hubungan antara lingkaran-lingkaran - copy

HUBUNGAN ANTARA

LINGKARAN – LINGKARAN

GARIS SINGGUNG

UKURAN SUDUT DAN UKURAN

BUSUR PADA LINGKARAN

LINGKARAN

Lingkaran (circle) adalah kumpulan semua titik di dalam suatu bidang yang berjarak sama dari titik pusat.

HUBUNGAN ANTARA LINGKARAN - LINGKARAN

V V V

>

Keliling (circumference) suatu lingkaran adalah panjang jarak mengelilingi lingkaran tersebut. Keliling ini mencakup .

Jari – jari (radius) adalah ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan suatu titik pada lingkaran. (lihat gb. 5-1)

Setengah lingkaran

Jari -jari Jari -jari

Jari

-jari

Tali Busur

A C

B

O

Busu

r

Busur

Gambar 5-1

Dari definisi lingkaran, dapat diketahui bahwa semua

jari – jari lingkaran adalah kongruen.

• Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan 2

titik sembarang pada lingkaran.

• Diameter adalah tali busur yang melalui pusat

lingkaran; diameter merupakan tali busur terpanjang

& panjangnya 2x panjang jari-jari.

• Sudut-pusat adalah sudut yang terbentuk oleh 2 jari-

jari.

• Busur adalah bagian dari suatu lingkaran. Setengah

lingkaran adalah busur yang berukuran setengah

keliling lingkaran, jadi mencakup .

Busur minor adalah busur yang lebih kecil dari setengah lingkaran. Busur mayor adalah busur yang lebih besar dari setengah lingkaran. Jadi, pada Gambar 5-1, adalah busur pendek dan adalah busur mayor (utama).

Pada gambar 5-1, & memotong .

Busur lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan 2 titik pada keliling.

Jadi, pada gambar 5-2, adalah busur.Diameter lingkaran adalah busur yang melalui titik

pusat.Garis potong lingkaran adalah garis yang memotong

lingkaran tersebut pada dua titik .Garis Singgung(atau tangen) lingkaran adalah garis yang

menyentuh lingkaran tersebut pada satu dan hanya satu titik, berapapun panjangnya garis yang dibuat.

Jadi, pada gambar 5-2, adalah diameter lingkaran tersebut di titik P. P adalah titik kontak atao titik singgung.

Gambar 5-2

Tali Busur

Diameter

o

Garis Potong

Garis Singgung

A B

C D

E F

G H

Poligon-dalam adalah poligon yang sisi-sisinya merupakan busur dari suatu lingkaran

Lingkaran-luar adalah lingkaran yang melewati setiap titik suatu poligon.

Poligon-Dalam Lingkaran -Luar

Jadi, ∆ ABD, ∆ BCD dan segiempat ABCD adalah poligon-poligon dalam pada lingkaran O pada gambar 5-3.

Lingkaran O adalah lingkaran-luar pada segiempat ABCD

D

CB

AO

Poligon-Luar adalah poligon yang semua sisinya merupakan garis singgung suatu lingkaran.

Lingkaran-dalam adalah lingkaran dimana semua sisi suatu poligon merupakan garis singgungnya.

Poligon-Luar Lingkaran-Dalam

Gambar 5-4

Jadi, ∆ ABC adalah poligon luar pada lingkaran O pada gambar 5-4 & Lingkaran O adalah lingkaran-dalam pada ∆ ABC.

B C

A

O

Lingkaran-lingkaran konsentrik adalah lingkaran-lingkaran yang mempunyai titik pusat yang sama.

Lingkaran-lingkaran Konsentrik

Gambar 5-5

AB

C

D

O

P

Jadi, 2 lingkaran pada gambar 5-5 = lingkaran-lingkaran konsentrik, = garis singgung lingkaran-dalam &busur lingkaran-luar. = garis potong lingkaran-dalam & busur lingkaran-luar.

2 lingkaran sama jika panjang jari-jarinya sama, dan 2 lingkaran kongruen jika jari2nya kongruen.

V V

A B

Lingkaran A lingkaran B

2 busur kongruen jika besar derajat dan panjangnya sama.

A

BO

C

DO

m m

Prinsip 1

PRINSIP LINGKARAN

Diameter

Diameter membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama

Jika suatu busur membagi lingkaran menjadi 2 bagian yang sama,maka busur tersebut adalah diameter.

A B

Busur AB = Diameter

Prinsip 2

Prinsip 3

Suatu titik terletak diluar, pada, atau didalam lingkaran tergantung apakah jaraknya dari titik pusat lebih besar

daripada, sama dengan, atau lebih kecil daripada jari-jari lingkaran.

A

B

C

Jari-jari

A > Jari-jari, maka A berada di luar lingkaran

B = Jari-jari, maka B berada pada lingkaran

C < Jari-jari, maka C berada di dalam lingkaran.

PRINSIP 4Jari-jari lingkaran-lingkaran yang sama / kongruen adalah kongruen

A B=

=

O P

A B

O P

PRINSIP 5Diameter lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen adalah kongruen.

A B=

O P

=

C D

O P

pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, sudut-sudut pusat yang kongruen mempunyai busur-busur yang kongruen.

PRINSIP 6

O

A

B

C

D

P

E

F

G

H

O P

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, busur-busur yang kongruen mempunyai sudut-sudut pusat yang kongruen

Prinsip 7

OBA

DC

PFE

HG

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, tali busur-tali busur yang kongruen mempunyai busur-busur yang kongruen.

PRINSIP 8

S

D

C

B

A

T

H

G

F

E

ll ll

ll ll

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, busur-busur yang kongruen mempunyai tali busur yang kongruen.

PRINSIP 9

S

D

C

B

A

T

H

G

F

E

Diameter yang tegak lurus dengan suatu tali busur membagi 2 tali busur tersebut dan juga membagi 2 busurnya.

PRINSIP 10

┴A B

C

D

Garis-berat suatu tali busur melalui titik pusat lingkaran.

PRINSIP 11

OA B

Pada lingkaran-lingkaranyang sama/kongruen, tali busur yang kongruen berjarak sama dari titik pusat.

PRINSIP 12

O

A B

Q

P

C D

R

Q & R : Jarak tali busur dari titik pusat

maka, Q = R

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, tali busur yang berjarak sama dari titik pusat adalah kongruen.

PRINSIP 13

O

AB

Q

P

C D

R

Q & R : Jarak tali busur dari titik pusat

Jika, Q = R maka,

GARIS SINGGUNG

Panjang garis singgung dari suatu titik ke

lingkaran adalah panjang segmen garis singgung tersebut dari

suatu titik tertentu ke titik

singgung

PA

O

Jadi PA adalah panjang garis singgung dari titik P ke lingkungan O pada

Gambar 5-6

Gambar 5-6

PRINSIP GARIS SINGGUNG

PR

INSIP

1

Garis Singgung adalah garis tegak lurus terhadap jari-jari dan menuju titik

singgung

A

BOJari-jari

h

Jadi,garis AB adalah merupakan garis singgung h

yang melalui titik B pada lingkaran O

PR

INSIP

2Suatu garis merupakan garis singgung

lingkaran jika garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari pada ujung terluarnya

A

BOJari-jari

h

Jadi,garis h adalah merupakan garis singgung karena

tegak lurus terhadap jari-jari

OB

PR

INSIP

3Suatu garis melalui titik pusat lingkaran jika garis tersebut tegak lurus terhadap

suatu garis singgung pada titik singgungnya.

Jadi,garis h adalah merupakan garis yang

melalui titik pusat lingkaran karena garis tersebut tegak

lurus terhadap garis singgung A pada titik

singgung B

A

B

Oh

PR

INSIP

4Garis-garis singgung lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran adalah

kongruen

Jadi,

MN & NP = Garis Singgung

PRINSIP 5Ruas garis dari titik pusat lingkaran ke suatu titik di luar

lingkaran membagi-dua sudut di antara garis-garis singgung dari titik tersebut ke lingkaran

Jadi, garis ON membagi-dua sudut diantara

garis-garis singgung MN & NP

Dua lingkaran pada Posisi Relatif yang Berbeda

Garis titik pusat lingkaran adalah garis yang menghubungkan titik pusat

lingkaran.

O O’

Jadi, adalah garis titik pusat

lingkaran O dan O’ pada Gambar 5-7

Gambar 5-7

Lingkaran-lingkaran yang Bersinggungan di Luar

AC

D

R r

O O'

E

p

F

B

Gambar 5-8

Lingkaran O dan O' pada

Gambar 5-8 bersinggungan di luar

pada titik P. adalah garis

singgung dalam kedua lingkaran

tersebut. Garis titik pusat

melewati P, tegak lurus dengan ,

dan panjangnya sama dengan jumlah

jari-jarinya, yaitu R+r. Selain itu,

membagi-dua setiap garis singgung

luar bersama, &

Lingkaran-lingkaran yang Bersinggungan di Dalam

A

R

P

B

rO'O

Gambar 5-9

Lingkaran O & O' pada Gambar 5-9

bersinggungan di dalam pada titik P.

adalah garis singgung luar kedua

lingkaran tersebut. Garis titik pusat

jika diperpanjang melewati

P, tegak lurus dengan , dan

panjangnya sama dengan selisih

antara jari-jarinya, yaitu R+r.

Lingkaran-lingkaran yang Bertumpang-Tindih

BO'O

E

A

C

D

F

P

Gambar 5-10

Lingkaran O & O' pada Gambar 5-10

bertumpang-tindih. merupakan

tali busur bgersama. Jika lingkaran-

lingkaran tidak sama, garis singgung

luar kedua lingkaran tersebut (yang

sama) yaitu & bertemu

di P. Garis titik pusat

merupakan garis-berat dan jika

diperpanjang akan melalui P.

A

PBC

G

H

D

P'

F

E

O'O

Gambar 5-11

Lingkaran-lingkaran yang Saling Terpisah

Lingkaran O & O' pada Gambar 5-11

benar-benar terpisah satu sama lain.

Garis singgung dalam keduanya,

& , bertemu di titik P. Jika

lingkaran-lingkaran tidak sama, garis

singgung luar kedua lingkaran

tersebut, & , jika

diperpanjang, bertemu di titik P. Garis

titik pusat melewati P & P'.

Selain itu , = & =

A

D

C

B

O

Gambar 5-12

Ukuran Sudut dan Ukuran Busur pada Lingkaran

Sudut-sudut mempunyai derajat

yang sama dengan derajat busur yang

dipotong. Jadi, seperti terlihat pada

gambar 5-12, sudut-pusat yang

merupakan sudut siku-siku memotong

busur , sudut-sudut

memotong busur , dan sudut

pusat yang merupakan sudut lurus

memotong setengah lingkaran

berderajat .

Sudut-dalam adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya merupakan tali busur. Sudut yang terlingkupi dalam suatu busur mempunyai titik sudut yang berada pada busur tersebut dan sisi-

sisinya melalui ujung-ujung busur.

B

C

OA

Gambar 5-13

Jadi, memotong dan

terlingkupi dalam

PRINSIP PENGUKURAN SUDUT

PR

INS

IP 1

Sudut-pusat diukur dengan busur yang dipotongnya.

O B

A

Sudut-pusat O

memotong busur AB

(besarnya )

→ m =

PR

INS

IP 2

Sudut-dalam diukur dengan setengah dari busur yang dipotongnya.

B

C

OA

Sudut-dalam A

memotong busur AB

→

PR

INS

IP 3

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen , sudut-dalam yang kongruen

mempunyai busur-busur terpotong yang kongruen

B

C

OA

E

F

PD

PRINSIP 4

Pada lingkaran-lingkaran yang sama/kongruen, sudut-dalam yang mempunyai busur-busur terpotong kongruen adalah

kongruen

B

C

OA

E

F

PD

PRINSIP 5

Sudut-dalam pada busur-busur yang sama/kongruen adalah kongruen

B

C

A

E

F

D

└O D

C

B

A

PRINSIP 6

Sudut-dalam pada setengah lingkaran adalah siku-siku

PRINSIP 7

Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat-dalam bersifat suplementer.

DC

BA

O

PRINSIP 8

Garis-garis yang sejajar memotong busur-busur yang kongruen dalam suatu lingkaran.

D

C

BA

F

EAB : diameter &

Jadi,

memotong busur ECB

& busur ADF

PRINSIP 9

Sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan tali busur ukurannya adalah setengah dari busur yang

dipotongnya

A

B

C

PRINSIP 10

Sudut yang terbentuk oleh 2 tali busur yang berpotongan ukurannya adalah setengah dari jumlah busur-

busur yang dipotong

A

BC

D

1

PRINSIP 11Sudut yang terbentuk oleh dua garis

potong yang berpotongan di luar lingkaran ukurannya adalah setengah

dari selisih busur-busur yang dipotong

A

B

C

ED

PRINSIP 12Sudut yang terbentuk oleh garis singgung dan garis potong yang

berpotongan diluar lingkaran ukurannya adalah setengah dari

selisih busur-busur yang dipotong

A B

C

D

PRINSIP 13Sudut yang terbentuk oleh dua garis

singgung berpotongan di luar lingkaran ukurannya adalah setengah

dari selisih busur-busur yang dipotong

A

B

C

D

Posisi Verteks

Jenis Sudut Diagram Rumus Pengukuran

Metode Pengukuran

Titik pusatLingkaran

Sudut-pusat(gunakan prinsip 1)

Dengan busur yang dipotong

Pada Lingkaran

Sudut-dalam(gunakan prinsip 2)

Dengan setengah busur yang dipotong.

Sudut yang terbentuk oleh garis singgung bdan tali busur (gunakan prinsip 9)

Tabel Prinsip Pengukuran Sudut

A

O

B

C

BA

AB

C

Di dalam lingkaran

Sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang berpotongan (gunakan prinsip 10)

Dengan setengah dari jumlah busur-busur yang dipotong

Di luar lingkaran

Sudut yang terbentuk oleh 2 garis potong (gunakan prinsip 11) Dengan

setengah dari selisih busur-busur yang dipotong

Sudut yang terbentuk oleh garis potong &garis singgung 9gunakan prinsip 12)

1

D

CB

A

A

B

C

D

E

C

BA

D

Sudut yang terbentuk oleh 2 garis singgung (gunakan prinsip 13)

AB

DC

CONTOH SOAL

Buktikan bahwa tali busur yang sejajar pada ujung-ujung diameter panjangnya sama

Penyelesaian

Diketahui : Lingkaran O

. Adalah diameter

Untuk pembuktian : AC = BD

Bukti bahwa : - sesuai dengan gambar dpat diketahui

bahwa

O

D

C

BA

BUKTI 2

A B

D

C

Terbukti karena diameter memotong

lingkaran menjadi 2 buah setengah lingkaran yang

sama & sesuai dengn prinsip lingkaran yang ke-1

A B

adalah diameter

Terbukti karena sesuai dengan prinsip lingkaran

yang ke-1

BUKTI 1

BUKTI 4

C

BA

F

ED

Terbukti sesuai dengan prinsip pengukuran sudut

yang ke-8

Terbukti sesuai dengan definisi dari garis-garis

sejajar

BUKTI 3

A

B C

D

Terbukti sesuai dengan definisi busur-busur yang

kongruen

BUKTI 5

A

B C

D

BUKTI 6

AC = BD

Terbukti: Pada lingkaran, busur-busur

yang sama mempunyai tali busur yang sama

panjangnya.

A

B C

D

SEKIANNNN…………

WASSALAMU’ALAIKUM Wr.

Wb.