persamaan diferensial orde i

Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom

Persamaan Diferensial Orde I

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

2

PersamaanPersamaan DiferensialDiferensialDefinisi

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidakdiketahui.Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah takbebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa(PDB).Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satudinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

3

PersamaanPersamaan DiferensialDiferensial (2)(2)Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikutan(x) yn + an-1(x) yn-1 + … + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) ≠ 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

4

ContohContoh

dtdN(1) = kN , N = N(t), orde 1 dimana N peubah tak bebas

t peubah bebasnya

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0 , orde 1 dimana y peubah tak bebasx peubah bebasnya

(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , orde 2

x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2(4) , orde 2

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

5

SolusiSolusiMisal ada suatu persamaan diferensial dimana ysebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas. Solusi umum dan solusi khususJika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarangmaka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebutsolusi khusus.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

6

ContohContoh

(1) y = cos x + c solusi umumPersamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khususPersamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

7

PDB Orde 1PDB Orde 1

PDB terpisahPDB dengan koefisien fungsi homogenPDB Linier

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

8

PDB PDB terpisahterpisah

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruasContoh : tentukan solusi umum PD

(x ln x) y' = y , (y’= dxdy

)

1y yex −3= , y(2) = 0

1.

2.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

9

ContohContoh

1. Jawab:

(x ln x) y' = y

ydxdyxx =ln

xxdx

ydy

ln=

∫∫ =xx

dxy

dyln

( ) cxy lnlnlnln +=

( )xcy lnlnln =

( )xcy ln=

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

( )xcy ln=

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

10

ContohContoh

2. Jawab:⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += cxy 4

41ln

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += c4)2(

41ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 3

41ln 4xy

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 −=→+= cc

y' = x3 e-y

yexdxdy −= 3

dxxedy

y3=−

∫∫ = dxxdyey 3

cxey += 4

41

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

11

LatihanLatihan

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

2

2

1 yx

dxdy

−= )21)(21(' 32 xxyy +++=1. 5.

)1(2243 2

−++

=y

xxdxdy 0)0(),1)(1(2' 2 =++= yyxy2. 6.

)1(' 3

2

xyx

y+

= 1)0(,21

cos2 =

+= y

yxy

dxdy

3. 7.

1)0(,0)1( ==++ yyedxdy

e xx221' xyyxy +++=4. 8.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

12

FungsiFungsi homogenhomogen

Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang

Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + yA(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1

2. A(x,y) = x2 + xyA(kx,ky) = k2x2 + kx ky

= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

13

PD PD dengandengan koefisienkoefisien fungsifungsi homogenhomogen

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk),(),(

'yxByxA

y =

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy += ''

dxdy

dxdu= x + u

dengan

dy = x du + u dx

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

14

ContohContohSelesaikan solusi persamaan diferensial berikut

xyxy +

=11.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dxx

yxdxdy +

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

xy

dxdy 1 u

dxdxudux

+=+ 1 ( )dxudxudux +=+ 1

dxdux =xdxdu = ∫∫ =

xdxdu cxu += ln

cxxy

+= ln xcxxy += ln

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy += ln

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

15

ContohContoh

2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2x

xyydxdy +

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

xy

xy

dxdy 2

2

0xy2ydxdy

x 22 =−− , y(1)=1

( )dxuudxudux 22 +=+uudx

dxudux 22 +=+

xdx

uudu

=+2 ∫∫ =

+ xdx

uudu2( )dxuudux += 2

cxuudu lnln

)1(+=

+∫ cxduuu

ln1

11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−∫ ( ) cxuu ln1lnln =+−

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

16

ContohContoh (no.2 (no.2 lanjutanlanjutan))

cxx

yx

yln

1ln =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+cx

uu ln

1ln =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

cxxy

y=

+2)1( cxcxy =−cx

xyy lnln =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

cxcxy−

=1

2

Diketahui y(1) = 1, sehingga

cc−

=1

121

=c

xxy−

=2

2

Jadi solusi khusus PD di atas adalah

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

17

LatihanLatihan

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

2

22

xyxyx

dxdy ++

=

yxyx

dxdy

++

−=2

34

2y dx – x dy = 0 5.

6.

1.

xyyx

dxdy

23 22 +

=2.

3.

4.

7.2

2 2x

xyydxdy +

=

yxyx

dxdy

−+

=3

yxxy

dxdy

−−

=2

34

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

18

PDB LinierPDB Linier

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : 1y + P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral

∫ dxxPe

)(

∫ dxxPe

)(1y ∫ dxxPe

)( ∫ dxxPe

)(

1)()( ∫ dxxP

ye ∫ dxxPe

)(+ P(x)y r(x)

= r(x)

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

∫= dx + c∫ dx)x(Pye ∫ dxxPe

)(r(x) Solusi Umum PDB

=

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

19

ContohContoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

1. xy’ – 2y = x3 ex

Jawab:xexy

xy 22' =−

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

(bagi kedua ruas dengan x)

2lnln22

2 −−−===∫ −

xeee xxdxx

kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:

xeyx

yx

=− 32

2'1 xeyx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

2

1 ceyx

x +=2

1

22 xcexy x +=Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x +=

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

20

ContohContoh

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:xdx

ee =∫1

kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:

( )21' +=+ xeyeye xxx )1()'( 2 += xeye xx

∫ += dxxeye xx 2)1( ( ) ∫ +−+= dxexexye xxx )1(21 2

( ) ( ) xcexxy −+++−+= 2121 2

( ) ceexexye xxxx +++−+= 2)1(21 2

xcexy −++= 12sehingga

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

21

ContohContoh (no. 2 (no. 2 LanjutanLanjutan))

Diketahui y(0) = 3, sehingga

2=cc+=13

Jadi solusi khusus PD di atas adalah xexy −++= 212

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

22

LatihanLatihanSelesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

xeyy −=+2'.1

1')1(.2 2 −=++ xyyx

( )211

2'.4 +=

++ x

xy

y

xxyy sectan'.3 =+

22'.5 xyy =+

( ) 0)1(,1.6 1 ==++ − yeyxxy x

26

,2sincos2'sin.7 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+π

yxxyyx

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

23

TrayektoriTrayektori OrtogonalOrtogonalMasalah dalam TO ini adalah bagaimanamendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atautegak lurus terhadap keluarga kurva lain.Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal darisuatu kurva adalah sebagai berikut:

Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:

),(11

yxDfy −=

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkandengan mencari solusi dari

),(11

yxDfy −=

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

24

ContohContoh2cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan 2cxy = dalam bentuk 2xyc =

Kemudian turunkan yaitu:2cxy =

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 22'

xyxy

xyy 2'=

y2x

x/y21y1 −=−=

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

25

ContohContoh ((lanjutanlanjutan))3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

)(2

22

ellipscyx⇒=+

yxy

21 −=

yx

dxdy

2−=

∫ ∫ −= xdxydy2 cxy +−=2

22

2cxy =

x

y

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy =

adalah )(2

22

ellipscyx⇒=+

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

26

LatihanLatihan

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

222 cyx =+ cxy +=222 cyx =− 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx3.

Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom

PenggunaanPenggunaan PD PD OrdeOrde II

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

28

PenerapanPenerapan dalamdalam RangkaianRangkaian ListrikListrik

Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,

rangkaian listrik sederhana (gambar

samping) yang mengandung sebuah

tahanan sebesar R ohm dan sebuah

kumparan sebesar L Henry dalam

rangkaian seri dengan sumber gaya

elektromotif (sebuah baterai atau

generator) yang menyediakan suatu

voltase E(t) volt pada saat t memenuhi

( ) ( ) ( )tEtIRtIL =+'Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

29

ContohContoh

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah

baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat

t = 0, jika saklar S ditutup).JawabPersamaan diferensialnya adalah

Atau bisa disederhanakan menjadi126'2 =+ II

63' =+ II

1.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

30

ContohContoh ((LanjutanLanjutan))

Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3

( ) ttt eCCeeI 333 22 −− +=+=Kita peroleh

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2

Sehingga, teI 322 −−=

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

31

ContohContoh

Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator

arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat

t = 0, jika saklar S ditutup).JawabPersamaan diferensialnya adalah

Atau bisa disederhanakan menjadi

tII 9sin126'2 =+

tII 9sin63' =+Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3

( )∫−= dtteeI tt 9sin6 33Kita peroleh

2.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

32

ContohContoh ((LanjutanLanjutan))Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+= − CtCostSin

eeI

tt 9993

8196 3

3

Jadi,teCttI 39cos

53

9sin51 −+−=

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan

C+−=53

053

=C

tettI 3

53

9cos53

9sin51 −+−=

Sehingga,

⇔

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

33

LatihanLatihan

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan

sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan

voltase sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal

arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S

ditutup).

1.

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar

E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya

adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).

2.

7/6/2007 [MA 1124]KALKULUS II

34

LatihanLatihan

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar

E(t) = 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal

arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S

ditutup).

3.

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan

sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan

voltase sebesar E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan

saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika

saklar S ditutup).

4.