calculus 2 pertemuan 1

CALCULUS 2

Amalia Indrawati Gunawan, S.Pd. M.PMat.

in Suryakancana University Cianjur

INTEGRAL

• Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

• Persamaan Diferensial Sederhana

• Notasi Sigma dan Luas Daerah di

Bawah Kurva

• Integral Tentu

• Teorema Dasar Kalkulus

• Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

• Substitusi dalam Penghitungan Integral

Tentu

Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

Fungsi F disebut anti-turunan f pada selang 𝐼 apabila :

𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼.

Sebagai contoh,

𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 1Merupakan anti turunan dari

𝑓 𝑥 = 2𝑥 pada ℝ

Secara umum, keluarga fungsi 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 𝐶 merupakan

anti-turunan dari 𝑓 𝑥 = 2𝑥 pada ℝ karena 𝐹′ 𝑥 = 2𝑥 = 𝑓 𝑥untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.

Keluarga fungsi anti-turunan 𝑓 𝑥 disebut integral tak tentu

dari 𝑓 𝑥 dan dilambangkan dengan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥. Jadi, sebagai

contoh,

2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶

Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

Secara grafik, keluarga fungsi anti-turunan 𝑓 𝑥 adalah

keluarga fungsi yang anggotanya merupakan pergeseran

ke atas atau ke bawah dari anggota lainnya. Semua

anggota keluarga fungsi tersebut mempunyai turunan

yang sama, yaitu 𝑓 𝑥 .

Keluarga fungsi yang turunannya sama

Diketahui fungsi𝐹 𝑥

dan turunannya.

𝐹 𝑥 𝐹′ 𝑥

𝑥2 + 2 2𝑥

𝑥2 2𝑥

𝑥2 − 3 2𝑥

Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

Apakah setiap anti turunan 𝑓 𝑥 = 2𝑥 berbentuk

𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 𝐶 ?

Jawaban : Iya. Ini menurut Teorema 4.8.B, yang mengatakan

bahwa dua fungsi dengan turunan sama hanya berbeda

dalam konstanta.

Terkait dengan perbendaharaan turunan yang telah kita

pelajari sebelumnya, kita mempunyai beberapa teorema

berikut tentang integral tak tentu.

Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika 𝑟 ∈ ℚ, dan 𝑟 ≠ −1, maka

𝑥𝑟 𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶

Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x)

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 dan 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶

Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)

Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka :

i. 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ;

ii. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥;

iii. 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥;

Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum)

Jika 𝑟 ∈ ℚ, 𝑟 ≠ −1, dan g adalah fungsi yang mempunyai

turunan, maka

[𝑔 𝑥 ]𝑟𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =[𝑔 𝑥 ]𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶

* (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛=

1

𝑎(𝑛+1)(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1

Contoh : Anti Turunan Integral Tak Tentu

1. 𝑥7 + 5𝑥 28 7𝑥6 + 5 𝑑𝑥 = ⋯

2. 𝑠𝑖𝑛12𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ⋯

Persamaan Diferensial Sederhana

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Dalam bahasa diferensial : Jika 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥), maka:

𝑑𝐹 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥Sehingga

𝑑𝐹 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Bentuk ini dinamakan persamaan diferensial. Secara umum,

persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan

turunan fungsi.

Persamaan Diferensial Sederhana

Secara geometris, masalah menyelesaikan persamaan

diferensial𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐹′(𝑥) sama dengan masalah mencari

lengkungan yang garis singgungnya di setiap titik sudah

diberikan.

Contoh : Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2)

dan mempunyai kemiringannya pada setiap titik pada kurva

sama dengan dua kali absis (koordinat-x) titik tersebut.

Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x).

Kondisi yang harus berlaku di setiap titik (𝑥, 𝑦) pada kurva.

Maka, dalam bahasa diferensial, informasi di atas

mengatakan bahwa :𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥Integralkan kedua ruas,

Persamaan Diferensial Sederhana

𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑦 + 𝐶1 = 𝑥2 + 𝐶2

𝑦 = 𝑥2 + 𝐶2 − 𝐶1𝑦 = 𝑥2 + 𝐶

Karena kurva melalui titik (1,2), maka

kita memiliki titik 𝑦 = 2 dan 𝑥 = 1 ,

sehingga :

𝑦 = 𝑥2 + 𝐶2 = 12 + 𝐶𝐶 = 1

Kita simpulkan bahwa 𝐶 = 1, 𝑦 = 𝑥2+ 𝐶

Metode Pemisahan Variabel

Secara umum, tidak ada prosedur baku untuk mencari

solusi persamaan diferensial. Untuk saat ini

pembicaraan akan dibatasi pada persamaan

diferensial yang sangat sederhana. Metode pencarian

solusinya menggunakan metode pemisahan variabel.

Prinsip dari metode ini adalah mengumpulkan semua

suku yang memuat peubah 𝑥 dengan 𝑑𝑥 dan yang

memuat peubah 𝑦 dengan 𝑑𝑦, kemudian diintegralkan.

Selesaikan persamaan diferensial dengan

penyelesaian kedua buah ruas:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥 + 3𝑥2

𝑦2

kemudian cari penyelesaian bilamana 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 1.

Metode Pemisahan Variabel

Pengecekkan akhir pada pekerjaan kita adalah mengganti hasil ini

pada kedua ruas dari persamaan diferensial semula untuk melihat

apakah ia benar. Dengan menggantikan pada ruas kiri, diperoleh :

Notasi Jumlah dan Sigma

Penjumlahan deret 𝑛 bilangan 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+𝑎𝑛 dilambang

kan dengan notasi sigma :

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛

Dengan 𝑎𝑖 ∈ ℝ

Teorema 5 (Kelinearan Sigma)

Notasi Jumlah dan Sigma

Beberapa jumlah khusus (dengan indeks i berjalan dari 1

sampai dengan n):

• 𝑖=1𝑛 𝑖 = 1+ 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =

𝑛(𝑛+1)

2

• 𝑖=1𝑛 𝑖2 = 1 + 4 + 9 +⋯+ 𝑛2 =

𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6

• 𝑖=1𝑛 𝑖3 = 1 + 8 + 27+⋯+ 𝑛3 =

𝑛(𝑛+1)

2

2

• 𝑖=1𝑛 𝑖4 = 1 + 4 + 9 +⋯+ 𝑛2 =

𝑛(𝑛+1)(6𝑛3+9𝑛2+𝑛−1)

6

Contoh : Tentukan nilai dari 𝑖=1𝑛 [ 𝑖 − 1 4𝑖 + 3 ]

Luas Daerah di Bidang

Dalam bentuk sederhana, luas memenuhu lima sifat :

• Luas sebuah daerah rata adalah bilangan (riil) tak negative

• Luas persegi-panjang adalah hasil kali panjang dan lebar

(diukur dalam satuan yang sama)

• Daerah kongruen memiliki luas yang sama

• Luas dari gabungan dua daerah yang hanya berimpit

menurut satu ruas garis sama dengan jumlah luas kedua

daerah tersebut

• Jika satu daerah terkandung di dalam daerah yang kedua,

maka luas daerah pertama kurang dari atau sama dengan

luas yang kedua.

Luas Daerah di Bidang

Bila kita meninjau suatu daerah dengan batasmelengkung, masalah penentuan luas menjadi lebih sukar.Tetapi lebih dari 2000 tahun silam, Archimedesmenyediakan kunci untuk suatu penyelesaian. Katanya,pandang satu barisan polygon dalam yang menghampiridaerah melengkung dengan kecermatan yang semakinbesar.

Luas Daerah di Bidang

Luas Daerah di Bidang

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

Luas Menurut Poligon-Poligon Luar

lim𝑛→∞𝐿 𝑅𝑛 =

26

3

Jelas 𝐾 ≤ 𝐿 𝑅𝑛 sehingga

𝐾 ≤ lim𝑛→∞𝐿 𝑅𝑛 =

26

3

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam

Luas Daerah di Bidang

Integral TentuNewton dan Leibniz keduanya memperkenalkan versi yang

dini dari konsep integral tentu. Tetapi Riemannlah yang

memberikan kita definisi modern. Dalam perumudan definisi

integral tertentu, dipedomani oleh pemikiran yang dibahas

sebelumnya. Gagasan pertama adalah jumlah Riemaan.

Integral Tertentu

Contoh : Halaman 275, Contoh 1 dan 2

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu

Secara umum, 𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menyatakan batasan luas daerah

yang tercakup diantara kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-x dalam

selang [𝑎, 𝑏] , yang berarti bahwa tanda positif akan

diberikan pada luas bagian-bagian yang berada di bagian

atas sumbu-x, dan tanda negative diberikan untuk luas

bagian-bagian yang berada di bawah sumbu-x. Secara

simbolik,

Sifat-sifat Integral Tentu

Sifat-sifat Integral Tentu

Contoh : Halaman 279, Contoh 3 dan 4