hasilkali titik d3

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

HASILKALI TITIK DALAM RUANG DIMENSITIGA

Yulian Sari, M.Si

Pendidikan Matematika

16 Februari 2015

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nisi Vektor

De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).

Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.

Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut

r =�!OP = x i+ y j+ zk

(perhatikan gambar!)

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nisi Vektor

De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).

Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.

Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut

r =�!OP = x i+ y j+ zk

(perhatikan gambar!)

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nisi Vektor

De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).

Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.

Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut

r =�!OP = x i+ y j+ zk

(perhatikan gambar!)

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nitionPenjumlahan dan pengurangan vektor dalam ruang dimensi tigadapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sebarang vektorA = a1i+ a2j+ a3k dan B = b1i+ b2j+ b3k,

A+B = (a1 + b1) i+ (a2 + b2) j+ (a3 + b3) kA�B = (a1 � b1) i+ (a2 � b2) j+ (a3 � b3) k.

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)

dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =

��!OP2 �

��!OP1

= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k

Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,

ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23

Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai

jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a

22 + a

23

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)

dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =

��!OP2 �

��!OP1

= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k

Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,

ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23

Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai

jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a

22 + a

23

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)

dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =

��!OP2 �

��!OP1

= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k

Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,

ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23

Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai

jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a

22 + a

23

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.

Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena

jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1

jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1

jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1

Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.

U =a1jAj i+

a2jAj j+

a3jAjk

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.

Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena

jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1

jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1

jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1

Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.

U =a1jAj i+

a2jAj j+

a3jAjk

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.

Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena

jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1

jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1

jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1

Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.

U =a1jAj i+

a2jAj j+

a3jAjk

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+A

A+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +C

Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)

c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB

(c + d)A =cA+dA1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA

1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nition

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka hasilkali titik dariA dan B, dinotasikan sebagai A �B dinyatakan sebagai berikut.

A �B =(a1, a2, a3) � (b1, b2, b3) =a1b1 + a2b2 + a3b3

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Theorem

Jika θ adalah sudut antara dua vektor bukan nol A dan B dalamruang dimensi tiga, maka

A �B = jAj jBj cos θ

De�nitionDua vektor bukan nol dalam ruang dimensi tiga dikatakan paraleljika dan hanya jika satu dari vektor tersebut adalah perkalian skalardari vektor yang lainnya.

De�nition

Dua vektor bukan nol saling tegak lurus (perpendicular/orthogonal)jika sudut yang dibentuk dari keduanya adalah π/2.

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG