kuliah ke-7 integral lipat tiga -...
Post on 14-Dec-2020
29 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Kuliah Ke-1316.7 Integral Lipat Tiga16.8 Koordinat Silinder dan Koordinat Bola
Tujuan Instruksional :Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa akandapat menentukan integral lipat tiga, baik dalamkoordinat siku-siku, dalam koordinat silinder dandalam koordinat bola.
Prasyarat: Prasyarat yang diperlukan adalahpengetahuan tentang integral lipat dua padadaerah umum dan pada koordinat polar.
2
Integral Lipat TigaUntuk fungsi tiga variabel.Analog dengan integral lipat dua, integral lipat tiga padadaerah
Jika fungsi f kontinu pada daerah B, maka
Teorema Fubini juga berlaku.
{ }szrdycbxazyxB ≤≤≤≤≤≤= ,,|),,(
∫∫∫ ∫ ∫ ∫=B
b
a
d
c
s
r
dzdydxzyxfdvzyxf ),,(),,(
3
Hitung:
Jawab:
4
Seperti halnya integral lipat dua, integral lipat tiga dapat jugaberlaku pada daerah umum E.
1. Jenis I { }
.),,(),,(
Jadi),(),(,),(|),,(
),(
),(
21
2
1
∫∫ ∫∫∫∫ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
≤≤∈=
D
yxu
yxuE
dAdzzyxfdVzyxf
yxuzyxuDyxzyxE
Daerah D dapat berupa (Ingat integral lipat dua):1). Segiempat, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.2). Daerah jenis I, D = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}.3). Daerah jenis II, D = {(x,y) | c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}.
5
{ }),(),(,),(|),,( 21 yxuzyxuDyxzyxE ≤≤∈=
6
Contoh: Hitung
dimana E adalah daerah di bawahbidang padakuadran pertama
7
8
9
2. Jenis II{ }
I. jenis di seperti (3)dan (2) (1), berupadapat ),(),(,),(|),,( 21
DzxuyzxuDzxzyxE ≤≤∈=
10
Contoh: Hitung
dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh
dan bidang y = 8
11
12
13
{ }
I. Jenis di seperti (3)dan (2) (1), berupadapat ),(),(,),(|),,(
III Jenis 3.
21
DzyuxzyuDzyzyxE ≤≤∈=
14
Contoh: Hitung volume daerah yang terletak di belakang
bidang dan di depan bidang yz yang
dibatasi oleh dan
15
16
16.8 Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder danKoordinat Bola.
Koordinat SilinderDalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).
P(r, θ, z)
θ
z
r z y
x
17
{ }
{ }
∫ ∫ ∫∫∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
≤≤≤≤=
≤≤∈=
β
α
θ
θ
θθ
θθ
θ
θ
θθθ
θθβθαθ
)(
)(
)sin,cos(
)sin,cos(
(
(
21
21
2
1
2
1
2
1
),sin,cos(V)(
:berikut sebagaisilinder koordinat kesiku -sikukoordinat dari dikonversi
),,(V),,(
)()(,|),( olehpolar koordinat dalamdiberikan dengan
),(),(,),(|),,(dan padakontinu Misal
h
h
rru
rruE
D
h
hE
rdzdrdzrrfdx,y,zf
dAdzzyxfdzyxf
hrhrDD
yxuzyxuDyxzyxEEf
18
Contoh: Hitung dimana E adalah daerah di
bawah bidang dan di atas bidang xy
serta di antara silinder dan
Jawab:
19
20
Contoh: Konversi integral berikut ke koordinat silindris
Jawab:
21
Koordinat Bola
Perhatikan∆ OPP’ :z = ρ cos φr = ρ sin φ
P’’
O
z
φ ρ
x
P(x, y, z) = P(ρ , θ, φ)
θ
z
r z y
x y P’(x, y, 0)
22{ }γϕδβθαρϕθρπϕρ
ϕθρ
ρ
θϕϕρθ
θϕρϕρθ
ρ
≤≤≤≤≤≤=≤≤≥
∆+=++=
∆+=
===
===
∆
,,|),,(.0,0
OP.dengan positif -sumbu antarasudut : OP'.dengan -sumbu antarasudut :
P. ke asalk jarak titi :
)'P'OP' ( ; OPP' ;
cossin maka ,sin karena ; sin
cossin maka ,sin karena ; cos
:'P'OP' Perhatikan
222
bola jari-jari dengan BolaPersamaan
222
222
baE
zx
yxrzyxzr
rrry
rrx
44 344 21
φ
23
Dalam Koordinat Polar :
Dalam Koordinat Bola (Keterangan pada halaman 489)
Jadi, konversi dari koordinat siku-siku ke koordinat bola
drdrd A θ=
{
ϕθρϕρ
θϕρϕρρ
dddds
kiiijk
sinV
)sin)((V
2Ala Luastinggi
=
∆∆∆=∆444 3444 21
∫∫∫ ∫ ∫ ∫=E
b
a
dddfdzyxfγ
δ
β
α
ϕθρϕρϕρθϕρθϕρ sin)cos,sinsin,cossin(V),,( 2
24
Contoh: Hitung
dimana E adalah setengah bola
bagian atas
Jawab:
25
26
Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola
Jawab:
27
28
29
Tugas 1.
{ }
.VHitunglah
0.dan ,1 dibatasiyang pertamaoktan padadaerah adalah Misalkan
20,30,21|),,( dengan
V12 Hitung
E
22
32
∫∫∫
∫∫∫
===+
≤≤≤≤≤≤−=
zd
xxyzyE
zyxzyxE
dzxyE
Tugas 2.
Tugas 3. Gunakan integral lipat tiga untuk mencari volume benda pejal yang dibatasi silinder x2 + y2 = 9 danbidang z = 1 dan x + z = 5.
30
.2 bidangbawah didan -bidang atas di ,4dan 1silinder
-silinder diantara terletak yang pejal bendaadalah dengan ,V Hitung
.1 paraboloidbawah di terletak yang
pertamaoktan di pejal bendaadalah dengan ,V)( Hitung
.V Hitung
4.dan -5 bidangbidang antara didan 16silinder dalam terletak Misalkan
2222
22
23
22
22
+==+=+
−−=
+
+
==−=+
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
xzxyyxyx
Eyd
yxz
Edxyx
dyx
zzyxE
E
E
E
Tugas 4.
Tugas 5.
Tugas 6.
31
Tugas 7.
Gunakan koordinat bola untuk menghitung
E terletak di antara bola-bola x2 + y2 + z2 = 1 dan x2 + y2 + z2 = 4 di oktan pertama.
∫∫∫E
Vzd
sekian
Materi pertemuan 14 : 16.9 Penggantian Variabel
top related