bab 2 kinematika partikel

1

Kinematika Partikel

BAB II

2

3

4Tidak ada satupun benda yang berada dalam keadaan diam mutlak.

5

Mekanika

Kinematika

Dinamika

Berapa jarak pengereman?Berapa ketinggian maksimum?Posisi, perpindahan, jarak, …

Apa yang menyebabkab gerak?Kenapa lintasan lengkung?

Bagian Fisika yang mempelajari gerak disebut Mekanika

6

Kinematika Partikel

Asumsi yang digunakan dalam bab ini: - Ukuran benda diabaikan Partikel (benda titik) - Rotasi diabaikan - Hanya gerak translasi (gerak berpindah tempat)

“Mempelajari atau mendeskripsikan gerak benda adalah menyatakan besaran-besaran gerak, seperti: Posisi, Perpindahan, Jarak, Kecepatan, Percepatan”.

7

Gerak

Berdasarkanacuan

BentukLintasan

Gerak mutlak (gerak sesungguhnya)

Gerak relatif(gerak semu)

Gerak lurus

Gerak melingkar

Gerak parabola

Gerak tak beraturan

8

Gerak Lurus 1 Dimensi

9

Posisi Berapa posisi mobil ??

Posisi adalah kedudukan/lokasi suatu benda terhadap titik acuan tertentu.

Berapa posisi mobil A??

Perlu ditetapkan acuan (titik nol) yang sama.

Posisi mobil A: 50 m dari tiang ke arah depan atau80 m dari mobil B ke arah depan

Ada banyak titik dengan jarak 50 m dari tiang !Harus dinyatakan arahnya.

--> Posisi adalah besaran vektor.

50 m dari tiang?

10

41

30

X (m)

A (2,3,4)

Y (m)

1

2

3

4

Z (m)

0

12

3

4

Posisi titik A dalam 3-dimensi

Sistem Koordinat

Sistem koordinat terdiri atas: Titik acuan atau titik asal (origin)

disingkat menjadi titik O. Titik acuan merupakan suatu

posisi yang dijadikan sebagai acuan dalam menentukan posisi suatu benda yang diamati. Biasanya merupakan posisi pengamat.

Sumbu-sumbu koordinat (untuk menentukan arah)

Label, huruf dan angka yang menunjukkan posisi suatu titik terhadap titik asal dan sumbu-sumbu koordinat.

41 2 30

X (m)

A (2,3)

Y (m)

1

2

3

4

0

Posisi titik A dalam 2-dimensi

4010 20 300-10-20-30-40

AB

-50 6050

x(m)

11

x (meter)

0 2 3 4 51-2-3 -1

AB A

B

ˆ5A i

ˆ3B i

Vektor Posisi

i

xy

z

i

j

kr

O kzjyixr

Secara umum, posisi suatu benda dinyatakan dalam 3 dimensi sebagai

Posisi sebuah benda dapat dinyatakan dengan sebuah vektor (anak panah yang digambar dari titik nol menuju titik tempat benda berada).

12

Jarak & Perpindahan

Sebuah mobil yang pindah dari posisi A ke posisi B, berapa jarak yang ditempuh dan perpindahannya?

A4 km

B

C

3 km5 km

Benda bergerak dari A ke B, lalu ke C.

Jarak tempuh (Δs) dari A ke C

= AB + BC = 4 km + 3 km = 7 km

Perpindahan (Δr) dari A ke C = 5 km, dengan arah dari A ke C.

= Jarak

= Perpindahan

Jarak (distance) atau jarak-tempuh adalah panjang lintasan sesungguhnya yang ditempuh benda dalam waktu tertentu, dan tidak bergantung arah.

Perpindahan (displacement) adalah perubahan posisi awal dan akhir suatu benda karena adanya perubahan waktu dan tidak bergantung pada jalan mana yang ditempuh oleh benda itu.

Jarak = 20 m Perpindahan = 20 m ke depan

Secara umum Jarak ≠ Perpindahan

13

Vektor perpindahan didefenisikan sebagai perubahan vektor posisi dari posisi awal (xi) pada t1 ke posisi akhir (xf) pada t2.

y

z1r

1t

2t

x

2r

s

O

r

Vektor Perpindahan

ˆ40ix i

ˆ20fx i

f ix x x x (meter)

0 20 30 40 5010-20-30 -10

B A

x

ix

fx

12 rrr

kzzjyyixx

)()()( 121212

2 2 2r x y z Magnitudo:

Posisi Awal:

Posisi Akhir:

1 1 1 1r x i y j z k Posisi awal pada t1 :

kzjyixr

2222 Posisi akhir pada t2 :

ˆ ˆ ˆ20 40 60i i i

14

Sebuah mobil awalnya berada pada posisi A, kemudian bergerak maju sampai di B, lalu mundur sampai di C. Tentukan jarak dan perpindahan total mobil tersebut.

ˆ50ix i

ˆ30fx i

f ix x x

x (meter)

0 20 30 40 5010

C A

x

ix

Posisi Awal:

Posisi Akhir:

ˆ ˆ ˆ30 50 20i i i

fx

B

60 70

Perpindahan:1 20x m

2 40x m

20 40 60tx m + m = m

0 20 30 40 5010

C A

Jarak 1:

Jarak 2:

B

Jarak Total = Panjang Jalan Total

60 70

Panjang jalan dari 50 ke 70

Panjang jalan dari 70 ke 30

Anak panah dari 0 ke posisi awal (A)

Anak panah dari 0 ke posisi akhir (C)

Anak panah dari posisi awal (A) ke posisi akhir (C)

x

Atau selisisih antara vektor posisi akhir dengan vektor posisi awal

15

Uji PemahamanSebuah mobil mulai bergerak dalam lintasan lurus dari A ke B, diteruskan ke C, lalu ke D, dan akhirnya kembali ke A (berhenti).

A

4 km

B C

3 km

D

4 km3 km

Tentukan jarak tempuh dan perpindahan mobil, sejak bergerak hingga berhenti.

Jawab: Jarak tempuh = 14

km Perpindahan = 0

16

Soal Latihan

Sebuah mobil mulai bergerak dalam lintasan lurus dari A ke B (AB =4 km), diteruskan ke C (BC=3 km), lalu ke D (CD=4km), dan akhirnya kembali ke A.

A B C

D

Tentukan jarak tempuh dan perpindahan mobil saat bergerak dari:A B; A B C; B C D;B C A;D B C B D A D

17

PDG BKT

100 km

Berangkat Jam: 08:00 Sampai Jam: 10:30

Berapa jarak rata-rata yang ditempuh dalam waktu 1 jam atau 1 sekon?

PSL PDG

100 km

Sampai Jam: 10:30 Berangkat Jam: 08:00

Apa beda antara kedua kasus ini?

18

av

xv

t

Kecepatan dan Kelajuan Rata-Rata

Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai hasil bagi antara perpindahan dan waktu tempuh,

Kecepatan rata-rata, avv

Kelajuan rata-rata adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh (Δx) dengan selang waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut (Δt).

av

xv

t

Kelajuan rata-rata, avv

Kecepatan rata-rata ≡ perpindahan dalam satu satuan waktu.

Kelajuan rata-rata ≡ jarak yang ditempuh dalam satu satuan waktu.

19

Soal Latihan

Sebuah mobil mulai bergerak dalam lintasan lurus dari A ke B (AB=4km), diteruskan ke C (BC=3km), lalu ke D (CD=4 km), dan akhirnya kembali ke A.

Untuk menempuh jarak dari A ke B diperlukan waktu 30 menit, jarak dari B ke C diperlukan waktu 15 menit, jarak dari C ke D diperlukan waktu 10 menit, dan D ke A perlu waktu 20 menit, dan A ke D selama 30 menit.

Tentukan kelajuan rata-rata dan kecepatan rata-rata dalam selang BCDAD

A B CD

20

Kecepatan dan Kelajuan Sesaat

PDG BKT

100 km

Berangkat Jam: 08:00 Sampai Jam: 10:30

Apakah kelajuan mobil ini selalu 40 km/jamApakah kecepatannya selalu 40 km/jam arah maju?

Diam Bergerak Lambat Makin Kencang Kencang Konstan

Melambat (mengeram) Berhenti Mundur Mundur Makin Kencang Mundur Melambat Berhenti Mulai Maju lagi dst

Berapa kecepatan awal?Berapa kecepatan saat lewat di depan kantor walikota?Berapa kecepatan saat di lampu merah?Berapa keceapatan saat lewat di depan restoran A?

21

Untuk menentukan kecepatan sesaat (instaneous velocity), dihitung dengan cara yang

sama untuk menghitung kecepatan rata-rata, dengan interval waktu (Δt) sekecil

mungkin, yaitu , ditulis0t

Kecepatan dan Kelajuan Sesaat

0 0

( ) ( )( ) lim lim

t t

x t t x t x dxv t

t t dt

Kecepatan Sesaat, tv

( )dx

v tdt

Turunan pertama fungsi posisi terhadap waktu

Kelajuan sesaat v t

v t v t

Nilai atau besar dari kecepatan sesaat tanpa

memperhitungkan arah.

22

Percepatan sesaat

Perubahan kecepatan per satuan waktu

Percepatan Rata-rata

f iav

v vva

t t

dt

vd

t

va

t

lim0

Percepatan (Acceleration)

Turunan pertama fungsi kecepatan

terhadap waktu

2

2

dv d dx d xa

dt dt dt dt

Turunan kedua fungsi posisi terhadap waktu

23

Representasi Grafik Berbagai Tipe Gerak

24

Memplot Data dan Melukis Grafik

x y

0 5

2 10

4 15

6 20

8 25

t x

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

t v

0 10

5 7

10 3

15 0

20 -4

25 -6

Plot data-data y terhadap x dan gambar grafik y-x

Plot data-data x terhadap t dan gambar grafik x-t

Plot data-data v terhadap t dan gambar grafik v-t

Review

25

Bayangkan anda sedang mengamati mobil yang diam di depan pos polisi (dianggap sebagai titik nol). Catatlah posisi dan kecepatan mobil terhadap pos setiap 1 s selama 5 s (Tampilkan dalam tabel).

Eksperimen Sederhana

Bayangkan anda sedang mengamati mobil yang diam 4 m di depan pos polisi (dianggap sebagai titik nol. Catatlah posisi dan kecepatan mobil terhadap pos setiap 1 s selama 5 s (Tampilkan dalam tabel).

Bayangkan anda sedang berada di atas mobil dan mengamati speedometer. Sejak diamati jarumnya selalu menunjukkan angka 72 km/jam. Catatlah posisi dan kecepatan mobil terhadap pos setiap 1 s selama 5 s (Tampilkan dalam tabel). Coba juga untuk 144 km/jam dan -72 km/jam.

26

Bayangkan anda berada di atas mobil yang bergerak dengan kecepatan 72 km/jam = …. m/s.

27

Benda Diam

Simulasi

Waktu,t (s)

Posisi, x (m)

A B C

0 0 5 -10

1 0 5 -10

2 0 5 -10

3 0 5 -10

Posisi : tetap terhadap waktuKecepatan : nolPercepatan : nol

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4

v (m/s)

t (s)

Grafik kecepatan terhadap waktu

Grafik percepatan terhadap waktu

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4

a (m/s2)

t (s)

Grafik posisi terhadap waktux (m)

t (s)

-12-10

-8-6

-4-2

02

46

0 1 2 3 4

28

Kecepatan : Tetap / Konstan ---> GLBPercepatan : NolPosisi : Berubah secara beraturan (bertambah atau berkurang)

Dalam setiap selang waktu yang sama akan menempuh jarak yang sama

Gerak Dengan Kecepatan Tetap

Waktu,t (s)

Kecepatan, v (m/s)

A B C D

0 2 5 10 -3

1 2 5 10 -3

2 2 5 10 -3

3 2 5 10 -3

4 2 5 10 -3-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

Grafik kecepatan terhadap waktu

t (s)

v (m/s)

29

Waktu,t (s)

Posisi, x (m)

A B C D

0 0 0 0 0

1 2 5 10 -3

2 4 10 20 -6

3 6 15 30 -9

4 8 20 40 -12-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5

Grafik posisi terhadap waktu

t (s)

x (m/s)

Simulasi

Grafik percepatan terhadap waktu

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4

a (m/s2)

t (s)Snap Shot dari Gerak Dengan

Kecepatan Tetap

30

Percepatan : Tetap / KonstanKecepatan : Berubah secara beraturan ---> GLBB

Dalam setiap selang waktu yang sama kecepatan naik atau turun dengan jumlah yang sama

Posisi : Berubah, tetapi dalam selang waktu yang sama penambahan dan pengurangannya tidak sama.

Gerak Dengan Percepatan Tetap

Waktu,t (s)

Percepatan, a (m/s2)

A B C D

0 2 5 -2 -3

1 2 5 -2 -3

2 2 5 -2 -3

3 2 5 -2 -3-4-3

-2-1

012

34

56

0 1 2 3 4

Grafik posisi terhadap waktu

t (s)

a (m/s2)

31

Waktu,t (s)

Kecepatan, v (m/s)

A B C D

0 0 0 0 0

1 2 5 -2 -3

2 4 10 -4 -6

3 6 15 -6 -9-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

t (s)

v (m/s)Grafik kecepatan terhadap waktu

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x (m)

t (s)

Grafik posisi terhadap waktu

Simulasi Simulasi

Snap Shot dari Gerak Dengan Percepatan Tetap (Negatif)

32

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

t (s)

x(m)

Δt = 2 s

Δx = 10 m

Benda bergerak dengan kecepatan tetap 5 m/s.

Kemiringan kurva posisi terhadap waktu:

105 /

2

x m

tm

ss

Analisis Grafik Posisi terhadap Waktu

4 1

4 1

20 5 155 /

4 1 3

x xxm s

t t t

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =4s :

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =3s :

Kecepatan rata-rata selalu sama untuk selang waktu sembarang.

3 1

3 1

15 5 105 /

3 1 2

x xxm s

t t t

Untuk gerak dengan kecepatan tetap:Kemiringan Kurva x-t = Kecepatan Rata-Rata = Kecepatan Sesaat

33

Bila kurva posisi terhadap waktu, Miring ke kanan ---> Kecepatan positif Miring ke kiri ---> Kecepatan negatif Datar ---> Kecepatan nol (benda diam)

34

50 12,537,5 /

2 1

mxm s

t s

112,5 12,550 /

3 1

mxm s

t s

Gerak Dengan Percepatan Tetap

Kecepatan rata-rata berbeda untuk selang waktu berbeda.Kecepatan sesaat selalu berubah

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =3s :

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4

x

t

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t=1s dan t =2s :

Bagaimana cara menentukan kecepatan sesaat , , dari kurva posisi terhadap waktu?

tv

Hitung kecepatan rata-rata untuk selang waktu (Δt) mendekati nol.

0 0

( ) ( )( ) lim lim

t t

x t t x t x dxv t

t t dt

35

Nilainya sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva posisi terhadap waktu pada titik (t, x(t)).

Defenisi turunan

0 0

( ) ( )( ) lim lim

t t

x t t x t x dxv t

t t dt

( )dx

v tdt

Nilainya sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva kecepatan terhadap waktu pada titik (t, v(t)).

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan percepatan rata-rata dan percepatan sesaat dari grafik kecepatan terhadap waktu.

0 0

( ) ( )( ) lim lim

t t

v t t v t v dva t

t t dt

( )dv

a tdt

36

Hubungan antara grafik x-t, v-t dan a-t

37

Persamaan Gerak

A

Suatu mobil bergerak dengan kecepatan konstan 5 m/s selama 4 s.

Luas di bawah kurva v-t dari t = 0s sampai t = 4s adalah A.

Dimana A = 5*4 = 20.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5

t (s)

v (m/s)

Dapat dilihat bahwa Luas di bawah kurva v-t = Jarak tempuh

Jarak yang ditempuhnya adalah (5 m/s)*(4s) = 20 m.

38

Δx = Δx1 + Δx2 + Δx3 + … + ΔxN

Menghitung luas daerah di bawah kurva

Δx1 ΔxNΔxiΔx2

Δx

ta tb

t

v

ta tb

t

v

Δtti

v(ti)

Δxi

ttvx ii

Luas satu pita:

39

Δx = Δx1 + Δx2 + Δx3 + … + ΔxN

N

iii

N

ii ttvx

11

b

a

t

t

x v t dt

v t a t dt

Untuk menaikkan ketelitian

Δt nol, N ∞

Penjumlahan menjadi penjumlahan kontinu (integral).

Σ ----> ∫

x t v t dt

Dengan cara yang sama, dapat diperoleh

40

v t a t dt

v t at C

0 .0v t a C

0 oC v t v

ov t v at

x t v t dt

ox t v at dt

21

2ox t v t at C

10 .0 .0

2ox v a C

0 oC x x

20

1

2ox t x v t at

Gerak Dengan Percepatan Tetap

a t a

v t adt

--> Konstanta

Persamaan Kecepatan Sesaat

Persamaan Posisi Sesaat

41

)(ta( )x t

Turunan

Integral

( )tv

Hubungan antara , dan

)(ta( )x t

)(tv

Turunan

Integral

ta

d

dv

dx

dt

v

x t v t dt v t a t dt

42

Kemungkinan model soal

1. Narasi / Cerita ? Essay

2. Grafik

3. Tabel Data

4. Persamaaan / Fungsi

Gerak

1. Angka

2. Grafik

3. Tabel Data

4. Persamaaan / Fungsi

Gerak

Kemungkinan model jawaban yang diminta

43

44

Gambar di sebelah kiri

menunjukkan grafik posisi

terhadap waktu suatu motor

ketika mulai bergerak pada

lintasan lurus.

Ubah soal menjadi bentuk persamaan atau tabel data.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t(s)

x(m

)

45

Sebuah motor bergerak dengan

kecepatan tetap 20 m/s tetap.

Awalnya motor berada pada posisi

50 m.

t (s) x (m)

0 50

1 70

2 90

3 110

4 130

5 150

6 170

7 190

8 210

Gambar di sebelah kiri

menunjukkan grafik kecepatan

terhadap waktu suatu motor

ketika mulai bergerak pada

lintasan lurus.

Posisi sebuah motor dinyatakan oleh persamaan:

meter ttx 2050

46

a) Tentukan percepatan rata-rata untuk interval waktu t = 0 sampai t = 4s

b) Kapan percepatan memiliki nilai posistif terbesar dan berapa percepatan saat itu.

c) Kapan percepatan bernilai nold) Gambarlah grafik posisi terhadap waktue) Gambarlah grafik percepatan terhadap waktuf) Berapa percepatan saat t = 7 sg) Berapa posisi akhir motor

Gambar di sebelah kiri menunjukkan grafik kecepatan ( ) terhadap waktu (t) suatu motor ketika mulai bergerak dari keadaan diam dalam lintasan lurus.

v

st

v

47

a) Tentukan percepatan rata-rata untuk interval waktu t = 0 sampai t = 4s

b) Kapan percepatan memiliki nilai posistif terbesar dan berapa percepatan saat itu.

c) Kapan percepatan bernilai nold) Gambarlah grafik kecepatan terhadap waktue) Gambarlah grafik percepatan terhadap waktuf) Berapa percepatan saat t = 7 sg) Berapa posisi akhir motorh) Gambarlah lintasan mobil

Gambar di sebelah kiri menunjukkan grafik posisi (x) terhadap waktu (t) suatu motor ketika mulai bergerak dari keadaan diam dalam lintasan lurus.

x(m)

t(s)

48

Amir berangkat ke sekolah mengendarai sepeda. Dari rumah ke

jalan raya sepeda dijalankan dengan percepatan tetap 0,2 m/s2

selama 10 s. Setelah sampai dijalan raya sepeda dijalankan

dengan kecepatan tetap. Amir sampai di sekolah 5 menit

kemudian. Berapa jarak rumah Amir dengan sekolahnya?

ov t v at

20

1

2ox t x v t at

49

Dua kereta berjalan pada lintasan lurus beriringan. Kereta pertama berjalan dengan kecepatan 36 km/jam. Kereta kedua, mendekati dari belakang, berjalan dengan kecepatan 72 m/s. Saat kereta kedua berada pada 25 m dibelakang kereta pertama, operatornya menekan rem dan menghasilkan perlambatan 2 m/s2. Apakah kedua kereta akan bertabrakan?Bila ya, kapan?

50

Lukislah grafik dari soal di atas

51

Gerak Jatuh(Gerak Vertikal)

52

ov t v gt

20

1

2oy t y v t gt

Gerak jatuh adalah gerak yang dipercepat oleh gravitasi bumi

a t g

Persamaan kecepatan setiap saat

Persamaan posisi setiap saat

Gerak Jatuh

g : percepatan gravitasi bumi

g = 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2

{arah menuju pusat bumi}

ov t v at

20

1

2ox t x v t at

10ov t v t

20 5oy t y v t t

+

-

jgg ˆ

Bila arah ke atas ditetapkan sebagai arah positif, maka:

53

Gerak Jatuh Bebas Gerak Vertikal ke Atas

vo = kecepatan awalyo = ketinggian awalvt = kecepatan pada

waktu tyt = ketinggian pada

waktu tymaks = ketinggian

maksimumvymaks = kecepatan di

ketinggian maksimum

ov

ty

0y

oy

tv

maksy

0maksyv

54

Gerak Dua Dimensi

55

Gerak ParabolaGerak parabola (gerak peluru):

gerak dengan lintasan berbentuk parabola

56

Lintasan gerak parabola selalu dalam bidang vertikal yang ditentukan oleh arah kecepatan awal.

Bidang gerak peluru ini dapat disebut bidang x-y, dengan sumbu-x dalam arah horizontal dan sumbu-y arah ke atas.

x

y

Hal ini karena percepatan gravitasi murni dalam arah vertikal.

Gravitasi tidak dapat memindahkan bidang gerak peluru.

x

y

57

Perhatikan snapshot sebuah bola yang mengalami gerak peluru berikut:

Komponen x posisi bergerak seperti benda yang bergerak dengan kecepatan tetap

Komponen y posisi bergerak seperti benda yang bergerak dengan percepatan tetap arah ke bawah.

Jadi gerak peluru dapat dianalisis sebagai kombinasi gerak dengan kecepatan tetap (pada arah horizontal) dan gerak dengan percepatan tetap (pada arah vertikal).

0xa

ya g

58

Sebuah bola dilempar dengan kelajuan vo dan membentuk sudut θ terhadap arah sumbu-x. Koordinat x dan y dapat diperlakukan secara terpisah.

θ

vox

voy

x

y

cosox ov v

0xa ya g

Komponen-x dari percepatan adalah nol dan komponen-y nya adalah g.

sinoy ov v

ov

59

x oxv t v

0 oxx t x v t

y oy yv t v a t

21

2o oy yy t y v t a t

0xa ya g

21sin

2o oy t y v t gt

siny ov t v gt cosx ov t v

0 cosox t x v t

Komponen gerak pada arah horizontal (gerak dengan kecepatan tetap GLB)

Komponen gerak pada arah vertikal (gerak dengan percepatan tetap GLBB)

60

21sin

2o oy t y v t gt siny ov t v gt

cosx ov t v 0 cosox t x v t

Pada tinggi maksimum, vy = 0

22yx vvv

x

y

v

v1

tan

61

0

xo = 0 myo = 0 m

xy

y = 00

xo = 0 myo = 50 m

Penentuan Pusat koordinat

Tentukan xo dan yo untuk Gambar di atas.

62

x

y

0

Penentuan Pusat koordinat yang dipakai pada kuliah ini:

Permukaan tanah, y = 0

63

xo

xmaks

ymaksyo

xo

xmaks

yo

x

y

ymaks

xmaks

yo = 0

xo = 0

θ

ov

64

0

xo = 0 myo = 0 m

xy

y = 00

xo = 0 myo = 50 m

Penentuan Pusat koordinat

Tentukan xo dan yo untuk Gambar di atas.

65

Ketinggian Maksimum

0yv

m oy y H

2

sin

2

1sinsin

g

vg

g

vvH oo

o

21sin

2o oy t y v t gt

2 2sin

2ov

Hg

siny ov t v gt

sinovt

g

0 sinov gt

21sin

2o m mH v t gt Pada ketinggian maksimum,

(Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum)

21sin

2m o o m my y v t gt

mt

m oy H y 2 2

0

sin

2o

m

vy y

g

66

Jarak Maksimum

21sin

2o oy t y v t gt

Pada jarak maksimum, y(t) = 0

21sin 0

2o oy v t gt

Untuk yo = 0, maka

21sin 0

2ov t gt

1( sin ) 0

2ot v gt

2 sinovt

g

0 cosox t x v t

Substitusi ke dalam x(t):

0

2 sincos o

m o

vx x v

g

2

0

sin 2om

vx x

g

Tentukan t dengan rumus abc, lalu substitusi ke dalam x(t).

67

Sudut tembak yang menghasilkan jarak terjauh2

0

sin 2om

vx x

g

Jarak terjauh,

xm akan maksimum bila sin2θ bernilai maksimum. Nilai

maksimum sin2θ adalah 1, yaitu saat 2θ = 90 atau θ = 45o.Jadi sudut tembak yang menghasilkan jarak terjauh adalah 45o

68

Contoh kasus

P

Berapa kecepatan motor saat meninggalkan bibir jurang agar mendarat tepat di titik P?

Berapa jarak AT bila peluru dilempar dengan kecepatan awal 25 m/s? Ketinggian tangan saat melempar adalah 2 m dari lantai

T

A

69

Seekor burung gagak terbang horizontal dengan kelajuan tetap 2.70 m/s saat melepaskan sebutir biji dari paruhnya. Biji tersebut mendarat di pantai 2.10 s kemudian. Berapa”Ketinggian burung terbang, jarak jatuh bijikecepatan biji sesaat sebelum mendarat?

70

Shoot the monkeySeorang pemburu akan menembak seekor monyet yang sedang bergantung pada dahan sebuah pohon. Si pemburu mengarahkan senjata tepat ke arah si monyet. Tetapi si monyet menjatuhkan dirinya pada saat yang bersamaan dengan peluru lepas dari senjata si pemburu. Apakah peluru akan mengenai si monyet?

71

72

73

Gerak Relatif

Kecepatan benda yang terlihat (terukur) oleh pengamat bergantung tidak hanya pada gerak benda, tetapi juga pada gerak pengamat tersebut.

Hujan terlihat jatuh miring bila pengamat sedang bergerak pada arah horizontal.

Perempuan yang sedang berdiri di atas ban berjalan melihat laki-laki yang melewatinya berlan lebih lambat daripada yang terlihat oleh perempuan yang beridiri di lantai.

74

Gerak Relatif 1 Dimensi

C

A

OP Arah arus

A

75

A dan B diam, C bergerak, maka orang A dan B melihat orang C bergerak dengan kecepatan yang sama

Kecepatan C terhadap A: ˆ10CAV i

ˆ4BAV i

ˆ ˆ ˆ10 4 6CB CA BAV V V i i i

Kecepatan B terhadap A:

Kecepatan C terhadap B:

Orang B melihat orang C bergerak lebih lambat daripada yang dilihat orang A

ˆ ˆ ˆ2 4 6CBV i i i

ˆ2CAV i

ˆ3BAV i

Orang B melihat orang C bergerak lebih cepat daripada yang dilihat orang A

76

C

A

A berdiri di lantai dan C berjalan di lantai berjalan. Berapa kecepatan C yang diliahat A?

Seorang pengamat (O) berdiri di atas jembatan mengamati sebuah perahu (P) yang sedang bergerak pada sungai berarus. Bagaiman kecepatan perahu yang teramati?

Untuk menganalisis masalah-masalah tersebut diperlukan dua acuan.1. Acuan diam : suatu titik yang diam di luar lantai berjalan (misalnya posisi pengamat

A) atau seorang pengmat yang diam di atas jembatan (O).2. Acuan bergerak : suatu titik yang ikut bergerak bersama lantai berjalan atau bergerak

bersama air.

77

CAX

CBX

BAX

: Posisi C terhadap acuan diam A

: Posisi C terhadap acuan bergerak B

: Posisi acuan bergerak B terhadap acuan diam A

CAX

CBX

BAX

CA BA CBV V V

: Kecepatan C terhadap acuan diam A

: Kecepatan C terhadap acuan bergerak B (Kecepatan C terhadap lantai berjalan)

: Kecepatan acuan bergerak B terhadap acuan diam A

(Kecepatan lantai berjalan terhadap pengamat A)

CAV

CBV

BAV

CA BA CBX X X

A berdiri di lantai dan C berjalan di lantai berjalan. Berapa kecepatan C yang dilihat A?

Acuan bergerak : Pengamat B yang diam di atas lantai berjalan.

78

Gerak Relatif 2 DimensiSebuah perahu akan menyeberangi suatu sungai berarus. Perahu di arahkan membentuk sudut α

terhadap arah arus dengan kelajuan VPA .

Sedangkan kelajuan arus adalah VA.

Bagaimana lintasan perahu dan di mana posisi perahu saat sampai diseberang?

Arah arus

x

PAV

AV

79

P

A

O

Pr

Ar

PAr

PAAP rrr

: Posisi perahu terhadap pengamat diam di O

: Posisi acuan bergerak (A) terhadap O

: Posisi perahu terhadap acuan bergerak

Pr

PAr

Ar

P : Perahu yang melintasi sungai berarusO : Pengamat yang diam di pinggir sungai (acuan diam)A : Suatu titik pada air sebagai acuan bergerak (dapat diwakili oleh daun di permukaan air)

P A PAdr dr dr

dt dt dt

P A PAV V V

: Kecepatan perahu yang terlihat oleh pengamat diam di O

: Kecepatan acuan bergerak terhadap O (= kecepatan arus sungai)

: Kecepatan perahu terhadap arus sungai (kecepatan perahu dijalankan)

PV

PAVAV

Diperlukan dua acuan untuk menganalisis masalah gerak relatif. Perhatikan posisi perahu suatu saat!

80

P A PAV V V

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆPx Py Ax Ay PAx PAyV i V j V i V j V i V j

cosPx PV V sinPy PV V

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )Px Py Ax PAx Ay PAyV i V j V V i V V j

cosAx AV V sinAy AV V

cosPAx PAV V sinPAy PAV V

Arah arus

A

BC

θα x

PVPAV

AV

Perahu di arahkan membentuk sudut α terhadap arah arus dengan kelajuan VPA .

Sedangkan kelajuan arus adalah VA.dengan arah β (β = 0).

Px Ax PAxV V V Py Ay PAyV V V

81

22PyPxP VVV

Px

Py

V

V1

tan

Waktu untuk sampai diseberang:

Kecepatan perahu menurut pengamat di pinggir sungai:

Arah gerak perahu :

P

ABt

V

Contoh: Suatu perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 100 m. Air sungai mengalir dengan kelajuan 2 m/s ke arah Selatan. Perahu dijalankan dengan kelajuan 5 m/s. Berapa sudut perahu harus diarahkan supaya perahu bergerak lurus ke arah Timur. Berapa waktu yang diperlukan perahu untuk sampai di seberang?