bab kebarangkalian

TR1713 - Bab 4 1

Bab 4 : Kebarangkalian dan Peristiwa

4.1 Istilah-istilah asas dalam kebarangkalian.4.2 Pendekatan kebarangkalian

4.2.1 Kebarangkalian klasik4.2.2 Kebarangkalian kekerapan relatif

4.3 Petua penambahan4.3.1 Peristiwa saling eksklusif 4.3.2 Peristiwa pelengkap.

4.4 Petua hasil darab4.4.1 Peristiwa merdeka 4.4.2 Kebarangkalian bersyarat

4.5 Teorem Bayes4.6 Pilihatur4.7 Gabungan

TR1713 - Bab 4 2

Pengenalan

Kebarangkalian adalah satu bahagian yg penting dlm statistik. Kebarangkalian adalah asas kpd statistik inferensi >> kita membuat kesimpulan atau keputusan merujuk kpd keadaan-keadaan yg tidak pasti.

TR1713 - Bab 4 3

Objektif

1. Mengenalpasti dengan lebih jelas konsep kebarangkalian.

2. Mengenalpasti setiap elemen dalam kebarangkalian dan peranannya.

3. Mengenalpasti petua kebarangkalian dan prosidur setiap petua.

4. Mengenalpasti lebih jelas apa itu pilihatur dan jenisnya.

TR1713 - Bab 4 4

4.1Istilah – Ujikaji

Satu proses yg apabila dilaksanakan, akan menghasilkan satu dan hanya satu keputusan

yg diperolehi daripada banyak cerapan.

Ujikaji

Siri-siri percubaan yg menghasilkan semuayg mungkin dgn setiap cubaan

menghasilkan set kesudahan tertentu.

TR1713 - Bab 4 5

4.1Istilah – Ujikaji

Contoh 4.1: Ujikaji melambung dadu. Ujikaji melambung sekeping duit

syiling.

TR1713 - Bab 4 6

4.1Istilah – Kesudahan

Kesudahan

•Setiap cerapan dinamakan kesudahandimana kesudahan itu diperolehidaripada ujikaji.•Cerapan yang wujud dr ujikaji.

TR1713 - Bab 4 7

4.1Istilah – Ruang Sampel

Ruang sampel

•Set yg mengandungi semua kesudahan ygmungkin drp satu ujikaji.

•Ruang sampel disimbolkan sbg S.

•Setiap elemen di dlm ruang sampel dinamakan titik sampel.

TR1713 - Bab 4 8

4.1Istilah – Ruang Sampel

Contoh 4.2: Ujikaji melambung dadu

S = {1,2,3,4,5,6} Ujikaji melambung sekeping duit syiling

S = {A,G} Ujikaji kelahiran bayi

S = {lelaki, perempuan}

TR1713 - Bab 4 9

4.1Visualisasi - Gambarajah Venn

Contoh 4.3: Ujikaji kelahiran bayi

S = {lelaki, perempuan}

lelaki perempuan

S

TR1713 - Bab 4 10

4.1Visualisasi - Gambarajah Pokok

Contoh 4.4: Ujikaji kelahiran bayi

lelaki

perempuan

lelaki

perempuan

S = {lelaki, perempuan}

TR1713 - Bab 4 11

4.1Visualisasi - Gambarajah Pokok

Contoh 4.5: Ruang sampel bagi ujikaji melambung 2

keping duit syiling

G

A

A

A

G

G

GG

GA

AG

AA

S = {GG, GA, AG, AA}

TR1713 - Bab 4 12

4.1Istilah – Peristiwa

Peristiwa

Satu himpunan atau lebih kesudahan-kesudahan bagi satu ujikaji

TR1713 - Bab 4 13

4.1Istilah – Peristiwa

Peristiwa

Peristiwa mudahPeristiwa kompaun

TR1713 - Bab 4 14

4.1Istilah – Peristiwa mudah

Peristiwa mudah hanya terdiri daripadasatu dan hanya satu kesudahan.Peristiwa mudah dilabelkan sebagai E1,E2 dan seterusnya.

TR1713 - Bab 4 15

4.1Istilah – Peristiwa mudah

Contoh 4.6:Katakan kita memilih secara rawak 2 biji

guli daripada sebuah uncang. Cerap sama ada guli yg terpilih setiap kali pilihan adalah biru atau merah.

Andaikan b = biru dan m = merah

TR1713 - Bab 4 16

4.1Istilah – Peristiwa mudah

Gambarajah Venn

bb

bm mm

mbS

TR1713 - Bab 4 17

4.1Istilah – Peristiwa mudah

Gambarajah PokokPilihan ke - 1 Pilihan ke - 2

b

m

b

b

m

m

bb

bm

mb

mm

TR1713 - Bab 4 18

4.1Istilah – Peristiwa mudah

Maka, S = {bb, bm, mb, mm}. Oleh itu, Peristiwa mudah bagi ujikaji

ini adalah,E1 = (bb), E2 = (bm), E3 = (mb) dan E4

= (mm)

TR1713 - Bab 4 19

4.1Istilah – Peristiwa kompaun

Satu himpunan yg terdiri lebih drp satukesudahan bagi satu ujikaji.

TR1713 - Bab 4 20

4.1Istilah – Peristiwa kompaun

Contoh 4.7:Pilih secara rawak dua pelajar daripada

sebuah kelas dan cerap sama ada peserta yg terpilih setiap kali pilihan adalah lelaki atau perempuan. A adalah peristiwa dimana bilangan lelaki,’L’ yg terpilih adalah tidak lebih daripada seorang. (L 1)

TR1713 - Bab 4 21

4.1Istilah – Peristiwa kompaun

Peristiwa A akan muncul jika tiada lelaki atau hanya seorang lelaki yg terpilih.

LP

PPPL

AS

LL

Rajah Venn peristiwa A

A = {LP, PL, PP}.

TR1713 - Bab 4 22

4.1Istilah

Kebarangkalian dilabelkan >> P Kebarangkali bagi:

peristiwa mudah >> P(Ei) peristiwa kompaun >> P(A)

2 panduan yg perlu diikuti:

TR1713 - Bab 4 23

4.1Istilah

1. Kebarangkalian satu peristiwa adalah dlm julat 0 hingga 1

0 P(Ei) 1

0 P(A) 1

Peristiwa tidakmungkin berlaku.

Peristiwa pastiberlaku.

TR1713 - Bab 4 24

4.1Istilah

2. Perjumlahan kebarangkalian bagi kesemua peristiwa mudah terhadap satu ujikaji, P(Ei) , mestilah sentiasa 1.

P(Ei) = P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1

TR1713 - Bab 4 25

4.2Nilai Kebarangkalian

Mengira kebarangkalian bagi suatu peristiwa ujikajidi mana ke semua kesudahan adalah sama.

Katakan suatu ujikaji mempunyai n peristiwa mudahyang berbeza, di mana setiap peristiwa mempunyaipeluang yang sama untuk berlaku.

P(A) = bilangan peristiwa A akan berlakubilangan kesudahan (n)

Contoh 1:Sebuah kotak mengandungi tiga biji bola

berwarna putih, empat biji bola berwarna merah, dan dua biji bola berwarna biru.

P(Putih)=P(Merah)=P(Biru)=P(Hijau)=

26

TR1713 - Bab 4 27

Contoh 2:Dengan menggunakan dadu, kirakan

kebarangkalian nombor 2 akan muncul sekali.1

4

5

6

3

2 S = {1,2,3,4,5,6}

P(2) = 1 6

TR1713 - Bab 4 28

Contoh 3:Satu uncang mengandungi 1 biji guli biru dan 1

biji guli merah. Pilih secara rawak 2 biji guli (dengan pulangan). Biarkan A adalah peristiwa sekurang-kurangnya 1 biji guli biru terpilih.

b

m

b

b

m

m

bb

bmmb

mm

S = {bb, bm, mb, mm}.

A = {bm, mb, bb}.

P(A) = 3 4

TR1713 - Bab 4 29

4.3Petua penambahan

Petua utk mendapatkan P(A atau B)

Kebarangkalian peristiwa A berlaku atau peristiwa B berlaku ataukedua-duanya berlaku.

TR1713 - Bab 4 30

4.3Petua penambahan

Pembunuhan Rompakan Penderaan JumlahOrang luar 12 379 727 1118Saudara/Rapat 39 106 642 787Tidak diketahui 18 20 57 95Jumlah 69 505 1426 2000

Statistik mangsa-mangsa kelakuan jenayah

TR1713 - Bab 4 31

4.3Petua penambahan

Kes 1:Jika 1 drp 2000 mangsa jenayah terpilih secara rawak,kebarangkalian mendapatkan mangsa penderaan atau rompakan adalah:

P(penderaan atau rompakan) = P(penderaan) + P(rompakan)

P(A atau B) = P(A) + P(B)

A = peristiwa mangsa penderaanB = peristiwa mangsa rompakan

TR1713 - Bab 4 32

4.3Petua penambahan

Kes 2:Katakan kita memilih secara rawak 1 drp 2000 mangsajenayah, dan kita inginkan kebarangkalian mangsatersebut adalah mangsa rompakan atau mangsa jenayahyang dilakukan oleh orang luar.

P(rompakan) + P(orang luar)

81202000

16232000

1118

2000

500

.

SALAH

TR1713 - Bab 4 33

4.3Petua penambahan

Kes 2 (kenapa salah):

P(rompakan) + P(orang luar)

81202000

16232000

1118

2000

500

.

379 dikira dua kali

P(rompakan atau orang luar) =P(rompakan) + P(orangluar) - P(rompakan dan orang luar

Maka,

TR1713 - Bab 4 34

4.3Petua penambahan

A = peristiwa mangsa rompakanB = peristiwa mangsa jenayah yang dilakukan orang luar

Kb(A atau B) = Kb(A) + Kb(B) – Kb(A dan B)

TR1713 - Bab 4 35

4.3Petua penambahan

P(A) P(B)

P(A dan B)

Notasi:Kb(A atau B) = Kb(AB)Kb(A dan B) = Kb(AB)

TR1713 - Bab 4 36

4.3.1 Peristiwa saling eksklusif

Peristiwa A dan B saling eksklusif jika mereka tidakberlaku serentak.

Guna contoh yg sama; peristiwa mendapat mangsa jenayah yg dilakukan oleh orang luar dan peristiwa mendpat

mangsa jenayah yg dilakukan oleh saudara/rapat adalah peristiwa saling eksklusif. Ini kerana dlm kedua2

peristiwa penjenayah tidak mungkin orang luar dansaudara/rapat dengan mangsa pada masa yg sama.

TR1713 - Bab 4 37

4.3.1 Peristiwa saling eksklusif

P(A) P(B)

TR1713 - Bab 4 38

Aplikasi peraturan penambahan

P(AB)Peraturan penambahan

Adakah A danB saling eksklusif?

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

P(AB) = P(A) + P(B)Ya

Tidak

39

4.3.1 Peristiwa saling eksklusif

Contoh 4.11:Katakan komputer memilih secara rawak digit terakhir

bagi satu nombor telefon (8 digit). Dapatkan kebarangkalian digit tersebut adalah

a) nombor 8 atau 9 b) nombor ganjil atau kurang drp 4.

Penyelesaian (a):A = peristiwa mendapat nombor 8B = peristiwa mendapat nombor 9

TR1713 - Bab 4 40

4.3.1 Peristiwa saling eksklusif

Penyelesaian (a):Tentukan samada peristiwa A dan B saling

eksklusif. Ya, saling eksklusif. Dengan itu P(89) = 0 Petua penambahan:P(AB) = P(A) + P(B)

2.05

110

210

1

10

1

TR1713 - Bab 4 41

4.3.1 Peristiwa saling eksklusif

Penyelesaian (b):A = peristiwa mendapat nombor ganjilB = peristiwa nombor kurang drp 4

Tentukan samada peristiwa A dan B saling eksklusif.

Tidak saling eksklusif.

TR1713 - Bab 4 42

4.3.1 Peristiwa saling eksklusif

Penyelesaian (b): Petua penambahan:Kb(AB) = Kb(A) + Kb(B) – Kb(AB)

7.010

710

2

10

4

10

5

43

4.3.2 Peristiwa pelengkap

Peristiwa pelengkap, A’ merupakan kesudahan yg tidak berlaku kepada peristiwa A.

Peristiwa pelengkap dikatakan peristiwa saling eksklusif.

P(A)

Petua penambahan:P(AA’) = P(A) + P(A’) = 1

P(A’) = 1 – P(A)

44

4.3.2 Peristiwa pelengkap

Contoh 4.12:Berdasarkan kepada statistik yg diperolehi drp

Jabatan Pengajian Perniagaan, kebarangkalian seseorang gagal kursus MAT2023 adalah 0.37. Dapatkan kebarangkalian seseorang lulus.

Jika P(A) ialah kebarangkalian pelajar gagal,makaP(A’) = 1 – P(A)

= 1 – 0.37= 0.63

45

Fikir dan buat 1

200 pelajar siswazah di KIPSAS adalah terdiri daripada 140 pelajar sepenuh masa (80 perempuan dan 60 lelaki) dan 60 pelajar separuh masa (40 perempuan dan 20 lelaki). Katakan seorang pelajar telah dipilih secara rawak. Daripada jadual di atas, lukiskan gambarajah Venn bagi situasi-situasi berikut (P(AB)).

1. A = peristiwa pelajar terpilih adalah pelajar sepenuh masa.

B = peristiwa pelajar terpilih pelajar lelaki separuh masa

Sepenuh masa

Separuh masa

Jumlah

Perempuan 80 40 120

Lelaki 60 20 80

Jumlah 140 60 200

46

Fikir dan buat 1samb..

2. A = peristiwa pelajar terpilih adalah pelajar sepenuh masa.

C = peristiwa pelajar terpilih adalah pelajar perempuan.

Seterusnya dapat kebarangkalian bagi situasi-situasi tersebut.

Sepenuh masa

Separuh masa

Jumlah

Perempuan 80 40 120

Lelaki 60 20 80

Jumlah 140 60 200

47

Fikir dan buat 2

Rekod yg disimpan menunjukkan 80% daripada pemandu kenderaan yg disaman kerana melakukan pelbagai kesalahan jlnraya adalah terdiri drpd pemandu lelaki. 17 peratus drpd semua pemandu berumur bawah 30 tahun sementara 13% adalah pemandu lelaki yang berumur bawah 30 tahun. Sekiranya seorang pemandu yang disaman dipilih secara rawak, berapakah keb bahawa pemandu berkenaan adalah seorang lelaki ataupun berumur bawah 30 tahun?

48

4.4 Petua hasil darab

Petua utk mendapatkan P(A dan B)

Kebarangkalian peristiwa A dan B berlaku.

49

4.4 Petua hasil darab

Kes:Katakan soalan pertama adalah soalan BETUL/SALAH dan

soalan kedua adalah soalan objektif (MCQ) yg mempunyai 4 jawapan yg mungkin.

S1. Peristiwa A dan B adalah saling eksklusif jika mereka tidak berlaku serentak. (BETUL/SALAH)

S2. Statistik aruhan adalah kaedah untuka. membuat keputusan populasi.b. membuat keputusan berasaskan sampel mengenai populasi.c. membuat keputusan mengenai min, mod dan median.d. mengambil sampel drp populasi.

TR1713 - Bab 4 50

4.4 Petua hasil darab

Katakan kita ingin mendptkan kebarangkalian menjawab kedua-dua soalan betul dengan meneka secara rawak. Ruang sampel kita,

S = {Ba, Bb, Bc, Bd, Sa, Sb, Sc, Sd}

Kesudahan adalah sama.

TR1713 - Bab 4 51

4.4 Petua hasil darab

Jawapan adalah BbMaka,

P(kedua-dua betul) = P(B dan b)= 1/8

52

4.4 Petua hasil darab

B

S

ab

c

d

ab

c

d

2 4

BaBb

Bc

Bd

SaSb

Sc

Sd

8x =

1/2

1/2

1/41/4

1/4

1/4

1/41/4

1/4

1/4

TR1713 - Bab 4 53

4.4 Petua hasil darab

A = peristiwa menjawab soalan S1 BB = peristiwa menjawab soalan S2 b

Kb(kedua-dua betul)= Kb(A) . Kb(B)

= ½ . ¼= 1/8

54

4.4 Petua hasil darab

Contoh 4.13:5 pengering rambut dihasilkan, 4 adalah baik dan

1 adalah rosak. Kalau kita memilih 1 drpnya secara rawak, kebarangkalian ia baik adalah 4/5. Katakan kita ingin memilih 2 pengering rambut secara rawak, dgn mengembalikan pilihan pertama sebelum pilihan kedua diambil. Dapatkan kebarangkalian kedua-dua pengering rambut terpilih adalah baik.

55

4.4 Petua hasil darab

Contoh 4.13:PenyelesaianG = peristiwa mendapat pengering rambut yg

baikD = peristiwa mendapat pengering rambut yg

rosakG

D

G

DG

4/5

1/5

1/5

4/5

1/5

GG

GD

DG

DD

4/5

G

D

G

DG

D

56

4.4 Petua hasil darab

Contoh 4.13:Penyelesaian

P(G dan G) = P(G) x P(G)

= 4/5 x 4/5

= 16/25= 0.64

TR1713 - Bab 4 57

4.4 Petua hasil darab

Contoh 4.14:Menggunakan contoh yg sama, pilih 2 pengering

rambut secara rawak tanpa mengembalikan pilihan pertama sebelum membuat pilihan kedua. Dapatkan kebarangkalian mendapat 2 pengering rambut yg baik.

TR1713 - Bab 4 58

4.4 Petua hasil darab

Contoh 4.14 : (Penyelesaian)Pada pemilihan pertama, kebarangkalian

mendapat pengering yg baik adalah 4/5.Pada pemilihan kedua, kebarangkalian mendapat

pengering yg baik adalah ¾.

4/5

1/5

1/4

4/4

0

G

D

G

DG

3/4

D

59

4.4 Petua hasil darab

Maka,

P(G dan G) = P(G pilihan ke-1) x P(G pilihan ke-2)

= 4/5 x 3/4

= 12/20 = 0.6

60

4.4.1 Kebarangkalian bersyarat.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa A akan berlaku jikaperistiwa B telah berlaku dan dinyatakan dalam bentuk

simbol P(A|B)

Jika A dan B adalah dua peristiwaMaka Petua Kebarangkalian Bersyarat adalah seperti berikut

P(A|B) = P(A dan B) P(B)

P(B|A) = P(A dan B)P(A)

Jika A dan B adalah dua peristiwaMaka Petua Kebarangkalian Bersyarat adalah seperti berikut

P(A|B) = P(A dan B) P(B)

P(B|A) = P(A dan B)P(A)

61

4.4.1 Kebarangkalian bersyarat.

Contoh 4.15:Sepasang dadu adil digolekkan. Jika diketahui

bahawa salah satu dadu itu menunjukkan nombor 6 maka cari kebarangkalian bagi dadu yang satu lagi menunjukkan nombor 3

62

Penyelesaian

Contoh 4.15: (Penyelesaian)Katakan E ialah peristiwa mendapat nombor 6

pada salah satu dari dadu tersebut dan F ialah peristiwa mendapat nombor 3 pada satu daripada dadu itu dan nombor 6 pada dadu yang lagi satu.

E ={6-1,6-2,6-3,6-4,6-5,6-6,5-6,4-6,3-6,2-6,1-6}F = {6-3,3-6)P(F|E) = P(FE) = 2/36 = 2/11

P(E) 11/36

63

Fikir dan buat 3

1. Jika 1 daripada 99 orang subjek terpilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian dia memperolehi keputusan ujian positif apabila diketahui dia mengandung.

2. Jika 1 daripada 99 orang subjek terpilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian dia mengandung apabila diketahui keputusan ujiannya positif.

Ujian Positif Ujian Negatif

Mengandung 80 5

Tidak mengandung 3 11

64

4.4.2 Peristiwa merdeka

Peristiwa A dan B adalah merdeka jika kejadian sesuatuperistiwa tidak mempengaruhi kejadian peristiwa yg lain.

Misalnya, peristiwa melambung duit syiling dan peristiwamelontar dadu adalah peristiwa merdeka keranakesudahan duit syiling tiada kena mengena dgn

kesudahan dadu.

Misalnya, peristiwa melambung duit syiling dan peristiwamelontar dadu adalah peristiwa merdeka keranakesudahan duit syiling tiada kena mengena dgn

kesudahan dadu.

65

Menguji peristiwa merdeka

JikaP(B|A) = P(B)

@ P(A|B) = P(A)

Peristiwa merdeka

66

Menguji peristiwa merdeka

Sekiranya perkaitan P(B|A) = P(B) ini digantikan ke dalam petua hasil darab yg telah diberikan terlebih dahulu, makaP(AB) = P(A) x P(B|A)

= P(A) x P(B)Petua di atas boleh digunakan utk

mengenalpasti sama ada dua peristiwa tertentu bebas ataupun tidak.

67

4.4.2 Peristiwa merdeka

Contoh 4.16:ABC Sdn.Bhd. sebuah kilang pembuat komponen komputer

untuk dibekalkan kpd brp sykt komputer.Kilang ini mempunyai dua orang pegawai kualiti, En. Hakim dan Cik Hanis. Mereka memeriksa secara berasingan setiap komponen komputer yg dikeluarkan oleh kilang berkenaan sblm dihantar kpd brp syrkt komputer. Kb. En Hakim gagal mengesan komponen yg tidak sempurna ialah 0.023 sementara kb Cik Hanis gagal mengesan komponen yg tidak sempurna ialah 0.015. Brpkah kb bhw En Hakim dan Cik Hanis gagal mengesan komponen yang tidak sempurna yg dikeluarkan oleh pengilang?

TR1713 - Bab 4 68

Penyelesaian

Katakan A = En. Hanis gagal mengesan komponen

yg tidak sempurnaB = Cik Hanis gagal mengesan komponen

yg tidak sempurna.Maka P(AB) = P(A) x P(B)

= 0.023 x 0.015= 0.000345

69

Aplikasi petua hasil darab

P(AB)Petua hasil darab

Adakah A danB merdeka?

P(AB) = P(A) x P(B|A)

P(AB) = P(A) x P(B)Ya

Tidak

TR1713 - Bab 4 70

Fikir dan buat 4

Dengan menggunakan maklumat Fikir dan Buat 1; Adakah peristiwa A dan C merdeka? Dapatkan kebarangkalian P(AC).

TR1713 - Bab 4 71

4.5Teorem Bayes

Katalah satu ruang sampel S, dipetakkan kepada beberapa peristiwa A1, A2, A3,…,An dengan Ai masing-masing salingeksklusif dan kesatuannya membentuk S. Katalah B ialah sebarang peristiwa (kawasan berlorek).

Maka B = B S = B (A1 U A2 U A3 U …U An) = (B A1) U (B A2) U… U (B An)

Jadi P(B) = P(B A1) + P (B A2) +…P(B An)

A1

AnA2

A3.

72

4.5Teorem Bayes Daripada petua hasil darab, P(A B) = P(A). P(B|A)

Oleh itu P(B) = P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2) + …+ P(An).P(B|An) …………. (1)

ManakalaP(A|B) = P(A B) / P(B) ………….(2)

Jika P(A) dlm (2) digantikan dengan (1) maka kita perolehi

P(A|B) = P(A).P(B|A) [P(A1).P(B|A1) + P(A2).P(B|A2)+…+P(An).P(B|An)]

Atau diringkaskan menjadi

k

jjj

iii

ABPAP

ABPAPBAP

1

)|(.)(

)|(.)()|(

73

Fikir dan buat 5

Sebuah projek akan dijalankan bergantung kpdkelulusan sykt ABC mendapatkan pinjaman. Kbmendapat pinjaman ialah 0.6. Sekiranya permohonanpinjaman diluluskan projek akan dijalankan dgn keb0.95, manakala jika permohonan pinjaman tidakdiluluskan, projek akan dijalankan dgn keb 0.4.Sekiranya sykt ABC mengumumkan bahawa projektersebut akan dijalankan, apakah keb bahawapermohonan pinjaman tidak diluluskan.

(0.219)

74

Fikir dan buat 6

Daripada laporan berkaitan penghidap HIV di sebuah negara X, daripada populasi berjumlah 5000 yang berisiko, 10% adalah penghidap HIV. Dibawah keadaan tertentu, sesuatu ujian penskrinan virus HIV memberikan keputusan 95% tepat. Jika seseorang telah dipilih secara rawak daripada populasi yang berisiko ini, apakah kebarangkalian bahawa dia menghidapi virus HIV jika diketahui dia didapati positif dlm ujian penskrinan yang telah dilakukan. (0.679)

75

4.6Pilihatur

Menentukan beberapa bilangan yg mungkin utkmenyusun beberapa item.

Apabila item adalahberbeza.

Apabila sesetengah item adalah sama dgn

item yg lain.

76

Pilihatur

Jika satu operasi dijalankan dalam n1 cara dan operasi kedua dijalankan dalam n2 cara , maka kedua-dua operasi boleh dijalankan dalam n1x n2 cara.

Jika satu operasi dijalankan dalam n1 cara dan operasi kedua dijalankan dalam n2 cara , sehinggalah operasi ke k dijalankan dalam nk cara maka kesemua k operasi boleh dijalankan dalam n1x n2 x n3 x … x nk cara.

77

Pilihatur

Satu pilihatur ialah satu susunan semua objek atau sebahagian daripada satu set objek.

Bilangan pilihatur n objek yang berlainan ialah n! = n x(n-1) x (n-2) x…x 2 x 1

Contoh : Bil pilihatur kesemua tiga huruf A,B, C ialah3! = 3x2x1 = 6

78

Pilihatur

!!rn

nPrn

Bilangan pilihatur bagi n objek yang berlainan diambil r objek pada setiap kali ambil ialah

Contoh :Bilangan pilihatur 2 huruf dari set {A,B,C} ialah 3P2 = 3!/(3-2)! = 6.

79

Pilihatur

Contoh 4.18:Seorg pelajar psikologi ingin membuat kajian

berkenaan kesan susunan soalan ujian ke atas keputusan ujian. Satu ujikaji telah dilakukan melibatkan 8 soalan yg berbeza. Jika 5 drp soalan-soalan tersebut akan dipilih, berapakah susunan soalan yg mungkin?

80

Pilihatur

Penyelesaian: Kita mahu bilangan susunan yg mungkin bagi 5

soalan yg diambil drp 8 soalan.

67203

8

58

8

!!

)!(!

)!(!rn

nPrn

TR1713 - Bab 4 81

Pilihatur

Contoh 4.19:Berapa carakah 5 buah kereta boleh disusun ke

dalam lori pengangkut yg boleh memuatkan 5 buah kereta?

1200

5

55

5

!!

)!(!

)!(!rn

nPrn

82

Pilihatur

Bilangan pilihatur n objek berlainan di mana n1 adalah dari jenis pertama , n2 adalah dari jenis kedua dan

seterusnya nk adalah dari jenis k, ialah

!!...!!

knnn

n

21

83

Pilihatur

Contoh 4.20:Pertimbangkan senarai dua bentuk geometri

berikut, blok (B) dan prisma (P)BBBBBPPPPPP

Berapakah bilangan cara yg boleh anda susun?n = 11 n1 = 5 n2 = 6

46265

1121

!!!

!!...!!

knnn

n

84

Gabungan

Jika kita ingin memilih r item drp n item yg ada tanpamengira susunan, kita hanya ingin mengetahui kombinasi

yg mungkin dan bukannya susunan.

Jika susunan yg berbeza bagi item-item yg sama

diperlukan

Pilihatur

Jika tidak mementingkansusunan

Gabungan

85

Gabungan

Bilangan gabungan bagi r item yg dipilih drp n itemyg berbeza adalah dinyatakan sebagai:

!!!rrn

nCrn

86

Gabungan

Contoh 4.21Lima orang pelajar (Ahmad, Guna, Seng Long,

Zakiah dan Sarah) telah menyertai PERTAMA.a. Jika 3 drp mereka akan dipilih menjadi AJK

bagi satu komiti, berapakah gabungan komiti yg mungkin?

b. Jika 3 drp pelajar tersebut akan dipilih utk memegang jawatan presiden, timb. presiden dan S/U, berapa bnyk pembahagian yg mungkin?

87

GabunganPenyelesaian (a): Susunan tidak penting di sini, komiti yg terdiri drp

Ahmad, Guna, Seng Long adalah sama dgn Guna, Seng Long, Ahmad (tidak diambil kira). Maka, di sini kita hendakkan bilangan kombinasi 5 orang pelajar jika 3 dipilih.

1032

5

335

5

!!!

!)!(!

!!!rrn

nCrn

88

Gabungan

Penyelesaian (b): Dlm kes ini, susunan adalah penting.

Pembahagian Ahmad sbg presiden, Seng Long sebagai tim. presiden dan Sarah sbg S/U adalah berbeza dgn pembahagian Guna, Ahmad, Zakiah kpd jawatan yg dinyatakan.

602

5

35

5

!!

)!(!

!!rn

nPrn

89

Gabungan

Contoh 4.22: Satu saluran TV mempunyai 14 rancangan TV utk

disiarkan sebelah malam Isnin. 5 rancangan TV perlu dipilih.

a. Berapakan kombinasi rancangan TV yang mungkin?

b. Jika didapati 650 kombinasi yg tidak sesuai, dapatkan kebarangkalian untuk mendapatkan kombinasi 5 rancangan TV yg sesuai secara rawak.

90

Gabungan

Penyelesaian (a):

200259

14

5514

14

!!!

!)!(!

!!!rrn

nCrn

91

Gabungan

Penyelesaian (b):

A = peristiwa mendapat kombinasi rancangan TV yang tidak sesuai

P(A’) = 1 – P(A)= 1 – 650 2002= 1 – 0.3246= 0.675

92

Fikir dan buat 7

Dalam satu pertandingan menggubah bunga hanya tinggal 5 buah bakul gubahan bunga yang berbeza yang berjaya ke peringkat akhir.

1. Brpkah bil susunan kesemua lima bakul gubahan yang tinggal di peringkat akhir.

2. Brpkah bil. cara memilih 3 buah bakul gubahan utk tempat petama hingga ketiga

3. Brpkah bil. kump 3 buah bakul gubahan boleh dibentuk diperingkat akhir

4. Brpkah bil susunan kesemua lima bakul diperingkat akhir itu jika 2 buah bakul hanya berisi bunga mawar, 2 buah bakul lagi berisi bunga matahari dan sebuah bakul terakhir berisi hanya bunga kekwa.

93

Fikir dan buat 8

Katakan kita perlu memilih 2 orang untuk mewakili FTSM ke satu pertandingan pidato. Pilihan secara rawak dibuat dari satu kumpulan 5 orang yang terdiri daripadanya 3 perempuan. Kb terpilih seorang lelaki dan seorang perempuan sebagai wakil dikira seperti berikut:

Andaikan kumpulan 5 orang pelajar tersebut diwakili oleh huruf A, B, C, D dan E. Andaikan juga lelaki ialah A dan B, dan C, D dan E adalah perempuan.Apakah ruang sampel ujikaji tersebut? Apakah kebarangkalian terpilih seorang perempuan dan seorang lelaki sebagai wakil FTSM ke pertandingan tersebut?