ma1201 m6-1 26-02-14
Post on 12-Jan-2017
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
26 Februari 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
9.6 Deret Pangkat
Menentukan selang kekonvergenan deretpangkatpangkat
9.7 Operasi pada Deret Pangkat
M l k k i d d t k t (Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkand t k t l i (d j l h )deret pangkat lainnya (dan jumlahnya)
2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini
9.8 Deret Taylor dan Deret Maclaurin
Menentukan deret Taylor dan deret Maclaurindari suatu fungsi di sekitar titik yg ditentukandari suatu fungsi di sekitar titik yg ditentukan
9.9 Hampiran Taylor terhadap Fungsi
M t k h i T l t h d tMenentukan hampiran Taylor terhadap suatufungsi di sekitar titik yang ditentukan, besertat k i k l htaksiran kesalahannya
2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan
9 8 DERET TAYLOR DAN DERETMA1201 MATEMATIKA 2A
9.8 DERET TAYLOR DAN DERETMACLAURINMenentukan deret Taylor dan deretMaclaurin dari suatu fungsi di sekitar titik
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4
gyang ditentukan
Ingat Mengapa Deret Tak TerhinggaIngat Mengapa Deret Tak Terhingga
Dengan turunan pertama kita mendapatkanDengan turunan pertama, kita mendapatkanhampiran
0sin xuntukxxBila kita gunakan turunan kedua dan ketiga, kitak d k h i l bih b ik
.0,sin xuntukxx
akan dapatkan hampiran yang lebih baik
.0,sin 63 xuntukxx x
Kelak kita dapat menunjukkan bahwa
.0,sin 6 xuntukxx
2/14/2014 (c) Hendra Gunawan 5
.,......sin !5!353
xuntukxx xx
Pada Kuliah yang Lalu…Pada Kuliah yang Lalu…
Kita telah membahas bahwa deret pangkatKita telah membahas bahwa deret pangkat
...!5!3
)(53
xxxxS
konvergen untuk seluruh bilangan real x, dan
!5!3)(
S(x) memenuhi persamaan diferensial orde 2:
S’’(x) = –S(x),( ) ( ),
dengan S(0) = 0 dan S’(0) = 1. Solusi persamaandiferensial ini adalah S(x) = sin xdiferensial ini adalah S(x) sin x.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Sejauh Ini…Sejauh Ini…
Diberikan suatu deret pangkat, kita dapatp g , pmenentukan selang kekonvergenannya.
Untuk deret geometri serta turunan danUntuk deret geometri, serta turunan danintegralnya, kita bisa mendapatkan jumlahnya.
Demikian juga utk beberapa deret pangkat yangDemikian juga utk beberapa deret pangkat yang jumlahnya sama dengan ex, cos x, dan sin x.
l d d d k kLalu, dengan operasi pada deret pangkat, kitadapat memperoleh uraian deret pangkat darif f( ) d ( ) /( )fungsi seperti f(x) = xex dan g(x) = ex/(1 – x).2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Pertanyaan BaruPertanyaan Baru
Diberikan suatu fungsi f(x) dapatkah kita meng‐Diberikan suatu fungsi f(x), dapatkah kita menguraikannya sebagai sebuah deret pangkat
2
untuk x di sekitar a?
...)()()( 2210 axcaxccxf
untuk x di sekitar a?
Dengan perkataan lain, apakah kita dapatmencari c c c sehingga deret pangkat dimencari c0, c1, c2, … sehingga deret pangkat diatas konvergen ke f(x) untuk x di sekitar x = a.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8
Misalkan f dapat diuraikan sebagaif p gderet pangkat di sekitar x = aM k til h d il i f( )Maka, c0 mestilah sama dengan nilai f(a). Selanjutnya, jika kita turunkan f terhadap x
maka c1 mestilah sama dengan nilai f’(a)....)(3)(2)(' 2
321 axcaxccxf1
Turunkan lagi terhadap x:)(34)(!3!2)('' 2 axaxccxf
maka c2 mestilah sama dengan ½ f’’(a).
...)(34)(!3!2)( 32 axaxccxf
Dan seterusnya… 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Jadi…Jadi…
Jika f dapat diuraikan sebagai deret pangkatJika f dapat diuraikan sebagai deret pangkat(1)maka fmempunyai turunan setiap orde dan
...)()()( 2210 axcaxccxf
maka fmempunyai turunan setiap orde dan
(2) 210)()(
nafcn
(2)
dengan f (0)(a) = f(a) dan 0! = 1.
,...2,1,0,!
nn
cn
dengan f (a) f(a) dan 0! 1.Tetapi… bagaimana sebaliknya? Jika f (n)(a) adauntuk tiap n, dan c kita hitung dgn rumus (2),untuk tiap n, dan cn kita hitung dgn rumus (2), apakah jumlah deret pangkat (1) sama dgn f(x)? 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Deret Taylor dan Deret MaclaurinDeret Taylor dan Deret Maclaurin
Uraian deret pangkat dari f di sekitar x = aUraian deret pangkat dari f di sekitar x = adisebut deret Taylor untuk f di a, yakni:
)(''f ...)(!2
)(''))((')( 2 axafaxafaf
Jika a = 0, maka deret pangkat tsb disebutderet Maclaurin untuk f, yakni:
...!3
)0('''!2
)0('')0(')0( 32 xfxfxff
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11
!3!2
Polinom dan Suku Sisa TaylorPolinom dan Suku Sisa TaylorMisalkan f fungsi yang mempunyai turunan ke‐(n+1) pada selang terbuka I yang memuat a Maka untukpada selang terbuka I yang memuat a. Maka, untuksetiap x I, berlaku f(x) = Pn(x) + Rn(x) dengan
af )('' 2
n
n
af
axafaxafafxP
)(
...)(!2
)())((')()(
)(
2
dan suku sisa
naxn
af )(!
)(....
dan suku sisa
,)()!1(
)()( 1)1(
nn
n axn
cfxR
untuk suatu c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12
)!1( n
Teorema TaylorTeorema TaylorMisalkan f fungsi yang mempunyai turunan tiaporde pada selang I = (a – r, a + r). Maka, untuksetiap x I, berlaku
...)(!2
)(''))((')()( 2 axafaxafafxf
Jika dan hanya jika
)()1( n cf
d d d
,0)()!1(
)(lim)(lim 1
n
nnnax
ncfxR
dengan c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh 1Contoh 1
Tentukan deret Maclaurin untuk sin x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansin x untuk setiap x R.
Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Contoh 2Contoh 2
Tentukan deret Maclaurin untuk sinh x danperiksa bahwa deret tsb merepresentasikansinh x untuk setiap x R.
Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Beberapa Deret Maclaurin PentingBeberapa Deret Maclaurin Penting
1 21 1 x x 1.
2
1 ...1
x xx
l (1 )2. ln(1 )x
3. 1tan x
4. xe
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 16
Beberapa Deret Maclaurin PentingBeberapa Deret Maclaurin Penting
5 sin x 5.
6
sin x
6. cos x
7. sinh x
8. cosh x
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 17
LatihanLatihan
Tentukan deret Maclaurin untukTentukan deret Maclaurin untuk
1 f(x) = (1 + x)1/2 untuk ‐1 < x < 11. f(x) = (1 + x) / , untuk ‐1 < x < 1.
2 g(x) = tan x untuk –π/2 < x < π/22. g(x) = tan x, untuk –π/2 < x < π/2.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18
9 9 HAMPIRAN TAYLOR TERHADAPMA1201 MATEMATIKA 2A
9.9 HAMPIRAN TAYLOR TERHADAPFUNGSIMenentukan hampiran Taylor terhadapsuatu fungsi di sekitar titik yang ditentu‐
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 19
g y gkan, beserta taksiran kesalahannya
Diferensial & Aproksimasi BerlanjutDiferensial & Aproksimasi Berlanjut
Dengan turunan pertama, kita dapat meng‐hampiri fungsi f di sekitar x = a :
).())((')()( 1 xPaxafafxf
Polinom di ruas kanan tidak lain merupakanpolinom Taylor orde 1 dari f di a
)())(()()( 1fff
polinom Taylor orde 1 dari f di a.
Bila fmempunyai turunan kedua di sekitar x = a, k k l h h d d l hmaka kesalahan penghampiran di atas adalah
,)(!2
)('')( 21 axcfxR
dgn c di antara x dan a.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 20
)(!2
)(1
Hampiran Taylor Orde nHampiran Taylor Orde nJika fmempunyai turunan ke‐(n+1), maka kitadapat menghampiri fungsi f di sekitar x = a dengan polinom Taylor orde n:
).(!
)(...))((')()()(
xPn
afaxafafxf n
n
dengan kesalahan penghampiran
)()()( 1)1(
nn
axcfxR
dgn c di antara x dan a.
,)()!1(
)(1
n axn
xR
g
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 21
Contoh 1Contoh 1
Tentukan polinom Maclaurin orde 4 dari f(x) =Tentukan polinom Maclaurin orde 4 dari f(x) = cos x. Gunakan polinom ini untuk menghampirinilai cos 0 1 Taksirlah kesalahan maksimumnyanilai cos 0.1. Taksirlah kesalahan maksimumnya.
Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22
Contoh 2Contoh 2
Taksirlah nilai e0.1 dengan kesalahan tak lebihTaksirlah nilai e dengan kesalahan tak lebihdaripada 0.01.
Jawab:Jawab:
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 23
Bahan DiskusiBahan Diskusi
Diketahui f(x) = x4 Tentukan polinom TaylorDiketahui f(x) = x . Tentukan polinom Taylor orde 4 dari f di 1. Jelaskan mengapa polinomini menyatakan f secara eksakini menyatakan f secara eksak.
2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 24
top related