TEOREMA SACCHERI LEGENDRE

Teorema Saccheri-Legendre. Jumlah sudut-sudut pada setiap segitiga adalah lebih kurang daripada atau sama dengan 180.

Sebelum membuktikan Teorema Saccheri Legendre, kita buktikan terlebih dahulu lema-lema berikut ini.

Lema 1. Jumlah setiap dua sudut pada sebuah segitiga adalah lebih kurang daripada 180. Bukti : A

B C D Menurut Teorema Sudut Eksterior m ACD>m ABC dan m ACD>m BAC. Berikutnya, perhatikan bahwa m ACD + m ACB = 180

m

ACD = 180 - m

ACB

180 - m

ACB > m

ABC dan 180 - m

ACB > m

BAC

180 > m

ACB + m

ABC dan 180 > m

ACB + m

BAC

Dengan cara yang analog, dapat diperoleh m telah terbukti.

BAC + m

ABC < 180. Lema 1

Lema 2. Untuk setiap ABC terdapat A1B1C1 yang memiliki jumlah sudut yang sama (m A).

dengan jumlah sudut Bukti :

ABC tetapi m A1

Tempatkan titik D di tengah-tengah dan titik E sedemikian sehingga A-D-E dan AD=DE. Co x

E D

x

o

A B Teorema SAS

1. 2.

ADC CDE

BDE, sehingga ABD, sehingga

ACD DCE dan

CAD BAD

Kemudian, perhatikan bahwa m BAE + m = (m BAC - m = (m BAC + m = (m BAC + m = (m BAC + m = m BAC + m + m AEB ) + (m ABC + m ) + (m BEC - m - m CED) - m CED) )

+ m ACB) + (m BEC - m + m ACB) + (m BEC - m + m ACB) + 0 + m ACB

Selanjutnya, m BAC = m CAD + m dan m BAC = m BEA + m

tidak mungkin m BEA > ( )m

dan m BAE > ( )m

m BEA

( )m

atau m BAE

( )m

A1B1C1 Lema 2 telah terbukti.

ABE atau

A1B1C1 =

EAB

Berikutnya,

kita

akan

membuktikan C

Teorema

Saccheri-Legendre.

Kita

menggunakan bukti kontradiksi.

A

B

Andaikan jumlah sudut pada segitiga adalah > 180

m A+m B+ m

= 180 + p, untuk suatu p > 0

Dengan menggunakan Lema 2, kita bisa memperoleh sudutnya sama dengan jumlah sudut ABC dan m A1

A1B1C1 yang jumlah ( )m A. Dengan

menggunakan Lema 2 juga, kita bisa memperoleh A2B2C2 yang jumlah sudutnya sama dengan jumlah sudut A1B1C1 dan m A2 serupa, akhirnya kita bisa memperoleh A1B1C1, ( ) m An-2 ( ) ( ) ( )m A1. Dengan cara yang A2B2C2, A3B3C3, , AnBn ( )m An-1

Cn yang jumlah sudutnya masing-masing 180o+p dan m An A1

A. Perhatikan bahwa {m An}

adalah barisan turun, sehingga kita dapat memilih n m An . Kemudian, perhatikan m An + m Bn + m Cn = 180 + p

sedemikian sehingga

m An p = 180 - m Bn - m Cn

180 - m Bn - m C

0

m Bn + m Cn

180

kontradiksi dengan Lema 1 Jadi jumlah sudut-sudut pada setiap segitiga haruslah lebih kurang daripada atau sama dengan 180.