lec02 non linier equation

PERSAMAAN NON LINIER

KOMPUTASI NUMERIK TERAPAN (KNT) - TK-091356

Persamaan Non Linier

Penyelesaian persamaan non linier, f(x)=0 :

Analitis (sering kali sulit dilakukan/tidak ada)

Pendekatan numerik (successive approximation atau successive approximation –linearization) iteratif

Penentuan akar-akar persamaan non linier.

Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol.

Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu x.

Persamaan Non Linier

Metode Tabel

Metode Bagi-Paruh (Bisection)

Metode Regula Falsi

Metode Iterasi Sederhana

Metode Newton-Raphson

Metode Secant.

Persamaan Non Linier

y=f(x)

y

x

Persamaan Non Linier

Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :

mx + c = 0 Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.

m

cx

a

acbbx

2

42

12

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Metode Tertutup

Mencari akar pada range [a,b] tertentu

Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar

Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen

Metode Terbuka

Diperlukan tebakan awal

xn dipakai untuk menghitung xn+1

Hasil dapat konvergen atau divergen

Metode Tertutup

Metode Tabel

Metode Biseksi

Metode Regula Falsi

Metode Terbuka

Metode Iterasi Sederhana

Metode Newton-Raphson

Metode Secant.

Theorema

Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a)*f(b)<0

Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.

Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.

Metode Table

Metode Table atau pembagian area.

Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel :

X f(x)

x0=a f(a)

x1 f(x1)

x2 f(x2)

x3 f(x3)

…… ……

xn=b f(b)

Metode Table

Contoh

Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [-1,0]

Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [-1,0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :

X f(x)

-1,0 -0,63212

-0,9 -0,49343

-0,8 -0,35067

-0,7 -0,20341

-0,6 -0,05119

-0,5 0,10653

-0,4 0,27032

-0,3 0,44082

-0,2 0,61873

-0,1 0,80484

0,0 1,00000

Metode Table

Contoh : X f(x)

-1,0 -0,63212

-0,9 -0,49343

-0,8 -0,35067

-0,7 -0,20341

-0,6 -0,05119

-0,5 0,10653

-0,4 0,27032

-0,3 0,44082

-0,2 0,61873

-0,1 0,80484

0,0 1,00000

Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [-1,0]

Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [-1,0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :

Metode Table

Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara -0,6 dan -0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6.

Bila pada range x = [-0,6,-0,5] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan f(x) = 0,00447

Kelemahan Metode Table

Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier

Metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.

Metode Biseksi

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian.

Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang (iteratif) hingga diperoleh akar persamaan.

Metode Biseksi

Jika terdapat suatu f(x) yang kontinyu [a,b] dan f(a)*f(b)<0, maka menurut teorema nilai antara paling tidak f(x) mempunyai satu akar [a,b]

Suatu deret hasil iterasi {xn|n0} dikatakan menuju titik dengan derajat p 1, jika :

Jika p=1, deretnya disebut menuju titik secara linier

dalam kasus ini diperlukan nilai c<1, c disebut laju linier dari xn menuju

Tingkat kelajuan metode biseksi :

|-xn+1|cn|-xn|p n0, untuk nilai c>0

|-cn|(1/2)n(b-a)

Metode Biseksi

Metode Biseksi

Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah :

Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.

Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :

f(a) * f(b) < 0

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas

bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

2

bax

Algoritma Biseksi

1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda.

2. Tentukan harga x3 dengan rumus : x3 = (x1 + x2)/2

3. Bila ½| x1 - x2 | Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4.

4. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x1 ), tetapkan x2 = x3

5. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x2 ), tetapkan x1 = x3

6. Kembali ke tahap 2.

Algoritma Start

Read x1, x2, Tol

f1 = f (x1), f2 = f (x2)

f1. f2 > 0

N

x3 = 1/2 ( x1 + x2 )

E = 1/2 .abs( x1 – x2 )

E<Tol

f3 = f ( x3 )

f1. f3 < 0

x1 = x3, f1 = f3

x2 = x3, f2 = f3

Print x3

End

N

N

Y

Y

Y

Contoh

Tentukan akar persamaan f(x)=x3+x2-3x-3=0 dengan metode Biseksi pada interfal [1,2]

Contoh Soal

Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :

Contoh Soal

Dimana x = (a+b)/2 Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan

menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum.

Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error

0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.

Metode Regula Falsi

Metode Biseksi relatif mudah dengan analisa kesalahan sederhana, tetapi tidak efisien

Untuk mempercepat tercapainya konvergensi, dapat menggunakan metode “interpolasi linear”

Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.

Metode ini dikenal dengan metode False Position (Regula Falsi)

Metode Regula Falsi

a c

b f(a)

f(b)

f(x)

ac

af

ab

afbfslope

)()()( 0

)()()(

afbf

abafac

)()()(

afbf

abafac

Metode Regula Falsi

xb

bf

ab

afbf

0)()()(

)()(

))((

afbf

abbfbx

)()(

)()(

afbf

abfbafx

Algoritma

1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda.

2. Tentukan harga x3 dengan rumus :

3. Bila |f(x3)| Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4.

4. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), tetapkan x2 = x3

Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapkan x1 = x2

Kembali ke tahap 2.

)()()(

)(12

12

223 xx

xfxf

xfxx

Metode Regula Falsi

)()(

)(

12

2

12

32

xfxf

xf

xx

xx

)(

)()(

)(12

12

223 xx

xfxf

xfxx

Pada gambar :

Metode Regula Falsi

)()(

)(

12

2

12

32

xfxf

xf

xx

xx

)(

)()(

)(12

12

223 xx

xfxf

xfxx

Contoh :

Metode Regula Falsi lebih cepat daripada metode Biseksi

Contoh Soal

Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]

Contoh Soal

Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]

Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi lebih cepat konvergen dibanding metode Biseksi

Akar didekati hanya dari satu sisi, sehingga untuk fungsi yang mempunyai kelengkungan curam lebih lambat konvergennya

f(x)

x1 x3 x2 x

Metode Regula Falsi

Modifikasi dilakukan dengan posisi f(x) stagnan dibagi 2

f(x)

x1 x3 x2 x

f(x2)/2

Algoritma

1. Pilih harga x1 dan x2 f(x1).f(x2)<0

2. Nyatakan f1 = f(x1) dan f2 = f(x2).

3. Tentukan harga x3 dengan rumus :

4. Bila |f(x3)| Toleransi, harga x3 adalah akar fungsi f(x)=0, bila tidak, lanjutkan ke tahap 5.

5. Bila f(x1)f(x3 ) <0 x2 = x3 dan f2=f3 dan f1=1/2f1 (f stagnan/2)

Bila tidak x1 = x3 dan f1=f3 dan f2=1/2f2

Kembali ke tahap 3.

)()()(

)(12

12

223 xx

xfxf

xfxx

Metode Iterasi Sederhana

Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).

Contoh :

x – ex = 0 ubah x = ex atau g(x) = ex

g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA PENDEKATAN BERTURUTAN

Bentuk f(x) =0 diubah kebentuk x = g(x)

Ada banyak cara untuk merubah bentuk f(x)=0 menjadi x = g(x)

Misal: f(x) = x2 - 2 x - 3 = 0

dapat ditulis dalam bentuk ,

32 xx

2

3

xx

2

32

xx

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

Algoritma:

1.Pilih satu harga x, yaitu x0

2.Hitung harga baru x1: x1 = g(x0)

3.Bila abs((x1-x0)/x0) < tol, x1 = harga x yang dicari. Bila abs((x1-x0)/x0) > tol, lanjut ke 4

4.x0=x1, kembali ke 2

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

Y

X

Y=x

.x0 .x1 .x2

Y

X

Y=x

.x0 .x1 .x2 .x3

Y

X

Y=x

.x0 .x1 .x2

Y

X

Y=x

.x0 .x1 .x2

Syarat Konvergensi :

konvergen

Divergen

1)(' xg

Metode Iterasi Sederhana

Contoh :

Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3

x2-2x-3 = 0

X2 = 2x + 3

Tebakan awal = 4

E = 0.00001

Hasil = 3

32 xx

321 nn xx

Contoh :

x2-2x-3 = 0

x(x-2) = 3

x = 3 /(x-2)

Tebakan awal = 4

E = 0.00001

Hasil = -1

Contoh :

x2-2x-3 = 0

X = (x2-3)/2

Tebakan awal = 4

E = 0.00001

Hasil divergen

Syarat Konvergensi

Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x I iterasi konvergen

monoton.

Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x I iterasi konvergen berosilasi.

Jika g’(x)>1 untuk setiap x I, maka iterasi divergen monoton.

Jika g’(x)<-1 untuk setiap x I, maka iterasi divergen berosilasi.

Contoh :

Tebakan awal 4

g’(4) = 0.1508 < 1

Konvergen Monoton

322

1)('

32)(

321

r

r

rr

xxg

xxg

xx

Tebakan awal 4

g’(4) = |-0.75| < 1

Konvergen Berisolasi

2

1

)2(

3)('

)2(

3)(

)2(

3

xxg

xxg

xx

r

r

Contoh

Tebakan awal 4

G’(4) = 4 > 1

Divergen Monoton

xxg

xxg

)('

2

)3()(

2

Latihan Soal

Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada pencarian akar persamaan :

x3 + 6x – 3 = 0

dengan x

Cari akar persamaan dengan :

x0 = 0.5, x0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7

6

33

1

rr

xx

Contoh :

Metode Newton Raphson

Metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :

n

nnn

xF

xFxx

11

Metode Newton Raphson

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA NEWTON RAPHSON

x

f(x)

1

2

3

4

-

4

-

3

-

2

-

1

xn+1 xn+2 xn

(xn,fn) n

nnn

xf

xfxx

'1

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

1. Pilih satu harga x, yaitu x0

2. Hitung harga baru x1: x1 = x0 - f(x0) / f ’(x0)

3. Bila abs((x1-x0)/x0) < tol, x1 = harga x yang dicari Bila abs((x1-x0)/x0) > tol, lanjut ke 4

4. x0=x1, kembali ke 2

Algoritma:

1'

"2

xf

xfxfSyarat Konvergensi :

Algoritma Metode Newton Raphson

1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f(x0) dan f’(x0) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e Hitung f(xi) dan f1(xi)

6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.

i

iii

xf

xfxx

11

Flow chart Metode Newton-Raphson

start

x0 , Tol

f(x0), f’(x0)

x0=x1

Cetak x1

end

0

01

x

xx

Tol

)(

)('

0

001

xf

xfxx

Y

T

Contoh Soal

Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0

f(x) = x - e-x f’(x)=1+e-x

f(x0) = 0 - e-0 = -1

f’(x0) = 1 + e-0 = 2

5,02

10

0

1

001

xf

xfxx

Contoh Soal

f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653

x2 =

f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762

x3 =

f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.

Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

566311,0

60653,1

106531,05,0

11

11

xf

xfx

567143,0

56762,1

00130451,0566311,0

21

22

xf

xfx

Contoh

x - e-x = 0 x0 =0, e = 0.00001

Contoh :

x + e-x cos x -2 = 0 x0=1

f(x) = x + e-x cos x - 2

f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut:

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.

xF

xF1

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

Tentukan salah satu akar real dari persamaan sin x -(x/2)2 =0 dengan metoda Newton Raphson. Toleransi = 10-5

Contoh 2.5

Penyelesaian:

22/sin)( xxxf

2/cos)(' xxxf

)('/)(1 nnnn xfxfxx

Hasil perhitungan ditunjukkan pada Tabel 2.4

Ite xn f(xn) f'(xn) hn xn+1 (xn+1 - xn)/xn

1 1.5 0.43499 -1.4293 -0.3043 1.80435 0.20289947

2 1.80435 0.15893 -2.0358 -0.0781 1.88242 0.04326702

3 1.88242 0.06596 -2.189 -0.0301 1.91255 0.01600796

4 1.91255 0.0277 -2.2477 -0.0123 1.92488 0.00644463

5 1.92488 0.01168 -2.2716 -0.0051 1.93002 0.00267059

6 1.93002 0.00493 -2.2816 -0.0022 1.93218 0.00111923

7 1.93218 0.00208 -2.2857 -0.0009 1.93309 0.00047124

. .

. .

12 1.93373 2.8E-05 -2.2888 -1E-05 1.93374 6.3244E-06

Tabel 2-4: Metoda Newton Raphson untuk f(x) = sin x -(x/2)2 =0

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

Akar yang dicari : 1,93374

Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.

Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

Hasil Tidak Konvergen

Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson

1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap dapat berjalan.

2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

0' ixf

Metode Secant

Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan

turunan fungsi f’(x).

Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama

fungsi yang bentuknya rumit.

Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara

menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen

Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode

Secant.

1rx 1rx

rx

rx

Metode Newton-Raphson

1

1)()()('

rr

rr

xx

xfxf

x

yxf

)('

)(1

r

rrr

xf

xfxx

)()(

))((

1

11

rr

rrrrr

xfxf

xxxfxx

Algoritma Metode Secant :

Definisikan fungsi f(x)

Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)

Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.

Hitung f(x0) dan f(x1) sebagai y0 dan y1

Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|

hitung yi+1 = f(xi+1)

Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.

1

11

ii

iiiii

yy

xxyxx

Contoh Soal

Penyelesaian

x2 –(x + 1) e-x = 0 ?

METODA BAIRSTOW

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

Metoda ini digunakan untuk mencari semua akar-akar persamaan

polinomial dengan menentukan faktor-faktor kwadratisnya. Berikut ini

akan diterangkan cara menentukan suatu faktor kwadratis dari suatu

polinomial.

METODA BAIRSTOW

Pn (x) = a1 xn + a2 x

n-1 + ......... + an x + an+1

Pn (x) = a1 xn + a2 x

n-1 + ......... + an x + an+1

= (x2 - rx - s)(b1 xn-2 + b2 x

n-3 + ... + bn-1) + { bn (x-r) + bn+1 }

Suatu polinomial drajat n

Polinomial dibagi faktor kwadratis: x2 - rx - s

Polinomial hasil bagi Sisa (residual)

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

a1 = b1 ……………. b1 = a1

a2 = b2 – rb1 ……………. b2 = a2 + rb1

a3 = b3 – rb2 – sb1 ……………. b3 = a3 + rb2 + sb1

‘ ‘

‘ ‘

an = bn – rbn-1 – sbn-2 ……………. bn = an + rbn-1 + sbn-2

an+1 = bn+1 – rbn – sbn-1 ……………. bn+1 = an+1 + rbn + sbn-1

Denagan perkalian dan indentiti:

Diinginkan bahwa bn = 0 dan bn+1 = 0.

bn = bn (r,s); bn+1 = bn+1 (r,s) Terlihat:

Andaikan harga r=r* dan s=s*, merupakan harga r dan s yang

menyebabkan bn = 0 dan bn+1 = 0, maka :

bn (r*, s* ) = 0 dan bn+1 (r*,s* ) = 0.

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

Bila bn (r*, s* ) dan bn+1 (r*,s* ) , diekspansikan menurut deret Taylor

disekitar (r,s) sampai pada suku-suku linier saja , maka :

sss

brr

r

bsrbsrb nn

nn

**** ,,

sss

brr

r

bsrbsrb nn

nn

*1*1

1

**

1 ,,

ss

br

r

bb nn

n

0

ss

br

r

bb nn

n

11

10

Atau:

r = r* - r dan s = s* - s .

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

01

r

b 01

s

b

112 cbr

b

02

s

b

r

brb

r

b

22

311

3 cbs

b

= b2 + rc1 = c2

1

n

n cr

b2

n

n cs

b

n

n cr

b

11

1

n

n cs

b

b1 =a1

c1 = b1

b2 = a2 – rb1

c2 = b2 – r c1

b3 = a3 – rb2 – sb1

c3 = b3 – r c2 –sc1

bn = an – rbn-1 – sbn-2

cn = bn – r cn-1 – s cn-2

bn+1 = an+1 – rbn – sbn-1

cn+1 = bn+1 – r cn – s cn-1

PENENTUAN s

b

s

b

r

b

r

b nnnn

11 ,,,

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

nnn bscrc 21

METODA BAIRSTOW

11 nnn bscrc

Penentuan r* dan s* dari harga r dan s

r = r* - r dan s = s* - s .

2

2

1

211

.

..

nnn

nnnn

ccc

cbcbr

2

2

1

11

.

..

nnn

nnnn

ccc

cbcbs

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW

1. Pilih harga pendekatan awal r dan s, dan pilih harga toleransi.

2. Tentukan b(i) dan c(i) sebagai berikut :

b1 = a1 c1 = b1

b2 = a2 + rb1 c2 = b2 – rc1

bi = ai + rbi-1 + sbi-2 ci = bi – rci-1 – sci-2

( i = 3,4, ….., n+1)

3. Tentukan :

DENOM = (cn-1 )2 - cn . cn-2

4. Bila D E N O M = 0, maka set R = R + 1, S = S + 1 ,dan kembali ke tahap 2 .

Bila DENOM # 0 lanjutkan ke tahap 5.

5. Tentukan DELR dan DELS yaitu :

DELR = [ -bn . cn-1 + bn-1 . cn-2 ] / D E N O M .

DELS = [-bn+1 . cn-1 + bn . cn ] / D E N O M .

6. Tentukan R baru dan S baru yaitu :

Rbaru = Rlama + DELR

Sbaru = Slama + DELS

7. Bila abs(DELR) + abs(DELS) < tol , Rbaru dan Sbaru adalah harga r dan s yang dicari

Bila abs(DELR) + abs(DELS) > tol, r = Rbaru, s = Sbaru, kembali ke 2

Algoritma penentuan faktor kuadratis

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

Contoh 2-5:

Cari semua akar-akar persamaan berikut dengan

metoda Bairstow.

x3 - 6 x2 + 11 x - 6 = 0, Toleransi = 0.05,

Penyelesaian :

Sebagai pendekatan awal, dipilih : r = 0 s = 0,

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

Iterasi 1:

1 - 6 11 -6

r = 0 0 0 0

S =0 0 0

-------------------------------------------------------

1 - 6 11 - 6

r = 0 0 0 0

s = 0 0 0

--------------------------------------------------------

1 - 6 11 -6

bn

bn+1

cn cn-1 cn-2

4,2

.

..

2

2

1

211

nnn

nnnn

ccc

cbcbr

4,3

.

..

2

2

1

11

nnn

nnnn

ccc

cbcbs r* = r +r = 2,4

s* = s +s =3,4 tolSR 8,5

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

Iterasi 2:

1 - 6 11 -6

r = 2,4 2,4 -8,64 13,824

S =3,4 3,4 -12,24

-------------------------------------------------------

1 -3, 6 5,76 - 4,416

r = 2,4 2,4 -2,88 15,072

s =3,4 3,4 - 4,08

--------------------------------------------------------

1 -1,2 6,28 6,576

bn

bn+1

cn cn-1 cn-2

5157,0

.

..

2

2

1

211

nnn

nnnn

ccc

cbcbr

3788,6

.

..

2

2

1

11

nnn

nnnn

ccc

cbcbs r* = r +r = 1,8843

s* = s +s =-2,9788 tolSR 8945,6

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW

Iterasi r s Δr Δs r* s* |Δr|+|Δs|

1 0 0 2,4 3,4 2,4 3,4 5,8

2 2,4 3,4 -0,5157 -6,3788 1,8843 -2,9788 6,8945

3 1,8843 -2,9788 0,6182 1,1135 2,5025 -1,8653 1,7317

4 2,5025 -1,8653 0,3749 -0,0092 2,8774 -1,8745 0,3841

5 2,8774 -1,8745 0,1169 -0,1119 2,995 -1,987 0,2288

6 2,995 -1,987 0,00576 -0,0136 3 -2 0,0194

Jadi faktor kuadratis: x2 -3 x + 2

Iterasi 2:

1 - 6 11 -6

r = 3 3 - 9 0

S =-2 - 2 6

-------------------------------------------------------

1 -3 0 0

Polinomial hasil bagi: x - 3

Berarti: x3 – 6 x2 + 11 x - 6 = ( x2 – 3 x + 2 ) ( x – 3) = ( x – 1) (x – 2) (x – 3)

Akar-akar: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR

METODA BAIRSTOW

N

Start

i=1,N+1

A(i)

NN = N

k = 1

R =0, S=0

i=3,N+1

B(1)=A(1)

B(2)=A(2)+R*B(1)

C(1)=B(1)

C(2)=B(2)+R*C(1)

B(i)=A(i)+R*B(i-1)+S*B(i-2)

C(i)=B(i)+R*C(i-1)+S*C(i-2)

DENOM=C(N-1)^2-C(N)*C(N-2)

DELR=(-B(N)*C(N-1)+B(N+1)*C(N-2))/DENOM

DELS=(-B(N+1)*C(N-1)+B(N)*C(N))/DENOM

R=R+DELR, S=S+DELS

ER=abs(DELR)+abs(DELS)

ER<TOL

No

Yes

A B

A

AA=1, BB=-R, CC = -S

RUMUS ABC

N = N-2

N=1

N=2

X(NN)= -B(2)/B(1)

AA=B(1), BB=B(2), CC=B(3),k = NN-1

CETAK END

RUMUS ABC CETAK END

i=1,N+1

A(i)=B(i) k = k + 2 B

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW

PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW

RUMUS ABC

DISK =BB^2 – 4 * AA * CC

DISK<0 X(k)= -BB/(2*AA) +((√|DISK|)/(2*AA)) i

X(k+1)= -BB/(2*AA) -((√|DISK|)/(2*AA)) i

END

DISK=0 X(k)= -BB/(2*AA)

X(k+1)= - BB/(2*AA)

X(k)= -BB/(2*AA) +((√DISK)/(2*AA))

X(k+1)= -BB/(2*AA) -((√DISK)/(2*AA))

END

END

Y

Y

N

N