deret taylor
Post on 02-Jul-2015
2.891 Views
Preview:
TRANSCRIPT
• DANDY RAMADITYA (34996)• FANNY ARDHY PRATAMA (35018)• MUHAMMAD ABDULLAH (35099)• AWANG FAIZAL (35145)• RIDWAN WICAKSONO (35189)• ADITYA SAPTA NUGRAHA (35217)
DERET TAYLOR
sekilas…• Deret taylor menjadi konsep dasar dalam
pengembangan metode numerik.• Beberapa metode aproksimasi merupakan
pemenggalan dari deret ini.• Deret Taylor merupakan model aproksimasi
terhadap suatu fungsi f(x).• Deret Taylor menyediakan sarana untuk
memprediksi nilai fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunanya pada titik lain.
Maclaurin (Power) SeriesDeret Maclaurin adalah penaksiran
polinom derajad tak hingga
Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi
sebenarnya, bukan penaksiran lagi!
!)0(
!2)0('')0(')0()(
)(
2
n
xf
xfxffxf
nn
Deret TAYLORDari awal kita selalu memulai perkiraan
pada nilai x=0;Sesungguhnya, kita bisa membuat deret
polinom yang berasal dari titik manapun, x=x0 ;
<Ini disebut Taylor Series>
Jadi, Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0;
Misal fungsi f(z) analitik pada | z - z0 | < R0 . Maka untuk setiap titik z pada lingkaran itu, f(z) dapat dinyatakan sebagai :
Jika fungsi f(z) diganti dengan f(x) dan x=a berada pada interval x, maka
Rumusan di atas disebut deret Taylor
Rumusan di tadi dapat dimodifikasi menjadi :
Tn (x) disebut Polinom Taylor orde ke-n dan Rn(x) disebut remainder
Rumus-rumus umum…
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
...)(!)(
....)(!2)(''
)(!1)('
)()( 2 nn
axnaf
axaf
axaf
afxf
n
n
in
iiii Rn
xxf
xxf
xxfxfxf
!
)(!2
)(!1
)()()(2
1
ii xxx 1
Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga;
Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
Ini sama dengan konsep polynomial approximations
Truncated Taylor Series
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
Contoh soal 1 <Deret Taylor>Bentuklah Deret Taylor untuk :
Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1
CONTOH SOAL…
1),ln()( 0 xxxf
Contoh soal 1
0)1ln()()ln()( 0 xfxxf
11
1)(
1)( 0 xfx
xf
11
1)(
1)(
202 xf
xxf
11
0)(
1)(
)1()!1(1
)1()!1()(
)1()!1()(
nn
nn
n
nn
nn
xf
x
nxf
21
2)(
2)(
303 xf
xxf
Menggunakan rumus umum =>
Contoh soal 1
!
)1()1()!1(
!3
)1(!2
!2
)1()1(0)ln(
1
32
n
xn
xxxx
nn
n
x
xxxx
nn )1()1(
3
)1(
2
)1()1()ln(
1
32
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
Contoh soal 2 <Deret Taylor>
Cari deret taylor dari f(x) = 1/x pada a=2?
Apakah deret tersebut konvergen pada 1/x?
Contoh soal 2
Deret Taylornya…
Contoh soal 2
Deret tersebut berupa deret geometris:a= ½r=-(x-2)/2
Konvergen saat| x-2 | < 2Jumlah = a/(1+r)
Contoh soal 2
Contoh soal 3 <Deret Taylor>
Cari deret Taylor dari f(x)=ex saat x=0
Kita tentukan rumus umum utuk : f(n) (a) Kita dapatkan bahwa f(n) (x) = ex
untuk
=> n =0,1,2,3 …maka:
f(n) (0) = e0 = 1
Contoh soal 3
Maka deret Taylor untuk f(x) = ex untuk x=0
Contoh soal 3
Contoh soal 4 <Deret Taylor>
Cari deret Taylor dari f(x) = sin x untuk x= 0
Contoh soal 4
Contoh soal 4
Contoh soal 5 <Deret Taylor>
Cari deret taylor dari f(x)=x3-10x2+6 saat x=3
Contoh soal 5
Deret taylor ini akan berakhir setelah n=3 . Hal ini akan selalu terjadi ketika kita menemukan deret taylor polinomial. Penyelesaian untuk deret taylor ini :
Contoh soal 5
Contoh soal 6 <Deret Taylor>
Cari deret taylor dari f(x)=cos(x) saat x=0
Contoh soal 6
Setelah itu kita masukkan yang telah kita dapatkan ke dalam deret taylor…
Contoh soal 6
Lalu kita keluarkan nilai nol dan kita urutkan kembali, dan didapat :
Setelah renumbering, dapat kita buat perumusan deret taylornya sbb :
Contoh soal 6
Jazakumullah…
top related