesulitan karena tidak memahami maksud soal, mahasiswa perlu

memahami kembali bentuk-bentuk pernyataan matematika baik itu pernyataan

tunggal maupun majemuk.Kesulitan karena tidak memahami dan menguasai

penggunaan aksioma dan definisi, mahasiswa perlu lebih memahami kembali

berbagai aksioma dan definisi dalam materi tersebut sehingga mudah

menggunakannya sebagai dasar pembuktian serta memperbanyak latihan dan

mengkaji pembuktian-pembuktian pernyataan matematika. Mahasiswa perlu

membaca dan memahami kembali konsep ruang vektor dengan jalan mengkaji ulang

materi ruang vektor serta meminta penjelasan dari orang lain yang lebih paham

dengan materi ruang vektor.

Faktor internal yang mempengaruhi kesulitan belajar matematika mahasiswa

adalah kurangnya minat belajar, sikap belajar yaitu kurang fokus dalam belajar,

motivasi belajar rendah, konsentrasi belajar yang rendah serta kemampuan

mengingat yang rendah.Sebaiknya dosen menggunakan metode mengajar yang

inovatif dan kreatif untuk mempermudah mahasiswa.

Sedangkan, faktor eksternal yang mempengaruhi kesulitan belajar

matematika mahasiswa adalah dosen dalam memberikan pemahaman kurang jelas,

tidak adanya buku pegangan mahasiswa sebagai sumber ajar yang lain. Sebaiknya

73

mahasiswa memiliki buku sendiri terkait mata kuliah Alajabar Linear Elementer

minimal 1 buku.

C. Saran

Berdasarkan kesimpulan di atas, maka saran dalam penelitian ini sebagai

berikut:

1. Bagi Mahasiswa

a. Mahasiswa hendaknya memiliki semangat dan motivasi belajar yang lebih tinggi

dengan disiplin belajar terutama pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer

materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan Vektor Euclidean.

b. Mahasiswa hendaknya meningkatkan kemampuan belajar dengan lebih rajin

mengulang materi yang diajarkan dosen serta aktif berlatih mengerjakan variasi

soal pada materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan Vektor Euclidean.

2. Bagi Dosen

a. Dosen perlu membangkitkan semangat dan motivasi belajar mahasiswa terutama

dalam pelajaran matematika materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan

Vektor Euclidean.

b. Dosen perlu memberikan penjelasan lebih jelas lagi untuk mempermudah dan

memberi pemahaman konsep matematika materi Aljabar Linear

Elementerkepada mahasiswa.

c. Dosen dapat memberikan tambahan latihan soal materi Ruang Vektor , Sub

Ruang Vektor dan Vektor Euclidean dengan variasi soal lebih banyak supaya

mahasiswa mendapatkan pengalaman belajar lebih.

74

3. Bagi Peneliti Selanjutnya

a. Peneliti perlu melakukan kajian lebih dalam tentang pemahaman konsep

matematika yang dimiliki mahasiswa serta faktor yang mempengaruhi

kemampuan pemahaman konsep, baik ditinjau dari aspek afektif, kognitif dan

psikomotorik.

b. Peneliti perlu melakukan penelitian serupa dengan sumber data yang berbeda

untuk melihat seberapa tinggi kemampuan pemahaman konsep matematika

materi Ruang Vektor , Sub Ruang Vektor dan Vektor Euclidean.

75

DAFTAR PUSTAKA

Abdul Kadir, Abdul. Dasar-dasar Pendidikan. Jakarta: Kencana Prenada Media Group, 2012.

Ade Irfan dan Anzora, ‘Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon

Guru Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Abulyatama Aceh’, Jurnal Dedikasi Pendidikan Volume 1, No. 1, Januari 2017.

Arikunto, Prof. Dr. Suharsimi. Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik, Edisi

Revisi VI. Jakarta; PT Rineka Cipta, 2006. Badar Al-Tabany, Trianto Ibnu. Mendesain Model Pembelajaran Inovatif, Progresif,

dan Kontekstual.Cet I; Jakarta: PT Kharisma Putra Utama, 2014. Cita Dwi Rosita, Laelasari, M.Subali. Analisis Kemampuan Pemahaman Matematis

Mahasiswa Pada Matakuliah aljabar Linear 1.Jurnal, Pendidikan Matematika FKIP Unswagati vol 1.No 2.

Dantes, Nyoman. Metode Penelitian. Yogyakarta: C.V Andi Offset.2014. Darmito, Bambang Priyo. Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan

Sikap Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran Berbasis Komputer.Jurnal Pendidikan Vol. 23, No. 1, 2014.

Daryanto, H. M. Evaluasi Pendidikan. Jakarta: PT Rineka Cipta, 2008. Departemen Agama Republik Indonesia, Al-Qur’an dan Terjemahan. Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya.Jakarta: Pusat

Pembukuan, 2008. Howard Anton dan Chris Rorres.Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi.Edisi ke-8

Jilid 1; Jakarta: Penerbit Erlangga, 2002. http://aby-matematika.blogspot.co.id/2011/08/sejarah-aljabar.html(diakses 25 Juli

2017) Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, ‘Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam

Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon), Jurnal, EduMa Vol. 1, No. 1.Juni 2009.

M. Cholik Adinawan dan Sugijono.Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester

1. Jakarta: Erlangga, 2007. Mahmuda, Rohmatuh, ‘Upaya meningkatkan prestasi belajar siswa padajenjang

sekolah menengah atas materi peluang menggunakan metode pemecahan

76

masalah’, Jurnal Tadris Matematika institute agama islam negeri (IAIN)Tulungagung.

Mia Fitria, Made Arnawa dan Lufri, ‘Pengembangan Modul Aljabar Linear

Elementer Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan ICT’, e-Journal UNP Vol. 1, 2014.

Moleong, J. Lexy. Metode Penelitian Kualitatif. Bandung: PT. Remaja Rosda Karya,

2006. Mulyana, Dedy. Metode Penelitian Kualitatif. Bandung: PT. Remaja Rosdakarya,

2001. Nadzir, Mohammad. Metode Penelitian. Jakarta: Ghalia Indonesia, 1998. Nusa Putra dan Ninin Dwilestari, Penelitian Kualitatif; Pendidikan Anak Usia Dini.

Jakarta: Rajagrafindo Persada, 2012.

Purwanto, Ngalim. Psikologi Pendidikan. Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2007

Ruseffendi, E. T. Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA.Bandung: Tarsito, 1991.

Sapriya.Pendidikan IPS. Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2009. Sudaryono.Dasar-dasar Evaluasi Pembelajaran.Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu,

2012. Sudijono, Anas. Pendidikan dan Evaluasi Pendidikan. Jakarta: PT. Raja Grafindo

Persada, 2009. Sugiyono, Metode Penelitian Administrasi. Cet. VI; Bandung : CV. Alfabeta, 1999. Sugiyono.Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D.

Bandung: Alfabeta, 2013. Sumarmo, U. Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika pada Siswa

Menengah.Cirebon: Unsgawati, 2004. Zulhendri, ‘Pengembangan Bahan Ajar Mata Kuliah Aljabar Linear Berbantuan

Matlab’, Jurnal Cendekia Vo. 1, No. 1.

analisis pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah aljabar...

Documents