kalkulus lanjut 001

SISTEM KOORDINAT

Pierre Fermat dan Rene Decartes telah memperkenalkan sistem koordinat

yang sekarang kita kenal dengan sistem koordinat kartesius atau siku-siku. Dasar

pemikiran kedua orang Prancis ini ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P

pada bidang dengan dua bilangan (x,y). Setiap bilangan itu menggambarkan jarak

dari dua sumber yang tegak lurus sesamanya.

Y

P(x,y)

0 X

Memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah jalan

satu-satunya untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainnya

ialah menggunakan koordinat kutub.

Koordinat Kutub

Dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan P

sebagai perpotongan antara sebuah lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran dari θ

adalah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub maka (r,θ) dinamakan sepasang

koordinat kutup dari titik P.

P(r,θ)

r

O

1

Hubungan dengan Koordinat Kartesius

Y

P(x,y)

r P(r,θ)

y

0 x X

Cos θ = xr

x = r Cos θ

Sin θ = yr

y = r Sin θ

r = √ x2+ y2 r2=x2+ y2

Tg θ = yx

θ=arc tg yx

2

Contoh

Tentukan koordinat kartesius dari titik(4 ,34π ) !

Peny :

Jika (r,θ) = (4 ,34π )

Maka x=¿ r Cos θ y = r Sin θ

= 4 cos34π ¿4 sin

34π

= 4 cos 540°

4 = 4 sin

540°4

= 4 cos 135° = 4 sin 135°

= 4 .(−12

√2) = 4 .12

√2

= -2√2 = 2√2

Jadi (x,y) = (-2√2 , 2√2)

Tentukan koordinat kutub dari titik (-3, -√3 )

Peny :

Jika (x,y) = (-3, -√3 )

maka

3

r2= x2+ y2

= (−3)2+(−√3)2

= 9 + 3

= 12

r = 2√3

tg θ =yx

= −√3−3

...........................kuadran III

= 13√3

θ = arc tg( 13

√3) θ = 180°+30°

θ=210 °

Jadi (r,θ) = (2√3 , 2100 )

PERSAMAAN KUTUB

a. Persamaan kutub untuk garis

θ°=0 θ°=12π

(θ−θ° ¿

θ°

r=d

cos (θ−θ°)r= dcosθ

r=d

sin θ

4

b. Persamaan kutub untuk lingkaran

θ°

r=2acos(θ−θ°) r=2acosθ r=2a sinθ

c. Persamaan kutub sebuah Konik (elips, parabola, atau hiperbola)

θ°

r=ed

1+eCos (θ−θ°) r=

ed1+eCosθ r=

ed1+eSin θ

Elips (e < 1)

Parabola (e = 1)

Hiperbola (e > 1)

GRAFIK PERSAMAAN KUTUB

Selain grafik persamaan kutub yang berupa garis lingkaran dari konik

terdapat juga grafik persamaan kutub yaitu kardioid, limason, lemniskart, dan

mawar. Walaupun bentuk grafiknya rumit namun persamaannya tetap sederhana

kalau digunakan persamaan kutub.

5

Sifat simetris dapat membantu menggambarkan sebuah grafik. Berikut

ini ada beberapa pengujian kesimetrisan yang berguna dalam koordinat kutub.

a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x, yaitu sumbu kutub dari

perpanjangannya kekiri. Apabila θ diganti dengan –θ akan menghasilkan

persamaan yang sama.

b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y, maka tetap akan

menghasilkan persamaan yang sama (apabila θ diganti dengan π−θ)

c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal apabila r diganti dengan

–r menghasilkan persamaan yang sama.

KARDIOID

Persamaannya r=a±bcosθ

r=a±b sinθ

a , b konstanta yang positif. Grafik dikatakan limason khusus atau kardioid

apabila a = b.

LEMNISKART

Persamaannya r2=±acos 2θ

r2=±a sin 2θ

MAWAR

Persamaannya r=acosnθ

6

r=acosnθ

Grafik persamaan kutub merupakan kurva-kurva berbentuk bunga

mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n

apabila n genap.

Contoh Soal

Limason :

r = 1 – 2 cos θ

misal

θ=0→r=1−2cos0 °=1−2 (1 )=−1

θ=π2→r=1−2 cos90 °=1−2 ( 0 )=1

θ=2 π3→r=1−2cos 120°=1−2 (−1/2 )=2

θ=3 π4→r=1−2 cos135 °=1−2(−1

2√2)=2,4

θ=5 π6→r=1−2cos150 °=1−2(−1

2√3)=2,7

θ=π→r=1−2cos180 °=1−2 (−1 )=3

θ=7 π6→r=1−2cos210 °=1−2(−1

2√3)=2,7

θ=5 π4→r=1−2 cos225 °=1−2(−1

2√2)=2,4

θ=4 π3→r=1−2cos 240°=1−2 (−1/2 )=2

θ=3 π2→r=1−2 cos270 °=1−2 (0 )=1

7

Lemniskart :

r2=8 cos2θ

Penyelesaian :

Misal :

θ=0→r 2=8 cos2 (0 )=8cos0 °=8 (1 )=8→r=√8=±2,8

θ=π12→r2=8 cos2( π12 )=8 cos 30°=8( 1

2√3)=4√3→r=±2,6

θ=π6→r2=8 cos2( π6 )=8 cos 60°=8( 1

2 )=4→r=±2

θ=π4→r2=8 cos2( π4 )=8 cos 90 °=8 (0 )=0→r=0

8

Mawar

r=4cos 2θ

Penyelesaian :

Misal :

θ=0→r=4 cos0 °=4 (1 )=4

θ=π12→r=4 cos 2( π12 )=4 cos30 °=4( 1

2√3)=2√3

θ=π6→r=4 cos 2( π6 )=4 cos60 °=4( 1

2 )=2

9

θ=π4→r=4 cos 2( π4 )=4 cos90 °=4 (0 )=0

Dst ...

Soal :

1. Tentukan koordinat kartesius dari titik (16 , 34π ) !

2. Tentukan koordinat kutub dari titik (6 , 6) !

3. Tentukan koordinat kutub dari titik (0 , 25) !

4. Tentukan koordinat kartesius dari titik (8, 34π ) !

5. Tentukan koordinat kutub dari titik (-5 , 5) !

10

Kunci Jawaban :

1. Jika (r , θ )=¿(16 , 34π )

Maka :

x= r Cos θ y = r Sin θ

= 16 cos34π ¿16 sin

34π

= 16 cos 540°

4 = 16 sin

540°4

= 16 cos 135° = 16 sin 135°

= 16 .(−12

√2) = 16 .12

√2

= -8√2 = 8√2

Jadi (x,y) = (-8√2 , 8√2)

2. Jika (x,y) = (6 , 6)

maka

r2= x2+ y2

= (6)2+(6)2

= 36 + 36

= 72

r = √72

11

= 6√2

tg θ =yx

= 66

.......................kuadran I

= 1

θ = arc tg (1 )

θ = 45°

Jadi (r,θ) = (6√2 , 45 ° )

3. Jika (x,y) = (0 , 25)

maka

r2= x2+ y2

= (0)2+(25)2

= 0 + 625

= 625

r = √625

= 25

tg θ =yx

= 250

= ∞

θ = arc tg (∞ )

θ = 90°

Jadi (r,θ) = (25 , 90 ° )

4. Jika (r , θ )=¿(8 , 34π )

12

Maka :

x= r Cos θ y = r Sin θ

= 8 cos34π ¿8 sin

34π

= 8 cos 540°

4 = 8 sin

540°4

= 8 cos 135° = 8 sin 135°

= 8 .(−12

√2) = 8 .12

√2

= -4√2 = 4√2

Jadi (x,y) = (-4√2 , 4√2)

5. Jika (x,y) = (-5 , 5)

maka

r2= x2+ y2

= (−5)2+(5)2

= 25 + 25

= 50

r = √50

= 5√2

tg θ =yx

= 5

−5

= −1 ..................kuadran IV

θ = arc tg (−1 )

13

θ = 180°−45 °

= 135°

Jadi (r,θ) = (5√2, 135 ° )

Daftar Pustaka

1. Panggabean, A.B. 2008. Kalkulus. Yogyakarta:Graha Ilmu.

14

2. Dra.Lusiana, M.Pd dan Dra. Hj. Farahdiba, M.Pd.2009. Diktat Kalkulus

Lanjutan. Palembang:Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas PGRI Palembang.

15