03 ukuran pemusatan 13

1

BAB 3

UKURAN PEMUSATAN

2

OUTLINE

BAGIAN I Statistik Deskriptif

Pengertian Statistika

Penyajian Data

Ukuran Penyebaran

Ukuran Pemusatan

Angka Indeks

Deret Berkala danPeramalan

Rata-rata hitung, Median, Modus untuk Data Tidak

Berkelompok

Rata-rata hitung, Median, Modus untuk Data

Berkelompok

Karakteristik, Kelebihan dan Kekurangan Ukuran

Pemusatan

Ukuran Letak (Kuartil, Desil dan Persentil)

Pengolahan Data Ukuran Pemusatan dengan MS Excel

Ukuran Pemusatan Bab 3

3

PENGANTAR

• Ukuran Pemusatan Nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data dan menunjukkan karakteristik dari data. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat dari nilai data.

• Contoh pemakaian ukuran pemusatan(a) Berapa rata-rata harga saham?

(b) Berapa rata-rata inflasi pada tahun 2003?(c) Berapa rata-rata pendapatan usaha kecil dan

menengah? (d) Berapa rata-rata tingkat suku bunga deposito?

Ukuran Pemusatan Bab 3

4

RATA-RATA HITUNG

• Rata-rata Hitung Populasi

Ukuran Pemusatan Bab 3

NX

populasidalamobservasidataJumlah

populasidalamnilaiseluruhJumlahPopulasiHitungrataRata

/

5

CONTOH RATA-RATA HITUNG POPULASI

No Perusahaan Harga Per Lembar Saham

1 Mustika Ratu Tbk. 550

2 Kimia Farma Tbk. 160

3 Bank Buana Nusantara Tbk. 650

4 Heru Supermarket Tbk. 875

5 Berlian Laju Tangker Tbk. 500

6 Hexindo Adi Perkasa Tbk. 360

7 Bank Lippo 370

8 Jakarta International Hotel Tbk. 450

Ukuran Pemusatan Bab 3

Berikut adalah harga per lembar saham dari 20 perusahaan go publik yang ada di BEI tahun 2007:

6

No Perusahaan Harga Per Lembar Saham

9 Indosiar Visual Mandiri Tbk. 525

10 Timah Tbk. 700

11 Bank Danpac Tbk. 500

12 United Tractor Tbk. 285

13 Great River Int. Tbk. 550

14 Asuransi Ramayana Tbk. 600

15 Dankos Laboratories Tbk. 405

16 Ultra Jaya Milik Tbk. 500

17 Matahari Putra Prima Tbk. 410

18 Lippo Land Development Tbk. 575

19 Bank Swadesi Tbk. 300

20 Ades Alfindo Tbk. 550

7

= ∑X/N = 9.815/20 = 490,75

Jadi rata-rata hitung harga saham dari populasi perusahaan yang go publik adalah Rp. 490,75

Jawab

a. Rata-rata harga saham

8

RATA-RATA HITUNG

• Rata-rata Hitung Sampel

Ukuran Pemusatan Bab 3

nX

X

sampeldalamobservasidataJumlah

sampeldalamnilaiseluruhJumlahSampelHitungrataRata

/

9

CONTOH RATA-RATA HITUNG SAMPEL

Ukuran Pemusatan Bab 3

Pada tahun 2007 di BEI tercatat 350 emiten (perusahaan yang menawarkan sahamnya di pasar saham). Misalkan, dari seluruh emiten, 37 perusahaan mengumumkan akan membagikan deviden untuk tahun buku 2006. Dari 37 emiten tersebut, 9 perusahaan diambil laporan kinerja keuangannya. Data kinerja keuangan dari 9 perusahaan tersebut adalah sebagai beriikut :

10

CONTOH RATA-RATA HITUNG SAMPEL

No Nama Perusahaan Total Aset(Rp. Miliar)

Laba Bersih(Rp. Miliar)

1 PT Ind. Satelit Corp. 22.598 436

2 PT Telkom 42.253 7.568

3 PT Aneka Tambang 2.508 123

4 PT Astra Agro Lestari 2.687 180

5 PT Bimantara Citra 4.090 392

6 PT Alfa Retailindo 603 25

7 PT HM Sampurna 10.137 1.480

8 PT Mustika Ratu 287 15

9 PT Astra Graphia 796 65

Ukuran Pemusatan Bab 3

11

X =∑ X/n = 85.959/9 = 9.551

a. Untuk Total Aset

Jadi rata-rata hitung total aset dari sampel perusahaan yang membagikan deviden adalah Rp. 9.551

b. Untuk Laba BersihX =∑ X/n = 10.284/9 = 1.142,67

Jadi rata-rata hitung laba bersih dari sampel perusahaan yang membagikan deviden adalah Rp. 1.142,67

Jawab

12

Definisi:Suatu nilai yang diperoleh dari suatu kelompok data yang dinyatakaan sebagai X1, X2, X3,..Xn berturut-turut ditimbang dengan bobot W1, W2, W3, Wn.

Rumus:

RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG

Ukuran Pemusatan Bab 3

Atau

W

XxWWX

)(

Wn) W2 (W1

WnXn) W2X2 (W1X1 W X

13

RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG

Rata-rata hitung tertimbang

Jumlah

79665PT Astra Graphia9

28715PT Mustika Ratu8

10.1371.480PT HM Sampurna7

60325PT Alfa Retailindo6

4.090392PT Bimantara Citra5

2.687180PT Astra Agro Lestari4

2.508123PT Aneka Tambang3

42.2537.568PT Telkom2

9.852.72822.598436PT Ind. Satelit Corp.1

Wi . XiWiXiNama PerusahaanNo

Ukuran Pemusatan Bab 3

Contoh

Hitunglah rata-rata hitung tertimbang untuk data 9 perusahaan beirkut:

14

RATA-RATA HITUNG TERTIMBANG

Ukuran Pemusatan Bab 3

4.038Rata-rata hitung tertimbang

347.092.73685.959Jumlah

51.74079665PT Astra Graphia9

4.30528715PT Mustika Ratu8

15.002.76010.1371.480PT HM Sampurna7

15.07560325PT Alfa Retailindo6

1.603.2804.090392PT Bimantara Citra5

483.6602.687180PT Astra Agro Lestari4

308.4842.508123PT Aneka Tambang3

319.770.70442.2537.568PT Telkom2

9.852.72822.598436PT Ind. Satelit Corp.1

Wi . XiWiXiNama PerusahaanNo

15

OUTLINE

BAGIAN I Statistik Deskriptif

Pengertian Statistika

Penyajian Data

Ukuran Penyebaran

Ukuran Pemusatan

Angka Indeks

Deret Berkala danPeramalan

Rata-rata hitung, Median, Modus untuk data tidak

berkelompok

Rata-rata hitung, Median, Modus untuk data

berkelompok

Karakteristik, Kelebihan dan Kekurangan Ukuran

Pemusatan

Ukuran Letak

(Kuartil, Desil, – dan Persentil)

Pengolahan Data Ukuran Pemusatan dengan MS Excel

Ukuran Pemusatan Bab 3

16

RATA-RATA HITUNG DATA BERKELOMPOK

1. Data berkelompok adalah data yang sudah dibuat distribusi frekuensinya.

2. Rumus nilai rata-rata = f. X/n

Interval Nilai Tengah (X) Jumlah Frekuensi (f) f.X

160-303 231,5 2 463,0

304-447 375,5 5

448-591 519,5 9

592-735 663,5 3

736-878 807,0 1

Jumlah n = 20

Nilai Rata-rata ( fX/n)

Ukuran Pemusatan Bab 3

f =

17

RATA-RATA HITUNG DATA BERKELOMPOK

1. Data berkelompok adalah data yang sudah dibuat distribusi frekuensinya.

2. Rumus nilai rata-rata = f. X/n

Interval Nilai Tengah (X) Jumlah Frekuensi (f) f.X

160-303 231,5 2 463,0

304-447 375,5 5 1.877,5

448-591 519,5 9 4.675,5

592-735 663,5 3 1.990,5

736-878 807,0 1 807,0

Jumlah n = 20

Nilai Rata-rata ( fX/n) 490,7

Ukuran Pemusatan Bab 3

f = 9.813,5

18

1. Setiap kelompok baik dalam bentuk skala interval maupun rasio mempunyai rata-rata hitung.

2. Semua nilai data harus dimasukkan ke dalam perhitungan rata-rata hitung.

3. Satu kelompok baik kelas maupun satu kesatuan dalam populasi dan sampel hanya mempunyai satu rata-rata hitung.

4. Rata-rata hitung untuk membandingkan karakteristik dua atau lebih populasi atau sampel.

Ukuran Pemusatan Bab 3

RATA-RATA HITUNG DATA BERKELOMPOK

19

5. Rata-rata hitung sebagai satu-satunya ukuran pemusatan, maka jumlah deviasi setiap nilai terhadap rata-rata hitungnya selalu sama dengan nol.

6. Rata-rata hitung sebagai titik keseimbangan dari keseluruhan data, maka letaknya berada ditengah data.

7. Rata-rata hitung nilainya sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim yaitu nilai yang sangat besar atau kecil.

8. Bagi data dan sekelompok data yang sifatnya terbuka (lebih dari atau kurang dari) tidak mempunyai rata-rata hitung.

Ukuran Pemusatan Bab 3

RATA-RATA HITUNG DATA BERKELOMPOK

20

MEDIAN

Ukuran Pemusatan Bab 3

Definisi: Nilai yang letaknya berada di tengah data di mana data

tersebut sudah diurutkan dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya.

Median Data tidak Berkelompok: (a) Letak median, = (n+1)/2,

(b) Data ganjil, median terletak di tengah, k= (n-1)/2

Median = ½(Xk + Xk+1)

(c) Median untuk data genap adalah rata-rata dari dua data yang terletak di tengah. k = n/2

Median = Xk+1

21

CONTOH MEDIAN DATA TIDAK BERKELOMPOK

Nomor urut

Total Aset (Rp miliar)

Nomor urut

Laba Bersih (Rp miliar)

1 42.253 1 7.568

2 22.598 2 1.480

3 10.137 3 436

4 4.090 4 392

5 2.687 5 180

6 2.508 6 123

7 796 7 65

8 603 8 25

9 287 9 15

Ukuran Pemusatan Bab 3

22

CONTOH MEDIAN DATA TIDAK BERKELOMPOK

Nomor urut

Total Aset (Rp miliar)

Nomor urut

Laba Bersih (Rp miliar)

1 42.253 1 7.568

2 22.598 2 1.480

3 10.137 3 436

4 4.090 4 392

5 2.687 5 MEDIAN = 180

6 2.508 6 123

7 796 7 65

8 603 8 25

9 287 9 15

Ukuran Pemusatan Bab 3

23

MEDIAN

Ukuran Pemusatan Bab 3

Rumus Median Data Berkelompok:

n/2 - Cf Md = L + x i

fDimana :

Md = Nilai Median

L = Tepi kelas bawah dimana median berada

n = Jumlah total frekuensi

Cf = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median berada

f = Frekuensi dimana kelas median berada

i = Besarnya interval kelas

24

CONTOH MEDIAN DATA BERKELOMPOK

Interval Frekuensi Tepi Kelas Frek. Kumulatif

 160 - 303

 2

159,5 0

 304 - 447

 5

303,5 2

 448 - 591

 9

447,5 7

 592 - 735

 3

591,5 16

 736 - 878

 1

735,5 

878,5

19 

20

Ukuran Pemusatan Bab 3

Dari data dari 20 perusahaan di BEI yang sudah dibuat frekuensinya, hitunglah median untuk data berkelompok berikut:

25

CONTOH MEDIAN DATA BERKELOMPOK

• Letak median n/2 = 20/2=10; jadi terletak pada frek. kumulatif antara 7-16

• Nilai Median

Md = 447,5 + (20/2) - 7 x143 9 = 495,17

Ukuran Pemusatan Bab 3

26

CONTOH MEDIAN DATA BERKELOMPOK

• Letak median n/2 = 20/2=10; jadi terletak pada frek. kumulatif antara 7-16

• Nilai Median

Md = 447,5 + (20/2) - 7 x143

9 = 495,17

Interval Frekuensi Tepi Kelas Frek. Kumulatif

 160 - 303

 2

159,5 0

 304 - 447

 5

303,5 2

 448 - 591

  447,5 7Letak Median

 592 - 735

 3

591,5 16

 736 - 878

 1

735,5 

878,5

19 

20

Ukuran Pemusatan Bab 3

27

MODUS

Ukuran Pemusatan Bab 3

Definisi: Nilai yang (paling) sering muncul.

Rumus Modus Data Berkelompok :

ix dd

dLMo

21

1

Dimana :Mo = Nilai Modus

L = Tepi kelas bawah dimana modus berada

d1 = Selisish frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

d2 = Selisish frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

i = Besarnya interval kelas

28

CONTOH MODUS DATA BERKELOMPOK

Interval Frekuensi Tepi Kelas

 160 - 303

 2

159,5

 304 - 447

 5

303,5

 448 - 591

9

447,5

 592 - 735

3

591,5

 736 - 878

 1

735,5 

878,5

Ukuran Pemusatan Bab 3

Dari data dari 20 perusahaan di BEI yang sudah dibuat frekuensinya, hitunglah modus untuk data berkelompok berikut:

29

CONTOH MODUS DATA BERKELOMPOK

• Letak modus pada frekuensi kelas paling besar = 9 kelas 448-591.

• Nilai Modus

Mo = 447,5 + (4/(4+6)) x 143 = 504,7

Ukuran Pemusatan Bab 3

30

CONTOH MODUS DATA BERKELOMPOK

Interval Frekuensi Tepi Kelas

 160 - 303

 2

159,5

 304 - 447

 5

303,5

 448 - 591

d1

9

447,5Letak

Modus 

592 - 735 d2

3591,5

 736 - 878

 1

735,5 

878,5

• Letak modus pada frekuensi kelas paling besar = 9 kelas 448-591.

• Nilai Modus

Mo = 447,5 + (4/(4+6)) x 143

= 504,7

Ukuran Pemusatan Bab 3

31

HUBUNGAN RATA-RATA-MEDIAN-MODUS

1.Kurva simetris X= Md= Mo

02468

1012

Ukuran Pemusatan Bab 3

Kurva simetris adalah kurva dimana sisi kanan daan kiri sama, sehingga kalau dilipat dari titik tengahnya maka akan ada dua bagian yang sama. Kurva simetris juga dapaat dikatakan sebagai kurva dengan kecondongan nol

32

HUBUNGAN RATA-RATA-MEDIAN-MODUS

2. Kurva condong kiri Mo < Md < X

0

5

10

15

231 Mo Md Rt 663 807

Ukuran Pemusatan Bab 3

Kurva condong ke kiri atau condong positif disebabkan nilai rata-rata hitung lebih besar dibandingkan median dan modus. Hal tersebut terjadi karena adanya nilai ekstrim tinggi yang mempengaruhi nilai rata-rata hitung, sedangkan median, dan modus tidak terpengaruh. Pada kejadian seperti ini data sampel atau populasi pada umumnya bernilai rendah, tetapi ada beberapa data ekstrem yang bernilai sangat tinggi, yang mendorong nilai rata-rata meningkat.

33

HUBUNGAN RATA-RATA-MEDIAN-MODUS

3. Kurva condong kanan X < Md < Mo

0

5

10

15

231 375 Rt Md Mo 807

Ukuran Pemusatan Bab 3

Kurva condong ke kanan atau condong negatif disebabkan nilai rata-rata hitung lebih kecil daripada nilai median dan modus. Penyebab dari peristiwa ini adalah adanya nilai ekstrem rendah yang mempengaruhi nilai rata-rata bitung.

Data sampel atau populasi pada umunya relatif tinggi dan ada beberapa data yang nilainya ekstrem sangat rendah, hal ini menyebabkan nilai rata-rata terdorong untuk turun. Dalam kondisi demikian, maka nilai rata-rata tidak terlalu baik digunakan dibandingkan dengan ukuran median dan modus

34

SOAL

1. PT Global Jaya mempunyai waralaba mie ayam goreng di sepuluh kota di Pulau Jawa. Pendapatan bersih dari setiap cabang pada tahun 2006 adalah sebagai berikut:

Cabang Pendapatan

(Rp juta)

Jakarta 80

Serang 10

Tangerang 50

Malang 40

Semarang 40

Jogyakarta 50

Surabaya 90

Bandung 40

Jember 20

Solo 50

Pertanyaan:

1. Hitunglah nilai rata-rata hitung?

2. Hitunglah median dan modus?

35

2. PT Abadi Jaya melakukan melakukan pengelompokan cabang perusahaan berdasarkan omset penjualan sebagai berikut:

Interval Omset Penjualan (Rp juta)

Jumlah Perusahaan

200 – 219 7

220 – 239 9

240 – 259 11

260 – 279 18

280 – 299 12

300 – 319 5

1. Hitunglah rata-rata hitung, median, dan modus dari data di atas.

2. Bagaimana hubungan antara nilai ukuran pemusatan?

Pertanyaan:

36

3. Berapa sebenarnya gaji dua mingguan untuk lulusan diploma yang baru bekerja? Untuk mendapatkan data tersebut dilakukan survei terhadap 7 lulusan diploma yang bekerja di 7 perusahaan di Kawasan Surabaya, Sidoarjo. Hasil survei adalah sebagai berikut

Orang ke- Gaji per 2 mingguan (Rp

000)

1 426

2 299

3 290

4 687

5 480

6 439

7 565

1. Berapa gaji dua mingguan rata-rata lulusan diploma.

2. Berapa median dari gaji dua mingguan lulusan diploma.

3. Berapa persen gaji yang di bawah median

Pertanyaan:

37

Soal Teori

1.Apa yang dimaksud ukuran pemusatan?

2.Jelaskan tentang rata-rata hitung, median & Modus!

3.Bagaimana rumus rata-rata hitung, median, modus untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok? Beri penjelasan masing-masing simbulnya.

4.Jelaskan hubungan rata-rata hitung, median & modus!