pengantar statistika 4

PENGANTARSTATISTIKA

PENGUJIAN HIPOTESIS

Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

HIPOTESIS

Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting untuk mengambil keputusan. Dengan ini, seorang peneliti dapat menjawab pertanyaan yang diajukannya dengan menyatakan penolakan atau penerimaan terhadap hipotesis.

Hipotesis adalah jawaban sementara sebelum percobaan dilaksanakan, yang didasarkan pada hasil studi literatur.

Dua tipe hipotesis:

Hipotesis Korelatif, yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya hubungan antara dua variabel atau lebih.

Hipotesis Komparatif, yaitu pernyataan tentang ada atau tidak adanya perbedaan antara dua kelompok atau lebih.

UJI HIPOTESIS

Penarikan sejumlah contoh acak dari suatu populasi lalu diamati karakteristiknya dan kemudian dibandingkan dengan hipotesis yang diajukan, merupakan suatu langkah melakukan uji hipotesis.

Penolakan suatu hipotesis bukan berarti menyimpulkan hipotesis salah, di mana bukti tidak konsisten dengan hipotesis. Ini berarti data menunjukkan bahwa telah ada perubahan pada karakteristik populasi yang dihipotesiskan.

Penerimaan hipotesis sebagai akibat tidak cukupnya bukti untuk menolak dan tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar.

JENIS KESALAHAN DALAM UJI HIPOTESIS

Dua jenis kesalahan dalam uji hipotesis:Type I Error : Menolak H0 padahal H0 benarType II Error : Menerima H0 padahal H1 benar

Peluang terjadinya Kesalahan jenis I = α (alpha), disebut taraf nyata (level of significance) dan peluang 1- α disebut tingkat kepercayaan (confidence interval). Menyatakan peluang menerima H0 dan H0 memang benar.

Peluang terjadinya Kesalahan jenis II = β (betha), dan peluang 1- β disebut kuasa pengujian (power of test). Menyatakan peluang menolak H0 dan H0 memang salah.

PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESIS

1. Menentukan formulasi hipotesis2. Menentukan taraf nyata (significant

level)3. Menentukan kriteria pengujian4. Menentukan nilai uji statistik5. Membuat kesimpulan

PERUMUSAN HIPOTESIS

Dinyatakan sebagai kalimat pernyataan (deklaratif)

Melibatkan minimal dua variabel penelitian Mengandung suatu prediksi Harus dapat diuji (testable)

FORMULASI HIPOTESIS

Dibedakan 2 jenis :1. Hipotesis nol (Ho) : suatu pernyataan

yg akan diuji kebenarannya.2. Hipotesis alternatif/tandingan (H1) :

segala hipotesis yg berbeda dgn hipotesis nol. Pemilihan hipotesis ini tergantung dari sifat masalah yg dihadapi

FORMULASI HIPOTESIS

Ada tiga bentuk uji hipotesis:

1. H0 : µ = µo

H1 : µ ≠ µo

2. H0 : µ < µo

H1 : µ > µo

3. H0 : µ > µo

H1 : µ < µo

Satu sisi/arah

Satu sisi/arah

Dua sisi/arah

Contoh Berdasarkan informasi yang dikemukakan pada

sebuah media massa, bahwa harga beras jenis “A” di suatu wilayah adalah Rp. 3.200,- (Pengujian Dua Pihak)

Ho : µ = Rp. 3.200,-

H1 : µ ≠ Rp. 3.200,- Berdasarkan informasi bahwa harga beras jenis “A” di

suatu wilayah tidak kurang dari Rp. 3.200,- (Pengujian Satu Pihak – Kiri)

Ho : µ ≥ Rp. 3.200,-

H1 : µ < Rp. 3.200,- Berdasarkan informasi bahwa harga beras jenis “A” di

suatu wilayah tidak lebih dari Rp. 3.200,- (Pengujian Satu Pihak – Kanan)

Ho : µ ≤ Rp. 3.200,-

H1 : µ > Rp. 3.200,-

Ho: µ = µ oH1: µ ≠ µ o

daerah penerimaan H

Hipotesis H diterima jika: -z1/2(1- α) < z < z1/2(1- α)

Penolakan H½ α

Penolakan H½ α

UJI DUA PIHAK

MENENTUKAN TARAF NYATA (SIGNIFICANT LEVEL)

Besarnya batas toleransi dalam menerima kesalahan hasil hipotesis terhadap nilai parameter populasinya

Besarnya taraf nyata bergantung pada keberanian pembuat keputusan yang dlm hal ini berapa besarnya kesalahan yang akan ditolerir

Besarnya kesalahan tersebut disebut sebagai daerah kritis pengujian/daerah penolakan

MENENTUKAN KRITERIA PENGUJIAN

Bentuk pembuatan keputusan dalam menerima atau menolak hipotesis nol dengan cara membandingkan nilai α tabel distribusinya dengan nilai statistiknya sesuai dengan bentuk pengujiannya

Terima Ho : nilai uji statistiknya berada di luar nilai kritis

Tolak Ho : nilai uji statistiknya berada dalam nilai kritis

Uji statistik merupakan rumus-rumus yang berhubungan dgn distribusi tertentu dalam pengujian hipotesis, bisa dengan distribusi Z, t, F, dsb.

- Jika simpangan baku populasi diketahui atau ukuran contoh besar, maka statistik uji yang digunakan adalah normal baku (z)

- Jika simpangan baku populasi tidak diketahui atau ukuran contoh kecil (misal kurang dari 30), digunakan uji t-student

n

XXZ

oo

hitung

n

sX

s

oXt

o

Xhitung

UJI STATISTIK

n = 9 db = 8; Nilai ditentukan = 2.5% di kiri dan kanan kurva

t tabel (db, ) = t tabel(8; 0.025) = 2.306

Jadi t = 2.306 dan -t = -2.306

Arti Gambar di atas nilai t sampel berukuran n = 9, berpeluang 95% jatuh dalam selang -2.306 < t < 2.306.Peluang t >2.306 = 2.5 % dan Peluang t < -2.306 = 2.5 %

PEMBACAAN TABEL DISTRIBUSI - T

MEMBUAT KESIMPULAN

Penetapan keputusan dalam penerimaan atau penolakan hipotesis nol sesuai dengan kriteria pengujiannya

Pembuatan kesimpulan dilakukan setelah membandingkan nilai uji statistik dengan α tabel / nilai kritis

Contoh 1

1. Manajemen PT JURAM menyatakan bahwa 95% rokok produksinya rata-rata mengandung nikotin 1.80 mg, data tersebar normal. Yayasan Konsumen melakukan pengujian nikotin terhadap 9 batang rokok dan diketahui rata-rata sampel = 1.95 mg nikotin dengan simpangan baku = 0.24 mg. Apakah hasil penelitian Yayasan Konsumen mendukung pernyataan Manajemen PT JURAM?

Jawaban

95 % berada dalam selang berarti 5 % berada di luar selang;

2.5 % di kiri t dan 2.5% di kanan t

= 2.5 % = 0.025 n = 9 db = n - 1 = 8 t tabel (db, ) = t-tabel

(8; 0.025) = 2.306

Jadi 95 % berada dalam selang -2.306 < t < 2.306Ho : µ = µo (sesuai)H1 : µ ≠ µo (tidak sesuai) Diketahui: = 1.95S = 0.24n = 9 = 1.80

x

Jawaban

Nilai t hitung = 1.875 berada dalam selang -2.306 < t < 2.306 (Terima Ho)

Jadi hasil penelitian Yayasan Konsumen masih sesuai dengan pernyataan manajemen PT JURAM

Contoh 2

2. Dari suatu populasi normal, diambil contoh acak berukuran 15, diperoleh rata-rata 10,366 dan ragam contoh 1,946. Apabila kita mengetahui bahwa data tersebut dibangkitkan dari populasi normal dengan ragam 2, dan ingin diketahui apakah populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10, maka kita akan melakukan uji hipotesis. Gunakan tingkat kepercayaan 95%.

Jawaban

Bentuk hipotesis : Uji dua pihak

Ho : µ = 10 H1 : µ ≠ 10

Karena ragam populasi diketahui, maka statistik uji yg digunakan adalah uji statistik-z, yaitu:

002.115/2

1036.10

hitungz

1-α = 95%, jadi α = 5% atau 0.05, maka: untuk Z0.05/2 = Z(0.025) = 0.5 – 0.025 = 0.4750Dari tabel, |Z0.05/2| = 0,4750 = 1.96

Dengan demikian, karena Z hitung < |Z0.05/2|, maka kita menerima Ho. Artinya, populasi tersebut masih memiliki nilai tengah 10.

Contoh 3

3. Ada anggapan mengenai harga beras di pasar bebas daerah kota “A” Rp. 600,-/Kg dengan simpangan bakunya Rp. 25,-. Berangkat dari anggapan tersebut diatas, selanjutnya diadakan penelitian terhadap 40 kios beras sebagai sampel yang diambil secara acak, dan ternyata diperoleh informasi dari data tersebut rata-rata harga beras di pasar bebas adalah sebesar Rp 594,-/kg. Pertanyaan : Uji kebenaran anggapan diatas dengan taraf nyata 5% ?

Uji dua pihak: Ho : µ = Rp. 600,- H1 : µ ≠ Rp. 600,-Perhitungan sampel:Untuk Z0.05/2 = Z(0.025) = 0.5 – 0.025 = 0.4750

Z = ±1.96

X = µ0 ± (Za/2 ) (SX)

= 600 ± (1.96) (25/ √40)

= 600 ± 7.75

Jawaban

Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merek rokok yang berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai merek A dan 29 diantara 150 perokok menyukai merek B. Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0,06 bahwa merek A terjual lebih banyak daripada merek B?

LATIHAN

UJI BEDA DUA MEAN

Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

Menguji perbedaan rata-rata antara kelompok I dan kelompok II

Perlu diperhatikan apakah dua data tersebut adalah dua kelompok yang independen atau dua kelompok yang dependen (berpasangan)

Data independen : bila data kelompok yang satu tidak tergantung dari data kelompok kedua, misalnya membandingkan mean tekanan darah sistolik orang desa dengan orang kota.

Data dependen/pasangan : bila kelompok data yang dibandingkan datanya saling mempunyai ketergantungan, misal data Berat Badan sebelum dan sesudah mengikuti program diet

PENGUJIAN DENGAN DUA MEAN

UJI T DEPENDEN (PAIRED SAMPELS T-TEST)

Untuk menguji perbedaan mean antara dua kelompok data yang dependen.

Uji ini banyak digunakan untuk penelitian eksperimen.

Syarat/asumsi yang harus dipenuhi : Data berdistribusi normal/simetris Kedua kelompok data dependen Variabel yang dihubungkan berbentuk

numerik untuk variabel dependen dan kategorik dengan hanya dua kelompok untuk variabel independen

Contoh kasus : Apakah ada perbedaan tingkat pengetahuan antara sebelum dan sesudah pelatihan

Hipotesa dalam Uji t dependen adalah:Bila kita nyatakan perbedaan sebenarnya

pada populasi dengan : = µ1 - µ2 Maka hipotesis dapat ditulis : Ho : = 0

Ha : 0

UJI T DEPENDEN (PAIRED SAMPELS T-TEST)

Rumus uji t d

T = Sd_d / n

df = n - 1

d = rata-rata deviasi/selisih nilai sesudah dengan sebelum

SD_d = standar deviasi dari nilai d/selisih sampel 1 dan sampel 2

UJI T DEPENDEN (PAIRED SAMPELS T-TEST)

Contoh

Seorang peneliti ingin mengetahui pengaruh pemberian tablet Fe terhadap kadar Hb pada ibu hamil. Sebanyak 10 ibu hamil diberi tablet Fe dan diukur kadar Hb sebelum dan sesudah pemberian Fe. Hasil pengukuran sbb :Sebelum : 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8Sesudah : 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2

Buktikan apakah ada perbedaan kadar Hb antara sebelum dan sesudah pemberian tablet Fe, dengan alpha 5%

Hipotesis

Ho :δ=0 (tdk ada perbedaan kadar Hb sebelum dan sesudah pemberian Fe)

H1 : δ≠0 (ada perbedaan kadar Hb sebelum dan sesudah pemberian Fe)

Perhitungan uji t :

Sebelum : 12,2 11,3 14,7 11,4 11,5 12,7 11,2 12,1 13,3 10,8

Sesudah : 13,0 13,4 16,0 13,6 14,0 13,8 13,5 13,8 15,5 13,2

deviasi : 0,8 2,1 1,3 2,2 2,5 1,1 2,3 1,7 2,2 2,4

(jumlah deviasi = 18,6)

Jawaban

rata-rata deviasi : 18,6/10 = 1,86 Standar deviasi dari nilai deviasinya (SD_d)=0,60

d 1,86

t = ------------------- t = --------------

Sd_d / n 0,60/√ 10

t = 9,80

Kemudian dari nilai t tersebut dibandingkan dengan tabel t dengan df = n – 1 = 9

.20 .10 .05 .01

1

9

.

1,383

1,833

2,262

3,250

-

Dari soal diatas didapat t=9,80, dan df=9 maka nilai t tabel adalah 2,26

Keputusan uji statistikt hitung ≥ t tabel sehingga Ho ditolakt hitung < t tabel maka Ho diterima

Karena t hitung (9,80) > t tabel (2,26), maka Ho ditolak

Jadi secara statistik ada perbedaan kadar Hb antara sebelum dan sesudah diberi tablet Fe.

Jawaban

UJI-T INDEPENDEN

Subjeknya berbeda. Mis : Responden orang kota & orang desa

Syarat/asumsi yang harus dipenuhi : Data berdistribusi normal/simetris Kedua kelompok data independen Variabel yang dihubungkan berbentuk

numerik untuk variabel dependen dan kategorik dengan hanya dua kelompok untuk variabel independen.

Hipotesa dalam Uji t independen adalah:Dua sisi : Ho: µ1 = µ2 dan Ha: µ1 µ2Satu sisi : Ho: µ1 = µ2 dan Ha: µ1 > µ2

Ho: µ1 = µ2 dan Ha: µ1 < µ2 µ1 dan µ2 = rata-rata pada populasi 1 atau 2 Prinsip pengujian dua mean adalah melihat

perbedaan variasi kedua kelompok data Perlu informasi apakah varian kedua kelompok

yang diuji sama atau tidak. Bentuk varian kedua kelompok data akan

berpengaruh pada nilai standar error yang pada akhirnya akan membedakan rumus pengujiannya

UJI-T INDEPENDEN

Perhitungannya dengan menggunakan uji F :

S1 2

F = ------------- S2

2

df1 = n1–1 dan df2 = n2–1 Varian yang lebih besar sebagai pembilang dan

varian yang lebih kecil sebagai penyebut

F hitung ≥ F tabel maka Ho ditolak (varian beda)

F hitung < F tabel maka Ho gagal ditolak (varian sama)

UJI HOMOGENITAS VARIAN

Uji Untuk Varian Sama

x1 – x2

t = ----------------------------- Sp (1/n1 + 1/n2)

(n1 – 1) S1 2 + (n2 – 1) S2

2 Sp = ------------------------------------

n1 + n2 – 2

df = n1 + n2 – 2

Di mana :x1 atau x2 = rata rata sampel kelompok 1 atau 2

n1 atau n2 = jumlah sampel kelompok 1 atau 2

S1 atau S2 = standard deviasi sampel kelompok 1 atau 2

df = degree of freedom (derajat kebebasan)

Sp = varian populasi

Uji Untuk Varian Sama

Uji Untuk Varian Berbeda

x1 – x2

t = ------------------------------ (S1

2/ n1) + (S2 2 / n2 )

[ (S1 2/ n1 ) + (S2

2 / n2 ) ] 2

df = -----------------------------------------------------------

[ (S1 2/ n1)2 / (n1– 1) ] + [ (S2

2 / n2)2 / (n2 – 1) ]

Seorang peneliti ingin menguji apakah ada perbedaan nilai biostatistik antara mahasiswa dan mahasiswi. Dengan mengambil 10 mahasiswa didapat rata-rata nilainya 70 dengan standar deviasi 5, mahasiswi diambil 9 orang dan rata-rata nilainya 68 dengan standar deviasi 6. Ujilah dengan alpha 5% apakah ada perbedaan nilai ?

Contoh

Pertama lakukan uji homogenitas varianHo : σ1

2 = σ12

(varian nilai mahaswa sama dengan varian nilai mahasiswi)

Ha : σ12 ≠ σ1

2

(varian nilai mahaswa tidak sama dengan varian nilai mahasiswi)

UJI F S12

F = ------------- S22

Jawaban

F = (6)2 / (5)2 = 1,44

df : numerator (pembilang) = 9 – 1 = 8 denumerator(penyebut) = 10 – 1 = 9 Kita lihat tabel F pada alpha 0.05

Numerator

Denumerator

1 2 8

8

9 3,23

F hitung (1,44) < F tabel (3,23) Ho gagal ditolak varian samaUJI BEDA MEAN Ho : μa = µI (rata-rata nilai mahasiswa sama

dengan rata-rata nilai mahasiswi)Ho : μa ≠ µI (rata-rata nilai mahasiswa tidak sama

dengan rata-rata nilai mahasiswi)

x1 – x2

t = ----------------------------- Sp (1/n1 + 1/n2)

Jawaban

68 – 70

t = ----------------------------- Sp (1/9 + 1/10)

Sp = 5,49 68 – 70 t = -----------------------------

5,49 (1/9 + 1/10) t = - 0,79 df = 10 + 9 – 2 = 17 (kita cari nilai tabel t)

.10 .05

.025

t = 0,79 dengan df = 17

df

1

2

.

.

17

18

.

.

1,74 2,11

T hitung < t tabel maka Ho gagal ditolak Jadi, tidak ada perbedaan yang bermakna

nilai statistik antara mahasiswa dengan mahasiswi

Jawaban

Tingkat Signifikansi untuk tes satu sisi0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005

Tingkat Signifikansi untuk tes dua sisiDf 0,80 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,005 0,002 0,0011 0,325 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,32 318,31 636,622 0,289 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31,5983 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,214 12,9244 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,6105 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,8696 0,265 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,9597 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,4088 0,262 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,0419 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781

10 0,260 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,58711 0,260 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,43712 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,31813 0,259 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,22114 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,14015 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,07316 0,258 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,01517 0,257 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,96518 0,257 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,92219 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,88320 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,85021 0,257 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,81922 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,79223 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,76724 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,74525 0,256 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,72526 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,70727 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,69028 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,67429 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,65930 0,256 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,64640 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,55160 0,254 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460

120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160 3,373 0,253 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

1. Sebuah penelitian ingin mengetahui hubungan antara pemberian pelatihan dengan peningkatan pengetahuan ibu. Delapan ibu diambil sebagai sampel. Sebelum dan setelah pelatihan ibu-ibu tersebut diukur skor pengetahuannya dengan hasil sbb :

Sebelum : 115 115 104 112 105 107 126 119Sesudah : 117 128 102 120 112 115 130 120

Ujilah dengan alpha 5% apakah pemberian pelatihan dapat meningkatkan nilai skor pengetahun ibu

LATIHAN

2. Sebuah penelitian ingin mengetahui hubungan status merokok ibu hamil dengan BB bayi yang dilahirkan. Sebagai sampel diambil 20 ibu hamil yang tidak merokok dan 10 ibu hamil yang merokok. Hasil penelitian didapat ibu yang merokok melahirkan bayi dengan rata-rata BB 2,9 kg dengan standar deviasi 0,4 kg. Ibu yang tidak merokok melahirkan bayi dengan rata-rata BB 3,2 kg dan standar deviasi 0,5 kg. Ujilah apakah ibu yang merokok akan melahirkan bayi dengan berat yang lebih rendah dibandingkan ibu yang tidak merokok, alpha 5% ?

LATIHAN

REGRESI LINEAR SEDERHANA

Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

Apa itu Regresi Linier ?

• Regresi merupakan alat ukur yg digunakan untuk mengetahui ada tidaknya korelasi antarvariabel.

• Analisis regresi lebih akurat dlm analisis korelasi karena tingkat perubahan suatu variabel terhdp variabel lainnya dpt ditentukan). Jadi pada regresi, peramalan atau perkiraan nilai variabel terikat pada nilai variabel bebas lebih akurat pula.

• Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu. Utk regresi sederhana, yaitu regresi linier yg hanya melibatkan dua variabel (variabel X dan Y).

Regresi Linear Sederhana

Regresi linear Sederhana yaitu mempelajari ketergantungan satu variabel tak bebas (dependent variable) terhadap suatu variabel bebas (Independent variable)

Terdapat dua buah variabel random X dan Y. Pasangan titik-titik (x,y) di gambar pada suatu sistem koordinat, disebut sebagai scatter plot.

Dari gambar tersebut kemudian divisualisasikan suatu kurva mulus yang merupakan pendekatan dari data-data tersebut.

Garis regresi adalah garis linear yang merupakan garis taksiran atau perkiraan untuk mewakili pola hubungan antara dua buah variabel.

www.themegallery.com

Regresi Linear Sederhana

Bentuk umum Regresi Linier Sederhana dapat ditulis sebagai :

Dimana :Y = Variabel tak bebas/ Dependent VariableX = Variabel bebas / Independent Variablea = Intersept / titik potong dengan sumbu Yb = Slope / koefisien kemiringan / Gradien garis

Y a bX

www.themegallery.com

Regresi Linear Sederhana

Contoh : Dalam 12 bulan,

sebuah perusahaan mencatat besarnya biaya iklan yang dikeluarkan dan hasil yang didapat oleh perusahaan tersebut. Disajikan dalam tabel berikut (Dalam $):

Bulan Biaya iklan Pendapatan

1 20 272 20 233 25 314 28 455 29 476 28 427 31 398 34 459 35 5710 36 5911 41 7312 45 84

www.themegallery.com

Regresi Linear Sederhana

Scatter Plot

Garis Regresi Linear Sederhana

Untuk menentukan persamaan garis regresi maka ditentukan koefisien dari a dan b.

a dan b ditentukan dengan mencari jarak kuadrat dari masing-masing data dan garis regresinya (Error) paling kecil atau disebut metode kuadrat terkecil (Least square method)

Mencari nilai a dan b

Rumus 1

Rumus 222

22

2

)())((

))(())((

)())((

))(())((

XXn

YXXYnb

XXn

XYXXYa

_____

22

.

)())((

))(())((

XbYa

XXn

YXXYnb

Mencari Nilai a dan b

Pendekatan Matriks

XYX

YnA

XXY

XYA

XX

XnA

A

Ab

A

Aa

XY

Y

b

a

XX

Xn

2212

21

2

det

det

det

det

))(())((det

))(())((det

))(())((det

2

21

2

XYXYnA

XYXXYA

XXXnA

Contoh Soal

Berikut ini data mengenai pengalaman kerja dan penjualan

X=pengalaman kerja (tahun)Y=omzet penjualan (ribuan)

• Tentukan nilai a dan b (gunakan ketiga cara)!• Buatkan persamaan regresinya!• Berapa omzet pengjualan dari seorang

karyawan yg pengalaman kerjanya 3,5 tahun

X 2 3 2 5 6 1 4 1

Y 5 8 8 7 11 3 10 4

Penyelesaian :X Y X2 Y2 XY2 5 4 25 103 8 9 64 242 8 4 64 165 7 25 49 356 11 36 121 661 3 1 9 34 10 16 100 401 4 1 16 4

24 56 96 448 198

78

563

8

24 ______

YX

25,3576768

752.4376.5

)24()96)(8(

)198)(24()96)(56(2

a

a

25,1576768

344.1584.1

)24()96)(8(

)56)(24()198)(8(2

b

b

Cara 1.

Cara 2.

25,1192

24025,3

192

624

240)24)(56()198)(8(det

624)198)(24()96)(56(det

192)2424()96)(8(det

19824

568

96198

2456

9624

248

198

56

9624

248

2

1

21

ba

A

A

A

AAA

b

a

Cara 3

a. Dari ketiga cara pengerjaan tersebut diperoleh nilai a = 3,25 dan nilai b = 1,25

b. Persamaan regresi linearnya adalah Y=3,25+1,25X

c. Nilai duga Y, jika X=3,5 adalah Y=3,25+1,25XY=3,25+1,25(3,5) =7,625

25,3

)3(25,17

25,1576768

344.1548.1

)24()96)(8(

)56)(24()198)(8(2

a

a

b

b

Grafik Regresi Linear

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12

f(x) = 1.25 x + 3.25R² = 0.669642857142857

Hubungan Pengalaman Kerja terhadap

Omzet Penjualan

Pengalaman Kerja (Tahun)

Om

zet

Pen

juala

n (

Rib

uan

)

Koefisien Determinasi (R2)

6696,0016.86

600.57

)448)(192(

)240(

)136.3584.3()576768(

)344.1584.1(

))56()448(8()24()96(8(

))56)(24()198)(8((

))()(()()((

)))(())(((

22

22

22

22

2222

22

R

R

R

YYnXXn

YXXYnR

Nilai determinasi (R2) sebesar 0,6696, artinya sumbangan atau pengaruh pegalamanKerja terhadap naik turunnya omzet penjualan adalah sebesar 66,96%. Sisanya 33,04%disebabkan oleh faktor lain yang tidak dimasukkan dalam model.

SELISIH TAKSIR STANDAR(STANDAR DEVIASI)

Angka indeks yg digunakan utk mengukur ketepatan suatu penduga atau mengukur jumlah variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi.

Jika semua titik observasi berada tepat pada garis regresi, selisih taksir standar sama dengan nol. Menunjukkan pencaran data.

Selisih taksir standar berguna mengetahui batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan dalam meramal data.

Rumus

2

)'(

2

)'(

2

./

2

./

n

YXSeSS

ataun

YYSeSS

xyyx

yxxy

Keterangan :Sy/x = Sx/y = Selisih taksir standarY = X = nilai variabel sebenarnyaY’ = X’ = nilai variabel yang diperkirakan n = jumlah frekuensi

Contoh :

Hubungan antara variabel X dan variabel Y

a. Buatkan persamaan regresinyab. Tentukan nilai duga Y, jika X = 8c. Tentukan selisih taksir standarnya

X 1 2 3 4 5 6Y 6 4 3 5 4 2

Penyelesaian

X Y X2 Y2 XY1 6 1 36 62 4 4 16 83 3 9 9 94 5 16 25 205 4 25 16 206 2 36 4 1221 24 91 106 75

6

21)5,0(

6

24

.

5,0105

54

)21()91(6

)24)(21()75(6

)()(

))(()(

2

22

a

XbYa

b

b

XXn

YXXYnb

a. Persamaan garis regresinya:Y’ = 5,75 – 0,5 X

b. Nilai duga Y’, jika X=8Y’ = 5,75 – 0,5 (8)Y’ = 1,75

c. Selisih taksir standar

X Y Y' Y-Y' (Y-Y')2

1 6 5.25 0.75 0.56252 4 4.75 -0.8 0.56253 3 4.25 -1.3 1.56254 5 3.75 1.25 1.56255 4 3.25 0.75 0.56256 2 2.75 -0.8 0.5625

5.375

2,126

375,5

2

)'(

/

2

/

xy

xy

S

n

YYS