ma1201 m12-2 11-04-14

MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014

11 April 2014

Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba12.2 Turunan Parsial12.3 Limit dan Kekontinuan12.3 Limit dan Kekontinuan12.4 Turunan fungsi dua peubah12.5 Turunan berarah dan gradien12.5 Turunan berarah dan gradien12.6 Aturan Rantai12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II12.8 Maksimum dan minimum12 9 Metode pengali Lagrange12.9 Metode pengali Lagrange 

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini

13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

13.2 Integral Berulang

3 3 l i h k13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar

13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 3

13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIMA1201 MATEMATIKA 2A

PANJANGMenghitung atau menaksir integral lipat duaMenghitung atau menaksir integral lipat duaatas persegi panjang dengan menggunakandefinisidefinisi

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Ingat: Integral Tentu untukb hFungsi Satu Peubah

Jumlah Riemann untuk f ,                         ,  n

ii xtf ).(f

merupakan hampiran untuk luas daerahdi bawah kurva y = f(x) x є [a b] Jika

i

iif1

)(

di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika

n

iiiP

xtf10||

).(lim

ada, maka f dikatakan terintegralkanpada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]d d f k b

i 1

didefinisikan sebagai

b

dxxf )(

n

iiPxtf

0||).(lim 1¾ 0 1/3 ½   7/8

10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 5

a

iP 10||

Jumlah Riemann Fungsi Dua PeubahJumlah Riemann Fungsi Dua Peubah

Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} {( ,y) , y }dan f : S R kontinu (kecuali pd suatukurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆x dan lebar ∆y dandengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dandi tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Makadiperoleh jumlah Riemann

k h i l

n

iiii Ayxf

1),(

Syg merupakan hampiran volume ruangdi antara permukaan z = f(x,y) danpersegi panjang S. 

S

p g p j g

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 6

Integral Lipat Fungsi Dua PeubahIntegral Lipat Fungsi Dua Peubah

Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisiMisalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisipada persegi panjang S. Jika

n

ada maka f dikatakan terintegralkan pada S

iiiiP

Ayxf10||||

),(lim

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. Selanjutnya,

n

di b t i t l li t d d i f d S

iiiiP

S

AyxfdAyxf10||||

),(lim:),(

disebut integral lipat dua dari f pada S. 4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7

ContohContoh

Diketahui persegi panjang SDiketahui persegi panjang S= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}. 

T k i il i dAyx864 2

Taksir nilai

dengan jumlah Riemann, 

S

dAy16

g j ,dengan membagi S atas 8 persegi sama besar danmemilih titik‐titik tengahtiap persegi sebagai titik

lsampelnya.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8

Jawab: Kita hitung nilai f di titik titik sampel:Jawab:  Kita hitung nilai f di titik‐titik sampel: f(1,1) = 57/16,   f(1,3) = 65/16,  f(1,5) = 81/16, f(1 7) = 105/16 f(3 1) = 41/16 f(3 3) = 49/16f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16,  f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16,   f(3,7) = 89/16.

L l d ∆A 4 kit l hLalu, dengan ∆Ai = 4, kita peroleh

)(864 82

AfdAyx

4

),(1686

1

iiii

S

AyxfdAyx

.138)89654941105816557(164

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 9

Teorema KeterintegralanTeorema Keterintegralan

Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva)Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang S, 

k f t i t lk d Smaka f terintegralkan pada S.

Contoh: Setiap polinom dua peubahterintegralkan pada sembarang persegiterintegralkan pada sembarang persegipanjang.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 10

Sifat‐Sifat Integral Lipat DuaSifat Sifat Integral Lipat Dua1. Linear: Jika k R, maka

a. . SS

dAyxfkdAyxkf ),(),(

b.

2 Aditif: Jika S = S U S maka

SSS

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

2. Aditif: Jika S = S1 U S2, maka

),(),(),(SSS

dAyxfdAyxfdAyxf

3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y)  S, maka21 SSS

)()( dAyxgdAyxf4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11

.),(),( SS

dAyxgdAyxf

13.2 INTEGRAL BERULANGMA1201 MATEMATIKA 2A

13.2 INTEGRAL BERULANGMenghitung integral lipat dua (pada persegi

j ) b i i t l b lpanjang) sebagai integral berulang

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 12

Menghitung Integral Lipat DuaMenghitung Integral Lipat Dua

Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = f g p p g p j g[a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada Sdapat dihitung sebagai integral berulang:p g g g g

atau d b

dxdyyxfdAyxf ),(),(atau c aS

( , ) ( , ) .b d

f x y dA f x y dydx Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajarsumbu x terlebih dahulu

S a c

sumbu‐x terlebih dahulu.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13

Contoh 1Contoh 1Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8], 

864 2

hitung sbg integral berulang

dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.

S

dAyx16864 2

dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.  

Jawab:

8 4 22

4864 dxdyyxdAyx

0 0 16216

yS

128 2

dy

25124

120

dyy

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 14

.32138

1251296

Contoh 2Contoh 2Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8], 

864 2

hitung sbg integral berulang

dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.

S

dAyx16864 2

dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.  

Jawab:

4 8 22

4864 dydxyxdAyx

0 0 16216

yS

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 15

CatatanCatatanPengintegralan berulang:

Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,

l l h d l l h dlalu terhadap x: lalu terhadap y:

S S

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 16

SoalSoalJika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1], 

hitung sebagai integral berulang.S

xydAxe

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 17

13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAHMA1201 MATEMATIKA 2A

BUKAN PERSEGI PANJANGMenghitung integral lipat dua atas daerahMenghitung integral lipat dua atas daerahbukan persegi panjang

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Bagaimana menghitung integral lipatd d h b kpada daerah bukan persegi panjang?

S

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 19

Integral pada Daerah y‐SederhanaIntegral pada Daerah y Sederhana

Himpunan S disebut y‐sederhanaHimpunan S disebut y sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x y) : u (x) ≤ y ≤ u (x) a ≤ x ≤ b}S = {(x,y) : u1(x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b},

dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. D l h l i i i l f d S d SDalam hal ini, integral f pada S dapatdihitung sebagai

S

b

a

xu

xuS

dydxyxfdAyxf)(

)(

2

.),(),( a b

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 20

a xuS )(1

Integral pada Daerah x‐SederhanaIntegral pada Daerah x Sederhana

Himpunan S disebut x‐sederhanaHimpunan S disebut x sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x y) : v (y) ≤ x ≤ v (y) c ≤ y ≤ d}d

S = {(x,y) : v1(y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d},

dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. D l h l i i i l f d S SDalam hal ini, integral f pada Sdapat dihitung sebagai

S

2 ( )

( )

( , ) ( , ) .v yd

S c v y

f x y dA f x y dxdy c

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 21

1 ( )S c v y

Contoh 1Contoh 1Hitung apabila S adalah daerah tertutup xydA

yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1.

J b

S

Jawab:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 22

Contoh 2Contoh 2Hitung apabila S adalah daerah tertutup x dAe

2

yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dansumbu x

S

sumbu‐x.

Jawab:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 23

Soal 1Soal 1Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang‐bidang koordinat.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 24

Soal 2Soal 2

Hitung apabila S dAx2Hitung apabila S

adalah daerah cincin yg

S

dAx1 20

dibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 25