materi matematika (matriks)

MATRIKS

Oleh :HIMMATUL ALIYAH

NPM : 12.1.01.05.106

MatriksPengertian Matriks

Invers Matriks

Operasi Matriks

Determinan Matriks

Kesamaan Dua Buah Matriks

Transpose Matriks

Macam-macam Matriks

Ordo Matriks

Operasi Penjumlahan

Operasi Pengurangan

Operasi Perkalian

Perpangkatan matriks persegi

Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk

persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan

dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri

tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf. Matriks dinotasikan dengan huruf

kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya, jika berupa huruf, maka

ditulis dengan huruf kecil.

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

...

:::::

...

...

321

2232221

1131211

A=Baris ke-1

Baris ke-2

Baris ke-m

KolomKe- 1

KolomKe- 2

KolomKe- n

PENGERTIAN MATRIKS

ORDO MATRIKSOrdo adalah ukuran suatu matriks yang dinyatakan dalam banyaknya baris

kali banyaknya kolom.

Contoh :

523

401A =

Banyaknya baris matriks A adalah 2

Banyaknya kolom matriks A adalah 3

Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis A 2x3

Secara umum:

Jika banyaknya baris matriks A adalah m dan banyaknya kolom n maka ordo matriks A

ialah m x n ditulis Amxn

Baris

Kolom

1) Matriks Baris Matriks baris hanya mempunyai satu baris saja., jumlah kolom bebas. Contoh: A = 2) Matriks Kolom Matriks kolom hanya mempunyai satu kolom saja, jumlah baris bebas. Contoh:

A =

3) Matriks Persegi Matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Contoh:

A =

532

2

5

4

1

20

34

MACAM-MACAM MATRIKS

a) Matriks Diagonal Matriks persegi yang mempunyai elemen padabpada diagonal utama atau pada diagonal kedua. Contoh: A3x3 = A3x3 =

800

000

003

Diagonal Utama

000

020

100

Diagonal kedua

b) Matriks Segitiga - Matriks Segitiga Atas Contoh: Matriks persegi yang mempunyai elemen A3x3 = dibawah diagonal utama nol semua, sedangkan di atas diagonal utama boleh ada elemen yang tidak nol.

- Matriks Segitiga Bawah Matriks persegi yang mempunyai elemen A3x3 = diatas diagonal utama nol semua, sedangkan di bawah diagonal utama boleh ada elemen yang tidak nol.

800

010

023

812

010

003

c) Matriks Identitas Matriks persegi mempunyai elemen pada diagonal utama angka 1, sedangkan elemen yang lain nol semua. Contoh: I3x3 =

d) Matriks Nol Matriks yang mempunyai elemen nol semua. Contoh: O2x2 =

100

010

001

00

00

e) Matriks Simetris Matriks persegi yang unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i. Contoh: A = , di mana a12 = a21 = 3; a13 = a31 = 1; dan a23 = a32 = 4

041

403

135

Dari suatu matriks, misalnya matriks A, dapat dibentuk matriks baru dengan ketentuan:

a. Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru.

b. Baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya.

Matriks baru yang terbentuk itu disebut transpose matriks A dan ditulis A t

(dibaca transpose A)Contoh: A2x3 = (A t ) 3x2 =

520

314

53

21

04

TRANSPOSE MATRIKS

Dua buah matriks, A dan B, dikatakan sama (A = B) apabila matriks A dan matriks B

mempunyai ordo yang sama dan elemen yang seletak sama. Contoh: A = , B = C =

A ≠ B karena elemen yang seletak tidak sama

A = C karena elemen yang seletak sama

KESAMAAN DUA BUAH MATRIKS

60

313

60

313

60

313

OPERASI MATRIKS Operasi Penjumlahan

Dua buah matriks atau lebih dapat dijumlahkan apabila matriks yang dijumlahkan mempunyai ordo yang sama dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari dua atau lebih matriks yang akan dijumlahkan.

Contoh:A2x2 = , B2x3 = , C2x2 =

Keterangan :Matriks A2x2 + B2x3 tidak bisa dijumlahkan karena ordo kedua matriks tidak

sama. (ordo matriks A ≠ ordo matriks B)Matriks A2x2 + C2x2 bisa dijumlahkan dengan cara menjumlahkan elemen

yang seletak

A2x2 + C2x2 = + =

Operasi PenguranganDua buah matriks atau lebih dapat dikurangkankan apabila matriks yang

dikurangkan mempunyai ordo yang sama dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari dua atau lebih matriks yang akan dikurangkan.

Contoh:A2x2 = , B2x3 = , C2x2 =

Keterangan :Matriks A2x2 – B2x3 tidak bisa dikurangkan karena ordo kedua matriks tidak

sama. (ordo matriks A ≠ ordo matriks B)

A2x2 – C2x2 = - =

Matriks A2x2 – C2x2 bisa dikurangkan dengan cara mengurangkan elemen yang seletak

Operasi Perkalian

1) Perkalian matriks Aixj dengan skalar k Skalar k dikalikan dengan elemen-elemen matriks Aixj

k . = . k

=

k . A = A . k

Dua buah matriks, S dan T, dapat dikalikan (S x T) apabila jumlah kolom pada

matriks S sama dengan jumlah baris pada matriks T. Cara mengalikan : Semua baris

pada matriks S dikalikan semua kolom pada matriks T.

Si x j x Tj x k = Ui x k

2) Perkalian Dua Buah Matriks

Diketahui matriks :

A = , B = , C = , D =

- Perkalian matriks A x B - Perkalian matriks C x D = x = x = =

Dua buah matriks, A dan B, berordo 3 x 3 dapat dikalikan dengan cara:

Semua baris pada matriks A dikalikan dengan semua kolom pada matriks B.

3) Perkalian dua buah matriks berordo 3 x 3

A=

AxB=

A=

A n = A x A n-1

A adalah suatu matriks persegi, maka :

A2 = A x A

A3 = A x A x A, dan seterusnya

Perpangkatan Matriks Persegi

DETERMINAN MATRIKS Determinan Matriks Berordo 2 x 2

Jika diketahui matriks A = , maka determinan matriks A ditulis .

|A|=ad −bc

Contoh:

Diketahui matriks A = . Tentukan nilai dari .

Penyelesaian:

= = (4 x 3) – (2 x 5)

= 12 – 10

= 2

Determinan Matriks Berordo 3 x 3

Mencari determinan matriks berordo 3 x 3 dengan menggunakan aturan Sarrus

A=

=a11.a22.a33 + a12.a23 .a31 + a13.a21.a32 – (a13 .a22.a31 + a11.a23 .a32 + a12.a21.a33 )

Contoh:Tentukan determinan matriks berordo 3 x 3 berikut.

A =

Penyelesaian :A =

= (1.2.0 + 3.(-2).(-1) + (-1).0.1) – ((-1).2.(-1) + 1.(-2).1 + 3.0.0)

= (0 + 6 + 0) – (2 + (-2) + 0)

= 6 – 0 = 6

INVERS MATRIKS Invers Matriks Berordo 2 x 2

Jika diketahui matriks A = , maka determinan matriks A dilambangkan A-1

A-1 =

A-1 =

Contoh:Tentukan invers dari matriks A =

Penyelesaian:A-1 = =

= =

=

DAFTAR PUSTAKA