matematika teknik - diferensial

DIFERENSIAL

2.1. Koefiesien Diferensial baku.

2.2 Fungsi dari suatu fungsi2.3 Diferensial Logaritmik2.4 Persamaan Parametrik

Teorema Turunan 1 :

J ika c'f ada, maka f kontinu di c.

Teorema Turunan 2 :

1. Aturan Fungsi Konstanta. J ika xf = k dengan k suatu

konstanta maka untuk sebarang x, x'f = 0, yaitu kD = 0.

2. Aturan fungsi I dentitas. J ika xf = x, maka x'f = 1, yaitu

xD =1.

3. Aturan Pangkat. J ika nxxf , dengan n bilangan-

bilangan bulat positif, maka 1nnxx'f , yaitu

1nn nxxD .

4. Aturan Kelipatan Konstanta. J ika k suatu konstant dan f

suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka x'f.kx'kf ,

yaitu xDf.kxf.kD .

5. Aturan J umlah. J ika f dan g fungsi-fungsi yang

terdiferensialkan, maka x'gx'fx'gf , yaitu

xDgxDfxgxfD .

6. Aturan Selisih. J ika f dan g fungsi-fungsi yang

terdiferensialkan, maka

x'gx'fx'gf , yaitu xDgxDfxgxfD .

7. Aturan Hasil Kali. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang

dapat terdiferensialkan, maka x'gxfxgx'fx'g.f ,

yaitu xgxDfxDgxfxgxfD .

8. Aturan Hasil Bagi. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang

dapat didiferensialkan dengan 0xg . Maka

xg

x'gxfx'fxgx

gf

2

,yaitu :

xg

xDgxfxDfxgxgxf

D2

.

Misalkan 0a , xu fungsi

1. xx ex'y;exy .

2. alnax'y;axy xx .

3. xuxu ax'ux'y;axy .

1. xcosxsindxd

2. xsinxcosdxd

3. xsecxtandxd 2

4. xeccosxcotdxd 2

5. xtan.xsecxsecdxd

6. xcot.xeccosxeccosdxd

Misalkan xuu adalah fungsi

yang dapat diturunkan. Maka :

1. dxdu

.ucosusindxd

2. dxdu

.usinucosdxd

3. dxdu

.usecutandxd 2

4. dxdu

.ueccosucotdxd 2

5. dxdu

.utan.usecusecdxd

6. dxdu

.ucot.ueccosueccosdxd

Misalkan 0a , xu fungsi

1. x1

x'y;xlnxy .

2. alnx

1x'y;xlogxy a .

3. alnxu

x'ux'y;xulogxy a .

Misalkan ufy dan ufy menentukan

fungsi komposit xgfxgfy .

J ika g terdiferensialkan di x

dan f terdiferensialkan di xgu ,

maka gf terdiferensialkan di x

dan x'gxg'fx'gf ,

yaitu uDyDyD xux .

Contoh :

1.Diferensialkan y = Cos ( 5x – 4 )

Jawab : dy/dx = - 5 sin ( 5x – 4 )

2. Diferensialkan y = tan ( 4 – 5x )jawab: dy / dx = -5 sec ( 4 – 5x )

Untuk fungsi implisit yang sukar dinyatakan

secara eksplisit, turunannya dapat ditentukan

dengan menggunakan aturan turunan untuk

jumlah dan perkalian dua fungsi dan aturan berantai.

Contoh :

Pandang persamaan :

yxx4xyyx2 3232

yxx4dxd

xyyx2dxd 3232

dxdy

xyx34dxdy

xy2ydxdy

yx6xy4 322223

yx3y4xy4dxdy

xdxdy

xy2dxdy

yx6 223322

yx3y4xy4xxy2yx6dxdy 223322

322

223

xxy2yx6

yx3y4xy4dxdy

Pandang fungsi-fungsi: xy dan tx

Maka :

dtdx

.dxdy

dtdy

atau

dtdxdtdy

dxdy

Purnami.E.Soewardi,Media Pembelajaran Matematika,Bandung ,2008

K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.

PENERAPAN DIFERENSIAL

Persamaan Garis lurus dan garis normal

a) Persamaan garis lurus adalah y = mx + c Dengan m : kemiringan garis / gradien

Atau m = dy/dx = tan Sedangkan c : perpotongan dengan sumbu y

b) y – y1 = m ( x – x1)

Contoh soal :1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (3,2 ) dan Q ( -2,1 )penyelesaian : y = mx + c Melalui P ( 3,2 ) …… 2 = 3m + c Melalui Q ( -2,1 ) …… 1 = -2m + c

- 1 = 5m

m = 1/5 maka c = 7/5 Jadi persamaan garisnya adalah y = 1/5 x + 7/5

Contoh Soal:2.Tentukan persamaan garis singgung &

garis normal kurva x + y + 3xy – 11 = 0 di titik ( 1,2 )

 Jawab :Diferensialkan persamaan kurvanya2x +2y. dy/dx + 3y + 3x. dy/dx = 0dy/dx ( 2y + 3x ) = -2x – 3y dy/dx = - 8/7

m = - 8/7

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y - y = m ( x - x )y –2 = - 8/7 ( x – 1 ) y = - 8/7 x + 8/7 + 27y = -8x + 22

Kemiringan garis normalnya , m = 7/8Persamaan garis normalnya adalahY –2 = 7/8 (x – 1 ) Y = 7/8 x – 7/8 +28y = 7x + 9

Kemiringan garis Normal =

ggunggariskemiringan sin

1

  Cukup dengan menentukan 2 buah titik

sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu).

contoh: Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0 Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 ; 2x +

3(0) - 6 = 0 ® x = 3 ® (3,0) Titik potong dengan sumby y ® x = 0 ; 2(0)

+ 3y - 6 = 0

1.Bentuk umum   ax + by + c = 0 atau y = mx + n

2. Persamaan sumbu x ® y = 0 3. Persamaan sumbu y ® x = 0 4. Sejajar sumbu x ® y = k 5. Sejajar sumbu y ® x = k

Melalui titik asal dengan gradien m    y = mx

11 y,x

11 xxmyy

Melalui titik dengan gradien m

11 y,x 22 y,x

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

1

12

121 xx

xx

yyyy

Melalui titik dan

Y Tali busur AB

B

cfhcf

cf,c Garis singgung

A h

0 c c+h X

hcf,0 hcf,hc

Misalkan kurva tersebut mempunyai persamaan xfy .

Maka titik A mempunyai koordinat cf,c ,

titik B mempunyai koordinat hcf,hc

dan tali busur yang melewati A dan B mempunyai

kemiringan (gradien) ABm , dengan

h

cfhcfmAB

Akibatnya, garis singgungnya adalah

garis yang melalui A dengan gradien :

h

cfhcfmm limlim

0hAB

0h

.

Purnami.E.Soewardi,Media Pembelajaran Matematika,Bandung ,2008