note logik

LOGIK DIGITAL

ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean diperkenalkan oleh George Boole pada tahun 1854.

Seperti juga aljabar-aljabar yang lain, ia juga menggunakan pembolehubah (dipanggil penyataan) dan operasi (dipanggil hubungan).

Pembolehubah dalam aljabar Boolean ini dipanggil pembolehubah logik yang hanya mempunyai dua nilai sahaja sama ada BENAR (1) atau PALSU (0) dan operasinya dipanggil operasi logik.

GET LOGIK

Komputer digital hanya memahami maklumat di dalam bentuk digit binari (binary digit).

Binary digit – bit (digit binari terdiri daripada 2 iaitu 0 dan 1)

Maklumat binari dipersembahkan di dalam komputer digital menggunakan signal/isyarat elektrik. 3 volts 1 0.5 volts 0

Manipulasi maklumat binari dilakukan oleh litar logik yang dipanggil GET (gates).

GET adalah perkakasan yang menghasilkan isyarat binari 1 atau 0 melalui input dengan operasi tertentu.

Hubungan input-output bagi pembolehubah binari bagi setiap get dipaparkan di dalam Jadual Kebenaran.

OPERASI ASAS ALJABAR BOOLEAN

Terdapat 3 operasi logik asas iaitu: AND . (operasi dari get AND) OR + (operasi dari get OR) NOT atau ’ (operasi dari get

Inverter)

Operasi-operasi logik ini digunakan untuk menggabungkan operan (pemalar logik dan pembolehubah logik) bagi membentuk ungkapan-ungkapan logik.

OPERASI ASAS ALJABAR BOOLEAN

Berikut adalah beberapa contoh ungkapan logik dengan A, B dan C merupakan pembolehubah logik yang hanya boleh bernilai 0 (atau PALSU) atau 1 (atau BENAR) sahaja.

A = NOT (A) A . B + C = NOT (A AND B) OR C (A . B) + (B . C) = (A AND NOT(B)) OR (B AND

C)

OPERASI ASAS ALJABAR BOOLEAN

Selain daripada operasi logik asas AND , OR dan NOT, terdapat beberapa operasi logik yang lain yang banyak digunakan di dalam membina beberapa operasi logik asas, antaranya ialah:

NAND - sebutan NOT AND- adalah gabungan antara operasi AND dan diikuti dengan NOT

NOR - sebutan NOT OR- adalah gabungan antara operasi OR

dan diikuti dengan NOT

Rumusan (Bagi 2 pembolehubah) AND - Operasi AND hanya akan memberikan hasil BENAR (atau 1

dalam perduaan) jika dan hanya jika kedua-dua operannya bernilai BENAR.

OR - Operasi OR akan memberikan hasil BENAR jika salah satu atau kedua-dua operannya bernilai BENAR.

NOT - Operasi NOT akan menukarkan nilai operannya iaitu BENAR kepada PALSU atau sebaliknya.

NAND - Operasi NAND akan memberikan hasil BENAR jika salah satu atau kedua-dua operannya bernilai PALSU.

NOR - Operasi NOR akan memberikan hasil BENAR jika dan hanya jika kedua-dua operannya bernilai PALSU.

XOR - Operasi XOR akan memberikan hasil BENAR jika dan hanya jika satu sahaja operannya bernilai BENAR.

Rumusan Umum (bagi n pembolehubah) AND - Operasi AND hanya akan memberikan hasil

BENAR jika dan hanya jika kesemuanya operannya bernilai BENAR.

OR - Operasi OR akan memberikan hasil benar jika sekurang-kurangnya satu daripada operannya bernilai benar.

NAND - Operasi NAND akan memberikan hasil BENAR jika salah satu atau kedua-dua operannya bernilai PALSU.

NOR - Operasi NOR akan memberikan hasil BENAR jika dan hanya jika kesemua operannya bernilai PALSU.

TEOREM-TEOREM ASAS ALJABAR BOOLEAN

1. Hukum Tukar Tertib A . B = B . A A + B = B + A2. Hukum Taburan A .(B+C) = A .B + A .C A + B.C = (A + B).(A + C)3. Hukum Identiti A + 0 = A A + 1 = A A . 1 = A A . 0 = 0

TEOREM-TEOREM ASAS ALJABAR BOOLEAN4. Hukum Songsang A + A = 1 A . A = 05. Hukum Idempotent A + A = A A . A = A6. Hukum Boundess A + 1 = 1 A . 0 = 0

TEOREM-TEOREM ASAS ALJABAR BOOLEAN7. Hukum Serapan A + (A . B) = A A . (A + B) = A8. Hukum Sekutuan A + (B + C) = (A + B) + C A . (B . C) = (A . B) . C9. Hukum Penghapusan A + (A . B) = A + B A . (A + B) = A . B10. Teorem De Morgan (A + B) = A . B (A . B) = A + B

TEOREM-TEOREM ASAS ALJABAR BOOLEAN Semua teorem dan hukum-hukum di atas boleh

dibuktikan dengan menggantikan nilai 0 atau 1 bagi setiap pembolehubah A, B dan C berpandukan kepada Jadual Kebenaran bagi setiap operasi logik yang telah diberikan.

Teorem dan hukum-hukum ini amat penting dalam persekitaran komputer kerana ia digunakan untuk meringkaskan ungkapan-ungkapan logik yang terhasil semasa mereka bentuk litar logik komputer.

FUNGSI BOOLEAN

Fungsi Boolean juga dikenali sebagai fungsi logik di mana setiap pembolehubah dalam fungsi ini merupakan pembolehubah logik. Operasi dalam fungsi ini juga merupakan operasi logik.

Berikut adalah beberapa contoh Fungsi Boolean: D = A + B . C + (C + B) - Fungsi

Boolean dengan 3 pembolehubah A, B dan C.

F = X . Y . W + Z - Fungsi Boolean dengan 4 pembolehubah W, X, Y dan Z

Untuk mengetahui nilai Fungsi Boolean bagi setiap gabungan nilai pembolehubahnya, cara yang mudah adalah dengan membuat jadual kebenaran.

JADUAL KEBENARAN Salah satu fungsi Jadual Kebenaran adalah untuk

mengetahui output atau hasil bagi setiap kemungkinan gabungan nilai pembolehubah bagi fungsi boolean yang diberikan.

Saiz Jadual Kebenaran adalah berbeza mengikut bilangan pembolehubah dalam sesuatu Fungsi Boolean.

Contoh 1:Bagi fungsi D di atas (seksyen 1.5), terdapat 3 pembolehubah iaitu A, B dan C. Maka di dalam Jadual Kebenaran akan terdapat 23 = 8 gabungan nilai A, B dan C (nota: A, B dan C adalah input) yang berbeza dan nilai fungsi D (nota: D adalah output) adalah berdasarkan kepada nilai ketiga-tiga pembolehubah ini.

Jadual Kebenaran bagi fungsi D di atas:

A B C

B

B . C

C + B

D = A + B . C + (C + B)

0 0 0 1 0 1 1

0 0 1 1 1 0 1

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1

1 0 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0 1

JADUAL KEBENARAN

Contoh 2

Bagi fungsi F di atas (seksyen 1.5), terdapat 4 pembolehubah iaitu W, X, Y dan Z. Maka di dalam Jadual Kebenaran akan terdapat 24 = 16 gabungan nilai W, X, Y dan Z (nota: W, X, Y dan Z adalah input) yang berbeza dan nilai fungsi F (nota: F adalah output) adalah berdasarkan kepada nilai keempat-empat pembolehubah ini.

Jadual Kebenaran bagi fungsi F di atas:

W

X

Y

Z

X

X . Y . W

F = X . Y . W + Z

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 0 1

0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 1

PETA KARNAUGH (K-map)

Merupakan cara bergrafik untuk memaparkan kandungan Jadual Kebenaran di mana sebutan bersebelahan berbeza dengan hanya satu pembolehubah sahaja.

Digunakan untuk mendapatkan ungkapan Boolean daripada Jadual Kebenaran yang diberi.

Selalunya ungkapan Boolean yang diperolehi menggunakan Peta Karnaugh adalah yang paling ringkas (tidak perlu diringkaskan lagi menggunakan Hukum-hukum Aljabar Boolean).

Peta Karnaugh dengan 2 pembolehubah – A dan B

B

A 0 1

0 0 1

1 2 3

B

A 0 1

0 00 01

1 10 11

Peta Karnaugh dengan 3 pembolehubah – A,B,C

BC

A 00 01 11 10

0 000 001 011 010

1 100 101 111 110

BC

A 00 01 11 10

0 0 1 3 2

1 4 5 7 6

Peta Karnaugh dengan 4 pembolehubah - A,B,C,D

CD

AB 00 01 11 10

00 0000 0001 0011 0010

01 0100 0101 0111 0110

11 1100 1101 1111 1110

10 1000 1001 1011 1010

CD

AB 00 01 11 10

00 0 1 3 2

01 4 5 7 6

11 12 13 15 14

10 8 9 11 10

PETA KARNAUGH (K-map)

Gambarajah berikut menunjukkan perkaitan di antara Jadual Kebenaran dan Peta Karnaugh.

A B F

0 0

0 1

1 0

1 1

B

A 0 1

0 00 01

1 10 11

Input Output

PETA KARNAUGH (K-map)

Bilangan petak di dalam Peta Karnaugh adalah sama dengan bilangan baris dalam Jadual Kebenaran. Berikut adalah ringkasannya: 2 Pembolehubah 2

2 = 4 kombinasi input yang berlainan

dalam Jadual Kebenaran.

2 2 = 4 petak dalam Peta Karnaugh.

3 Pembolehubah 2 3 = 8 kombinasi input yang berlainan

dalam Jadual Kebenaran.

2 3 = 8 petak dalam Peta Karnaugh.

n pembolehubah 2 n kombinasi input yang berlainan dalam Jadual Kebenaran.

2 n petak dalam Peta Karnaugh.

PETA KARNAUGH (K-map)

Mendapatkan ungkapan logik menggunakan Peta Karnaugh daripada Jadual Kebenaran yang diberi.

Contoh 1: Diberi Jadual Kebenaran berikut. A, B, C adalah input dan F adalah output.

A B C F

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

PETA KARNAUGH (K-map)

Langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah:

1. Buat Peta Karnaugh dengan 3 pembolehubah.2. Masukkan 1 ke dalam petak yang memberi output 1 (rujuk

Jadual Kebenaran).3. Kumpulkan petak-petak bersebelahan menggunakan langkah

berikut:

Jika Peta Karnaugh mempunyai n pembolehubah, mulakan pengumpulan petak dengan 2 n-1

Jika tiada petak bersebelahan sebanyak 2 n-1 (yang bernilai 1 sahaja), teruskan dengan 2 n-2 dan seterusnya hingga 2 n-n ATAU sehingga tiada lagi petak bernilai 1 yang belum dikumpulkan.

3 pembolehubah n = 3 Mulakan pengumpulan dengan 2 3-1 = 4 petak

bersebelahan. Tiada dalam Peta Karnaugh di atas.

Teruskan dengan 2 3-2 = 2 petak bersebelahan Ada 2 kumpulan.

Jika masih ada petak bernilai 1 yang belum dikumpulkan, teruskan dengan 2 3-3 = 1 petak. Ada 1 kumpulan sahaja.

BC

A 00 01 11 10

0

1

1

1 1 1

PETA KARNAUGH (K-map)Langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah:

4. Gabungkan setiap sebutan yang diperolehi dari

pengumpulan petak-petak tersebut menggunakan operasi

OR. BC

A

B C

B C BC

BC

A

1

1

A 1 1

A B CA B

A B C + A B C = B C

PETA KARNAUGH (K-map)

Oleh itu, ungkapan fungsi F adalah:

F = B C + A B + A B C