integral lipat-dua atas daerah bukan persegi panjang atina ... · sebuah himpunan s dikatakan...
Post on 11-Mar-2019
287 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Kalkulus Multivariabel IIntegral Lipat-Dua
atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia
2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang.Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang Rdengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinatnya.
Definisikan, f (x , y) =
{f (x , y) jika (x , y) di S0 jika (x , y) di R-S
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R∫∫S
f (x , y)dA =
∫∫R
f (x , y)dA
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
1. Himpunan Sederhana-ySebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunantersebut sederhana pada arah y , artinya bahwa sebuah garispada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titikatau tidak sama sekali).
S = {(x , y) : g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai x , luas penampang yang diperoleh jika benda diiristegak lurus sb-x adalah
A(x) =
y=g2(x)∫y=g1(x)
f (x , y)dy
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalambentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
V =
x=b∫x=a
A(x)dx =
x=b∫x=a
y=g2(x)∫y=g1(x)
f (x , y)dy
dx
atau
∫∫S
f (x , y)dA =
x=b∫x=a
y=g2(x)∫y=g1(x)
f (x , y)dy
dx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
2. Himpunan Sederhana-xHimpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h1(y)dan h2(y) pada selang [c , d ] sedemikian rupa sehingga
S = {(x , y) : h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Untuk tiap nilai y , luas penampang yang diperoleh jika benda diiristegak lurus sb-y adalah
A(y) =
x=h2(y)∫x=h1(y)
f (x , y)dx
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalambentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
V =
y=d∫y=c
A(y)dy =
y=d∫y=c
x=h2(y)∫x=h1(y)
f (x , y)dx
dy
atau
∫∫S
f (x , y)dA =
y=d∫y=c
x=h2(y)∫x=h1(y)
f (x , y)dx
dy
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Contoh:Gunakan integral lipat-dua untuk menentukan volume daritetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang3x + 6y + 4z − 12 = 0.Penyelesaian:Daerah segitiga pada bidang xy yang membentuk alas tetrahedrondilambangkan dengan S . Kita akan menghitung volume bendapadat di bawah permukaan 3x + 6y + 4z − 12 = 0 atau34(4− x − 2y) dan di atas daerah S .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Bidang tersebut memotong bidang xy di garis x + 2y − 4 = 0,suatu ruas yang merupakan bagian dari batas S . Karenapersamaan ini dapat ditulis sebagai y = 2− x
2 dan x = 4− 2y ,maka S dapat dipandang sebagai himpunan sederhana-y
S = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2− x
2}
atau sebagai himpunan sederhana-x
S = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4− 2y , 0 ≤ y ≤ 2}
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum
Dengan memperlakukan bidang S sebagai himpunan sederhana-y(hasilnya sama dengan cara yang lain), maka volume benda padattersebut adalah
V =
∫∫S
3
4(4− x − 2y)dA =
4∫0
2− x2∫
0
3
4(4− x − 2y)dy dx
=
4∫0
3
4
[4y − xy − y2
]2− x2
0dx
=3
16
4∫0
(16− 8x + x2)dx
=3
16
[16x − 4x2 +
x3
3
]40
= 4 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Latihan
Latihan
1 Sketsalah benda padat berikut kemudian tentukan volumenyadengan integral berulang.
a. Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat danbidang z = 6− 2x − 3y
b. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi olehbidang-bidang koordinat dan bidang-bidang 2x + y − 4 = 0dan 8x + y − 4z = 0
c. Benda padat di oktan pertama yang dibatasi oleh silindery = x2 dan bidang-bidang x = 0, z = 0, dan y + z = 1
2 Hitunglah∫∫S
sin(y3)dA, di mana S adalah daerah yang
dibatasi oleh y =√x , y = 2, dan x = 0. Petunjuk: Jika suatu
urutan pengintegralan tidak berhasil, cobalah urutan lainnya.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang
Pustaka
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem ofAdvanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: McGraw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,Jilid 2. Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 SolvedProblems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Kalkulus Multivariabel I
top related