probabilitas dan statistika bab 10 uji hipotesis sampel ganda

Probabilitas dan Statistika

BAB 10 Uji Hipotesis Sampel

Ganda

Pokok BahasanUji Hipotesis Varians dengan Sampel-

GandaUji Hipotesis Mean dengan Sampel-GandaUji Hipotesis Persentase dengan Sampel-

Ganda

Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-GandaIlustrasi :

Seorang ahli pompa ingin mengetahui apakah kapasitas dan tinggi tekan sebuah pompa minyak yang diuji dengan posisi instalasi pipa vertikal sama dengan hasil pengujian secara horizontal

Seorang Telecomers ingin menguji kuat sinyal jaringan HSDPA dari 2 provider komunikasi seluler

Uji Hipotesis Varians dengan Sampel-GandaUntuk memperoleh hasil yg berguna, uji

hipotesis sampel ganda harus memenuhi asumsi sebagai berikut :Data di kedua populasi yang di ambil sebagai

sampel harus terdistribusi normalSumber data pada populasi pertama harus

independen terhadap sumber data di populasi kedua (independent sample)

Prosedur Uji Dua Varians1. Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H0 : σ12 = σ2

2 H1 : σ1

2 ≠ σ22 ; σ1

2 > σ22 ; σ1

2 < σ22

2. Pemilihan tingkat kepentingan (Level of significance), α3. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan

distribusi F4. Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis5. Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)6. Perhitungan rasio uji (RU)

7. Pengambilan keputusan secara statistik

22

21

ssFRU testF

Distribusi FSifat-sifat :Distribusi F adalah distribusi sampling untuk

variabel s12/s1

2 (rasio varians sampel)Seluruh nilai F > 0Tidak simetrisTerdapat perbedaan bentuk distribusi yang

bergantung pada jumlah sampelnya serta banyaknya pengamatan dalam sampel-sampel tersebut.

Distribusi FNotasi dan Bentuk umumNotasi : df1 = v1 = n1 – 1

df2 = v2 = n2 – 1Bentuk umum :

21 ,, dfdfF

Contoh soalEksperimen pengurangan kebisisngan bahan

peredam suara pada kompartemen mobil dengan 2 jenis bahan yang berbeda A dan B. Hasilnya sebagai berikut :Bahan A : 8 kompartemen

41, 43, 60, 56, 85, 79, 51, 49 (dB)Bahan B : 9 kompartemen

73, 67, 83, 70, 66, 68, 92 ,76, 59 (dB)Dengan uji dua varians, kesimpulan apa yg dapat diambil?

Jawaban Sampel bahan A :

Sampel bahan B :

Langkah-langkah uji hipotesis :1. Hipotesis : H1 : σ1

2 < σ22

2. α = 0,053. Menggunakan distribusi F

n1 < n2 n1 = 8 ; n2 = 9df1 = 7 ; df2 = 8

4. Batas-batas daerah penolakan (kritis) uji dua ujungα = 0,05 α /2 = 0,025F0.025, 7, 8 = 4,53

29,2601

)(58

2211

n

xxsdan

nx

x

981

)(7,72

2211

n

xxsdan

nx

x

Jawaban5. Aturan keputusan :

Tolak H0 dan terima H1 jika RUF > 4,53. Jika tidak demikian terima H0

6. Rasio uji :

7. Pengambilan keputusan :karena RUF < 4,53 maka H0 : s1

2 = s22 diterima. Hal ini berarti

tidak terdapat perbedaan yang signifikan terhadap variabilitas hasil dari kedua eksperimen tersebut.

656,298

29,26022

21 ssFRU testF

Uji Hipotesis Mean dengan Sampel-GandaAda 4 prosedur untuk uji ini :1. Uji t-pasangan untuk populasi yang saling

tergantung (dependent population)2. Uji z untuk populasi yang independen dan jika

varians-varians populasi diketahui atau jika kedua sampel ukuran lebih dari 30

3. Uji t sampel ukuran kecil untuk populasi yang independen jika uji F-nya menunjukkan σ1

2 ≠ σ22

4. Uji t sampel ukutan kecil untuk populasi yang independen jika uji F-nya menunjukkan σ1

2 = σ22

Prosedur Uji Mean dengan Sampel-Ganda

Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling TergantungProsedur uji :1. Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H0 : μd = 0H1 : μd ≠ 0 uji dua-ujung μd > 0 uji satu-ujung

2. Pemilihan tingkat kepentingan (Level of significance), α

3. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan distribusi t

4. Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritisdf = v = n – 1n = banyaknya pasangan data

Uji t-Pasangan untuk Populasi Saling Tergantung5. Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)6. Perhitungan rasio uji (RU)

Di mana :d = perbedaan nilai pasangan data (sebelum dan

sesudah diberi perlakuan)7. Pengambilan keputusan secara statistik

1)(

/2

n

dds

nsdtRU

d

d

dtestF

Contoh SoalSeorang sarjana informatika sedang mengevaluasi

suatu program baru untuk mengolah database. Jika dengan program yang baru ini terdapat penghematan waktu yang berarti, dia akan merekomendasikan kepada perusahaan untuk menggunakan program baru tersebut. Suatu sampel yang terdiri dari 8 orang dilatih untuk menggunakan program baru tersebut kemudian waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama dengan program yang lama dan yang baru dicatat, seperti yang ditunjukkan pada Tabel. Kemudian dilakuka perhitungan sebagai berikut :

Jawaban

Operator Program Baru (x1)

Program Lama (x1)

Perbedaan (d = x1 –

x2)

_(d – d)

_(d – d)2

Amir 85 80 5 3 9Beni 84 88 -4 -6 36Coki 80 76 4 2 4Dedi 93 90 3 1 1Emir 83 74 9 7 49Fariz 71 70 1 -1 1Gani 79 81 -2 -4 16Heru 83 83 0 -2 4

∑ 16 0 120

14,4143,1718

1201

)(

28

16

2

ndd

s

nd

d

d

JawabanUji hipotesis dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :1. Hipotesis :

H0 : μd = 0 uji dua-ujungH1 : μd ≠ 0 uji dua-ujung

2. α = 0,053. Menggunakan distribusi t4. Batas-batas daerah penolakan/batas kritis uji dua-ujung :

α = 0,05 α/2 = 0,025 dengan derajat kebebasan df = v = n – 1 = 8 – 1 = 7

Dari tabel t : t0,025, 7 = 2,3655. Aturan keputusan :

Tolak H0 dan terima H1 jika RUt < -2,365 atau RUt > +2,365 . Jika tidak demikian terima H0

Jawaban6. Rasio uji :

7. Pengambilan keputusan :Karena -2,365 < RUt < +2,365 maka H0 : μd = 0 diterima. Hal ini berarti rata-rata kecepatan pengolahan data dengan program baru tidak berbeda dengan program lama. Jadi sarjana informatika tersebut tidak perlu merekomendasikan untu menggunakan program baru kepada perusahaannya.

37,18/14,4

02/

ns

dtRUd

dtestt

Uji z untuk Populasi yang IndependenUji z digunakan apabila :Sampel diambil dari dua populasi yang

independen dan terdistribusi normalNilai-nilai deviasi standar populasi σ1 dan σ2

telah diketahui atau ukuran kedua sampel lebih dari 30 (n > 30)

Uji z untuk Populasi yang IndependenProsedur uji hipotesisnya adalah sebagai berikut :1. Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2 uji dua-ujungμ1 > μ2 uji satu-ujungμ1 < μ2 uji satu-ujung

2. Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance), α3. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan

Distribusi z4. Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis5. Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)

Uji z untuk Populasi yang Independen6. Perhitungan Rasio Uji

Jika σ1 dan σ2 telah diketahui :

Jika σ1 dan σ2 tidak diketahui,tetapi ukuran kedua sampel > 30 :

7. Pengambilan keputusan secara statistik

2

22

1

21

21

21

21

nn

xxzRU

xx

xxtestz

2

22

1

21

21

21

21ˆ

ns

ns

xxzRU

xx

xxtestz

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang IndependenJika Uji F menunjukkan : σ1

2 ≠ σ22

Uji ini digunakan bila :Sampel diambil dari dua populasi yang

independen dan terdistribusi normalNilai-nilai deviasi standar populasi σ1 dan σ2 tidak

diketahuiUkuran sampel n1 atau n2 kecil (<30)Uji F pada varians menunjukkan bahwa σ1

2 ≠ σ22

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang IndependenJika Uji F menunjukkan : σ1

2 ≠ σ22

Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut :a. Rasio Uji

b. Derajat kebebasan :Derajat kebebasan yang digunakan ialah derajat kebebasan yang lebih kecil di antara dua sampel tersebut

2221

21

21

nsnsxxtRU testt

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang IndependenJika Uji F menunjukkan : σ1

2 = σ22

Uji ini digunakan bila :Sampel diambil dari dua populasi yang

independen dan terdistribusi normalNilai-nilai deviasi standar populasi σ1 dan σ2 tidak

diketahuiUkuran sampel n1 atau n2 kecil (<30)Uji F pada varians menunjukkan bahwa σ1

2 = σ22

Uji t Sampel Ukuran Kecil untuk Populasi yang IndependenJika Uji F menunjukkan : σ1

2 = σ22

Prosedur uji hipotesisnya merupakan gabungan prosedur pengujian dua varians dan uji t dengan ketentuan sebagai berikut :a. Rasio Uji

b. Derajat kebebasan :Derajat kebebasan yang digunakan adalah :df = v = n1 + n2 – 2

2121

2221

21

21

112

)1()1(nnnn

nsns

xxtRU testt

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-GandaTerdapat dua asumsi yang harus dipenuhi dalam melakukan uji ini :Kedua sampel diambil dari dua populasi yang

saling independenSampel-sampel yang diambil dari masing-

masing populasi harus berukuran cukup besar. Untuk masing-masing sampel np > 500dan juga, n(100 – p) > 500

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-GandaProsedur Uji Dua Presentase :1. Pernyataan hipotesis nol dan hipotesis alternatif

H0 : π1 = π2 H1 : π1 ≠ π2 uji dua-ujung

π1 > π2 uji satu-ujungπ1 < π2 uji satu-ujung

2. Pemilihan tingkat kepentingan (Level of Significance), α3. Penentuan distribusi pengujian yang digunakan

Distribusi z4. Pendefinisian daerah-daerah penolakan atau kritis5. Pernyataan aturan keputusan (Decision Rule)

Uji Hipotesis Persentase dengan Sampel-GandaProsedur Uji Dua Presentase :6. Perhitungan rasio uji

7. Pengambilan keputusan secara statistik

2

22

1

11

21

)100()100(ˆ

ˆ

21

21

npp

npp

ppRU

pp

ppz