documents.tips sub bab 3 integral komplex
Post on 09-Feb-2016
260 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Matematika Teknik 2 1
Bab 2: Integral Garis(Integral Komplex)
IntegralGaris
Lintasan LintasanTerbuka Tertutup
Fungsi Fungsi Fungsi FungsiAnalitik Non- Analitik Non-
Analitik Analitik
zo ada di luar atau di dalam lintasan
Matematika Teknik 2 2
Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Cara 1:
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y)serta x = x(t) dan y = y(t), maka
b
c adimana ż = dz / dt
dan c adalah suatu lintasanz = z(t), di mana a ≤ t ≤ b
f [z(t)] ż (t) dtf(z) dz =
Matematika Teknik 2 3
Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Cara 1, contoh:y z = 1 + i a) Sepanjang c1
b) Melalui c2 dan c3
c1 Jawab:c3 Persamaan garis
x c1: z(t) = t + i tc2 c2: z(t) = t
c3: z(t) = 1 + i t0 ≤ t ≤ 1
f(z) = Re z = x = ta) ż = (1 + i)
1
o(t)(1 + i) dt = ½ (1 + i)
Matematika Teknik 2 4
Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Cara 1, contoh (lanjutan):b) c2: z(t) = t ż = 1 x = t
c3: z(t) = 1 + i t ż = i y = t1 1
o o
Latihan:Hitung f(z) dz jika:
c1) f(z) = az + b c garis lurus dari
-1 - i ke 1 + i2) f(z) = Im (z 2) dari 0 ke 2 + 4 ia) sepanjang garis lurusb) melalui sumbu x kemudian naikc) melalui parabola y = x 2
(t)dt + i dt = ½ + i
Matematika Teknik 2 5
Integral GarisJika z = x + iy, makaf(z) = f (x + iy) = u(x,y) + i v (x,y)sehingga c f(z) dz
dalam domain D akan tergantung:* bentuk f(z), analitik atau tidak
dalam domain D* bentuk lintasan C,Jika f(z) analitik, maka c f(z) dztidak akan tergantung pada lintasan
Matematika Teknik 2 6
Integral Garis (dengan bantuan lintasan)Contoh:
Hitung dz c adalah lingkaranc z satuan ccw
z (t) = cos t + i sin tdz/dt = - sin t + i cos t 0 ≤ t ≤ 2π
dz 2π - sin t + i cos tc z 0 cos t + i sin t
2π
0
Cara lain: z = e it 1/z = e -it
dz = i e it dtdz 2π
c z 0= e -it i e it dt = 2πi
= dt
= dti = 2πi
Matematika Teknik 2 7
Integral Garis (secara langsung)Cara 2:
Jikamaka
b
c a= F(b) - F(a)
c lintasan dari a sampai ke b
Contoh, hitung f(z) dz jikac
f(z ) = z cos z dari πi sampai ke 0f(z) = (z 2 - 1) 3 dari i ke 2if(z) = sin 2 z dari - πi ke π i
F (z)
f (z) dzf(z) dz =
f(z) =
Matematika Teknik 2 8
Integral Garis (secara langsung)Contoh:
Hitungc
c adalah parabola y = x 2
dari 0 sampai ke 1 + iJawab: z = x + iy maka Re z = x
dz = dx + idydy = 2x dx
batas integrasi: x dari 0 1maka
c cx dx + ix dy = x dx + ix (2x dx) =
1
1/2 x 2 + 2/3 ix 3 = 1/2 + 2/3 i0
Re z dz
Re z dz = x (dx + idy) =
Matematika Teknik 2 9
Integral Tertutup
cJika tidak analitik di dalam D,maka akan ada harganya.
dzc z
c adalah lingkaran satuan, ccw
Jika f(z) analitik dalam domain D, dan c adalah setiap lintasan tertutup sederhana di dalam D.
maka f(z) dz = 0
= 2πi
Matematika Teknik 2 10
Teori Integral CauchyDefinisi:
f(z) dz = 0c
Hitung: (z 2 - 3z) dzc dimana
c lintasan tertutup dari a ke amaka hasilnya a
= 2/3 z 3 - 3/2 z 2 = 0a
Jika f(z) analitik dalam domain D yang terhubung sederhana, maka untuk setiap lintasan tertutup c di dalam D, berlaku:
Contoh
Matematika Teknik 2 11
Integral TertutupContoh:
Hitung: 7z - 6c z 2- 2z
c adalah lingkaran satuan ccwJawab 7z - 6
c z 2- 2z3
c z z - 23 c lingkaran
c z satuan
4 karena f(z)c z-2 analitis di D
f(z) tidak analitis di z = 2
+ dz = 6πi
dz
4 0+
dz =
dz =
dz =
6πi
0
Matematika Teknik 2 12
Integral TertutupMetoda ResiduJika f(z) analitik di mana-manadi dalam dan pada c, makanilai integral f(z) dz akan = 0.Tetapi jika f(z) memiliki sebuahsingularitas di sebuah titik z = zo
di dalam c, tetapi selain di titik tsb analitik di dalam dan pada c , makaf(z) akan memenuhi deret Laurent :
∞z - zo (z-zo)
2
n=o + . . .maka f(z) dz = 2 π i b1
di mana c melingkupi zo, ccw
b2b1+ao(z - zo)n
+∑f(z) =
Matematika Teknik 2 13
Metoda Residub1 disebut residu dari f(z) untuk z = zoditulis: Residu f(z) = Res f(z) = b1
b1 adalah koefisien dari suku (z - zo) yang berpangkat -1
Contoh, cari residu dari f(z) = z-4sin zJawab: sin z 1 z
z4 z3 3!z 5!maka b1 = 1/3! = 1/6
sehingga sin z -π ic z4 3
+
z = zoz = zo
= -
dz =
1+
Matematika Teknik 2 14
Dua cara mencariResidu1) Cara limit:
Res f(z) = lim (z-zo) f(z)
2) Cara turunan:p(z)q(z)
dan q(z) dapat dideferensiir,maka
p(zo)q'(zo)
di mana q'(zo) = dq / dz z = zo
z = zo z zo
Jika f(z) =
z = zo
Res f(z) =
Matematika Teknik 2 15
Contoh mencari titik pole (titik singular)Cari Res f(z) pada titik-titik polenya
9z + iz(z 2 + 1)
Jawab: Res f(z) = lim (z-zo) f(z)
9z + i 9z + iz(z 2 + 1) z(z + i)(z - i)
ada 3 titik pole:zo1 = 0 (pole tunggal)zo2 = i (pole tunggal)zo3 = - i (pole tunggal)
f(z) =
z = zo z zo
=
Matematika Teknik 2 16
Contoh mencariResidu cara limitJawab:a) Res
lim (z - 0) 9z + iz o z (z + i)(z - i)
9(0) + i i(0 + i)(0 - i) 1
b) Res
lim (z - i) 9z + iz i z (z + i)(z - i)9(i) + i 10 i(i)(i + i) - 2
z = i
9z + iz = 0 z(z 2 + 1)
= = i
9z + i
= = - 5i
=
=
=
=
z(z 2 + 1)
Matematika Teknik 2 17
Contoh mencariResidu cara TurunanCari Res f(z) pada titik z = - i
p(z)z(z2 + 1) q(z)
q(z) =q'(z) =
p(zo)q'(zo)
= 4i
z = - i
=9(-i) + i
3(-i) 2+1
=
z 3 + z3 z 2+ 1
f(z) = 9z + i = 9z + iz 3 + z
z = - i=
maka Res f(z)=
9z + i
3 z 2+ 1
Matematika Teknik 2 18
Residu Orde m
z = zom -1
d mm -1
z zo dz
Contoh, cari residu 50zdi z = 1 (z +4)(z -1)2
Res f(z) =
f(z)]1
lim(m -1)!
[(z -zo)
Matematika Teknik 2 19
Residu Orde mContoh:Contoh, cari residu 50z
di z = 1 (z +4)(z -1)2
Jawab: zo = 1 , m = 2
(z - 1)2 50 z 50z(z +4)(z -1)2 z + 4
Res f(z) = 1 d 50zz = 1 (2 - 1)! dz z + 4
= 50(z + 4) -1 - 50z (z + 4)-2
z = 1= 50 / 5 - 50 / 25 = 10 - 2 = 8
(z -zo)m f(z) = =
Matematika Teknik 2 20
Nilai Integral dengan beberapa Residu
k
c j = 1 z = zo
Contoh, hitung: 4 - 3zc z 2 - z
a) c melingkupi 0 dan 1b) c melingkupi 0 sajac) c melingkupi 1 sajad) c tidak melingkupi 0 dan 1
dz
Jika ada beberapa titik pole ber-ada di dalam atau pada lintasan c, maka nilai integral menjadi:
f(z) dz = 2π i ∑ Res f(z)
Matematika Teknik 2 21
Contoh Integral dengan beberapa Residu4 - 3z 4 - 3zz 2 - z z (z - 1)
Res 4 - 3z lim z(4 - 3z)z = 0 z (z - 1) z o z (z - 1)
= (4 - 0) / (0 - 1)= - 4
Res 4 - 3z lim (z-1)(4-3z)z = 1 z (z - 1) z 1 z (z - 1)
= (4 - 3) / 1 = 1a) f(z)dz = 2πi (- 4+1) = - 6πib) f(z)dz = 2π i (- 4) = - 8π ic) f(z)dz = 2π i (1) = 2π id) f(z)dz = 2π i (0) = 0
=
=
=
Matematika Teknik 2 22
Cara lain mencari titik pole4 - 3z 4 - 3z a bz 2 - z z (z - 1) z z - 1
a & b dicari dari:a (z - 1) + b(z) = 4 - 3z
(a + b) z - a = 4 - 3z
a + b = -3 a = - 4- a = 4 b = 1
sehinggaRes 4 - 3z
z = 0 z 2 - zRes 4 - 3z
z = 1 z 2 - z= b = 1
+
maka
a= = - 4
= =
Matematika Teknik 2 23
Latihan: Cari Residu pada setiap titik polenya
1) (z 4) / (z 2 - iz + 2)
2) 2 / (z 2 - 1) 2
3) (z - 23) / (z 2 - 4z - 5)
4) (-z 2- 22z + 8) / (z 3 - 5z 2 + 4z)
5) (3z + 6) / (z + 1)(z 2 + 16)
Matematika Teknik 2 24
Hitung Int. f(z)dz dengan f(z) dan lintasan tertutup c sbb:1) (9z - 8)/(z 2+ z - 6)
c= lingkaran | z - i | = 4, cw2) (iz - 1)/(z 2- iz + 2)
c= lingkaran | z - 1| = 3, cw3) (15z + 9)/(z 3- 9z)
c= lingkaran | z +2 + i| = 3, ccwUntuk soal-soal berikut,c = lingkaran satuan ccw4) (30z 2- 23z +5)/(2z -1)2(3z -1)5) (1 - 4z + 6z 2)/(z 2+ 1/4)(2 - z)6) (z + 4)3/(z 4+ 5z 3+ 6z 2)
top related