document15

1. Pengertian

Sistem persamaan linier dua variabel adalah persamaan- persamaan linier dua variabel yang saling berhubungan dengan variabel-vaiabel  yang sama.Bentuk umum dari sistem persamaan linier adalah :

a1x + b1y + c1 = 0a2x + b2y + c2 = 0

Metode eliminasi merupakan suatu metode yang digunakan

untuk memecahkan atau mencari himpunan penyelesaian suatu

sistem persamaan linear dua variabel dengan cara

menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabelnya. Jika

variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus

mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya, bila

ingin mencari variabel y maka kita harus menghilangkan variabel

x terlebih dahulu.

Perlu diingat, untuk mengeliminasi suatu variabel harus variabel

tersebut memiliki koefisien yang sama. Jadi jika koefisien

variabelnya belum sama maka terlebih dahulu menyamakan

koefisiennya dengan cara mengalikan atau membaginya.

Kemudian baru bisa menentukan variabel yang lain yang akan

ditentukan. Jadi dalam metode eliminasi anda memerlukan dua

kali mengeliminasi variabel. Agar kalian lebih mudah

memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut

dengan menggunakan metode eliminasi, jika x dan y variabel

pada himpunan bilangan real.

1. x + y = 1 dan x + 5y = 5

2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8

3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4

4. 3x + 2y = 12 dan 2x + 3y = 18

5. x + y = 12 dan 3x – y = 4

Penyelesaian:

1. x + y = 1 dan x + 5y = 5

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama,

sehingga persaman x + y = 1 dikalikan 5 dan persamaan x + 5y

= 5 dikalikan 1, maka:

x + y = 1 │× 5 =>5x + 5y = 5

x + 5y = 5 │× 1 => x + 5y = 5

5x + 5y = 5

x + 5y = 5

--------------- –

4x + 0 = 0

x = 0

Langkah II (eliminasi variabel x)

Sama seperti langkah I, tidak perlu menyamakan koefisien untuk

mengeliminasi variabel x karena koefisiennya sudah sama, maka:

x + y = 1

x + 5y = 5

--------------- –

0 + –4y = –4

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 1)}.

2. 3x + 2y = 12 dan 2x – y = 8

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama,

sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 1 dan persamaan 2x –

y = 8 dikalikan 2, maka:

3x + 2y = 12 │× 1 =>3x + 2y = 12

2x – y = 8 │× 2 =>4x – 2y = 16

3x + 2y = 12

4x – 2y = 16

--------------- +

7x + 0 = 28

x = 28/7

x = 4

Langkah II (eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama,

sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x –

y = 8 dikalikan 3, maka:

3x + 2y = 12 │× 2 =>6x + 4y = 24

2x – y = 8 │× 3 =>6x – 3y = 24

6x + 4y = 24

6x – 3y = 24

--------------- –

0 + 7y = 0

y = 0/7

y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0)}

3. 2x + y = 5 dan 3x – 2y = 4

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama,

sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 2 dan persamaan 3x –

2y = 4 dikalikan 1, maka:

2x + y = 5 │× 2 =>4x + 2y = 10

3x – 2y = 4 │× 1 =>3x – 2y = 4

4x + 2y = 10

3x – 2y = 4

--------------- +

7x + 0 = 14

x = 14/7

x = 2

Langkah II (eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama,

sehingga persaman 2x + y = 5 dikalikan 3 dan persamaan 3x –

2y = 4 dikalikan 2, maka:

2x + y = 5 │× 3 =>6x + 3y = 15

3x – 2y = 4 │× 2 =>6x – 4y = 8

6x + 3y = 15

6x – 4y = 8

--------------- –

0 + 7y = 7

y = 7/7

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)}

4. 3x + 2y = 12 dan 2x + 3y = 18

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, ingat koefisien y harus sama,

sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 3 dan persamaan 2x

+ 3y = 18 dikalikan 2, maka:

3x + 2y = 12│× 3 =>9x + 6y = 36

2x + 3y = 18│× 2 =>4x + 6y = 36

9x + 6y = 36

4x + 6y = 36

--------------- –

5x + 0 = 0

x = 0/5

x = 0

Langkah II (eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama,

sehingga persaman 3x + 2y = 12 dikalikan 2 dan persamaan 2x

+ 3y = 18 dikalikan 3, maka:

3x + 2y = 12│× 2 =>6x + 4y = 24

2x + 3y = 18│× 3 =>6x + 9y = 54

6x + 4y = 24

6x + 9y = 54

--------------- –

0 – 5y = – 30

y = – 30/(– 5)

y = 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 6)}

5. x + y = 12 dan 3x – y = 4

Langkah I (eliminasi variabel y)

Untuk mengeliminasi variabel y, tidak perlu menyamakan

koefisien karena sudah sama, maka:

x + y = 12

3x – y = 4

--------------- +

4x + 0 = 16

x = 16/4

x = 4

Langkah II (eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, ingat koefisien x harus sama,

sehingga persaman x + y = 12 dikalikan 3 dan persamaan 3x – y

= 4 dikalikan 1, maka:

x + y = 12 │× 3 =>3x + 3y = 36

3x – y = 4│× 1 =>3x – y = 4

3x + 3y = 36

3x – y = 4

--------------- –

0 + 4y = 32

y = 32/4

y = 8

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 8)}

Bagaimana? Masih bingung? Silahkan tanyakan kesulitan Anda

pada kolom komentar. Jika metode di atas masih mengalami

kesulitan silahkan coba metode berikutnya yakni metode

substitusi.

Demikianlah pembahasan mengenai penyelesaian persamaan

linier dua variabel dengan metode eliminasi. Mohon maaf jika

ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di

atas. Salam Mafia.

C.SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANYA

1.TENTUKAN HIMPUNAN DARI X+2Y=-5 DAN 3X+5Y

JAWAB:

ELIMINASI X

X + 2Y = -5 X3 3X + 6Y = -15

3X+5Y= -4 x1 3x + 5y = -4

1y = -11

Y = -11

ELIMINASI Y

X + 2Y = -5 X5 5X + 10Y = -25

3X+5Y= -4 x2 6x + 10y = -8

-X = -17

YX= 17

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (17,-11)

2. tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDF x +4y = -2 dan 3x – 2y = 8

Eliminasi x +4y = -2 dan 3x – 2y = 8

X + 4Y = -2 X3 3X + 12Y = -6

3X - 2Y= 8 x1 3x - 2y = 8

14y = -14

Y = -1

Eliminasi y

X + 4Y = -2 X2 2X + 8Y = -4

3X - 2Y= 8 x4 12x - 8y = 32

14x = 28

x = 28/14

x = 2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah (2,-1)

3. titik potong garis x + 4y = 2 dan 2x + 3y = -6

Jawab :

Eliminasi x

X + 4Y = 2 X2 2X + 8Y = 4

2y + 3Y= -6 x1 2x + 3y = -6

5y = 10

y = 2

eliminasi y

X + 4Y = 2 X3 3X + 12Y = 6

2y + 3Y= -6 x4 8x + 12y = -24

-5x = 30

X = -6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-6,2)

4. nilai x dan y yang memenuhi system persamaan linear 2x – y +4 = 0 dan x + y + 2 = 0

Jawab :

Eliminasi x

2X – Y + 4 = 0 X1 2X – Y + 4 = 0

X + Y + 2 = 0 x 2 2x + 2y + 4= 0

3y + 0 = 0

Y = 0/3

Y = 0

Eliminasi y

2X – Y + 4 = 0 X1 2X – Y + 4 = 0

X + Y + 2 = 0 x 1 x + y + 2 = 0

3x + 6 = 0

3x = 0-6

3x = -6

X = -2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (-2,0)