kalkulus 3

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 1/11

19

1)  (x2 + y2 + 2x) dx + xy dy = 0 ……………………………(a)

x2 dx + y2 dx + 2x dx + xy dy = 0

M = x2 + y2 +2x

 = 2y

 N = xy     = y

  =

  (  )  =

 dx

∫   = ∫

ln F(x) = ln x + C

ln F(x) –  ln x = C

ln

 = C  

 = eC = C

F(x) = C x ; jika C=1   F(x) = x ……………………  (b)

Persamaan (a) dikali persamaan (b)

x [(x2 + y2 + 2x) dx + xy dy ] = 0

(x3 + xy2 + 2 x2 ) dx + x2y dy = 0

M = x3 + xy2 + 2 x2    = 2xy

 N = x2

y  = 2xy

   =

 (   -

 )  

Eksak

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 2/11

19

Solusi Eksak :

M =    x3 + xy2 + 2x2 =

  δu = (x3 + xy2 + 2x2)

∫  = ∫  dx + y2 ∫  dx + 2∫  dx

u =  x4 +  x2y2 +  x3 + C (y) ..(c)

 N = =

= 0 + 2 x2y + 0 + C’ (y) 

= x2y + C’ (y) 

 N = x2y   x2y + C’ (y) = x2y

C’ (y) = x2y - x2y

C’ (y) = 0

∫ = ∫  

C (y) = C ………………………  (d)

Masukkan persamaan (d) ke persamaan (c) didapatkan Solusi Umum

u = x4 +

 x2y2 +

 x3 + C

Solusi Khusus:

u = x4 +

 x2y2 +

 x3 + C

 jika x = 6 ; y = 9 ; u = 0

0 = (6)4 +

 (6)2(9)2 +

 (6)3 + C

0 = 324 + 1458 +144 + C

0 = 1926 + C

C = -1926

u = x4 +

 x2y2 +

 x3 –  1926

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 3/11

19

2). x2  dx –  2xy dy + y2 dx = 0

(x2 + y2) dx –  2xy dy = 0 ……………………………  (a)

M = x2 + y2 

 = 2y

 N = -2xy    = -2y

  =

  (  )   =

  dx

∫   = ∫

 dx

∫   = ∫

 dx

ln F(x) = -2 ln x + C

ln F(x) = -ln x2 + C

ln F(x) + ln x2 = C

ln F(x). x2 = C

F(x). x2 = eC = C   F(x) =

  ; jika C = 1   F(x) =

  …… (b) 

Kalikan persamaan (a) dan (b) :

 (x2 + y2) dx -

  (2xy) dy = 0

  dx +

 dx -  dy = 0

1 

dx +

 dx -  dy = 0

   =

 (   -

 )  

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 4/11

19

M = 1 +

     =

 N = -   

 = 

Solusi Eksak :

M =   

  =     δu = (1 +

  ) dx

∫  = ∫  + y2 ∫  dx

u = x -

 + C (y) …………………. (c) 

 N = =

= 0 -  + C’ (y) 

= -  + C’ (y) 

 N = -

   -

 + C’ (y) = -

C’ (y)  =  +

C’ (y)  = 0

∫   = ∫  

C (y) = C ……………………….  (d)

Masukkan persamaan (d) ke persamaan (c) didapatkan solusi umum

u = x -

 + C

Eksak

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 5/11

19

Solusi Khusus :

u = x -

 + C

 jika x = 6 ; y = 9 ; u = 0

0 = 6

 + C

0 =

 + C

0 = -  + C

C =

C = 7,5

u = x -

 + 7,5

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 6/11

19

3). 2x2 dy = 2x dx –  6 dx

2x2 dy - 2x dx + 6 dx = 0 ……………………………..  (a)

M = -2x + 6

 = 0

 N = 2x2     = 4x

  =

  ( 0 –  4x )  =

 dx

∫   = ∫

ln F(x) = -2 ln x + C

ln F(x) = -ln x2 + C

ln F(x) + ln x

2

 = C

ln F(x). x2 = C

F(x). x2 = eC = C   F(x) =

 jika C = 1   F(x) =

  ……………. (b) 

Persamaan (a) dikali persamaan (b) :

 (2x2 dy –  2x dx + 6 dx) = 0

 dy  dx +

 dx = 0   2 dy

 dx +

 dx = 0

   =

 (   -

 )  

Tidak Eksak

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 7/11

19

M =   +

 = 0

 N =  = 0

Solusi Eksak :

M =   = -

δu =  dx +

 dx

∫  = - ∫

 dx + 6 ∫  dx

U = -2 ln x + (-6)  + c(y)

U = -2 ln x - + c(y)

 N =   =

= 0 - 0 + c(y)

 N = 2 → 2+ cꞌ(y) = 2 

∫   = ∫  

C(y) = 2y + C

c(y) = 2y + C

didapatkan Solusi Umum yaitu : U = -2 ln x - + 2y + C

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 8/11

19

Solusi Khusus :

X = 6 dan y = 9

U = -2 ln x -

 + 2y + C

0 = -2 ln 6 - + 2(9) + C

0 = 3,6 –  1 + 18 + C

C = - 12,6

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 9/11

19

2) x2 dx –  2 xy dy + y2 dx = 0

(x2+y2) dx –  2xy dy = 0 ………………. (a) 

M =

  →  x2+y2  = 2y

 N =  →  -2xy = -2y

  =

  (2y + 2y) dx

  =

  dx

∫

  =

∫

 dx

Ln f(x) = -2 ln x + c

Ln f(x) = -ln x2 + c

Ln F(x) + ln x2 = c

Ln (f(x) . x2) = c

F(x) . x2 = e2 

F(x) =

Misalkan C = 1

F(x) =

 …………… (b) 

Kalikan persamaan (b) ke persamaan (a)

 ( x

2

 + y2

) dx -

 ( 2xy) dy = 0

  +

  dx -  dy = 0

 dx -  dy = 0

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 10/11

19

Solusi eksak :

M =

  →    =

 N =   →    =  

Turunkan

 menjadi -2yx-1 = 2yx-2

M = 

∫  = ∫

∫

  = y2

 ∫  

= y2.

=

U =

 + c (y) …………… (c) 

 N = 

  = (

) + c (y) diturunkan

  =

  + Cꞌ(y) 

∫  = ∫  

C = c (y) ………….(d) 

Dari persamaan (c) dan (d) didapatkan sousi umum (SU)

U =

 = c (y)

7/17/2019 kalkulus 3

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-3-568dd032bf9f7 11/11

19

U =

 + c (su)

Jika x = 1 dan y = 9

0 =

 + C

=

 + C

0 = 81 + C

C = - 81

Jadi didapatkan Solusi Khusus:

U =   –  81